电磁场理论练习题

第一章 矢量分析1.1 3ˆ2ˆˆz y x e e eA -+= ，z y e eB ˆ4ˆ+-= ，2ˆ5ˆy x e eC -= 求（1）ˆA e ；（2）矢量A 的方向余弦；（3）B A ⋅；（4）B A ⨯；（5）验证()()()B A C A C B C B A ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ ；（6）验证()()()B A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯。

1.2 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，则可确定该未知矢量。

设A 为已知矢量，X A B ⋅=和X A B ⨯=已知，求X 。

1.3 求标量场32yz xy u +=在点（2,-1,1）处的梯度以及沿矢量z y x e e el ˆ2ˆ2ˆ-+= 方向上的方向导数。

1.4 计算矢量()()3222224ˆˆˆz y x e xy e x eA z y x ++= 对中心原点的单位立方体表面的面积分，再计算A ⋅∇对此立方体的体积分，以验证散度定理。

1.5 计算矢量z y e x e x eA z y x 22ˆˆˆ-+= 沿(0,0)，(2,0)，(2,2)，(0,2)，(0,0)正方形闭合回路的线积分，再计算A ⨯∇对此回路所包围的表面积的积分，以验证斯托克斯定理。

1.6 f 为任意一个标量函数，求f ∇⨯∇。

1.7 A 为任意一个矢量函数，求()A ⨯∇⋅∇。

1.8 证明：A f A f A f ⋅∇+∇=∇)(。

1.9 证明：A f A f A f ⨯∇+⨯∇=⨯∇)()()(。

1.10 证明：)()()(B A A B B A ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇。

1.11 证明：A A A 2)(∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇。

1.12 ϕρϕρϕρρsin cos ˆ),,(32z e ez A += ，试求A ⋅∇，A ⨯∇及A 2∇。

1.13 θθθϕθϕθcos 1ˆsin 1ˆsin ˆ),,(2re r e r e r A r ++= ，试求A ⋅∇，A ⨯∇及A 2∇。

1.14 ϕρϕρsin ),,(z zf =，试求f ∇及f 2∇。

1.15 2sin ),,(r r f θϕθ=，试求f ∇及f 2∇。

1.16 求⎰⋅Sr S e d )sin 3ˆ(θ，S 为球心位于原点，半径为5的球面。

1.17 矢量ϕϕθ23cos 1ˆ),,(re r A r = ，21<<r ，求⎰⋅∇V V A d 。

【专题】麦克斯韦方程1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。

2 试证明：任意矢量E 在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即 ∇ ⋅ (∇ ⨯ E ) = 0。

3 试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程t∂∂-=⋅∇ρJ 。

4 参看4题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为 ε1和 ε2，分界面两侧电场强度矢量E 与单位法向矢量n 21之间的夹角分别是 θ1和 θ2。

假设两种媒质分界面上的电荷面密度 ρS = 0，试证明： 2121tan tan εεθθ= 上式称为电场E 的折射定律。

5 参看4题图，分界面上方和下方两种媒质的磁导率分别为 μ1和 μ2，假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量J S = 0，把题图中的电场强度矢量E 换成磁感应强度矢量B 。

试证明：2121tan tan μμθθ= 上式称为磁场B 的折射定律。

若 μ1为铁磁媒质，μ2为非铁磁媒质，即 μ1 >> μ2，当 θ1 ≠ 90︒ 时，试问 θ2的近似值为何？请用文字叙述这一结果。

6 已知电场强度矢量的表达式为E = i sin(ω t - β z ) + j 2cos(ω t - β z )通过微分形式的法拉第电磁感应定律 t∂∂-=⨯∇B E ，求磁感应强度矢量B (不必写出与时间t 无关的积分常数)。

7 一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为R ，间距为d 。

其间填充介质的介电常数为 ε 。

如果电容器接有交流电源，已知流过导线的电流为I (t ) = I 0sin(ω t )。

忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢量D 。

8 在空气中，交变电场E = j A sin(ω t - β z )。

试求：电位移矢量D ，磁感应强度矢量B 和磁场强度矢量H 。

4题图第 2-3 章 静电场和恒定电场2-1 参看图2-1，无限大导板上方点P (0, 0, h ) 处有一点电荷q 。

试求：z > 0半无限大空间的电场强度矢量E 和电位移矢量D ，以及导板上的面电荷密度 ρS 和总电荷量q 。

图2-1 导体平面上方的点电荷及其镜像2-2 如果将4块导板的电位分别改为：上板120 V ，左板40 V ，下板30 V ，右板90 V 。

按下面步骤和要求用迭代法计算4个内节点处的电位值：(1) 列出联立方程；(2) 用塞德尔迭代法求解；(3) 计算最佳加速因子 α；(4) 用超松弛迭代法求解；(5) 比较两种迭代法的结果和收敛速度。

两种迭代方法的迭代次数都取n = 4。

2-3 如果平板电容其中电荷分布的线密度为 ρ = ε0(1 + 4x 2)，其余条件相同，用矩量法(伽辽金法)求两导板之间的电位分布函数 ψ。

选择基函数为f n (x ) = x (1 - x n ) n = 1,2,3,…2-4 如果在该问题中选择权函数为x k R x w k R x w 6)( 2)(2211-=∂∂=-=∂∂=和 上式中，R 是余数，由式(2-7-8)表示。

矩量法中，通过这种方式来选择权函数，又称为最小二乘法。

在其他已知条件均不变的情况下，用最小二乘法来求解两导板之间的电位分布函数 ψ。

2-5 通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A 都满足下面关系：(1) ∇ ⨯ (∇ψ) ≡ 0； (2) ∇ ⋅ (∇ ⨯ A ) ≡ 02-6 同轴线内、外半径分别为a 和b ，内外导体之间介质的介电常数为 ε，电导率为 σ。

设在同轴线内外导体上施加的电压为U ab ，求内外导体之间的漏电流密度J 。

2-7 求1/4垫圈两个弯曲面 ρ = a 和 ρ = b 之间的电阻。

2-8 参见2-8题图。

某输电系统的接地体为紧靠地面的半球。

土壤的平均电导率为σ = 10-2 S/m 。

设有I = 500 A 的电流流入地内。

为了保证安全，需要划出一半径为a 的禁区。

如果人的正常步伐为b = 0.6 m ，且人能经受的跨步电压为U = 200 V ，问这一安全半径a 应为多大？2-9 参看图2-9，半径为a ，间距为D 的平行双线传输线，周围介质的介电常数为 ε，电导率为 σ。

计算平行双线每单位长度的分布漏电导G 1。

图2-9 平行双线的等效线电荷2-10 半径分别为a 和b 的两个同心球壳(a < b )之间是电导率为σ = σ0(1+k/r )的导电媒质，试求两球壳之间的电阻R ab 。

再问此题中的电流位 ψ 是否满足拉普拉斯方程。

第4章 恒定磁场3-1 通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A 都满足下面关系：∇ ⨯ (∇ ⨯ A ) ≡ ∇(∇ ⋅ A )－∇2A2-8题图第5章 时变电磁场5-1 通过直角坐标系验证矢量恒等式：∇ ⋅ (E ⨯ H ) = H ⋅ (∇ ⨯ E ) - E ⋅ (∇ ⨯ H )5-2 根据下面复数形式的简谐场表达式，利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式，并把复数形式改写成瞬时值形式。

注意，在取实部之前应加上时间因子e j ωt 。

. 2 e )2j ( 3 2 e )j ( 2 2 e )2( 1j m 00000j 0000000j 0εμηλμεωβεμηλωεμωηεμηλωεμωβ=π==-=+==π===+=+==π===+=+=--，，；，，；，，x z y kz y x kz y x E E E c k E H H c k E E E k j k j E j i j i H j i j i E )()( )(5-3 将下面瞬时形式的简谐场表达式改写成复数形式，并利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式。

2 )2cos(sin 2 4 2 )cos()cos(23 )sin()cos( 2 )cos()cos( 1.0000000000000000εμηλεμωωθηλεμηλμεωβωβηεμημεωββωβωεμηεμωωηωηθθθ=π==π+-===π======-+-=+===-+--=+=，，；，，；，，；，， k kr t r IL E t z E H x t E x t E E E k ky t E ky t E H H y z y x z e e E j j H k j k j E i k i k H )( )()()(5-4 自由空间电流元的远区辐射场为 kr kr rl I H r l I E j j e sin 2j e sin 60j --==π==θλθλϕϕϕθθθe e H e e E ， 试求：(1) 写出波印亭矢量的瞬时值S ；(2) 写出复数波印亭矢量S C ；(3) 总的平均辐射功率P 。

5-5 在微波环境中，如果平均功率密度 |S av | < 10 mW/cm 2对人体是安全的。

分别计算以电场强度E 和磁场强度H 表示的相应标准。

已知E = η0H ，η0 = 120π Ω。

5-6 设自由空间一天线辐射的电场强度矢量为E = i A sin(ωt - kz )上式中00εμω=k ，是电磁波的相位常数，已知波阻抗000εμη=。

试求：(1) 将电场强度矢量E 改写成复数形式；(2) 通过麦克斯韦方程求磁场强度矢量H ；(3) 瞬时波印亭矢量S ；(4)复数波印亭矢量S C 。

5-7 空中交变电磁场的电场强度矢量只有x 分量E x = A cos(ω t - kz ) + B sin(ω t + kz )试求：(1) 由麦克斯韦方程求出磁场强度矢量H ；(2) 瞬时波印亭矢量S ；(3) 复数波印亭矢量S C 。

5-8 将下列指数形式(复数形式)的场表达式变换成正、余弦形式(瞬时值形式)的场表达式，或者做相反的变换。

注意，在取实部之前应加上时间因子e j ωt 。

(1) E = i E 0e j αe -j kz ；(2) E = i E 0cos(ωt - kz ) + j 2E 0cos(ωt - kz + π)；(3))(j 4j 0e ez k x k z x E +-π=j E5-9 已知磁导率为 μ，介电常数为 ε 的均匀媒质中，电场强度矢量的表达式为 E = (i + j j)A e j(ω t - β z ) 上式中，μεωβ=，是电磁波的相位常数，已知波阻抗εμη=。