简述因数个数定理和因数和定理(1)
小学奥数 质数 合数 倍数 因数 完整版带答案
因、倍、质、合【知识点总结】1．质数、合数⑴除了2其余的质数都是奇数；⑵除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9；⑶如何判断一个数是否是质数？⑷常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个。
2．数字拆分—分解质因式相关名词：质因数、互质数、分解质因数例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。
210=2⨯3⨯5⨯7可知这三个数是5、6和7。
分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。
3、约数个数定理唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积例如：12=2⨯2⨯3=22⨯3约数个数定理：约数个数：(2+1)⨯(1+1)=6所有约数的和：(20+21+22)⨯(30+31)例题讲解板块一:质数的快速判断1、两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？【巩固】（1）如果a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝______。
（2）三个不同的质数的和是18，这三个质数的乘积的最大值是（）板块二：分解质因数1、牛小顿去看电影，他买的票的排数与座位数的积是391，而且排数比座位数大6，牛小顿买的电影票是几排几座？【巩固】（1）、三个连续的自然数相乘的结果是 1716，那么这三个自然数的和是多少？（2）、把462名学生分成人数相等的若干组参加课外活动小组，每组人数在12到20人之间，求每组人数及分成的组数。
2、【外冲】有n个自然数相加：1＋2＋…＋n＝aaa，那么a＝______。
【巩固】将一个三位数的个位与百位数字对调位置，得到一个新的三位数，已知这两个三位数乘积为55872，则这两个三位数和为______。
板块三、因数三大定律因数个数定律：（指数+1）再连乘因数和定律：每个质因子所有可能相加再连乘因数积定律：自身的n次方（n=因数个数÷2）1、数160的约数个数是多少？巩固：（1）分别求出72和150的因数个数。
小学奥数数论与材料阅读
一、数论基础知识一、因数与倍数1、因数与倍数（1）定义：定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。
定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b的倍数。
注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。
（a、b是因数，c是倍数）一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
（2）一个数的因数的特点：①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数；②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数（3）完全平方数的因数特征：①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。
②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完全平方数的个数是54个。
（312=961，442=1936，542=2916）2、数的整除（数的倍数）（1）定义：定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。
定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
（a≥b）（2）整除的性质：如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。
如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
（3）一些常见数的整除特征（倍数特征）：①末位判别法2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。
4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。
8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。
三年级第三课教案：掌握数学术语“因数”与“积”
三年级第三课教案：掌握数学术语“因数”与“积”在数学学习的过程中，掌握数学术语是非常重要的，因为只有通过掌握数学术语，才能更好地理解数学知识和运用数学方法。
在三年级的数学学习中，老师通常会引导孩子们掌握数学中的基本概念和术语，其中包括“因数”与“积”这两个词语的理解和应用。
这篇文章将从什么是因数与积、如何求因数和积、以及因数和积的应用三个方面来进行探讨。
一、什么是因数与积1.因数在数学中，我们通常将一个数能够整除另一个数的数称为这个数的因数。
比如说，2和3都是6的因数，因为6能够被2和3整除。
而我们常说的倍数，就是某个数（除0以外）的整倍数，也就是一串有序的数，每个数都是这个数的整数倍。
例如，6的倍数是6、12、18、24……等等。
2.积积是个非常基本的概念，在数学运算中也十分常见。
积是指两个或多个数相乘所得的结果。
由于乘法有交换律，两个数的积不会因其顺序的变化而发生改变。
比如说，2×3=6，3×2也等于6，6就是2和3的积。
同样的道理，6的2倍、3倍都是6的积。
二、如何求因数和积1.求因数要求一个数的因数，可以将这个数分解成若干个质因数的乘积，再列举所有的因数。
质因数是指能够整除所求数和大于1的质数，例如2、3、5、7……等等。
将质数及其指数全部写在一起，依次添加或减去每个指数，得到所有因数。
例如，对于数字36来说，可以将其分解成2×2×3×3的乘积，它的因数包括1、2、3、4、6、9、12、18和36。
2.求积求积很简单，只需要将相乘的数写在一起，乘起来即可。
并且，由于乘法有交换律，乘积的值与顺序无关。
例如，2×3=6，6就是2和3的积。
同样地，6的2倍为12，12也是2和3的积。
三、因数和积的应用1.因数的应用在实际生活中，找出一个数的因数其实很常见。
比如说，假设需要知道某个数字的因数是多少，我们可以用因数分解方法来进行计算。
因数分解也是解决数论问题的一种重要方法。
5.3求因数的个数和因数和公式
03 求因数的个数和因数和公式学习目标:1、理解因数的意义，通过多种形式的训练，熟练掌握找全一个数的因数。
2、通过探究求一个数因数的个数的方法，总结出求一个数的因数的个数的公式。
3、能熟练掌握因数和公式，灵活运用因数和公式解决简单是实际问题。
4、逐步培养学生从具体到一般抽象归纳的思想方法，激发学生探究数学知识的兴趣。
教学重点:通过探究求一个数因数的个数的方法，总结出求一个数的因数的个数的公式。
教学难点：能熟练的运用求因数的个数公式以及因数和公式，解决相关的实际问题。
教学过程：一、情景体验师：什么叫做因数，什么叫做倍数，如何分解质因数，同学们都还记得吗？生：一个整数被另一个整数整除，后者即是前者的因数，这个整数就是另一个整数的倍数。
师：对，比如a÷b＝c，就是说a是b的c倍数，而b、c就是a的因数。
如何求一个数所有因数的个数呢？对一些数来说，因数很少，所以很容易就能一一列举出来，数一数有多少，但是有些数的因数比较多，一一列举的话比较麻烦，并且也不一定能够全部都找出来，在这种情况下，我们又该怎么办呢？今天我们就来学习一种方法，先通过分解质因数，再通过计算求出因数的个数。
现在请大家分别求出8和12的因数的个数，我们先将这两个数分解质因数，可得：8=2×2×2=23 12=2×2×3=22×31师：通过一一列举我们可以知道8的因数有1、2、4、8共四个，而12的因数有1、2、3、4、6、12共六个，可以发现3+1=4（个），（2+1）×（1+1）=6（个），我们不妨再来探究一下72和243的因数的个数。
（学生自主探究，汇报情况）生：72有1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72共12因数，243有1、3、9、27、81、243共6个因数，而72=23×32，243=35，可以发现（3+1）×（2+1）=12（个），5+1=6（个）。
《高等代数》第一章主要内容
§1.4 整数的一些整除性质
• • 整除概念：设a,b是两个整数.如果存在一个整数d，使得b=ad，那么就说a整除b （或者说b被a整除）用符号a∣b来表示a整除b.这时a叫作b的一个因数，而b叫 作a的一个倍数. 整除的基本性质：⑴ a∣b，b ∣ c＝＞a ∣ c. ⑵ a∣b, a ∣ c ＝＞a ∣ (a+b). ⑶ a∣b,而c∈Z ＝＞a ∣ bc. 由⑵与⑶得⑷ a∣bi,而ci ∈Z ,i=1,2, …,t ＝＞ a ∣ (b1c1+ …+btct). ⑸每一个整数都可以被1和-1整除. ⑹每一个整数a都可以 被它自己和它的相反数-a整除. ⑺ a∣b且b ∣ a ＝＞b=a 或 b=-a. 定理1.4.1（带余除法）设a,b是整数且a≠0,那么存在一对整数q和r，使得 b=aq+r 且0≦r ﹤∣a∣. 满足以上条件的整数q和r是唯一确定的. 最大公因数概念：设a,b是两个整数. 满足下列条件的整数d叫作a与b的一个最大 公因数： （ⅰ）d∣a,d∣b; （ⅱ）如果c∈Z 且c∣a,c∣b,那么c∣d . 一般地， 设a1,a2, …,an是n个整数.满足下列条件的整数d叫作a1,a2, …,an 的一个最大公 因数（ⅰ）d ∣ai, i=1,2, …,n ；（ⅱ） 如果c∈Z 且c∣ ai, i=1,2, …,n,那么 c∣d. 定理1.4.2 任意n(n≧2)个整数a1,a2, …,an 都有最大公因数.如果d是 a1,a2, …,an 的一个最大公因数，那么-d也是一个最大公因数； a1,a2, …,an 的 两个最大公因数至多相差一个符号. 定理1.4.3 设d是整数a1,a2, …,an 的一个最大公因数，那么存在整数t1,t2, …,tn， 使得 t1a1+t2a2+…+tnan=d. 定理1.4.4 n个整数a1,a2, …,an 互素的充要的条件是存在整数t1,t2, …,tn，使 得 t1a1+t2a2+…+tnan=1. 定理1.4.5 一个素数如果整除两个整数a与b的乘积，那么它至少整除a与b中的 一个
数论的方法技巧
数论的方法技巧数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x＜y与x ≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2mt，其中t为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
XX五年级数学下册第三单元知识点总结（新人教版）
XX五年级数学下册第三单元知识点总结（新人教版）第一篇：XX五年级数学下册第三单元知识点总结(新人教版) XX五年级数学下册第三单元知识点总结（新人教版）课件 第三单元长方体和正方体1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。
两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
长方体特点：（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。
（2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。
2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。
正方体特点：（1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。
（2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。
（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
相同点不同点面棱长方体都有6个面，12条棱，8个顶点。
6个面都是长方形。
（有可能有两个相对的面是正方形）。
相对的棱的长度都相等正方体6个面都是正方形。
12条棱都相等。
3、长方体、正方体有关棱长计算公式：长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4L=（a＋b＋h）×4长=棱长总和÷4－宽－高a=L÷4－b－h宽=棱长总和÷4－长－高b=L÷4－a－h高=棱长总和÷4－长－宽h=L÷4－a－b正方体的棱长总和=棱长×12L=a×12正方体的棱长=棱长总和÷12a=L÷124、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2S=2（ab＋ah＋bh）无底（或无盖）长方体表面积=长×宽＋（长×高＋宽×高）×2S=2（ab＋ah＋bh）－abS=2（ah＋bh）＋ab无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2S=2（ah＋bh）贴墙纸正方体的表面积=棱长×棱长×6S=a×a×6用字母表示：S=6a2生活实际：油箱、罐头盒等都是6个面游泳池、鱼缸等都只有5个面水管、烟囱等都只有4个面。
奥数质数合数分解质因素讲义及答案
奥数质数合数分解质因素讲义及答案数的整除（2）质数、合数、分解质因数教室姓名学号【知识要点】1、质数与合数自然数按其因数的个数可以分成三类：（1）单位1：只含有1这一个因数的自然数。
（2）质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。
（质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2，而且2是质数中唯一的偶数。
）（3）合数：含有三个或三个以上因数的自然数。
（4）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（5）因数个数定理：例如：1980=22×32×5×11所以：（T表示因数个数）T（1980）=（1+2）×（1+2）×（1+1）×（1+1）=36 （6）因数和的定理：例如：1980=22×32×5×11所以：S（1980）=（02+12+22）×（03+13+23）×（05+15）×（011+111）=7×13×6×12=6552【典型例题】例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94。
例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。
解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。
任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。
例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个因数。