(word完整版)数学北师大版高中选修2-2北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》教案
北师大版高中数学选修2-2第二章章末总结.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末总结知识点一导数的概念平均变化率表示函数在某个区间内变化的快慢，瞬时变化率(导数)表示函数在某一点处变化的快慢．f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.例1求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．例2航天飞机发射后的一段时间内，第t时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.(1)h(0)，h(1)分别表示什么；(2)求第1 s内高度的平均变化率；(3)求第1 s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义．知识点二 导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，利用导数可以求曲线的切线斜率和切线方程．例3 已知曲线方程为y ＝x 2，(1)求过点A (2,4)且与曲线相切的直线方程；(2)求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．例4 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图像经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．(1)求实数a ，b 的值；(2)求过已知函数图像上某点处切线的斜率的取值范围．知识点三 导数的计算导数的计算主要考查导数公式的应用和导数的四则运算，复合函数的求导．在求导数时，一定要认清函数的形式，然后选择适当的公式和法则进行计算．例5 (1)求函数f (x )＝4x 3在x ＝16处的导数；(2)求函数y ＝x 5＋x ＋sin x x 2的导数； (3)求函数y ＝e sin(2x ＋3)的导数．知识点四 导数的实际意义实际生活中存在大量的变化率问题，我们可以根据导数计算并表示变化的快慢，在实际问题中理解导数的意义．例6 在受到制动后的t 秒内飞轮转过的角度(弧度)由函数φ(t )＝4t －0.3t 2给出． 求：(1)t ＝2秒时，飞轮转过的角度；(2)飞轮停止旋转的时刻．例7 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15 (0≤x ≤18)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．答 案重点解读例1 解 f ′(x )＝lim Δx →02(x ＋Δx )2＋4(x ＋Δx )－(2x 2＋4x )Δx ＝lim Δx →04x ·Δx ＋2(Δx )2＋4Δx Δx ＝lim Δx →0(4x ＋2Δx ＋4)＝4x ＋4， ∴y ′|x ＝3＝f ′(3)＝4×3＋4＝16.例2 解 (1)h (0)表示航天飞机未发射时的高度，h (1)表示航天飞机发射1 s 后的高度． (2)Δh Δt ＝h (1)－h (0)1－0＝80(m/s)， 即第1 s 内高度的平均变化率为80 m/s.(3)h ′(1)＝lim Δt →0 Δh Δt ＝lim Δt →0h (1＋Δt )－h (1)Δt ＝lim Δt →0[5(Δt )2＋45Δt ＋120]＝120， 即第1 s 末高度的瞬时变化率为120 m/s.它说明在第1 s 末附近，航天飞机的高度大约以120 m/s 的速度增加．例3 解 (1)∵A (2,4)在y ＝x 2上．由y ＝x 2得，y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝2x . ∴f ′(2)＝4.∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 20)．由(1)得y ′＝2x ，∴f ′(x 0)＝2x 0.∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．∵点(3,5)在切线上，∴5－x 20＝2x 0(3－x 0)．即x 20－6x 0＋5＝0.解得x 0＝1或x 0＝5，∴切线方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.例4 解 (1)因为y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0a (x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )2－ax 3－bx 2Δx ＝3ax 2＋2bx .∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图像过点M (1,4)，∴a ＋b ＝4.又∵曲线在点M 处的切线与直线x ＋9y ＝0垂直，∴f ′(1)＝9，∴3a ＋2b ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝43a ＋2b ＝9得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3. (2)由(1)知y ′＝f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＝3x 2＋6x＝3(x ＋1)2－3≥－3.∴过已知函数图像上某点处的切线的斜率的取值范围是k ≥－3. 例5 解 (1)∵f ′(x )＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x， ∴f ′(16)＝34·416＝34×2＝38. (2)∵y ＝x 3＋x －32＋sin x x 2， ∴y ′＝(x 3)′＋(x －32)′＋(sin x )′x 2－(x 2)′sin x x 4＝3x 2－32x －52＋x 2cos x －2x sin x x 4＝3x 2－32x －52＋x －2cos x －2x －3sin x . (3)设y ＝e u ，u ＝sin t ，t ＝2x ＋3，则y ′＝y ′u ·u ′t ·t ′x ＝e u cos t ×2＝2e sin(2x ＋3)·cos(2x ＋3)．例6 解 (1)t ＝2秒时，飞轮转过的角度φ(2)＝8－1.2＝6.8(弧度)．(2)由题意得，φ′(t )＝4－0.6t ，飞轮停止旋转，即瞬时角速度为0，所以令4－0.6t ＝0⇒t ＝203. 所以在t ＝203秒时飞轮停止转动． 例7 解 ∵f ′(x )＝2x －7，∴f ′(6)＝5.导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率，即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h ，原油温度将升高5 ℃.。
高中数学北师大版选修2-2第2章 拓展资料：解析导数的计算
解析导数的计算一、几个常见函数的导数几个常见函数的导数如下表所示．二、基本初等函数的导数公式 其证明需用导数的定义，这里不作要求 ，但是需要熟记公式．1.为了便于记忆分类如下：常数函数的导数（1）若()f x C =，则()0f x '=．幂函数的导数（2）若()(N )n f x x n *=∈，则1()n f x nx -'=．三角函数的导数（3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=．（4）若()cos f x x =，则()sin f x x '=-．指数函数的导数（5）若()x f x a =，则()ln (0)x f x a a a '=>．（6）若()x f x e =，则()x f x e '=．对数函数的导数（7）若()log a f x x =，则1()(01)ln f x a a x a '=>≠，且．（8）若()ln f x x =，则1()f x x '=．2．问题归类（1）前面的1()f x x =可以化为1()f x x -=， 由幂函数的导数可得221()1f x x x -'==-·； ()f x C =可以看作是0()f x Cx =·， 由幂函数的导数可得01()00f x C x -'==··； 因此表中4个常见函数的导数都可以归纳到幂函数的求导．（2）指数函数的导数（6）可以归到（5）由（5）可得，()ln f x x =的导数()ln x x f x e e e '==．（3）类似地，对数函数的导数（8）可以归到（7），同学们给出推导． 问题的归类可以形成知识网络，增强知识的记忆，灵活应用所学知识．3．两种求导方法：由导数的定义求导，由公式求导．三、导数的运算法则1．关于x 的函数简记为u v ，且可导，教材中的第91页导数的运算可以简记如下：（1）和（或差）的导数：()u v u v '''+=+．（2）积的导数：()uv u v uv '''=+．（3）商的导数：2(0)u u v uv v v v '''-⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭． 商的导数要特别注意分子的形式，可以叙述为：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方． 其它导数公式同学们可以类似的叙述，以加深理解和记忆．四、复合函数求导法则求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数．也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系()y f u =，()u g x =；然后将已知函数对中间变量求导()u y '；最后求u x y u ''·，并将中间变量代回为自变量的函数．整个过程可简记为分解――求导――回代．熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量．。
北师大版高中数学选修2-2课件2.2.1导数的概念课件
表示f (1服00药) 后100.60min时，药浓度下降速 度为0.6ug/(ml·min)，若保持此速度，每经过1min药 浓度将下降0.6ug/ml。
时变化率。
数学上称这个瞬时变化率为在点的y f (x) x0
导数，用表f (示x0，) 记作
f
( x0
)
lim
x1 x0
f (x1 ) f (x0 ) x1 x0
lim x0
f ( x0 x) x
f (x0 )
例1一条水管中流过的水量是时y 间(mx3()s)的函
解析
例3服药后，人体血液中的药浓度y(ug/ml)是时间t
(min)的函数y=f(t)，假设y=f(t)在t=10和t=100处 的导数分别为和f ，(10试) 解 1释.5其 f (100) 0.6 实际意义。
解析
动手做一做
提炼原油时，需对原油进行加热和冷却，若原油 温度与时间(h)的函数关系为
例2
解析：导数是瞬时变化率，本题中指生产效率。
表示工f作(11)h时4 ，其生产速度是4kg/h， 即若保持此速度，他每小时可生产4kg食品； 表示工f (作3)3h3时.5，其生产速度是3.5kg/h， 即若保持此速度，他每小时可生产3.5kg食品。
例3
分析：本题导数表示药液浓度的瞬时变化率。
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复习引入
函数中关于y的平f均(变x)化率y 为：x
y f (x1 ) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(有答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．52．已知函数()2f x x bx =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ） A ．20192020 B ．20182019 C ．20172018 D ．20182017 3．若函数f （x ）＝alnx （a ∈R ）与函数g （x ）x =在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为（ ）A ．4B ．12C ．2eD ．e 4．函数()2221sin cos 622x x f x x =+-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知()4cos 72f x ax b x x =++-.若()20186f '=，则()2018f '-=（ ） A ．6-B ．8-C ．6D ．86．函数22sin 22()([,0)(0,])133x x f x x x ππ=∈-+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()ln ln x x f x e x e a x =-+的图象在点()()1,1T f 处的切线经过坐标原点，则a=（ ）A ．e -B ．eC ．1e e ---D ．1e -8．函数()(cos )x f x a x e =+，若曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则实数a =（ ） A 31-B 13-C 31+ D ．31+9．已知(,()),(,())M t f t N s g s 是函数()ln f x x =，()21g x x =+的图象上的两个动点，则当MN 达到最小时,t 的值为 ( )A ．1B ．2C ．12D ．35510．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能 11．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B ．[0，π) C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[0，4π]∪[2π，34π] 12．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（ ）.A ．1BC ．2D ．二、填空题13．设l 是2y x=图象的一条切线，问l 与坐标轴所围成的三角形面积为______. 14．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k 的取值范围是______．15．已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>，则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________．16．已知曲线()32ln 3x f x x x=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+= ____________ 17．已知函数1()f x x x=+和点(1,0)P ，过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则直线MN 的斜率等于____.18．已知函数()'cos sin 4f x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为__________． 19．已知()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式()3'(2)ln f x xf x =+，则(1)f '的值为___． 20．已知点P 在曲线sin y x =上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是__________．三、解答题21．已知函数22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++．（1）当1a =-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）设函数()()2g x f x x =--，函数()g x 有且仅有一个零点．（i ）求a 的值；（ii ）若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，求m 的取值范围．22．已知函数()1x f x e ax =+-（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （Ⅱ）若2()f x x ≥在区间(0,1)上恒成立，求实数a 的取值范围．23．已知函数()()()11ln x ax a f x x x--+=-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在()(),e f e 处的切线方程；（2）当0x >且1x ≠，不等式()11ln 1a x x x x +-<-恒成立，求实数a 的值. 24．已知函数()()3123f x x ax a a R =-+∈． ()1当1a =时，求曲线()f x 在()()2,2f 处的切线方程；()2过点()2,0作()y f x =的切线，若所有切线的斜率之和为1，求实数a 的值．25．已知函数图象上一点，且在点处的切线与直线平行．(1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)关于的方程在区间上恰有两个相异的实根，求实数的取值范围． 26．已知函数3()16f x x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线且过原点，求直线l 方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C 【分析】根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.【详解】根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=. 故选：C.【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.2．A解析：A【分析】利用导数的几何意义，可求出直线l 的斜率，进而由l 与直线320x y -+=平行，可求出b ，从而可得到()1111f n n n =-+，进而求出2019S 即可. 【详解】由题意，()2f x x b '=-，则()12f b '=-，所以直线l 的斜率为2b -，又直线320x y -+=的斜率为3，所以23b -=，解得1b =-.则()2f x x x =+，故()211111f n n n n n ==-++， 所以201911111111201911223342019202020202020S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】 本题考查导数的几何意义的应用，考查平行直线的性质，考查利于裂项相消求和法求数列的前n 项和，属于中档题. 3．C解析：C【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解.【详解】由已知得()()a f x g x x ''==，， 设切点横坐标为t ，∴alnt a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22e t e a ==，. 故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.4．C解析：C【分析】将函数()y f x =的解析式化简，求出其导数()1sin 3f x x x '=+，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像.【详解】因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =+-=-，()1sin 3f x x x '∴=+. 当03x <≤时，103x >，sin 0x >，则()1sin 03f x x x '=+>； 当3x >时，113x >，1sin 1x -≤≤，则()1sin 03f x x x '=+>.所以，当0x >时，()1sin 03f x x x '=+>，排除ABD 选项， 故选：C.【点睛】 本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．D解析：D【分析】分析()f x 的导函数()f x '，构造关于()f x '的新函数，借助新函数奇偶性即可计算()2018f '-的值.【详解】因为()4cos 72f x ax b x x =++-，所以()34sin 7f x ax b x '=-+，所以()374sin f x ax b x '-=-，令()()374sin g x f x ax b x '=-=-，所以()()34sin g x ax x g x -=-+=-且函数()g x 定义域为R 关于原点对称， 所以()g x 是奇函数，所以()()201820180g g +-=，所以()()20187201870f f ''-+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()20181468f '-=-=.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，难度一般.一般地，形如()()()0g x f x c c =+≠的函数中，已知()f x 为奇函数，根据()f a 的值求解()f a -的值的方法：构造新函数()g x c -，根据新函数的奇偶性求解()f a -的值.6．A解析：A【分析】 根据解析式判断函数的奇偶性，2f π⎛⎫⎪⎝⎭的正负，以及2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'的正负，即可进行选择. 【详解】 因为()221x sinx f x x =+，()221x sinx f x x -=-+，且定义域关于原点对称， 故()f x 是奇函数，排除选项C ；因为2220212f πππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故排除选项D ； 因为()()()()223222121xsinx x cosx x x sinx f x x ++-=+'，故可得220212f πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦' 故函数()f x 在点(),2f x π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为正数，故排除选项B ； 故选：A.【点睛】本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，特值的把握，利用导数研究函数某点处切线的斜率，属综合中档题.7．A解析：A【分析】利用导数求出函数()y f x =在点()()1,1T f 处的切线方程，再将原点的坐标代入切线方程可求出实数a 的值.【详解】 ()ln ln x x f x e x e a x =-+，()1f e ∴=-，切点为()1,T e -，()ln x xx e a f x e x e x x '=+-+，()1f a '=， 所以，函数()y f x =的图象在点T 处的切线方程为()1y e a x +=-，由于该直线过原点，则a e -=，解得a e =-，故选A.【点睛】本题考查切线过点的问题，一般先利用导数求出切线方程，再将所过点的坐标代入切线方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.8．A解析：A【解析】【分析】首先求得导函数的解析式，然后利用导数与函数切线的关系得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值.【详解】由函数的解析式可得：()(cos sin )x f x a x x e '=+-，曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则：310322f a e ππ'⎛⎛⎫=+-⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：a =. 故选A .【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导函数与函数切线的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C【分析】求得()f x 图像上切线斜率为2的切点的横坐标，即是t 的值.【详解】依题意可知，当()f x 图像上的切线和()21g x x =+平行时，MN 取得最小值，令()'12f x x ==，解得12x =，故12t =，所以选C. 【点睛】本小题考查函数导数，考查切线斜率与导数的对应关系，属于基础题.10．A解析：A【解析】【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论．【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ，∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ，恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交．故选：A ．【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．A解析：A【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A. 12．C解析：C【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案．【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a c b d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方． 对函数ln y x =求导得1y x '=，令1y '=，得1x =， 所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，， 该点到直线l的距离为 因此，()()22a c b d -+-的最小值为22＝． 故选C ． 【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．二、填空题13．4【分析】根据导数的几何意义求出切线的方程进而求得轴上的截距即可求得结果【详解】因为故可得设切点为则过切点的切线方程为且则切线在轴上的截距分别为则与坐标轴所围成的三角形面积故答案为：4【点睛】本题考 解析：4【分析】根据导数的几何意义，求出切线的方程，进而求得,x y 轴上的截距，即可求得结果.【详解】 因为2y x =，故可得22y x'=-，设切点为()00,x y ， 则过切点的切线方程为()00202y y x x x -=--，且002x y =， 则切线在,x y 轴上的截距分别为0042,x x ，则l 与坐标轴所围成的三角形面积0014242S x x =⨯⨯=. 故答案为：4.【点睛】 本题考查利用导数的几何意义求切线的方程，属中档题.14．【分析】转化条件得有4个零点令画出两函数的图象后可得当函数过点和时函数与的图象相切时函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时满足条件利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解【详解】由题意解析：1(2 【分析】 转化条件得1()2f x kx =-有4个零点,令()12g x kx =-，画出两函数的图象后可得当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时、函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k 在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时k 的值即可得解.【详解】 由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点, 设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图， 由图象可知，当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点； 当函数()g x 过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭和()1,0时，12k =，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点； 当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，设切点为(),ln a a ，1y x'=， ∴1k a =，∴1ln 12a a a +=，解得a =∴e k e=，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当ek e>时，两函数图象至多有两个交点； ∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1(,)2k e e∈.故答案为：1(,)2ee.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题.15．2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函数根据限制性条件和基本不等式进行解答【详解】因为所以又因为所以（b ）所以斜率的最小值是2故答案是：2【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值根据导数的解析：2 【解析】 【分析】根据已知条件得到()()f x g x alnx a'=+的导函数，根据限制性条件0a >，0b >和基本不等式 进行解答． 【详解】 因为()()f x g x alnx a'=+， 所以2()a x b g x x a-'=+． 又因为0a >，0b >， 所以g '（b ）22a b b a ab a b b-=+=+， 所以斜率的最小值是2． 故答案是：2．【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本 题的关键．16．【解析】【分析】根据导函数的几何意义得到【详解】曲线求导得到函数在点处的切线的倾斜角为则得到故答案为：【点睛】这个题目考查了导数的几何意义三角函数化简求值本题主要考察诱导公式同角三角函数的基本关系式解析：87【解析】 【分析】根据导函数的几何意义得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+. 【详解】曲线()32ln 3x f x x x =+，求导得到()221ln 2x f x x x -=+'，函数在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+故答案为：87. 【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，三角函数化简求值，本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用；同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍；注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.17．2【解析】设∵函数∴∵过点作曲线的两条切线∴∴直线的方程为直线的方程为∵∴∴即是方程的两根∴∴直线的斜率故答案为2点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于中档题应用导数的几何意义求切点处切线的斜率主解析：2 【解析】设11(,)M x y ，22(,)N x y . ∵函数()1f x x x=+ ∴21()1f x x =-' ∵过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN∴2111PM k x =-，2211PNk x =- ∴直线PM 的方程为11211(1)()y y x x x -=--，直线PN 的方程为22221(1)()y y x x x -=--. ∵1111y x x =+，2221y x x =+ ∴11211110()(1)(1)x x x x -+=--，22222110()(1)(1)x x x x -+=-- ∴211210x x +-=，222210x x +-=，即1x ，2x 是方程2210x x +-=的两根. ∴122x x +=-，121x x ⋅=- ∴直线MN 的斜率12121212121211112MN x x y y x x k x x x x x x +---===-=--⋅.故答案为2.点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.18．【解析】解得故故答案为 解析：1【解析】()''sin cos 4f x f x x π⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，''sin cos 4444ff ππππ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得'14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故)'cos sin 114444f f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为1.19．【分析】】根据导数的计算公式求出令可得然后把x=1代入即可【详解】由可得：∴解得：∴故答案为【点睛】本题考查函数的导数的应用属基础题解析：14【分析】】根据导数的计算公式求出()f x '，令2x =可得 ()124f '=-， 然后把x=1代入即可. 【详解】由()()3'2ln f x xf x =+，可得： ()()132f x f x''=+， ∴()()12322f f ''=+，解得： ()124f '=- ∴()()113214f f +'='=. 故答案为 14【点睛】本题考查函数的导数的应用，属基础题.20．【解析】由题意可得：即切线的斜率取值范围为据此可知倾斜角的取值范围是解析：3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，【解析】由题意可得：[]'cos 1,1y x =∈-，即切线的斜率取值范围为[]1,1-，据此可知倾斜角a 的取值范围是3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，. 三、解答题21．（1）340x y （2）（ⅰ）a=1（ⅱ）223m e e ≥-【解析】试题分析：（1）当a=﹣1时，函数f （x ）=（x 2﹣2x ）lnx+ax 2+2=（x 2﹣2x ）lnx ﹣x 2+2，求出f′（x ），则k=f′（1），代入直线方程的点斜式可得切线的方程． （2）①令g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0，则（x 2﹣2x ）•lnx+ax 2+2=x+2，即()12ln x xa x--⋅=，构造函数h （x ）=()12ln x xx--⋅，确定h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h （x ）max =h （1）=1，即可求a 的值； ②当a=1时，g （x ）=（x 2﹣2x ）•lnx+x 2﹣x ，若2e x e -<<，g （x ）≥m ，只需g （x ）min ≥m ．试题（1）当1a =-时，()()222ln 2f x x x x x =--+,()0,x ∈+∞，∴()()()22ln 22f x x x x x =-+--' ()13f ∴'=-，又()11f = ∴()f x 在()()1,1f 处的切线方程340x y +-=.（2）（ⅰ）令()()20g x f x x =--=，则()222ln 22x x x ax x -++=+∴()12ln x xa x--⋅=令()()12ln x xh x x--⋅=， 则()2221122ln 12ln x x x h x x x x x ---=-+'-=. 令()12ln t x x x =--,则()221x t x x x'--=--= ()0,x ∈+∞， ()0t x '<，∴()t x 在()0,+∞上是减函数 又()()110t h '==，∴当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， ∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 11h x h ∴==，∴当函数()g x 有且只有一个零点时，1a =.（ⅱ）当1a =，()()222ln g x x x x x x =-+-，若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，只需()max ,g x m ≤ ()()()132ln g x x x '=-+.令()0g x '=得1x =或32x e -=，2e x e -<<，∴函数()g x 在322,e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在32,1e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增.又∵33322122g e e e ---⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ()223g e e e =-()333322213222222g e e e e e e e g e ----⎛⎫⎛⎫=-+<<<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32g e g e -⎛⎫< ⎪⎝⎭.∴()()2max 23g x g e e e ==-，223m e e ∴≥-.22．（Ⅰ）12(1)e +（Ⅱ）2a e ≥-【解析】试题分析：（I ）当a=1时，f （x ）=e x +x-1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f （1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x 轴、y 轴的交点A 、B ，利用直角三角形的面积公式即可求得；（II ）将f （x ）≥x 2在（0，1）上恒成立利用参变量分离法转化为21xx ea x+-≥在（0，1）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a 的取值范围． 试题（Ⅰ）∵当1a =时，()1xf x e x =+-，()1111f e e =+-=，()'1x f x e =+，()1'111f e e =+=+，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y e e x -=+-， 即()11y e x =+-．设切线与,x y 轴的交点分别为,A B ， 令0x =得，1y =-，令0y =得，11x e =+， ∴1,01A e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，()0,1B -，∴()11112121OAB S e e ∆=⨯⨯=++， ∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()121e +．（Ⅱ）由()()()20,1f x x x ≥∈得，21x x ea x+-≥．令()211x xx e e h x x x x x+-==+-，则()()2211'1x e x h x x x -=-- ()()211x x x ex-+-=， 令()1xk x x e =+-，则()'1xk x e =-．∵()0,1x ∈，∴()'10xk x e =-<，()k x 在区间()0,1上为减函数，∴()()00k x k <=．又10x -<，20x >，∴()()()211'0x x x e h x x-+-=>，∴()h x 在区间()0,1上为增函数，()()12h x h e <=-， 因此只需2a e ≥-即可满足题意． 点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值）. 23．（1）()10e x ey e -+-=（2）12a = 【解析】试题分析:（1）根据导数几何意义得切线斜率为()f e '，再根据点斜式得切线方程（2）根据分母符号转化为：1x >时()0max f x <，01x <<时()0min f x >，研究()f x ，其导函数有两个零点1x =或11x a =-，根据11a-与0,1大小分类讨论，确定函数单调性，进而确定函数最值,解对应不等式可得实数a 的值.试题（1）1a =时，()ln 1f x x x =-+，()2f e e =- ∴切点为(),2e e -()11f x x '=-，()11f e e '=- ∴切线方程为11e y x e-=+ 即曲线()y f x =在()(),e f e 处的切线方程()10e x ey e -+-= （2）∵当0x >且1x ≠时，不等式()11ln 1a x x x x+-<-恒成立 ∴x e =时()11ln 1a e e e e+-<- ∴()2101a e >>- 又()()111ln 01x ax a x x x ⎡⎤--+-<⎢⎥-⎣⎦即()101f x x <-对0x >且1x ≠恒成立 等价于1x >时()0f x <，01x <<时()0f x >恒成立 ∵()()0,11,x ∈⋃+∞()()()222111x ax a ax x af x x x --+-+-'-=-= 令()0f x '= ∵0a > ∴1x =或11x a=- ①111a ->时，即102a <<时，11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '> ∴()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增∴()()10f x f >=，∴102a <<不符合题意②当111a -=时，即12a =时，()0,1x ∈时()0f x '<∴()f x 在()0,1单调递减 ∴()()10f x f >=；()1,x ∈+∞时()0f x '<∴()f x 在()1,+∞单调递减∴()()10f x f <= ∴12a =符合题意 ③当1011a <-<时，即112a <<时，11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '> ∴()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增∴()()10f x f <=∴112a <<不符合题意④当110a-<时，即1a >时，()0,1x ∈时，()0f x '>∴()f x 在()0,1单调递增 ∴()()10f x f <= ∴1a >不符合题意 综上，12a =. 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 24．(I)93100x y --=；（Ⅱ）4. 【解析】试题分析：（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P 的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率根据点斜式可得切线的方程；（2）设出曲线过点P 切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P 的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，解方程方即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可的结果. 试题（Ⅰ）当a ＝1时，()3123f x x x =-+，∴f'（x ）＝x 2－1， ∴k 切＝f'（2）＝4－1＝3． ∵()823f =， 所以切线方程为()8323y x -=-，整理得9x －3y －10＝0． （Ⅱ）设曲线的切点为（x 0，y 0），则3212'3k x ax a x a ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭切， 所以切线方程为()()202y x ax =--．又因为切点（x 0，y 0）既在曲线f （x ）上，又在切线上，所以联立得()()200030002,]123y x a x y x ax a⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩可得x 0＝0或x 0＝3，所以两切线的斜率之和为－a ＋（9－a ）＝9－2a ＝1，∴a ＝4．【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数求曲线切线，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=•-. 25．（1）（2）答案见解析 （3）【解析】 试题分析：（1）由及曲线在处的切线斜率为，即可求得，又函数过点，即可求的. （2）由（1）易知，令可得或，然后对进行分类讨论，确定函数在的单调性，即可求出函数在上的最大值和最小值； （3）构造函数，研究函数的单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数的取值范围.试题 (1)因为，曲线在处的切线斜率为，即，所以.又函数过点，即，所以.所以. (2)由，.由，得或. ①当时，在区间上，在上是减函数，所以，.②当时，当变化时，、的变化情况见下表：2－＋＋2－2，为与中较大的一个．. 所以.(3)令，． 在上，；在上，.要使在上恰有两个相异的实根，则解得．考点：利用导数求函数的最值；利用导数求参数的范围. 26．（1）4180x y --=；（2）130x y -=. 【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x ＝1时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，即可求得直线方程． 【详解】（1）(1)14f =-，2()31f x x '=+(1)4f '=，144(1)y x +=-所以曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线方程为：4180x y --=（2）设直线l 与曲线()y f x =相切的切点坐标为()00,x y 即：()3000,16x x x +-则切线方程为()()()3200001631y x x x x x -+-=+-把(0,0)代入得308x =-，所以02x =-此时026y =-，切点(2,26)-- 所以直线l 方程为：130x y -= 【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程及过曲线上某点处的切线方程的求解方法，关键是区分切线所经过的点是否为切点，属于中档题.。
2015高中数学北师大版选修2-2课件：
1
1
C.(-2 ,-2)
D.(2 ,-2)
1
1
1
1
0
2
【解析】y'=( )'=- 2 ,设 P(x0,y0),则- 2 =-4,解得 x0=± .
3.已知f(x)=xa,若f'(-1)=-4,则a的值等于
a-1
.
4
a-1
【解析】f'(x)=ax ,又 f'(-1)=-4,∴a(-1) =-4⇒a=4.
第十一页，编辑于星期五：十二点 十二分。
...
导学固思
导数公式表的应用
求下列函数的导数:
x
(1)y=sin ;(2)y=5 ;(3)y=x ;(4)y=lo1 x
3
.
3
【解析】(1)y'=0.
x
x
(2)y'=(5 )'=5 ln 5.
3
2
3
1
2
(3)∵y=x = ,∴y'= .
(4)y'=
·logae
问题4 利用导数的定义求导与导数公式求导的区别.
导函数定义本身就是函数求导的最基本方法,但导函
数是由 极限 定义的,所以函数求导总是要归结为求
极限
,这
在运算上很麻烦,有时甚至很困难,但是用导函数定义推导
出常见函数与基本初等函数公式后,求函数的导函数就可
以用公式直接求导了,简洁迅速.
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...
导学固思
4
求下列函数的导数.
15
(1)y=x ;
高中数学北师大版选修2-2第2章 4.2
4.2 导数的乘法与除法法则一、基础过关1． 函数y ＝x 1－cos x的导数是 ( ) A.1－cos x －x sin x1－cos x B.1－cos x －x sin x(1－cos x )2C.1－cos x ＋sin x (1－cos x )2D.1－cos x ＋x sin x (1－cos x )22． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于 ( )A ．－1B ．－2C ．2D ．03． 设曲线f (x )＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12 D ．－24． 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于 ( )A ．e 2B ．e C.ln 22 D ．ln 25． 曲线f (x )＝x2x －1在点(1，1)处的切线方程为________．6． 设f (x )＝a e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，则a ＋b ＝________.7． 求下列函数的导函数：(1)f (x )＝(x 2＋7x －5)sin x ；(2)f (x )＝x 3＋cot x ln x ；(3)f (x )＝2sin x ＋x －2x3x 2.二、能力提升8． 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是() A.⎣⎡⎭⎫0，π4 B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π9． 设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是A ．[－2，2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]10．若函数f (x )＝e x x在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值为________． 11．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.求直线l 2的方程．12．已知偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图像过点P (0，1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．三、探究与拓展13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方程．答案1．B 2.B 3.D 4.B 5.x ＋y －2＝0 6.17．解 (1)f ′(x )＝(x 2＋7x －5)′sin x ＋(x 2＋7x －5)(sin x )′＝(2x ＋7)sin x ＋(x 2＋7x －5)cos x .(2)f ′(x )＝(x 3＋cot x )′ln x －(x 3＋cot x )(ln x )′ln 2x＝(3x 2－1sin 2x )x ln x －x 3－cot x x ln 2x. (3)f ′(x )＝(x ＋2sin x －2x )′x －23＋(x ＋2sin x －2x )·⎝⎛⎭⎫x －23′ ＝(1＋2cos x －2x ln 2)x －23－23(x ＋2sin x －2x )x －53. 8．D 9.D 10.1211．解 ∵y ′＝2x ＋1，∴直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2的切点为B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.∵l 1⊥l 2，∴2b ＋1＝－13，b ＝－23. ∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229. 12．解 ∵f (x )的图像过点P (0，1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0，∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，可知切点为(1，－1)，∴a ＋c ＋1＝－1.①∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.②由①②解得a ＝52，c ＝－92. ∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1. 13．解 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)， 即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.②因为两切线重合，所以由①②，得⎩⎨⎧ 2x 1＝－2(x 2－2)，－x 21＝x 22－4 解得⎩⎨⎧ x 1＝0，x 2＝2或⎩⎨⎧x 1＝2，x 2＝0. 所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.。
高中数学北师大版选修2-2第2章 导数的四则运算法则
导数的四则运算法则【教学目标】知识与技术：1.能按照概念求函数的导数。
2.能按照导数公式和四则运算法则，求简单函数的导数。
进程与方式：通过求导公式的推导，培育学生从具体到抽象，从特殊到一般的归纳能力。
情感态度与价值观：进展学生擅长质疑，擅长交流，擅长协作的情感。
【知识重点与难点】重点：导数公式和导数的四则运算。
难点：灵活运用导数公式和导数的四则运算进行相关运算。
【课前预习】1.大体初等函数的导数公式：（1）='C (C 为常数)； （2）=)'(αx (为常数α)；（3）=)'(sin x ； （4）=)'(cos x ；（5）=)'(x e ； （6）=)'(x a ；（7）=)'(ln x ； （8）=)'(log x a 。
2．导数的运算法则：（1）])()(['±x g x f = ；(2) ])(['x cf = ；(3) ])()(['•x g x f = ； (4) ])()(['x g x f = 。
【典型例题】例1：求下列函数的导数：（1）x x x f sin )(2+=； （2）x x x h sin )(=； （3）tt t s 1)(2+=；（4）2623)(23+--=x x x x g ； （5）x x x x x f cos 1sin 2)(•+•=； （6）123)(2+--=x x x x f ； （7）)3)(2)(1()(+++=x x x x f 。
例2.已知曲线x x x f 3)(3-=，过点A(0,16)作曲线)(x f 的切线，求曲线的切线方程.互动探讨：已知在曲线x x x f 3)(3-=上的点P 处的切线平行于直线9x-y=0，求点P 的坐标.例3.已知抛物线c bx ax y ++=2通过点P(1,1)，且在点Q(2,-1)处与直线y=x-3相切，求实数a,b,c 的值.【课后作业】1. 求下列函数的导数:(1) x x y cos 2+=; (2) x y x ln 22-=; (3) 2cos 2sin x x x y •-=; (4) )23)(32(2-+=x x y ; (5) 21x y =; (6) 32+=x x y ; (7) 2sin x x y =.。
2018-2019学年北师大版选修2-2 2.2.1导数的概念 课件(32张)
解析：y＝x2在x＝1处的导数为：
2 1 ＋ Δ x －1 lim f′(1)＝Δx→0 ＝2. Δx
答案：C
课后练习:1.某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求:
(1)2≤t≤2+Δ t这段时间内的平均速度,这里Δt取值为1;
(2)t=2时刻的瞬时速度.
解 : (1)s 5( 2 t )2 6 (5 22 6) 20t 5( t )2 , s 故 平 均 速 度 为 ： 20 5t . t s 当t 1时, 25. t ( 2)t 2时 刻 的 瞬 时 速 度 为 :
北师大版高中数学选修2-2第二章
学习目标： 1、通过回顾，进一步体会由平均变化率过渡到瞬时变 化率的过程. 2、理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，会求 函数f(x)在某一点x0处的导数。 3、能解释具体函数在一点的导数的实际意义。 学习重点：导数的概念及导数的实际意义。 学习难点：结合具体问题，理解导数概念的内涵
பைடு நூலகம்
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, v
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 13.149 当△t =0.001时, v 13.1049
(4)瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。 f
导数f (x0 )= lim
x0
x f
x0
x 处的瞬时变化率，它反映的是函数y=f x
x 0
是函数y=f x 在点x0
在点x0 处变化的快慢程度.
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北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》全部教案§1变化的快慢与变化率第一课时变化的快慢与变化率——平均变化率一、教学目标：1、理解函数平均变化率的概念；2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢。
二、教学重点：从变化率的角度重新认识平均速度的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化的快慢的数量描述。
教学难点：对平均速度的数学意义的认识三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。
为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。
他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。
牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。
他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。
牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。
德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。
就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。
他以含有现代的微分符号和基本微分法则。
1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。
他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。
现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。
微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。
研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。
这种方法叫做数学分析。
本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。
微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。
积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。
此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。
并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。
(二)、探析新课问题1：物体从某一时刻开始运动，设s 表示此物体经过时间t 走过的路程，显然s 是时间t 的函数，表示为s =s (t ) 在运动的过程中测得了一些数据，如下表：t/s 0 2 5 10 13 15 … s/m69203244…物体在分析：我们通常用平均速度来比较运动的快慢。
在0～2s 这段时间内，物体的平均速度为)/(30206s m =--； 在10～13s 这段时间内，物体的平均速度为)/(410132032s m =--。
显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快。
问题2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如下图所示：比较时间x 从0min 到20min 和从20min 到30min 体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？分析：根据图像可以看出：当时间x 从0min 到20min 时，体温y 从39℃变为38.5℃，下降了0.5℃； 当时间x 从20min 到30min 时，体温y 从38.5℃变为38℃，下降了0.5℃。
两段时间下降相同的温度，而后一段时间比前一段时间短，所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快。
我们也可以比较在这两段时间中，单位时间内体温的平均变化量，于是当时间x 从0min 到20min 时，体温y 相对于时间x 的平均变化率为025.0205.0020395.38-=-=--（℃/min ）当时间x 从20min 到30min 时，体温y 相对于时间x 的平均变化率为05.0105.020305.3838-=-=--（℃/min ）这里出现了负号，它表示体温下降了，显然，绝对值越大，下降的越快，这里体温从20min 到30min 这段时间下降的比0min 到20min 这段时间要快。
（三）、小结：1、对一般的函数y =f （x ）来说，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从f （1x ）变为2()f x 。
平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数)(x f y =在),(00x x x ∆+内的平均变化率为xy∆∆，如我们常用到年产量的平均变化率。
2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。
（四）、练习：P27页练习1，2，3，4题；习题2-1中 1 （五）作业布置：1、已知曲线212y x =上两点的横坐标是0x 和0x x +∆，求过AB 两点的直线斜率。
2、一物体按规律210s t t =+作变速直线运动，求该物体从2秒末到6秒末这段时间内的平均速度。
五、教后反思：第二课时 变化的快慢与变化率——瞬时变化率一、教学目标：1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。
3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。
二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。
教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的理解 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：函数平均变化率的概念 1、对一般的函数y =f （x ）来说，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从f （1x ）变为2()f x 。
平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数)(x f y =在),(00x x x ∆+内的平均变化率为xy∆∆，如我们常用到年产量的平均变化率。
2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。
（二）、探究新课例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为221gt s =其中，g 为重力加速度)/8.9(2s m g =，试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。
分析：当时间t 从t 0变到t 1时，根据平均速度公式101)()(t t t s t s t s --=∆∆， 可以求出从5s 到6s 这段时间内小球的平均速度9.5315.1224.17656)5()6(=-=--s s （m/s ）。
我们有时用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。
为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s 这段时间内的平均速度5.491.05.12245.12751.5)5()1.5(=-≈--s s （m/s ）。
用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。
如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。
解：我们将时间间隔每次缩短为前面的1，计算出相应的平均速度得到下表：10049m/s 。
从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为49m/s 的物理意义是，如果小球保持这一刻的速度进行运动的话，每秒将要运动49m 。
例2、如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m 。
x （单位：m ）表示OX 这段棒长，y （单位：kg ）表示OX 这段棒的质量，它们满足以下函数关系：x x f y 2)(==。
估计该合金棒在x =2m 处的线密度。
分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度。
解：由x x f y 2)(==，我们可以计算出相应的平均线密度得到下表x 0/s x 1/s长度x 的改变量 （Δx ）/m质量y 的改变量 （Δs ）/kg平均线密度⎪⎭⎫⎝⎛∆∆x y /（kg/m ） 2 2.1 0.1 0.070 0.70 2 2.01 0.01 0.0071 0.71 2 2.001 0.001 0.00071 0.71 2 2.0001 0.0001 0.000071 0.71 2…………可以看出，当1趋于0=2m 时，平均线密度趋于0.71kg/m ，因此，可以认为合金棒在0=2m 处的线密度为0.71kg/m 。
从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.71kg/m 的物理意义是，如果有1m 长的这种线密度的合金棒，其质量将为0.71kg 。
（三）、小结：对于一般的函数)(x f y =，在自变量x 从x 0变到x 1的过程当中，若设Δx = x 1－x ０，)()(01x f x f y -=∆，则函数的平均变化率是xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆)()()()(000101， 而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于在点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。