5.1.1 数的概念的拓展 课件(北师大版选修2-2)

小结：
＊ 虚数单位 （ 1）
2
i:
;
i 1
（2）实数与它进行四则运算时，原有加、乘运算
律仍然成立。
（3）周期性：
i
4n
1, i
4n1
i, i
4 n 2
1, i
4 n 3
i (n N )
结束
i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i (n N )
分析： 根据复数的概念，复数 a + bi 中，
b=0时叫实数；
b≠0时叫虚数；
a=0且b≠0时叫纯虚数。
i 1 ，虚数单位的平方是实数！！ 注意：
2
例2
分析： 因为 m ∈R，所以 m+1，m－1都是实数，由复 数 z= a + bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定 m 的值。
解：
z= m+1+(m－1) i 是：
(1) 实数？ (2) 虚数？ (3) 纯虚数？ 分析
例3 计算、化简：
(1)
( 3)
i i
2
(2)
(4)
i3 i
2i 7i 2 i 3 i 4
i
5
分析
动手做一做
1.计算： (1) (5 i ) (3 i ) 5i
(2) i 2i 2 3i 3 50i 50
i 1
2
i 虚数单位
我们把引入的这个数 （ 1）
：
i
叫做虚数单位，并且规定：
i 1
2
；
（2）实数可以与
i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合 律和分配律)仍然成立。
复数的定义： 我们把形如 a + bi (a , b ∈ R，i 是虚数单位) 的数叫做复数。全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母 C 表示。 复数的代数形式：
小结：
＊ 复数定义： 形如 a bi (a, b R)的数叫复数，a 叫复数的实部 Re z， b 叫复数的虚部 I m z。全体复数所成的集合叫 做复数集，用字母 C 表示。 ＊ 复数 a bi 与实数、虚数、纯虚数及0的关系 ： b= 0 时是实数； b≠ 0 时是虚数；
a=0，b≠ 0 时，是纯虚数。
2. 指出下列复数中的实部和虚部，并观察是否有
纯虚数。
(1) 2 3i
是：
(2) 4i
(3) 5 3
3. 实数m 取何值时，复数 (m 2
5m 6) (m 3m)i
2
7 ( 4) 3
（1）实数
（2）虚数

（3）纯虚数 （4）零
i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i (n N )
(1) 当 m－1= 0，即 m=1时，复数 z 是实数；
(2) 当 m－1≠0，即 m≠1时，复数 z 是虚数； (3) 当m+1= 0，且 m－1≠0时，即 m=－1时，
复数 z 是纯虚数。
例3
分析： 紧扣虚数单位的概念： 2 仍然满足四则运算。
解： (1)
i 1，复数的计算
( 2)
( 4)
复数集与其它集合的关系： R N Z Q
C
图形表示：
C
R
Q
Z
N
例题分析 例1 说出下列三个复数的实部、虚部，并且
指出它们是实数还是虚数，如果是虚数还应指出是 否为纯虚数：
(1) 3 4i
( 2)
3 i 2
( 3)
7
( 4)
i2
分析
例2 实数 m 取什么数值时，复数
复习回顾
用图形表示为：
数 系 的 扩 充
自然数 整数 有理数 R 实数 Q
Z
N
新课引入
我们知道： 对于一元二次方程
x 1 0 没有实数根。
2
2
即：在实数范围内，x
1
实数范围内不能解决这个问题，那么我们能 否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问 题能得到圆满解决呢？
引入新数：
i
满足
1 i
i
0
2i 7 i 1 8 3i
(3)
通过计算发现，虚数单位的乘方具有周期性：
i 1, i
4n
4n1
i, i
4 n 2
1, i
4 n 3
i
(n N )
练习
z a bi
实部：Re z
我们通常用字母 z 表示复数，即
(a R, b R)
其中 虚部: Im z
i 称为虚数单位。
复数的分类：
对于复数，当且仅当 b=0时，复数 a+bi 是实数 a； 当b≠0时，复数 z= a+bi叫做虚数；当a= 0且b≠ 0时， z=bi叫做纯虚数；当且仅当 a=b= 0时，z 就是实数 0。