2019年春沪科版八年级数学下全册ppt优质教学课件
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沪科版下册八年级数学 课件 19.3.1 矩形(共32张PPT)
[归纳]判定定理2：三个角是___直__角___的四边形是矩 形．
重难互动探究 探究问题一 会用矩形的定义和判定定理证明
例1 如图19－3－6，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC， 且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形BCDE是矩形．
第2课时 矩形的判定
[解析] 根据矩形的判定定理(对角线相等的平行四边形是 矩形)，连接EC，BD，先证四边形BCDE是平行四边形 (利用全等得到两组对边分别相等)，再利用三角形全等 证出这两条对角线相等．
解： 当 AB＝12BC 时，四边形 PEMF 为矩形． 理由：如图 19－3－32， ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠A＝90°，AD＝BC. 又∵AB＝12BC，M 为 AD 的中点， ∴AM＝12AD＝AB，∴∠AMB＝45°. 同理：∠DMC＝45°. ∴∠BMC＝90°. 又∵PE⊥MC，PF⊥BM， ∴∠PEM＝∠PFM＝90°，
第1课时 矩形的性质
[归纳] 推论：直角三角形斜边上的中线等于 斜__边__的__一__半__．
第1课时 矩形的性质
重难互动探究 探究问题一 利用矩形的性质进行计算或证明
例 1 [2013·重庆] 如图 19－3－2，在矩形 ABCD 中， E，F 分别是边 AB，CD 上的点，AE＝CF，连接 EF，BF， EF 与对角线 AC 交于点 O，且 BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.
(1)求证：OE＝OF； (2)若 BC＝2 3，求 AB 的长．
第1课时 矩形的性质
[解析] (1)根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两 直线平行，内错角相等求出∠BAC＝∠FCO，然后利用 “角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角 形的性质即可得证； (2)连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得 BO⊥EF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半可得OA＝OB，可得∠BAC＝∠ABO，从而求出
重难互动探究 探究问题一 会用矩形的定义和判定定理证明
例1 如图19－3－6，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC， 且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形BCDE是矩形．
第2课时 矩形的判定
[解析] 根据矩形的判定定理(对角线相等的平行四边形是 矩形)，连接EC，BD，先证四边形BCDE是平行四边形 (利用全等得到两组对边分别相等)，再利用三角形全等 证出这两条对角线相等．
解： 当 AB＝12BC 时，四边形 PEMF 为矩形． 理由：如图 19－3－32， ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠A＝90°，AD＝BC. 又∵AB＝12BC，M 为 AD 的中点， ∴AM＝12AD＝AB，∴∠AMB＝45°. 同理：∠DMC＝45°. ∴∠BMC＝90°. 又∵PE⊥MC，PF⊥BM， ∴∠PEM＝∠PFM＝90°，
第1课时 矩形的性质
[归纳] 推论：直角三角形斜边上的中线等于 斜__边__的__一__半__．
第1课时 矩形的性质
重难互动探究 探究问题一 利用矩形的性质进行计算或证明
例 1 [2013·重庆] 如图 19－3－2，在矩形 ABCD 中， E，F 分别是边 AB，CD 上的点，AE＝CF，连接 EF，BF， EF 与对角线 AC 交于点 O，且 BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.
(1)求证：OE＝OF； (2)若 BC＝2 3，求 AB 的长．
第1课时 矩形的性质
[解析] (1)根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两 直线平行，内错角相等求出∠BAC＝∠FCO，然后利用 “角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角 形的性质即可得证； (2)连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得 BO⊥EF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半可得OA＝OB，可得∠BAC＝∠ABO，从而求出
最新沪科版八年级下册数学精品课件19.3.3 正方形
• 第三级
• 第四级 • 第五级
45°
(1)
(2)
(3)
问剪出的这个图形是哪一种四边形?
2019/8/20
2
单击此处编母版标题样式
2.把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出
• 单是击什此么处四编边辑形母纸版片文？本样式
• 第二级
A• 第三级 • 第四级
D
• 第五级
B
C
2019/8/20
3
单击此处编母版标题样式 正方形就在身边
(2)正• 方第•形三第级A四级BCD的面积是9cm2.则
• 第五级
AB=___3_cm___,AC=_____3___2_c_m_.
A
D
2019/8/20
O B
C 11
单击此处编母版标题样式
例2 如图在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，
• 单C击E此=1处，编P在辑B母D版上文，本则样PE式和PC的长度之和最小可
知识要点
正方形是一个完美的图形
• 单击此处编辑母版文本样式
1•.第对二称级轴
(C) A
D(B)
正方形• 是第•三中第级心四级对称图形,对称中心为点O.
O
它也是轴对称• 第图五级形,有4条对称轴.
2.特征
(D) B
C(A)
(1)它具有平行四边形的一切性质
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分
• 单击5 此2 处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三5级 2
• 第四级
有一组邻边相• 第等五级并且有一个 两条对角线互相垂直平分且
角是直角的平行四边形是正 相等的四边形是正方形.
方形.
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• 第四级 • 第五级
45°
(1)
(2)
(3)
问剪出的这个图形是哪一种四边形?
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2.把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出
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D
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(2)正• 方第•形三第级A四级BCD的面积是9cm2.则
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AB=___3_cm___,AC=_____3___2_c_m_.
A
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例2 如图在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，
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知识要点
正方形是一个完美的图形
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1•.第对二称级轴
(C) A
D(B)
正方形• 是第•三中第级心四级对称图形,对称中心为点O.
O
它也是轴对称• 第图五级形,有4条对称轴.
2.特征
(D) B
C(A)
(1)它具有平行四边形的一切性质
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分
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• 第二级
• 第三5级 2
• 第四级
有一组邻边相• 第等五级并且有一个 两条对角线互相垂直平分且
角是直角的平行四边形是正 相等的四边形是正方形.
方形.
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正方形的边长是 b 3 .
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
S
a2 2500
b3
表示一些正数的算术平方根．
知识要点
二次根式的定义
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根 式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数.
①外貌特征：含有“ ” 理解要点：两个必备特征 ②内在特征：被开数a ≥0
a 2 a a 0;
a2 （ a a 0）
第16章 二次根式
16.2 二次根式的运算 第1课时
复习引入 1.什么叫二次根式？
式子 a (a 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
2 a
=a
(a≥ 0)
a 2 =∣a∣ =
a (a≥0) -a (a＜0)
当a 是正数或0 时， a 是实数吗？取a 值分 别为1，2，3，4，5试一试！
2
4
4
2
2
2
1 3
2
1 3
2
0
0
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 2是一个平方等于2的非负数，因此有（ 2）2 2
归纳
一般地，有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 a 的认识！
1. a 既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 2.二次根式实质上是非负数的算术平方根. 3. a既可以是一个数，也可以是一个式子.
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第16章 二次根式
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16.1 二次根式
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16.2 二次根式的运算
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0002页 0029页 0045页 0061页 0110页 0175页 0212页 0264页 0295页 0337页 0357页
第16章 二次根式 16.2 二次根式的运算 17.1 一元二次方程 17.3 一元二次方程的根的判别式 17.5 一元二次方程的应用 18.1 勾股定理 第19章 四边形 19.2 平行四边形 19.4 综合与实践 多边形的镶嵌 20.1 数据的频数分布 20.3 综合与实践 体重指数
最新沪科版八年级下册数学精品课件19.3.3正方形(1)
∴ ∴•∠∠单AEDD击EF＝＝此9∠0E°处A，D编＝∠∠A辑EFDA母＝D＝∠版∠AF文ADD＝F本＝90样4°5°，式，
∴四边•形第AE二DF级为矩形．
又∵AE＝E• D第，三级
∴矩形AEDF为•正第方四形级．
证法二：∵AD平分∠• B第A五C级，∴∠EAD＝∠FAD. 又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF. 又∵AO＝AO，∴△AOE≌△AOF(ASA)， ∴AE＝AF. ∵EF垂直平分AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴AE＝ED＝DF＝AF， ∴四边形AEDF为菱形． 又∵∠BAC＝90°， ∴菱形AEDF为正方形．
个•[2全归单．•等纳击正第的总•此方二第等结处级形三腰]编级的1直辑.周正角母长方三版等形角文于的形本边两．样长条式的对4角倍线，将面正积方等形于分边成长四 的平方或对• 角第四线级 平方的一半．
3．在解答有• 关第五正级 方形的问题时，应充分利用正方 形的边长相等、四个角都是直角、对角线互相垂直 平分且相等的性质，还应记住：正方形的性质、等 腰直角三角形的特点、勾股定理是解决有关正方形 问题的三把钥匙．
• 第二级 平行四边形
• 第三级 对边平行且相等• 第四级 √
四边都相等 • 第五级
矩形
√
菱形
√ √
四个角都是直角
√
对角线互相平分
√
√
√
对角线互相垂直
√
对角线相等
√
正方形
√ √ √ √ √ √
2019/8/20
7
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1.从长方形木板中怎样截出最大的正方形木板?
• 单击此处编辑母版文本样式
菱形
• 第二级
定义:•有第•三一第级四组级 邻边相等的平行四边形叫做菱形
∴四边•形第AE二DF级为矩形．
又∵AE＝E• D第，三级
∴矩形AEDF为•正第方四形级．
证法二：∵AD平分∠• B第A五C级，∴∠EAD＝∠FAD. 又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF. 又∵AO＝AO，∴△AOE≌△AOF(ASA)， ∴AE＝AF. ∵EF垂直平分AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴AE＝ED＝DF＝AF， ∴四边形AEDF为菱形． 又∵∠BAC＝90°， ∴菱形AEDF为正方形．
个•[2全归单．•等纳击正第的总•此方二第等结处级形三腰]编级的1直辑.周正角母长方三版等形角文于的形本边两．样长条式的对4角倍线，将面正积方等形于分边成长四 的平方或对• 角第四线级 平方的一半．
3．在解答有• 关第五正级 方形的问题时，应充分利用正方 形的边长相等、四个角都是直角、对角线互相垂直 平分且相等的性质，还应记住：正方形的性质、等 腰直角三角形的特点、勾股定理是解决有关正方形 问题的三把钥匙．
• 第二级 平行四边形
• 第三级 对边平行且相等• 第四级 √
四边都相等 • 第五级
矩形
√
菱形
√ √
四个角都是直角
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对角线互相平分
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对角线互相垂直
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对角线相等
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正方形
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1.从长方形木板中怎样截出最大的正方形木板?
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菱形
• 第二级
定义:•有第•三一第级四组级 邻边相等的平行四边形叫做菱形
沪科版八年级数学下19.2.5平行四边形课件
1
D
E （G） 过D点作DF ∥AC，则BF=CF
∵四边形DFCE是平行四边形 C ∴DE=FC，DE ∥CF
1 ∵FC= 2 BC 1 ∥ ∴DE ＝ 2 BC
B
F
定理： 三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的一半
小结
1、平行线等分线段定理和两个推论
小结:
2、三角形的中位线定义： 连结三角形两边中点的线段
3、三角形中位线性质定理：
三角形中位线平行于 第三边并等于第三边 的一半
：
A
E C ？F ？ B
图5
C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2
直线，必平分另一腰。
符号语言： ∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB ∴DF=FC
经过三角形一边的中点与另一
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
提问：
（连结顶点与对边中点的线段） 什么是三角形的中线？
F
C1
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得 的线段 相等 ，那么在其他直线上截得 的线段也 相等
l1 l2 l3
A B C
A1
？B1 ？C1
符号语言 ∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
∴ A1B1=B1C1
推论1: 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平 分另一腰。
A E D ？ F ？
上课啦！
Hale Waihona Puke 1L2做一做：（1）在横格纸上画直线L1，使得L1与横线垂 直 ， 观察L1被各条横线分成的线段是否相等。 （2）再画一条直线L2，那么L2被各条横线分成 的线段有何关系？
D
E （G） 过D点作DF ∥AC，则BF=CF
∵四边形DFCE是平行四边形 C ∴DE=FC，DE ∥CF
1 ∵FC= 2 BC 1 ∥ ∴DE ＝ 2 BC
B
F
定理： 三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的一半
小结
1、平行线等分线段定理和两个推论
小结:
2、三角形的中位线定义： 连结三角形两边中点的线段
3、三角形中位线性质定理：
三角形中位线平行于 第三边并等于第三边 的一半
：
A
E C ？F ？ B
图5
C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2
直线，必平分另一腰。
符号语言： ∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB ∴DF=FC
经过三角形一边的中点与另一
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
提问：
（连结顶点与对边中点的线段） 什么是三角形的中线？
F
C1
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得 的线段 相等 ，那么在其他直线上截得 的线段也 相等
l1 l2 l3
A B C
A1
？B1 ？C1
符号语言 ∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
∴ A1B1=B1C1
推论1: 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平 分另一腰。
A E D ？ F ？
上课啦！
Hale Waihona Puke 1L2做一做：（1）在横格纸上画直线L1，使得L1与横线垂 直 ， 观察L1被各条横线分成的线段是否相等。 （2）再画一条直线L2，那么L2被各条横线分成 的线段有何关系？
新沪科版八年级下册初中数学 19.3.2 菱形 教学课件
然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题．
第十五页，共二十六页。
第1课时 菱形的性质
证明：连接BD，DF. ∵AC，BD是菱形的对角线， ∴AC垂直且平分BD， ∴BF＝DF，∴EF＋BF＝EF＋DF≥DE. 当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立． ∴EF＋BF的最小值恰好等于DE的长．
第二十页，共二十六页。
重难互动探究
探究问题 利用判定定理证明四边形是菱形
例2 如图19－3－12所示，已知▱ABCD的对角线AC的垂直平 分线与AD，BC，AC分别交于点E，F，O.求证：四边形AFCE 为菱形．
[解析] 本例可利用定理1或定理2证明．
第二十一页，共二十六页。
第2课时 菱形的判定
第八页，共二十六页。
[归纳总结] 1.菱形具有三个方面的性质：
(1)边：四条边都相等，对边平行且相等；(2)对角线：对 角线互相垂直且平分；(3)对称性：菱形是轴对称图形， 两条对角线所在的直线是它的两条对称轴．
2．菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形． 3．菱形的面积既可用平行四边形的面积公式来求，也可以 用两条对角线乘积的一半来计算．
第九页，共二十六页。
探究问题二 利用菱形的性质进行证明
例2 如图19－3－8，四边形ABCD是菱形，对角线AC， BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，求证：∠DHO＝ ∠DCO.
第十页，共二十六页。
第1课时 菱形的性质
[解析] 根据菱形的对角线互相平分可得OD＝OB，再根据 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝OB，然 后根据等边对等角得∠OHB＝∠OBH.根据两直线平行，内 错角相等得∠OBH＝∠ODC，然后根据等角的余角相等 证明即可．
第十五页，共二十六页。
第1课时 菱形的性质
证明：连接BD，DF. ∵AC，BD是菱形的对角线， ∴AC垂直且平分BD， ∴BF＝DF，∴EF＋BF＝EF＋DF≥DE. 当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立． ∴EF＋BF的最小值恰好等于DE的长．
第二十页，共二十六页。
重难互动探究
探究问题 利用判定定理证明四边形是菱形
例2 如图19－3－12所示，已知▱ABCD的对角线AC的垂直平 分线与AD，BC，AC分别交于点E，F，O.求证：四边形AFCE 为菱形．
[解析] 本例可利用定理1或定理2证明．
第二十一页，共二十六页。
第2课时 菱形的判定
第八页，共二十六页。
[归纳总结] 1.菱形具有三个方面的性质：
(1)边：四条边都相等，对边平行且相等；(2)对角线：对 角线互相垂直且平分；(3)对称性：菱形是轴对称图形， 两条对角线所在的直线是它的两条对称轴．
2．菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形． 3．菱形的面积既可用平行四边形的面积公式来求，也可以 用两条对角线乘积的一半来计算．
第九页，共二十六页。
探究问题二 利用菱形的性质进行证明
例2 如图19－3－8，四边形ABCD是菱形，对角线AC， BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，求证：∠DHO＝ ∠DCO.
第十页，共二十六页。
第1课时 菱形的性质
[解析] 根据菱形的对角线互相平分可得OD＝OB，再根据 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝OB，然 后根据等边对等角得∠OHB＝∠OBH.根据两直线平行，内 错角相等得∠OBH＝∠ODC，然后根据等角的余角相等 证明即可．
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6.把下列各式写成平方差的形式，再
在
解：(1)原式 （a2）2 32 (a2 3)(a2 3) (a2 3)(a 3)(a 3)
(2)原式 (a2 3)2 (a 3)2 (a 3)2
被开方数是非负数
3. a（ɑ≥0）表示什么？
表示非负数ɑ的算术平方 根
1.如果x²=4，那么x= ±2 ； 2.如果x²=3，那么x= 3 ； 3.如果x²=ɑ（ɑ≥0），那么x= a 。
( a )2与 a2的区别
( a )2
1.从读法来看： 根号ɑ的平方
a2
根号下ɑ平方
2.从运算顺序来看： 先开方,后平方 先平方,后开方
7 x 1 (x 2)0 x -1且x -3
x3
5.将下列各式化简：
1
1
2
2
（23） x2 2xy y2 (x﹤y)
解 : 原式 1 2
解 :原式 (x y)2 x y
(1 2) 2 1
x y 0
原式 （x y) y x
3.从取值范围来看： ɑ≥0
4.从运算结果来看:
ɑ
ɑ取任何实数
a(a 0) a 0(a 0)
a(a 0)
性质1：
a 2 a (a 0)
性质2：
a (a 0) a2 a 0 (a 0)
a (a 0)
二次根式的性质及它们的应用:
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二次根式
指数
根指数 根号
x2 a
底数
幂
2
互为 x a
逆运算
被开方数 ɑ的平方根
八年级数学下册 19.2 平行四边形课件 (新版)沪科版
四A边形
D
∵ AB∥CD;
AD∥BC
B
C ∴ 四边形ABCD是
平行四边形
第三页，共17页。
牛刀小试(niú dāo xiǎo shì)：
如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，
∠3=∠4。四边形ABCD是平行四边形吗？
为什么？
A 3
D
1
2
4
B
C
第四页，共17页。
操作 工(c具ā(ogzōngjù):两对长度分别相等的 动细u手纸ò)条:1能.否(nénɡ fǒu)在平面内用这 四根细纸条摆成一个平行四边形？试 试看!
4相.等两…条对角线互相平分…
第十四页，共17页。
如图：在平行四边形ABCD中，E、F分别 (fēnbié)是AD、BC上的点，且AE=CF。 四边形EBFD是平行四边形吗?为什么?
AE
D
B
FC
第十五页，共17页。
如图:AD是ΔABC的边BC边上(biān sh
(1)画图(huà tú):延长AD到点E,
行(píngxíng)并且相等的细纸条 四AB边、形ACBDCD，是连平行结四A边D形、吗？BC.
A
B
D
C
第七页，共17页。
以上活动(huó dòng)事实,能用文字语言
表达吗？
一组对边平行((ppíínnggxxíínngg))且相 且相等的四边形是平行 (píngxíngD)四边形.A
C
B
∵ AD=BC， AD∥BC
使DE=AD,连接BE,CE;
(2)判断四边形ABEC的
A
形状(xíngzhuàn),并说明理由.
B
D
C
第十六页，共17页。
沪科版初中数学八年级下册《19.3.1 矩形》课件1
∴AD∥BC， AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
两条对角线相等的平行四边形是矩形．
证明：∵在 ABCD中，
已知： 求证：
A
ABCD中，AC=BD
AB=DC，AC=BD，
ABCD是矩形． BC=CB
D
∴△ABC≌△DCB
∴∠ABC=∠DCB
B
C
又∵AB∥DC
0
∴∠ABC+∠DCB=1800
O
D
C
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《19．3．1 矩形》
１．矩形是平行四边形吗？ ２．怎样的平行四边形是矩形？
定理１ 矩形的四个角都是直角．
定理２ 矩形的对角线相等．
A
D
B
C
已知：四边形ABCD是矩形，∠A＝900
证明：在矩形ABCD中
A
D
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB
B
C
∴AC = BD
例1 在矩形ABCD中，AC，BD相交 A
D
于O，AB=OA=4cm．求：BD与AD的长．
解：∵ 在矩形ABCD中，
o
B
C
AC与BD互相平分且相等，
∴ BD=CA=2AO=8cm．
∴∠ABC=∠DCB=90
∴ ABCD是矩形．
将矩形ABCD对折，设折痕为MN，再把B
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最新沪科版（HK）八年级数学下
全册优质教学课件
打造中学数学高效课堂的首选教学课件
可修改、可直接使用
教育部审定版本 （2017年12月31日制作）
第16章
二次根式
16.1 二根次式
第1课时 二次根式的概念
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
导入新课
情景引入
里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的 印象？你能猜出下面表情包是谁吗？
你们是根据 哪些特征猜 出的呢？
下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注 意前方高能表情包.
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特 征，那么数学的特征是什么呢？
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足 被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范
围内有意义？
(1) x 2 x 1;
问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内 开平方时，被开方数只能是正数或0.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 _____m ；若面积为S m2，则边长为_____m ． S 2
图 (2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积 为6m2，则它的宽为_____m ． 3
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足 道也.” ----中科院数学与系统科学研究院 李邦河
复习引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数 叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
用 a (a 0) 表示.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
A 1 B
B A
有意义的条件：
有意义的条件：
练一练
3 1.下列各式： 3; 5; a 2 ; x 1 x≥1； 27; x 2 2 x 1 .
一定是二次根式的个数有
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
（ B）
2.(1)若式子
x 1 在实数范围内有意义，则 x 的取值 2
范围是_______; x ≥1 (2)若式子
二次根式的被开 方数非负
二次根式的值 非负
二次根式的 双重非负性
典例精析
例3
若 a2
，求a -b+c的值. b 3 (c 4)2 0
解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. ∴a-b+c=2-3+4=3.
(5) xy x, y异号 ; (6)
是 否
a 2 1; (7) 3 5.
被开方数是 不是非负数
是 二次根式
分析：是否含二次根号
否
不是二次根式
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负 解： 数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是 二次根式.
例2 当x是怎样的实数时, 意义?
2
(2) x 2 2 x 3.
2 2
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 x 1 x 1 ≤0，
∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义.
(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义. 归纳 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进 行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
图
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时
间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为
h _____ 5 ．
讲授新课
一 二次根式的概念及有意义的条件
上面问题中，得到的结果分别是： 2， S， 3 ， ．
问题1 这些式子分别表示什么意义？ h 分别表示2，S，3， 的算术平方根． 5 问题2 这些式子有什么共同特征？
h 5
①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式. ①外貌特征：含有“ 两个必备特征 ”
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ (1) 32; (2) 6; (3) 12; (4) -m m≤0 ；
1 x x2在实数范围内意义，则x的x ≥0且x≠2 取值范围是___________.
二 二次根式的双重非负性 问题1 当x是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意
义？ x3 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0. 问题2 二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
当a＞0时，a 表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0
时，a 表示0的算术平方根，因此 a =0.这就是说，当
a≥0时，a ≥0.
归纳总结
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术 平方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
解：由x-2≥0，得 x≥2.
x 2 在实数范围内有
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有意义？
（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
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第16章
二次根式
16.1 二根次式
第1课时 二次根式的概念
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
导入新课
情景引入
里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的 印象？你能猜出下面表情包是谁吗？
你们是根据 哪些特征猜 出的呢？
下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注 意前方高能表情包.
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特 征，那么数学的特征是什么呢？
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足 被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范
围内有意义？
(1) x 2 x 1;
问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内 开平方时，被开方数只能是正数或0.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 _____m ；若面积为S m2，则边长为_____m ． S 2
图 (2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积 为6m2，则它的宽为_____m ． 3
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足 道也.” ----中科院数学与系统科学研究院 李邦河
复习引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数 叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
用 a (a 0) 表示.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
A 1 B
B A
有意义的条件：
有意义的条件：
练一练
3 1.下列各式： 3; 5; a 2 ; x 1 x≥1； 27; x 2 2 x 1 .
一定是二次根式的个数有
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
（ B）
2.(1)若式子
x 1 在实数范围内有意义，则 x 的取值 2
范围是_______; x ≥1 (2)若式子
二次根式的被开 方数非负
二次根式的值 非负
二次根式的 双重非负性
典例精析
例3
若 a2
，求a -b+c的值. b 3 (c 4)2 0
解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. ∴a-b+c=2-3+4=3.
(5) xy x, y异号 ; (6)
是 否
a 2 1; (7) 3 5.
被开方数是 不是非负数
是 二次根式
分析：是否含二次根号
否
不是二次根式
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负 解： 数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是 二次根式.
例2 当x是怎样的实数时, 意义?
2
(2) x 2 2 x 3.
2 2
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 x 1 x 1 ≤0，
∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义.
(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义. 归纳 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进 行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
图
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时
间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为
h _____ 5 ．
讲授新课
一 二次根式的概念及有意义的条件
上面问题中，得到的结果分别是： 2， S， 3 ， ．
问题1 这些式子分别表示什么意义？ h 分别表示2，S，3， 的算术平方根． 5 问题2 这些式子有什么共同特征？
h 5
①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式. ①外貌特征：含有“ 两个必备特征 ”
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ (1) 32; (2) 6; (3) 12; (4) -m m≤0 ；
1 x x2在实数范围内意义，则x的x ≥0且x≠2 取值范围是___________.
二 二次根式的双重非负性 问题1 当x是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意
义？ x3 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0. 问题2 二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
当a＞0时，a 表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0
时，a 表示0的算术平方根，因此 a =0.这就是说，当
a≥0时，a ≥0.
归纳总结
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术 平方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
解：由x-2≥0，得 x≥2.
x 2 在实数范围内有
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有意义？
（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.