甘肃省兰州市2018届高三一诊数学(理)试题有答案
兰州市2018年高三诊断考试
数学（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M
C N =（ ） A ．(0,1) B ．[0,1] C ．[1,)+∞
D ．(1,)+∞
2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A ．复数z 的实部为5
B ．复数z 的虚部为12i
C ．复数z 的共轭复数为512i +
D ．复数z 的模为13
3.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()a a =（ ）
A ．．．4.双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A ．54
B ．5
C ．4
5.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ?+等于（ ）
A ．49-
B ．43-
C ．43
D ．49
6.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i i b a =
，*()i N ∈，则122018b b b ++???+=（ ）
A ．20171009
B ．20172018
C ．20182019
D ．40362019
7.若1(1)n x x +
+的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ）
A ．1
1π- B ．2
1π- C ．3
1π- D ．12
8.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）
A
B
C ．3π
D ．4π 9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 的值是（ ）
A ．1008
B ．2017
C ．2018
D ．3025
10.设p ：实数x ，y
满足22(1)[(2x y -+-
3≤-q ：实数x ，y 满足111x y x y y -≤??+≥??≤?
，则p 是q
的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要的条件
11.已知圆C ：22(1)(4)10x y -+-=和点(5,)M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是（ ）
A ．[2,6]-
B ．[3,5]-
C ．[2,6]
D ．[3,5]
12.定义在(0,
)2π上的函数()f x ，已知'()f x 是它的导函数，且恒有cos '()sin ()0x f x x f x ?+?<成立，则有（ ）
A
．()()64f π
π> B
()()63f ππ> C
．()()63f ππ> D
．()()64f ππ
> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若2sin()45πα-=-，则cos()4
πα+=． 14.已知样本数据1a ，2a ，
……2018a 的方差是4，如果有2i i b a =-(1,2,,2018)i =???，那么数据1b ，2b ，……
2018b 的均方差为．
15.设函数()sin(2)f x x ?=+()2π
?<向左平移3
π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则?=． 16.函数23()123x x f x x =+-+，23
()123
x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知向量(cos2,sin 2)a x x =，(3,1)b =，函数()f x a b m =?+.
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）当[0,]2x π
∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.
18.如图所示，矩形ABCD 中，AC
BD G =，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的
点，且BF ⊥平面ACE .
（1）求证：AE ⊥平面BCE ；
（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.
19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C ）的相关数据，如下表：
（1）试求y 与x 的回归方程y bx a =+；
（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；
（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)X
N μσ，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，
试求(3.813.4)P X <<.
附：参考公式和有关数据1122211(
)()()n n i i i
i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx
====?---??==??--??=-??∑∑∑∑ 3.2≈ 1.8≈，若2(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.
20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P .
（1）求点P 的轨迹E 的方程；
（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （
Q ，R ，S
，T 为不同的四个点）.
①设00(,)W x y ，证明：220012
x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值.
21.
已知函数1()1
x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①1<
，②1x e x ->；
（2）证明：对任意
1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >
+. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的参数方程是2x y ?=????=+??（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；
（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值.
23.[选修4-5：不等式选讲]
设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.
（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；
（2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.