湖南省长沙市长郡中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题 (word版含答案)
湖南省长沙市长郡中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
长郡中学2016-2017学年度高一第二学期期中考试数学时间：120分钟 满分：100分一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列1，43-，95，167-，...的一个通项公式是 A.a n =1)1(+-n 212n n - B.a n =n )1(-212n n - C.a n =1)1(+-n 212n n + D.a n =n )1(-212n n + 2.在空间中，下列命题中正确的是 A.垂直于同一条直线的两条直线平行 B.没有公共点的两条直线平行 C.平行于同一平面的两个平面平行 D.平行同一平面的两条直线平行3.已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为2π，那么它的体积为 A.315π B.215π C.15π D.4π4.已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题中正确的是A.2a ＜2bB.a 1＞b 1C.a 2c ＜b 2c D.21ab ＜ba 215，在△ABC 中，若a=1，b=23，A=30︒，则B 等于 A.60︒ B.60︒或120︒ C.30︒ D.30︒或150︒6.设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，已知a 2=3，a 6=11，则S 7等于 A.13 B.35 C.49 D.637.若-9，a 1.a 2，-1成等差数列，-9，b 1，b 2，b 3，-1成等比数列，则b 2（a 1+a 2）等于A.-30B.30C.±30D.158.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF所成的角的大小为 A.30︒ B.45︒ C.60︒ D.90︒9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A.320 B.8 C.322 D.316 10.已知各顶点都在一个球面上的正四棱形（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16 π B.20π C.24π D.32π11.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得n m a a =4a 1，则m 1+n4的最小值为 A.23 B.35 C.49D.不存在12.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，在将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题①有水的部分始终呈棱柱形； ②没有水的部分始终呈棱柱形； ③水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ④棱A 1D 1始终与水面所在平面平行⑤当容器倾斜如图3所示时，BE ·BF 是定值 其中正确命题的个数为A.2B.3C.4D.513.已知数列{a n }的前n 项和为S n =1-5+9-13+17-21+...+1)1(--n （4n-3），则S 15+S 22-S 31的值是A.13B.-76C.46D.7614.在△ABC 中，b=asinC,c=acosB,则△ABC 一定是 A.等腰三角形但不是直角三角形 B.直角三角形但不是等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形x+y-6≤015.设x ，y 满足不等式组 2x-y-1≤0，若z=ax+y 的最大值为2a+4，最小值为a+1， 3x-y-2≥0 则实数a 的取值范围为 A.［-1,2］ B.［-2,1］ C.［-3,-2］ D.［-3,1］ 选择题答题卡二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上。
2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)第一次模块数学试卷
2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）第一次模块数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A＝{1, x2}，则下列说法正确的是（）A.{1}∈AB.1⊆AC.−1∉AD.{⌀}⊆A2. 下列图象中，不能作为函数y＝f(x)的图象的是（）A. B.C. D.3. 下列各组函数中表示同一函数的是（）A.f(x)＝1，g(x)＝x0B.f(x)＝x，g(x)=x2xC.f(x)＝x，g(x)=√x2D.f(x)＝x，g(x)=√x334. 设a，b∈R，集合{1,a+b,a}={0,ba，b}，则b−a=()A.1B.−1C.2D.−25. 设集合A＝{x||x−1|<2}，B＝{y|y＝2x, x∈[0, 2]}，则A∩B＝（）A.[1, 3)B.(1, 3)C.[0, 2]D.(1, 4)6. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A.y=1xB.y＝−x3−xC.y＝3−xD.y=x−1x7. 函数y=√−x2−3x+4x的定义域为（）A.[−4, 1]B.[−4, 0)C.(0, 1]D.[−4, 0)∪(0, 1]8. 函数y=xa x|x|(0<a<1)的图象的大致形状是（）A. B.C. D.9. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b（b为常数），则f(−1)=()A.3B.1C.−1D.−310. 若定义在R上的偶函数f(x)对任意x1，x2∈[0, +∞)(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，则（）A.f(3)<f(−2)<f(1)B.f(1)<f(−2)<f(3)C.f(1)<f(3)<f(−2)D.f(−2)<f(3)< f(1)11. 设函数f(x)＝x4+x2，则使得f(x)>f(2x−1)成立的x的取值范围是（）A.(13,1) B.(−∞, −13)∪(1, +∞)C.(−13,13)D.(−∞, −13)∪(13, +∞)12. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位 m ）的取值范围是( )A.[15, 20]B.[12, 25]C.[10, 30]D.[20, 30]13. 若函数f(x)=x−4mx 2+4mx+3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.(−∞,34) B.[0,34) C.(34，+∞)D.(−34，34)14. 设[x]表示不超过x 的最大整数（如[2]＝2，[54]＝1）．对于给定的n ∈N ∗，定义∁n x=n(n−1)⋯(n−[x]+1)x(x−1)⋯(x−[x]+1)，x ∈[1, +∞)，则当x ∈[32, 3)时，函数C 6x 的值域是（ ）A.[4, 25]B.(3, 4]C.(3,253]∪[15,30) D.(3, 4]∪(5, 15]15. 已知f(x)＝x 2，若a 2f(2x)≤4af(x)+3f(x +1)在x ∈[1, +∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.a ≤−12或a ≥32 B.−12≤a ≤32C.−32≤a ≤12D.a ≤−32或a ≥32二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）若f(2x +1)＝x ，则f(5)＝________．已知集合A ={x ∈N |86−x ∈N }，则用列举法表示集合A =________．已知y =f(x)在定义域(−1, 1)上是减函数，且f(1−a)<f(2a −1)，则a 的取值范围是________．设f(x)={(x −a)2，x ≤0,x +1x+a ，x >0,若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为________．在一次研究性学习中，老师给出函数f(x)=x1+|x|(x ∈R)，四个小组的同学在研究此函数时，讨论交流后分别得到一下四个命题：①函数f(x)的值域是(−1, 1)；②若x 1≠x 2，则一定有f(x 1)≠f(x 2)；③若规定f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f （f n−1(x)），则f n (x)=x1+n|x|对任意的n ∈N ∗恒成立；④若实数a ，b 满足f(a −1)+f(b)＝0，则a +b 等于1．你认为上述四个命题中正确的序号有________．（填写出正确的序号）三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（1）求值：(√2×√33)6+√(−3)44−4(1649)−12+20160；（2）已知a +a −1＝3，求a 2−a −2的值．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|−x 2+3x +10≥0}，N ＝{x|a +1≤x ≤2a +1}． （1）若a ＝2，求M ∩(∁R N)；（2）若M ∪N ＝M ，求实数a 的取值范围．已知函数f(x)＝4x +1x ． （1）判断f(x)的奇偶性；（2）写出f(x)的单调地增区间，并用定义证明．已知奇函数f(x)=−2x +b2x+1+a 是定义域为R 的减函数．(Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2−2t)+f(2t 2−k)<0恒成立，求k 的取值范围．已知函数f(x)=x 2−1，g(x)=a|x −1|．(1)若关于x的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解，求实数a的取值范围；(2)若当x∈R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)求函数ℎ(x)=|f(x)|+g(x)在区间[−2, 2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．参考答案与试题解析2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）第一次模块数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】元素与集合关系的判断【解析】利用元素与集合的关系、集合与集合的关系直接求解．【解答】由集合A＝{1, x2}，知：在A中，{1}⊆A，故A错误；在B中，1∈A，故B错误；在C中，−1一定不是集合A的元素，∴−1∉A，故C正确；在D中，⌀⊆A，故D错误．2.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据函数的定义和函数图象的关系判断，函数的定义要求定义域内的任意变量x只能有唯一的y与x对应，选项B中，不满足y值的唯一性．【解答】根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量x只能有唯一的y与x对应，选项B中，当x>0时，有两个不同的y和x对应，所以不满足y值的唯一性．所以B不能作为函数图象．3.【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】对于A，f(x)＝1(x∈R)，与g(x)＝x0＝1(x≠0)的定义域不同，不是同一函数；对于B，f(x)＝x(x∈R)，与g(x)=x 2x=x(x≠0)的定义域不同，不是同一函数；对于C，f(x)＝x(x∈R)，与g(x)=√x2=|x|(x∈R)的对应关系不同，不是同一函数；对于D，f(x)＝x(x∈R)，与g(x)=√x33=x(x∈R)的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数．4. 【答案】C【考点】集合的相等集合的确定性、互异性、无序性【解析】根据题意，集合{1,a+b,a}={0,ba，b}，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合{1,a+b,a}={0,ba，b}，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=−b，∴ba=−1，b=1；故a=−1，b=1，则b−a=2，故选： C．5.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】利用绝对值不等式的解法求出集合A，函数的值域求出集合B，然后求解交集．【解答】集合A＝{x||x−1|<2}＝{x|−1<x<3}＝(−1, 3)，B＝{y|y＝2x, x∈[0, 2]}＝{y|1≤y≤4}＝[1, 4]，则A∩B＝(−1, 3)∩[1, 4]＝[1, 3)，6.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，y=1x为反比例函数，其定义域为{x|x≠0}，在其定义域上不是单调减函数，不符合题意；对于B，f(x)＝−x3−x，其定义域为R，有f(−x)＝−(−x)3−(−x)＝−(−x3−x)＝−f(x)，为奇函数，其导数f′(x)＝−3x2−1<0，为减函数，符合题意；对于C，y＝3−x＝(13)x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，y＝x−1x ，其定义域为{x|x≠0}，有f(−x)＝(−x)−1−x=−(x−1x)＝−f(x)，为奇函数，其导数f′(x)＝1+1x>0，在其定义域上为增函数，不符合题意；7.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法对数函数的定义域函数的值域及其求法【解析】为使得式子有意义，则偶次方根的被开方数一定非负且分母不为0．【解答】由{x≠0−x2−3x+4≥0得−4≤x<0或0<x≤1，8.【答案】D【考点】函数的图象变换【解析】分x>0与x<0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．【解答】解：当x>0时，|x|=x，此时y=a x(0<a<1)；当x<0时，|x|=−x，此时y=−a x(0<a<1)，则函数y =xa x|x|(0<a<1)的图象的大致形状是：，故选D．9.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质【解析】据函数为奇函数知f(0)=0，代入函数的解析式求出b，求出f(1)的值，利用函数为奇函数，求出f(−1)．【解答】解：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=20+2×0+b=0，解得b=−1，所以当x≥0时，f(x)=2x+2x−1，又因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(−1)=−f(1)=−(21+2×1−1)=−3.故选D．10.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】判断函数的单调性，利用函数的奇偶性，判断三个数的大小即可．【解答】函数f(x)为偶函数，所以f(−x)＝f(x)，∴f(−2)＝f(2)，由f(x)对任意x1，x2∈[0, +∞)(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，则f(x)在[0, +∞)上是减函数，∴f(3)<f(1)．∴f(3)<f(−2)<f(1)．故选：A．11.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】确定函数的奇偶性和单调性，将不等式转化为具体的不等式，即可得出结论【解答】由函数f(x)＝x4+x2，可得函数f(x)为偶函数，且在[0, +∞)单调递增，若f(x)>f(2x−1)则|x|>|2x−1|，解得x∈(13,1)，12.【答案】C【考点】一元二次不等式的应用【解析】设矩形的高为y，由三角形相似可得x40=40−y40，且40>x>0，40>y>0，xy≥300，再由x40=40−y40，得y=40−x，代入xy≥300得到关于x的二次不等式，解此不等式即可得出答案．【解答】解：设矩形的高为y，由三角形相似得：x 40=40−y40，且40>x>0，40>y>0，xy≥300，由x40=40−y40，得y=40−x，∴x(40−x)≥300，解得：10≤x≤30．故选C．13.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】由题意知，函数的定义域为R，即mx2+4mx+3≠0恒成立．①分m=0；②m≠0，△<0，求出m的范围即可．【解答】解：依题意，函数的定义域为R，即mx2+4mx+3≠0恒成立．①当m=0时，得3≠0，故m=0合题意；②当m≠0时，Δ=16m2−12m<0，得0<m<34.综上可知0≤m<34.故选B.14.【答案】D【考点】分段函数的应用【解析】根据题意，设f(x)＝C6x，分2种情况讨论：①，当32≤x<2时，②，当2≤x<3时，每种情况下先化简函数C6x的解析式，由x的范围分析可得f(x)的取值范围，综合2种情况，即可得答案．【解答】根据题意，对于给定的n∈N∗，定义∁n x=n(n−1)⋯(n−[x]+1)x(x−1)⋯(x−[x]+1)，设f(x)＝C6x，分2种情况讨论：①，当32≤x<2时，[x]＝1，此时函数f(x)＝C6x=6x，又由32≤x<2，则3<f(x)≤4，②，当2≤x<3时，[x]＝2，此时函数f(x)＝C6x=6×5x(x−1)=30x(x−1)，又由2≤x<3，则有5≤f(x)≤15，综合可得：函数C6x的值域是(3, 4]∪(5, 15]；15.【答案】B【考点】函数恒成立问题【解析】把f(x)＝x2，代入a2f(2x)≤4af(x)+3f(x+1)可化为：(4a2−4a−3)x2−6x−3≤0，令g(x)＝(4a2−4a−3)x2−6x−3，恒过(0, −3)再讨论此抛物线，满足不等式得出结论．【解答】把f(x)＝x2，代入a2f(2x)≤4af(x)+3f(x+1)可化为：(4a2−4a−3)x2−6x−3≤0，令g(x)＝(4a2−4a−3)x2−6x−3，恒过(0, −3)①当4a2−4a−3＝0时，即a=−12或a=32时，原不等式化为−6x−3≤0，在x∈[1, +∞)上恒成立，②当4a2−4a−3>0时，抛物线g(x)＝(4a2−4a−3)x2−6x−3开口向上，不能满足在x∈[1, +∞)上恒成立，③当4a2−4a−3<0时，抛物线g(x)＝(4a2−4a−3)x2−6x−3开口向下，对称轴方程为x=−−62(4a2−4a−3)=34a2−4a−3<0，要使(4a2−4a−3)x2−6x−3≤0，只需使g(1)≤0，∴(4a2−4a−3)12−6−3≤0，∴4a2−4a−12≤0，∴1−√132≤a≤1+√132又4a2−4a−3<0，即−12<a<32，∴−12<a<32，综上，a的范围为−12≤a≤32，故选：B．二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）【答案】2【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】由已知中函数的解析式得f(5)＝f(2×5+1)＝2【解答】∵f(2x+1)＝x，∴（5）＝f(2×5+1)＝2，【答案】{2, 4, 5}【考点】集合的含义与表示【解析】由题意可知6−x是8的正约数，然后分别确定8的约数，从而得到x的值为2，4，5，即可求出A．【解答】解：由题意可知6−x是8的正约数，当6−x=1时，x=5；当6−x=2时，x=4；当6−x=4时，x=2；当6−x=8时，x=−2；而x≥0，∴x=2，4，5，即A={2, 4, 5}．故答案为：{2, 4, 5}．【答案】0<a<2 3【考点】函数单调性的性质【解析】根据f(1−a)<f(2a−1)，严格应用函数的单调性．要注意定义域．【解答】解：∵f(x)在定义域(−1, 1)上是减函数，且f(1−a)<f(2a−1)，∴{−1<1−a<1，−1<2a−1<1，1−a>2a−1，∴0<a<23.故答案为：0<a<23.【答案】[0, 2]【考点】基本不等式在最值问题中的应用一元二次不等式的解法函数最值的应用函数的单调性及单调区间【解析】由分段函数可得当x=0时，f(0)=a2，由于f(0)是f(x)的最小值，则(−∞, 0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x+1x +a，x>0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值为2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围．【解答】解：由于f(x)={(x−a)2，x≤0,x+1x+a，x>0,则当x=0时，f(0)=a2.由于f(0)是f(x)的最小值，则(−∞, 0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x+1x+a，x>0恒成立.由x+1x≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1取最小值2，则a2≤2+a，解得−1≤a≤2．综上，a的取值范围为[0, 2]．故答案为：[0, 2]．【答案】①②③④【考点】命题的真假判断与应用【解析】①，分x>0与x≤0讨论，可得函数f(x)的值域是(−1, 1)，从而可判断①；②，由①的分析可知，函数在每一分段上单调，从而可判断②；③，依题意，可求得f2(x)＝f（f1(x)）=x1+2|x|，f3(x)＝f（f2(x)）=x1+3|x|⋯，利用归纳法可判断③；④，利用f(−x)=−x1+|−x|=−x1+|x|=−f(x)可判断该函数为奇函数，利用奇函数的性质及②可判断④．【解答】对于①，由f(x)=x1+|x|(x∈R)可知，当x>0时f(x)=x1+|x|=x1+x∈(0, 1)；当x≤0时f(x)=x1−x=(−1+11−x)∈(−1, 0)，故函数f(x)的值域是(−1, 1)，即①正确；对于②，由①知，该函数在每一分段上单调，所以，若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)，②正确；对于③，∵f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f（f n−1(x)），∴f2(x)＝f（f1(x)）=x1+|x|1+|x1+|x||=x1+2|x|，f3(x)＝f（f2(x)）=x1+2|x|1+|x1+2|x||=x1+3|x|⋯∴f n(x)=x1+n|x|对任意的n∈N∗恒成立，即③正确；对于④，∵f(−x)=−x1+|−x|=−x1+|x|=−f(x)，∴f(x)=x1+|x|(x∈R)为奇函数，又f(a−1)+f(b)＝0，∴f(a−1)＝−f(b)＝f(−b)，由②知，x1≠x2，必有f(x1)≠f(x2)，即若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2，∴a−1＝−b，∴a+b＝1，即④正确．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】原式=23×32+3−4×74+1=69．∵ (a 12+a −12)2=a +2+a −1=5，又a 12+a −12>0， ∴ a 12+a −12=√5，又(a 12−a −12)2=a +a −1−2=1， ∴ a 12−a−12=±1，a 2−a −2=(a +a −1)(a −a −1)=(a +a −1)(a 12+a −12)(a 12−a −12)=±3√5． 【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】（1）利用指数运算性质即可得出． （2）由(a 12+a −12)2=a +2+a −1=5，a 12+a−12>0，可得a 12+a−12=√5，又(a 12−a −12)2=a +a −1−2=1，代入a 2−a −2即可得出． 【解答】原式=23×32+3−4×74+1=69．∵ (a 12+a −12)2=a +2+a−1=5，又a 12+a−12>0，∴ a 12+a −12=√5，又(a 12−a −12)2=a +a −1−2=1， ∴ a 12−a−12=±1，a 2−a −2=(a +a −1)(a −a −1)=(a +a −1)(a 12+a −12)(a 12−a −12)=±3√5． 【答案】集合M ＝{x|−x 2+3x +10≥0}＝{x|−x 2−3x −10≤0}＝{x|−2≤x ≤5}， a ＝2时，集合N ＝{x|a +1≤x ≤2a +1}＝{x|3≤x ≤5}， ∴ ∁R N ＝{x|x <3或x >5}，∴ M ∩(∁R N)＝{x|−2≤x <3}； 若M ∪N ＝M ，则N ⊆M ；①当N ＝⌀时，a +1>2a +1，解得a <0； ②当N ≠⌀时，{a +1≤2a +12a +1≤5a +1≥−2 ，解得0≤a ≤2；综上，实数a 的取值范围是a ≤2．【考点】交、并、补集的混合运算 集合的包含关系判断及应用【解析】（1）解不等式得集合M ，求出a ＝2时集合N ，再计算M ∩(∁R N)；（2）根据M ∪N ＝M 知N ⊆M ，再讨论N ＝⌀和N ≠⌀时，求出对应a 的取值范围． 【解答】集合M ＝{x|−x 2+3x +10≥0}＝{x|−x 2−3x −10≤0}＝{x|−2≤x ≤5}， a ＝2时，集合N ＝{x|a +1≤x ≤2a +1}＝{x|3≤x ≤5}， ∴ ∁R N ＝{x|x <3或x >5}，∴ M ∩(∁R N)＝{x|−2≤x <3}； 若M ∪N ＝M ，则N ⊆M ；①当N ＝⌀时，a +1>2a +1，解得a <0； ②当N ≠⌀时，{a +1≤2a +12a +1≤5a +1≥−2 ，解得0≤a ≤2；综上，实数a 的取值范围是a ≤2．【答案】f(x)的定义域为{x|x ≠0}． 又f(−x)=−(4x +1x )=−f(x)，∴ f(x)为奇函数；f(x)的单调递增区间为(−∞,−12)，(12,+∞)．证明：设12<x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=4x 1+1x 1−4x 2−1x 2=(x 1−x 2)(4x 1x 2−1)x 1x 2，∵ 12<x 1<x 2，∴ x 1−x 2<0，4x 1x 2−1>0，x 1x 2>0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴ f(x)在(12,+∞)上为增函数． 同理，f(x)在(−∞,−12)上为增函数．【考点】函数奇偶性的性质与判断 函数单调性的性质与判断【解析】（1）求得f(x)的定义域，计算f(−x)，与f(x)比较即可得到奇偶性；（2）可得f(x)的单调递增区间为(−∞,−12)，(12,+∞)．运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等． 【解答】f(x)的定义域为{x|x ≠0}． 又f(−x)=−(4x +1x )=−f(x)，∴ f(x)为奇函数；f(x)的单调递增区间为(−∞,−12)，(12,+∞)． 证明：设12<x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=4x 1+1x 1−4x 2−1x 2=(x 1−x 2)(4x 1x 2−1)x 1x 2，∵ 12<x 1<x 2，∴ x 1−x 2<0，4x 1x 2−1>0，x 1x 2>0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴ f(x)在(12,+∞)上为增函数． 同理，f(x)在(−∞,−12)上为增函数．【答案】（1）因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0， 即b−1a+2=0⇒b =1； ∴ f(x)=1−2xa+2x+1；又∵ 定义域为R ，则有f(−1)＝−f(1)， 可得：1−2a+4=−1−12a+1⇒a =2；经检验：f(x)是奇函数，满足题意． 所以a ，b 的值分别为2，1．（2）由(Ⅰ)知f(x)=1−2x2+2x+1=−12+12x +1，易知f(x)在(−∞, +∞)上为减函数；又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t 2−2t)+f(2t 2−k)<0等价于f(t 2−2t)<−f(2t 2−k)＝f(k −2t 2)，因f(x)为减函数，f(t 2−2t)<f(k −2t 2)，得：t 2−2t >k −2t 2 即对一切t ∈R 有：3t 2−2t −k >0，开口向上， 从而判别式△=4+12k <0⇒k <−13． 所以k 的取值范围是(−∞, −13)． 【考点】函数恒成立问题函数单调性的性质与判断【解析】(Ⅰ)根据奇函数的性质，定义域包括0，则有f(0)＝0，定义域为R ，f(−1)＝−f(1)即可求得a ，b 的值． (Ⅱ)将f(t 2−2t)+f(2t 2−k)0变形为：f(t 2−2t)+<−f(2t 2−k)，因为f(x)是奇函数，−f(2t 2−k)＝−f(k −2t 2)，在利用f(x)减函数解不等式即可． 【解答】（1）因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0， 即b−1a+2=0⇒b =1；∴ f(x)=1−2xa+2x+1；又∵ 定义域为R ，则有f(−1)＝−f(1)， 可得：1−2a+4=−1−12a+1⇒a =2；经检验：f(x)是奇函数，满足题意． 所以a ，b 的值分别为2，1． （2）由(Ⅰ)知f(x)=1−2x 2+2x+1=−12+12x +1，易知f(x)在(−∞, +∞)上为减函数；又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t 2−2t)+f(2t 2−k)<0等价于f(t 2−2t)<−f(2t 2−k)＝f(k −2t 2)，因f(x)为减函数，f(t 2−2t)<f(k −2t 2)，得：t 2−2t >k −2t 2 即对一切t ∈R 有：3t 2−2t −k >0，开口向上， 从而判别式△=4+12k <0⇒k <−13． 所以k 的取值范围是(−∞, −13)．【答案】解：(1)方程|f(x)|=g(x)， 即|x 2−1|=a|x −1|，变形得|x −1|(|x +1|−a)=0， 显然，x =1已是该方程的根，从而原方程只有一解，即要求方程|x +1|=a ，有且仅有一个等于1的解或无解，由此得a <0． (2)不等式f(x)≥g(x)对x ∈R 恒成立， 即(x 2−1)≥a|x −1|(∗)对x ∈R 恒成立， ①当x =1时，(∗)显然成立，此时a ∈R ； ②当x ≠1时，(∗)可变形为a ≤x 2−1|x−1|，令φ(x)=x 2−1|x−1|={x +1(x >1),−(x +1)(x <1),因为当x >1时，φ(x)>2，当x <1时，φ(x)>−2，所以φ(x)>−2，故此时a ≤−2．综合①②，得所求实数a 的取值范围是a ≤−2． (3)因为ℎ(x)=|f(x)|+g(x)=|x 2−1|+a|x −1| ={x 2+ax −a −1(x ≥1),−x 2−ax +a +1(−1≤x <1),x 2−ax +a −1(x <−1),当a2>1，即a >2时，结合图形可知ℎ(x)在[−2, 1]上递减，在[1, 2]上递增，且ℎ(−2)=3a +3，ℎ(2)=a +3，经比较，此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为3a +3． 当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，结合图形可知ℎ(x)在[−2, −1]，[−a2，1]上递减，在[−1,−a2]，[1, 2]上递增，且ℎ(−2)=3a+3，ℎ(2)=a+3，ℎ(−a2)=a24+a+1，经比较，知此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为3a+3．当−1≤a2<0，即−2≤a<0时，结合图形可知ℎ(x)在[−2, −1]，[−a2，1]上递减，在[−1,−a2]，[1, 2]上递增，且ℎ(−2)=3a+3，ℎ(2)=a+3，ℎ(−a2)=a24+a+1，经比较，知此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为a+3．当−32≤a2<−1，即−3≤a<−2时，结合图形可知ℎ(x)在[−2,a2]，[1,−a2]上递减，在[a2，1]，[−a2，2]上递增，且ℎ(−2)=3a+3<0，ℎ(2)=a+3≥0，ℎ(1)=0，经比较，知此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为a+3．当a2<−32，即a<−3时，结合图形可知ℎ(x)在[a2, 1]，[−a2,2]上递增，在[−2,a2]，[1, −a2]上递减，且ℎ(−2)=3a+3，ℎ(2)=a+3，ℎ(1)=0，故此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为ℎ(1)=0．综上所述，当a≥0时，ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为3a+3；当−3≤a<0时，ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为a+3；当a<−3时，ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为0．【考点】函数的零点与方程根的关系函数最值的应用不等式恒成立问题【解析】（1）关于x的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解，可转化为|x−1|(|x+1|−a)=0只有一个解，进而转化为|x+1|=a，有且仅有一个等于1的解或无解，进行判断得出参数范围即可．（2）根据自变量的取值范围进行分类讨论求参数的范围即可，此分类讨论是根据自变量进行分类的，故求得的参数范围必须求交集参数能满足恒成立．（3）将所给的函数写成分段函数的形式，在每一段上对函数的最值进行讨论，求出最大值，再比较两段上的最值得到函数的最大值，由于参数的影响，函数的单调性不确定，故可以根据需要分成三段进行讨论【解答】解：(1)方程|f(x)|=g(x)，即|x2−1|=a|x−1|，变形得|x−1|(|x+1|−a)=0，显然，x=1已是该方程的根，从而原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a，有且仅有一个等于1的解或无解，由此得a<0．(2)不等式f(x)≥g(x)对x∈R恒成立，即(x2−1)≥a|x−1|(∗)对x∈R恒成立，①当x=1时，(∗)显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，(∗)可变形为a≤x2−1|x−1|，令φ(x)=x 2−1|x−1|={x+1(x>1),−(x+1)(x<1),因为当x>1时，φ(x)>2，当x<1时，φ(x)>−2，所以φ(x)>−2，故此时a≤−2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤−2．(3)因为ℎ(x)=|f(x)|+g(x)=|x2−1|+a|x−1|={x2+ax−a−1(x≥1),−x2−ax+a+1(−1≤x<1),x2−ax+a−1(x<−1),当a2>1，即a>2时，结合图形可知ℎ(x)在[−2, 1]上递减，在[1, 2]上递增，且ℎ(−2)=3a+3，ℎ(2)=a+3，经比较，此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为3a+3．当0≤a2≤1，即0≤a≤2时，结合图形可知ℎ(x)在[−2, −1]，[−a2，1]上递减，在[−1,−a2]，[1, 2]上递增，且ℎ(−2)=3a+3，ℎ(2)=a+3，ℎ(−a2)=a24+a+1，经比较，知此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为3a+3．当−1≤a2<0，即−2≤a<0时，结合图形可知ℎ(x)在[−2, −1]，[−a2，1]上递减，在[−1,−a2]，[1, 2]上递增，且ℎ(−2)=3a+3，ℎ(2)=a+3，ℎ(−a2)=a24+a+1，经比较，知此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为a+3．当−32≤a2<−1，即−3≤a<−2时，结合图形可知ℎ(x)在[−2,a2]，[1,−a2]上递减，在[a2，1]，[−a2，2]上递增，且ℎ(−2)=3a+3<0，ℎ(2)=a+3≥0，ℎ(1)=0，经比较，知此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为a+3．当a2<−32，即a<−3时，结合图形可知ℎ(x)在[a2, 1]，[−a2,2]上递增，在[−2,a2]，[1, −a2]上递减，且ℎ(−2)=3a+3，ℎ(2)=a+3，ℎ(1)=0，故此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为ℎ(1)=0．综上所述，当a≥0时，ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为3a+3；当−3≤a<0时，ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为a+3；当a<−3时，ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为0．。
2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试化学试题
2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试化学试题一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分。
每小题只有一个正确答案）1.下列说法正确的是A.酸雨是指pH<7的雨水，酸雨长时间放置酸性变强B.用排空气法收集C.用加热浓氨水的方法可以快速制氨气，经氯化钙干燥后得到纯净的氨气D.2NH3+3Cl2=6HCl+N2，因此可以用浓氨水检验氯气的管道是否漏气2.下列有关化学用语使用正确的是A.次氯酸的结构式H-Cl-OB.CO2的比例模型C.NH4Cl的电子式为：D.H2F的电子式：3.NA表示阿伏加德罗常数下列叙述正确的是A.18gH216O和20gH218O含有的质子数均为10NAB.1L1mol/L的KAl(SO4)2溶液中阳离子总数为2NAC.0.2mol的铁与足量的稀硝酸反应，生成氢气的分子数目为0.3NAD.反应N2+3H22NH3达平衡时，每消耗3molH2的同时有2NA个N-H键断裂4.下列各组有机物中，其一氯代物的数目不相等的是A正戊烷和正己烷 B.新戊烷和'B甲基丙烷C.环戊烷和乙烷D.丙烷和2，3-二甲基丁烷5. 材料与化学密切相关，表中对应关系错误的是选项材料主要化学成分A 普通水泥、普通玻璃硅酸盐B 刚玉、金刚石三氧化二铝C 天然气、可燃冰甲烷D 光导纤维、石英二氧化硅6. 利用下列实验装置进行相应的实验!不能达到实验目的的是A.利用图甲装置，可快速制取氨气B.利用图乙装置，用饱和碳酸钠溶液分离CH3CH2OH和CH3COOC2H5混合液C.利用图丙装置，可制取乙烯并验证其易被酸性KMnO4溶液氧化D.利用图丁装置，可说明浓H2SO4具有脱水性、强氧化性，SO2具有漂白性、还原性7.下列说法中正确的一组是A.H2和D2互为同素异形体B. 和互为同分异构体C. 和是同一种物质D. 乙醇的同分异构体是HO-CH2CH2-OH8. 氮氧化铝（AlON）是一种高硬度防弹材料，可以在高温下由反应Al2O3+C+N2=2AlON+CO 合成，下列有关说法合理的是A.上述反应中氮气作还原剂B.氮氧化铝中氮元素的化合价是-3C.氮氧化铝晶体中的作用力是范德华力D.根据氮氧化铝晶体的硬度可推断其晶体类型可能与石英相同9. 下列分子中的各原子均在同一平面上的是A.C2H3ClB.CHCl3C.CH3CH=CH2D.CH3-CH310. 有X、Y、Z三种短周期元素，原子半径大小关系为r(Y)>r(X)>r(Z)，原子序数之和为16。
湖南省长郡中学2016-2017学年高一上学期第一次模块检测数学试题Word版含答案
第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}21,A x =，则下列说法正确的是（ ） A ．{}1A ∈B ．1A ⊆C ．1A -∉D ．{}A ∅⊆2.下列图形中不能作为函数()y f x =的图象的是（ ）3.下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A ．()1f x =，0()g x x =B ．()f x x =，2()x g x x=C ．()f x x =，()g x =D ．()f x x =，()g x =4.设a ，b R ∈，集合{}1,,A a b a =+，0,,b B b a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b a -=（ ） A ．2B ．1-C ．1D ．2-5.设集合{}||1|2A x x =-<，[]{}|2,0,2xB y y x ==∈，则AB =（ ）A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(1,4)D ．[1,3)6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．1y x=B ．3y x x =--C ．3xy -=D ．1y x x=-7.函数y = ）A ．[4,0)(0,1]- B ．[4,0)- C ．(0,1]D ．[]4,1-8.函数||xxa y x =（01a <<）的图象的大致形状是（ ）9.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x a =++（a 为常数），则(1)f -等于（ ） A ．3B ．1C ．3-D ．1-10.定义在R 上的()f x 满足：①()()0f x f x --=；②对任意的1x ，2[0,)x ∈+∞（12x x ≠），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-11.设函数42()f x x x =+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 12.在如图所示的锐角三角形空地（底边长为40m ，高为40m ）中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位：m ）的取值范围是（ ）A ．[]15,20B ．[]12,25C ．[]10,30D ．[]20,3013.若函数24()43x f x mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3(,)4-∞B ．3[0,)4C ．3(0,)4D ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]22=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）．对于给定的*n N ∈，定义[][](1)(1)(1)(1)x n n n n x C x x x x --+=--+……，[1,)x ∈+∞，则当3[,3)2x ∈时，函数6xC 的值域是（ ）A ．[]4,25B ．(3,4]C ．25(3,][15,30)3D ．(3,4](5,15] 15.已知函数2()f x x =，若不等式2(2)4()3(1)a f x af x f x ≤++对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a ≤-或32a ≥ B ．1322a -≤≤ C ．3122a -≤≤ Da ≤≤第Ⅱ卷（共55分）二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）16.若(21)f x x +=，则(5)f = ．17.已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，则用列举法表示集合A = ． 18.已知()y f x =是定义在区间(1,1)-上的减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是 ．19.已知2(),0,()1,0,x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 ． 20.在一次研究性学习中，老师给出函数()1||xf x x =+（x R ∈），四个小组的同学在研究此函数时，讨论交流后分别得到以下四个结果： ①函数()f x 的值域为(1,1)-；②若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠；③若规定1()()f x f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，则()1||n xf x n x =+对任意*n N ∈恒成立；④若实数a ，b 满足(1)()0f a f b -+=，则1a b +=．你认为上述四个结果中正确的序号有 ．（写出所有正确结果的序号）三、解答题 （本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.（1）求值：162164()201649-++；（2）已知13a a-+=，求22a a --的值．22.已知全集U R =，集合{}2|3100M x x x =-++≥，{}|121N x a x a =+≤≤+． （1）若2a =，求()R M N ð；（2）若MN M =，求实数a 的取值范围．23.已知函数1()4f x x x=+． （1）判断()f x 的奇偶性；（2）写出()f x 的单调地增区间，并用定义证明．24.已知12()2x x nf x m+-+=+是定义在R 上的奇函数．（1）求n ，m 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围． 25.已知函数2()1f x x =-，()|1|g x a x =-．（1）若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若a >0，求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[]2,2-上的最大值．长郡中学2016—2017学年度高一第一学期第一次模块检测答案一、选择题二、填空题16.2 17.{}2,4,5 18.203（，） 19.[]0,2 20.①②③④三、解答题21.解：（1）原式32723341694=⨯+-⨯+=． （2）∵112122()25a a a a --+=++=，又11220a a-+>，∴1122a a-+=又112122()21a aa a ---=+-=，∴11221a a--=±，1111221112222()()()()()a a a a a a a a a a a a -------=+-=++-=±22.解：（1）2a =时，{}|25M x x =-≤≤，{}|35N x x =≤≤， ∴{}|35R N x x x =<>或ð， ∴{}()|23R MN x x =-≤<ð．综上，2a ≤．23.解：（1）()f x 的定义域为{}|0x x ≠． 又1()(4)()f x x f x x-=-+=-， ∴()f x 为奇函数．（2）()f x 的单调递增区间为1(,)2-∞-，1(,)2+∞． 证明：设1212x x <<，12121211()()44f x f x x x x x -=+--121212()(41)x x x x x x --=， ∵1212x x <<，∴120x x -<，12410x x ->，120x x >， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， ∴()f x 在1(,)2+∞上为增函数． 同理，()f x 在1(,)2-∞-上为增函数．24.解：（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴(0)0f =，即102n m-=+，∴1n =． ∴112()2xx f x m+-=+，又(1)(1)0f f +-=，∴11122041m m--+=++，∴2m =． （2）由（1）知11211()22221x x x f x +-==-+++，易知()f x 在R 上为减函数，又()f x 是奇函数，∴22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得2222t t k t ->-， 即对一切t R ∈有2320t t k -->， ∴4120k ∆=+<，即13k <-．25.解：（1）由|()|()f x g x =，得2|1||1|x a x -=-， 即|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =是该方程的根，从而欲原方程只有一解， 即要求方程|1|x a +=有且仅有一个等于1的解或无解， ∴0a <．（2）∵2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-2221,1,1,11,1, 1.x ax a x x ax a x x ax a x ⎧-+-≤-⎪=--++-<<⎨⎪+--≥⎩①当12a>，即2a >时，结合图形可知()h x 在[]2,1-上递减，在[]1,2上递增，且(2)33h a -=+，(2)3h a =+，∵(2)(2)h h ->，∴()h x 在[]2,2-上的最大值为33a +． ②当012a <≤，即02a <≤时，结合图形可知()h x 在[]2,1--，,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减， 在1,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，[]1,2上递增，且(2)33h a -=+，(2)3h a =+，2()124a a h a -=++， 经比较，知()h x 在[]2,2-上的最大值为33a +， 即0a >时，()h x 在[]2,2-上的最大值为33a +．。
湖南省长沙市长郡中学2016-2017学年高一下学期期末考
第I卷选择题（共50分）一、选择題（本大題共25小題，每小題2分，共50分，每小題所列四个选項中，只有一项是最符合題意的）1. 古罗马普林尼在《自然史》中这样赞誉道：“中国产丝，织成锦绣文绮，运至罗马……裁成衣服，光辉夺目，人工巧妙达到顶点。
”中国被冠以“丝国”之谓始于A. 秦代B. 汉代C. 唐代D. 宋代【答案】B【解析】根据题干和所学知识可知，主要反映中国纺织业技术水平精湛，在汉代中国被冠以“丝国”的称号，B项正确。
秦朝中国尚未冠以“丝国”的称号，排除A。
唐宋位于汉朝之后，中国在汉代被冠以“丝国”的称号，排除CD。
综上所述，本题正确答案选B点睛：解决本题的关键是理解题干中关于中国纺织技术高超的信息“裁成衣服，光辉夺目，人工巧妙达到顶点”，运用所学知识可知在汉代中国被冠以“丝国”的称号。
2. 宋代“交子”推广后，时人感叹：夫合数千缗之楮（指纸币），虽一夫可以将之，虽万里足以致之，是诚轻且便也。
这说明“交子”的推广A. 强化了政府的商业管理B. 便利了国家赋税的征收C. 降低了工商业运营成本D. 保证了货币经济的稳定【答案】C【解析】根据题干可知，纸币具有数千钱的价值，一个人就可以轻松携带巨资远行进行贸易，非常轻便，降低了工商业的运营成本，C项正确。
题干信息只体现纸币的推广对经商者的便利性，不能体现政府的强化了商业管理和便利了国家赋税的征收，排除AB。
纸币是货币符号，不具有稳定性，排除D。
综上所述，本题正确答案选C。
点睛：解决本题的关键是题干的中心意思“交子是诚轻且便也”，逐一排除选项即可。
3. 宋高宗时，叶梦得上奏称“朝廷见收买木绵、虔布万数不少”；南宋后期的谢维新说：“今世俗所谓布者，乃用木绵或细葛、麻苎、花卉等物为之。
”此后，我国中原地区衣被原料逐渐转变为以棉花为主，材料表明在南宋时期A. 中原地区是棉花主产区域B. 经济重心开始南移C. 棉花已经取代丝麻成为衣被原料D. 衣被原料的种植结构逐渐发生变化【答案】D【解析】A、B两项在题文中没有表述，不符合题意。
湖南省长沙市高一数学下学期期末考试试题-人教版高一全册数学试题
2016－2017学年度高一第二学期期末考试数 学时量：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a>b ，则下列不等式一定成立的是A ．a 2>b 2B ．ac>bcC .||a >||bD ．2a >2b2．如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是A ．2n ＋1B ．3nC .n 2＋2n 2D .n 2＋3n ＋223．在△ABC 中，内角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状一定是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 2，a 5是方程2x 2－3x －2＝0的两个根，则S 6＝A .92B ．5 C ．－92D ．－55．满足a ＝4，b ＝3和A ＝45°的△ABC 的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定6．已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f(x)<0的解集为{} |x x<－3或x>1，则函数y ＝f(－x)的图象可以为7．设集合A ＝{}x |ax 2－ax ＋1<0，若A ＝∅，则实数a 取值的集合是A .{}a |0<a<4B .{}a |0≤a<4C .{}a |0<a≤4D .{}a |0≤a≤48．若数列{}a n 满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n∈N *)，它的前n 项和为S n ，则S n ＝A ．2－21－nB ．2n －1－1 C ．2n －1 D ．2－2n －19．已知钝角△ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝A ．1 B. 5 C ．1或 5 D ．510．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ＝aq n(aq ≠0，q ≠1)，则{}a n 为A ．等差数列B ．等比数列C ．既不是等差数列，也不是等比数列D ．既是等差数列，又是等比数列11．设a ＞0，b ＞0, a ＋4b ＝1，则使不等式t ≤a ＋bab恒成立的实数t 的取值X 围是 A ．t ≤8 B ．t ≥8 C ．t ≤9 D ．t ≥912．已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4y ≥x x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为A ．2 3B ．4C ．4 3D ．8答题卡二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 13．已知集合P ＝{} |x x 2－x －2≥0，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －1x －3<0，则P∩Q＝______．14．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知三个内角成等差数列，且A 为等差中项，若a ＝3，b ＝5，则sin B ＝________．15．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每X 面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．设A ，B 两种金属板各取xX ，yX ．当x ＝______，y ＝________时，可使总的用料面积最省．16．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0.给出下列结论：①0<q<1；②a 1a 99－1<0；③T 49的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于98. 其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本大题共3个小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知等差数列{}a n 的前三项分别为λ，6，3λ，前n 项和为S n ，且S k ＝165. (1)求λ及k 的值；(2)设b n ＝32S n ，且数列{}b n 的前n 项和T n ，证明：12≤T n <1.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q ＝3x －2x (x>1)，已知生产该产品的年固定投入为3万元，每生产1万件该产品另需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本(生产成本不含广告费)的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(年利润＝销售收入－成本) (2)当年广告费为多少万元时，企业的年利润最大？最大年利润为多少万元？在△ABC 中，设BC →·CA →＝CA →·AB →. (1)证明：△ABC 是等腰三角形；(2)若||BA →＋BC →＝2，且B∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，求BA →·BC →的取值X 围． 第Ⅱ卷(满分50分)一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．20．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于()A .33B ．－33C ．±33D ．－ 3 21．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对于任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x ＜1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值X 围是()A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15∪[)5，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，15∪(5，7)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，15∪[5，7) 二、填空题：本大题共1个小题，共5分．22．已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为________．三、解答题：本大题共3个小题，共35分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23．(本小题满分11分)设f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π6－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时，y ＝g(x)的最大值．24．(本小题满分12分)如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，沿AD 将△ABC 折成60°的二面角B －AD －C ，如图2.(1)证明：平面ABD⊥平面BCD ；(2)设E 为BC 的中点，BD ＝2，求异面直线AE 与BD 所成的角的大小．25.(本小题满分12分)设函数f(x)＝|ax －x 2|＋2b(a ，b ∈R )．(1)当b ＝0时，若不等式f (x )≤2x 在x ∈[0，2]上恒成立，某某数a 的取值X 围； (2)已知a 为常数，且函数f (x )在区间[0，2]上存在零点，某某数b 的取值X 围．数学参考答案 第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.1.D 【解析】若a ＝－1，b ＝－2，则A 项不成立；当c ＝0时，B 项不成立；当b<a<0时，则C 项不成立；由函数y ＝2x为增函数，且a ＞b ，知2a＞2b成立，故选D . 2．D 【解析】方法一：赋值法和验证法直接得出答案； 方法二：由a n －a n －1＝n ＋1再根据累加法得：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝3＋3＋4＋5＋…n＋1＝n 2＋3n ＋22，故选D .3．D 【解析】由a cos A ＝b cos B 可得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，故A ＝B 或A ＋B ＝π2，故选D .4．A 【解析】由根与系数的关系可知a 2＋a 5＝32，由等差数列的性质知a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝32，由求和公式得S 6＝6（a 1＋a 6）2＝92.故选A .5．B 【解析】由正弦定理可求得sin B ＝328，又a>b ，故A>B ，所以满足条件的角B 为锐角，△ABC 的个数只有1个，故选B .6．B 【解析】由f(x)<0的解集为{} |x x<－3或x>1知a<0，y ＝f(x)的图象与x 轴交点为(－3，0)，(1，0)，所以y ＝f(－x)图象开口向下，与x 轴交点为(3，0)，(－1，0)．故选B .7．D 【解析】当a ＝0时，符合题意；当a>0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a≤0，得{}a |0<a≤4，综上得{}a |0≤a≤4，故选D .8．C 【解析】因为log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1 (n∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ，q ＝2，a 1＝1，由等比数列的求和公式得S n ＝2n－1，故选C.9．B 【解析】S ＝12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°. 当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1， 此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去． 所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.故选B. 10．C 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝aq ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1(q －1)，∴a n ＋1a n ＝q (q ≠1，q 为非零常数)，而a 2a 1＝q －1≠q ，故数列{}a n 既不是等差数列，也不是等比数列，故选C.11．C 【解析】因为a ＞0，b ＞0，所以t ≤a ＋b ab 等价于t ≤1a ＋1b ，只需t ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b min，而1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋4b )＝a b ＋4b a＋5≥2a b ·4b a ＋5＝9，当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝2b ＝13时取“＝”．∴t ≤9 ，故答案选C.12．B 【解析】要使弦AB 最短，只需弦心距最大，根据图象知点P (1，3)到圆心的距离最大，则|OP |＝10，圆的半径为14，∴|AB |min ＝214－10＝4. 故选B.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．13.{}x |2≤x<3 【解析】依题意P ＝{} |x x 2－x －2≥0＝{}x |x≤－1或x≥2， Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －1x －3<0＝{}x |1<x<3，则P∩Q＝{}x |2≤x<3，故填{}x |2≤x<3.14.536 【解析】由三个内角B ，A ，C 依次成等差数列，∴A ＝π3，根据正弦定理，a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝53×32＝536，故填536.15．5，5 【解析】设用料面积为z ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y≥45，5x ＋6y≥55，x ，y ∈N *目标函数z ＝2x ＋3y .作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．z ＝2x ＋3y 变成y ＝－23x ＋z 3，得斜率为－23，在y 轴上截距为z3，且随z 变化的一组平行直线．当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上点M 时，截距最小，z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5，5)，故x ＝5，y ＝5.16．①②③④ 【解析】由条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0可知a 49>1，a 50<1，所以0<q <1，①对；∵a 1a 99＝a 250<1，②对；因为a 49>1，a 50<1，所以T 49的值是T n 中最大的，③对；∵T n ＝a 1a 2a 3…a n ，又∵a 1a 98＝a 49a 50>1，a 1a 99＝a 250<1，所以使T n >1成立的最大自然数n 等于98.故填①②③④. 三、解答题：本大题共3个小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．【解析】(1)∵λ，6，3λ成等差数列，∴λ＋3λ＝12，∴λ＝3.(2分) ∴等差数列{a n }的首项a 1＝3，公差d ＝3，(3分)故前n 项和S n ＝3n 2＋3n 2，由S k ＝165，即3k 2＋3k2＝165，解得k ＝10.(6分)(2)∵b n ＝32S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，(8分)∴T ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.(10分)由于T n ＝n n ＋1是关于n 的增函数，故T n ≥T 1＝12，所以12≤T n <1.(12分)18．【解析】(1)由题意，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元， 销售单价为32Q ＋3Q ×150%＋xQ ×50%(2分)故年销售收入为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫32Q ＋3Q ×150%＋x Q ×50%·Q ＝48Q ＋92＋12x∴W ＝y －(32Q ＋3)－x ＝16Q ＋32－x 2＝49.5－32x －x2(x>1)(6分)(2)∵W＝49.5－⎝⎛⎭⎪⎫32x ＋x 2≤49.5－232x ·x2＝49.5－8＝41.5.(9分) 当且仅当32x ＝x2，即x ＝8时，W 有最大值41.5(11分)∴当年广告费为8万元时，企业年利润最大，为41.5万元．(12分) 19．【解析】(1)因为BC →·CA →＝CA →·AB →，所以CA →·(BC →－AB →)＝0， 又AB →＋BC →＋CA →＝0所以CA →＝－(AB →＋BC →)，(3分)得－(AB →＋BC →)·(BC →－AB →)＝0，即AB →2－BC →2＝0 所以||AB→2＝||BC →2，故||AB →＝||BC →，所以△ABC 为等腰三角形．(6分)(或由－ab cos C ＝－bc cos A ，进而求得a cos C ＝c cos A ，得sin A cos C ＝sin C cos A ，所以sin (A －C)＝0，得A ＝C ，故△ABC 为等腰三角形)(2)因为B∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，故cos B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，(7分) 设||AB →＝||BC →＝a ，因为||BA →＋BC →＝2, 进而||BA →＋BC →2＝4，所以a 2＋a 2＋2a 2cos B ＝4 得a 2＝21＋cos B (9分)所以BA →·BC →＝||BA→||BC →cos B ＝2cos B 1＋cos B ＝2－21＋cos B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，23.(12分) 第Ⅱ卷(满分50分)一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．20．B 【解析】当△AOB 面积取最大值时，OA ⊥OB ，∵曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点， ∴圆心O(0，0)，半径r ＝2， ∴OA ＝OB ＝2，AB ＝2，∴圆心O(0，0)到直线直线l 的距离为1，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，不合题意； 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为y ＝k(x －2)， 圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|－2k|k 2＋1＝1，解得k ＝±33， ∵k ＜0，∴k ＝－33.故选B . 21．A 【解析】由f(x ＋1)＝－f(x)得f(x ＋1)＝－f(x ＋2)， 因此f(x)＝f(x ＋2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数．函数g(x)＝f(x)－log a |x|至少有6个零点可转化成y ＝f(x)与h(x)＝log a |x|两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论．若a ＞1，则h(5)＝log a 5＜1，即a ＞5.若0＜a ＜1，则h(－5)＝log a 5≥－1，即0＜a≤15.所以a 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞)．故选A . 二、填空题：本大题共1个小题，共5分．22．4π 【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离与底面外接圆的半径相等，则三棱锥的外接球半径R 为1，则三棱锥的外接球表面积S ＝4πR 2＝4π.三、解答题：本大题共3个小题，共35分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23．【解析】(1)f(x)＝sinπ4x cosπ6－cosπ4x sinπ6－cosπ4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π3， 故f(x)的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(5分)(2)法一：在y ＝g(x)的图象上任取一点(x ，g(x))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g(x))． 由题设条件，点(2－x ，g(x))在y ＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－π4x －π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π3，当0≤x≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为y max ＝3cos π3＝32.(11分) 法二：因区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2，且y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为y ＝f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值．由(1)知f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π3.当23≤x≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6.因此y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为y max ＝3sin π6＝32.(11分)24．【解析】(1)因为折起前AD 是BC 边上的高，则当△ABD 折起后，AD ⊥CD ，AD ⊥BD(2分) 又CD∩BD＝D ，则AD⊥平面BCD.(3分)因为AD ⊂平面ABD ，所以平面ABD⊥平面BCD.(4分)(2)取CD 的中点F ，连接EF ，则EF∥BD， 所以∠AEF 为异面直线AE 与BD 所成的角．(6分)连结AF 、DE.由BD ＝2，则EF ＝1，AD ＝23，CD ＝6，DF ＝3. 在Rt △ADF 中，AF ＝AD 2＋DF 2＝21.(8分) 在△BCD 中，由题设∠BDC＝60°，则BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD·CD cos ∠BDC ＝28，即BC ＝27， 从而BE ＝12BC ＝7，cos ∠CBD ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝－127.在△BDE 中，DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD·BE cos ∠CBD ＝13. 在Rt △ADE 中，AE ＝AD 2＋DE 2＝5.(11分) 在△AEF 中，cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22AE ·EF ＝12.所以异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60°.(12分)25．【解析】(1)当b ＝0时，若不等式x|a －x|≤2x 在x∈[0，2]上恒成立； 当x ＝0时，不等式恒成立，则a ∈R ；(2分)当0<x ≤2，则|a －x |≤2在(0，2]上恒成立，即－2≤x －a ≤2在(0，2]上恒成立，因为y ＝x －a 在(0，2]上单调增，y max ＝2－a ，y min >－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤2－a ≥－2，解得：0≤a ≤2；则实数a 的取值X 围为[0，2]；(5分)(2)函数f (x )在[0，2]上存在零点，即方程x |a －x |＝－2b 在[0，2]上有解；设h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax （x ≥a ）－x 2＋ax （x <a ）当a ≤0时，则h (x )＝x 2－ax ，x ∈[0，2]，且h (x )在[0，2]上单调递增，所以h (x )min ＝h (0)＝0，h (x )max ＝h (2)＝4－2a ，则当0≤－2b ≤4－2a 时，原方程有解，则a －2≤b ≤0；(7分)当a >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax （x ≥a ）－x 2＋ax （x <a ），h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上单调增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，a 上单调减，在[a ，＋∞)上单调增；①当a2≥2，即a ≥4时，h (x )max ＝h (2)＝2a －4，h (x )min ＝h (0)＝0，则当0≤－2b ≤2a －4时，原方程有解，则2－a ≤b ≤0；②当a2<2≤a ，即2≤a <4时，h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24，h (x )min ＝h (0)＝0，则当0≤－2b ≤a 24时，原方程有解，则－a 28≤b ≤0；(9分)③当0<a <2时，h (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，h （2）＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，4－2a ，h (x )min ＝h (0)＝0，当a 24≥4－2a ，即－4＋42≤a <2时，h (x )max ＝a 24，则当0≤－2b ≤a 24时，原方程有解，则－a 28≤b≤0；当a 24<4－2a ，即0<a <－4＋42时，h (x )max ＝4－2a ，则当0≤－2b ≤4－2a 时，原方程有解，则a －2≤b ≤0；(11分)综上，当a <－4＋42时，实数b 的取值X 围为[a －2，0]；当－4＋42≤a <4时，实数b 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 28，0；。
湖南省长沙市长郡中学2016-2017学年高一下学期期末考
长郡中学2016-2017学年度高一第二学期期末考试地理时量：90分钟满分：100分第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题2分，共60分。
六为原题或原题改编）1. 读下图，下列各点关系正确的是A. 图中四点气压：C>B>A>DB. 高空中空气由D处流向B处C. 近地面A处温度高于C处D. A、B、C、D之间不可能形成热力环流【答案】C【解析】试题分析：根据高空同一高度比较，B处为高压，D处是低压，可推断近地面的A 处是低压，C处是高压，进而推断近地面A处和C处分别是因为热和冷而形成低压和高压，C对。
近地面空气密度大A、C的气压值比高空的B、D均要大，所以四点气压高低是C>A>B>D，高空空气由B流向D，所以A、B选项皆错。
【考点定位】热水环流2. 地面上不同地区的热量差异会引起空气流动。
下列示意图中符合热力环流原理的是A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：海洋和陆地近地面之间，白天风从海洋吹向陆地；市区和郊区之间，近地面风从郊区吹向市区。
受地表冷热不均的影响，受热的地方空气膨胀上升，冷却的地方空气收缩下沉。
考点：大气运动3. 如图所示，一架飞机在南半球白东向西飞行，飞机左侧是高压，可判断A. 顺风飞行B. 逆风飞行C. 风从北侧吹来D. 风从南侧吹来【答案】A【解析】试题分析：高空风受水平气压梯度力和地转偏向力的影响，风向和等压线平行。
据图分析，水平气压梯度力由高压指向低压，北半球向右偏，最终偏转至与等压线平行，可知该飞机逆风飞行。
考点：该题考查大气运动。
读“近地面气压带、风带示意图”，完成下面小题。
4. 图中气压带代表A. 赤道低气压带B. 副极地低气压带C. 极地高气压带D. 副热带高气压带5. 图中气压带、风带对气候产生的影响，叙述正确的是A. 受该气压带影响，北非地区终年高温少雨B. 受风带1影响，台湾东部夏季多暴雨C. 受风带2影响，新西兰终年温和湿润D. 受气压带和风带2的交替控制，罗马夏季高温干燥，冬季温和多雨【答案】4. D 5. C【解析】试题分析：4. 根据风带风向，图中气压带代表的高压，A、B错。
湖南省长沙市长郡中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题
长郡中学2016-2017学年度高一第二学期期中考试数学时间：120分钟 满分：100分一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列1，43-，95，167-，...的一个通项公式是 A.a n =1)1(+-n 212n n - B.a n =n )1(-212n n - C.a n =1)1(+-n 212n n + D.a n =n )1(-212n n + 2.在空间中，下列命题中正确的是 A.垂直于同一条直线的两条直线平行 B.没有公共点的两条直线平行 C.平行于同一平面的两个平面平行 D.平行同一平面的两条直线平行3.已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为2π，那么它的体积为 A.315π B.215π C.15π D.4π4.已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题中正确的是A.2a ＜2bB.a 1＞b 1C.a 2c ＜b 2cD.21ab ＜ba 215，在△ABC 中，若a=1，b=23，A=30︒，则B 等于 A.60︒ B.60︒或120︒ C.30︒ D.30︒或150︒6.设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，已知a 2=3，a 6=11，则S 7等于 A.13 B.35 C.49 D.637.若-9，a 1.a 2，-1成等差数列，-9，b 1，b 2，b 3，-1成等比数列，则b 2（a 1+a 2）等于A.-30B.30C.±30D.158.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF所成的角的大小为 A.30︒ B.45︒ C.60︒ D.90︒9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A.320 B.8 C.322 D.316 10.已知各顶点都在一个球面上的正四棱形（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16 π B.20π C.24π D.32π11.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得n m a a =4a 1，则m 1+n 4的最小值为 A.23 B.35 C.49D.不存在12.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，在将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题①有水的部分始终呈棱柱形； ②没有水的部分始终呈棱柱形； ③水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ④棱A 1D 1始终与水面所在平面平行⑤当容器倾斜如图3所示时，BE ·BF 是定值 其中正确命题的个数为A.2B.3C.4D.513.已知数列{a n }的前n 项和为S n =1-5+9-13+17-21+...+1)1(--n （4n-3），则S 15+S 22-S 31的值是A.13B.-76C.46D.7614.在△ABC 中，b=asinC,c=acosB,则△ABC 一定是 A.等腰三角形但不是直角三角形 B.直角三角形但不是等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形x+y-6≤015.设x ，y 满足不等式组 2x-y-1≤0，若z=ax+y 的最大值为2a+4，最小值为a+1， 3x-y-2≥0 则实数a 的取值范围为 A.［-1,2］ B.［-2,1］ C.［-3,-2］ D.［-3,1］ 选择题答题卡二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上。
湖南省长沙市长郡中学2015-2016学年高一下学期第一次模块检测数学试题 含答案
长郡中学2015—2016学年度高一第二学期第一次模块检测数学一、选择题:本大题共10个小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线31=-+的倾斜角为（）y xA．030B．060C．0150120D．02.如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且，则该几何体的俯视图可以是( ）体积为123.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（)A．9πB．10πC．11πD．12π4。
在棱长为1的正方体上,分别用过公共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（ ） A ．23B ．76C ．45D ．565。
一个直角三角形直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为（ )A ．15πB ．20πC ．12πD ．15π或20π 6.下列命题正确的有（ ）①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于,,P Q R ，则,,P Q R 三点共线；②若三条平行线,,a b c 都与直线l 相交，则这四条直线共面；③三条直线两两相交，则这三条直线共面.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7。
如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -，O 是底面ABCD 的中心，,M N 分别是棱111,DD D C 的中点，则直线OM （ ）A ．与,AC MN 均垂直B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直D ．与,AC MN 均不垂直8。
如图，在ABC ∆中,PA ⊥面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点，则图中直角三角形的个数是( ）A ．5B ．6C ．7D ．89。
如图,M 是正方体1111ABCD A BC D -的棱1DD 的中点，给出下列四个命题：①过M 点有且只有一条直线与直线AB ，11B C 都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线AB ，11B C 都垂直；10。
2016-2017年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末数学试卷及答案
2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为②．那么（）A．①是系统抽样，②是简单随机抽样B．①是简单随机抽样，②是简单随机抽样C．①是简单随机抽样，②是系统抽样D．①是系统抽样，②是系统抽样2．（3分）一个等差数列第5项a5=10，且a1+a2+a3=3，则有（）A．a1=﹣2，d=3 B．a1=2，d=﹣3 C．a2=﹣3，d=2 D．a3=3，d=﹣23．（3分）若a＜1，b＞1，那么下列命题中正确的是（）A．＞B．＞1 C．a2＜b2D．ab＜a+b4．（3分）已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，那么对应的三边之比a：b：c等于（）A．3：2：1 B．：2：1 C．：：1 D．2：：15．（3分）阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．556．（3分）点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，则x2+y2的最小值是（）A．8 B．2 C．D．167．（3分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．（3分）今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a，b，设物体的真实重量为G，则（）A．B． C． D．9．（3分）若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜0 D．m≤10．（3分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．11．（3分）公比不为1等比数列{a n}的前n项和为S n，且﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4=（）A．﹣20 B．0 C．7 D．4012．（3分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A． B．C．36 D．13．（3分）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为（）A．32πB．C．D．π14．（3分）数列a n=，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（）A．﹣10 B．﹣9 C．10 D．915．（3分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上）16．（3分）11001101（2）=（10）．17．（3分）直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是．18．（3分）在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为．19．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为．20．（3分）把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，则第50个括号内各数之和为．三、解答题（共5小题，满分60分）21．（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？22．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．（1）求△ABC的面积；（2）若b+c=6，求a的值．23．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E是PC的中点，AD=CD=1，（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值．24．（12分）已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（4﹣a n）2n﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．25．（12分）已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上，（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；（2）已知直线l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为②．那么（）A．①是系统抽样，②是简单随机抽样B．①是简单随机抽样，②是简单随机抽样C．①是简单随机抽样，②是系统抽样D．①是系统抽样，②是系统抽样【解答】解：∵牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，是等距的∴①为系统抽样；某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，∴②为简单随机抽样法．故选：A．2．（3分）一个等差数列第5项a5=10，且a1+a2+a3=3，则有（）A．a1=﹣2，d=3 B．a1=2，d=﹣3 C．a2=﹣3，d=2 D．a3=3，d=﹣2【解答】解：由于等差数列第5项a5 =10，且a1+a2+a3=3，设公差为d，则可得a1+4d=10，3a1+3d=3．解得a1=﹣2，d=3．故选：A．3．（3分）若a＜1，b＞1，那么下列命题中正确的是（）A．＞B．＞1 C．a2＜b2D．ab＜a+b【解答】解：A．取a＜0，不成立；B．取a＜0，不成立；C．取a=﹣3，b=2，则a2＞b2，因此不成立；D．∵a＜1，b＞1，∴（a﹣1）（b﹣1）＜0，∴ab＜a+b﹣1＜a+b，因此成立．故选：D．4．（3分）已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，那么对应的三边之比a：b：c等于（）A．3：2：1 B．：2：1 C．：：1 D．2：：1【解答】解：∵已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，∴有B=2C，A=3C，再由A+B+C=π，可得C=，故三内角分别为A=、B=、C=．再由正弦定理可得三边之比a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：：=2：：1，故选：D．5．（3分）阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．55【解答】解：∵S1=0，i1=1；S2=1，i2=2；S3=5，i3=3；S4=14，i4=4；S5=30，i=5＞4退出循环，故选：C．6．（3分）点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，则x2+y2的最小值是（）A．8 B．2 C．D．16【解答】解：根据题意，点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，则有x+y=4，即x=y﹣4，则x2+y2=（y﹣4）2+y2=2y2﹣8y+16=2（y﹣2）2+8，分析可得：当y=2时，x2+y2取得最小值8，故选：A．7．（3分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A 错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．8．（3分）今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a，b，设物体的真实重量为G，则（）A．B． C． D．【解答】解：根据题意，设天平的两臂长度分别为m、n，若两次称量结果分别为a，b，则有ma=nG且nb=mG，且a≠b，两式联立可得：G2=ab，即G=，而＞，则＞G；故选：C．9．（3分）若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜0 D．m≤【解答】解：方程x2+y2﹣x+y+m=0即=﹣m，此方程表示圆时，应有﹣m＞0，解得m＜，故选：A．10．（3分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，∵直线z=x+y过可行域内点A（4，5）时z最大，最大值为9，故选：A．11．（3分）公比不为1等比数列{a n}的前n项和为S n，且﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4=（）A．﹣20 B．0 C．7 D．40【解答】解：设数列的公比为q（q≠1），则∵﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，∴﹣3a1+a3=﹣2a2，∵a1=1，∴﹣3+q2+2q=0，∵q≠1，∴q=﹣3∴S4=1﹣3+9﹣27=﹣20故选：A．12．（3分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A． B．C．36 D．【解答】解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．∴这组数据的平均数是=91，∴x=4．∴这这组数据的方差是（16+1+1+0+0+9+9）=．故选：B．13．（3分）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为（）A．32πB．C．D．π【解答】解：由三视图可得：SC⊥平面ABC，且底面△ABC为正三角形，如图所示，取AC中点F，连BF，则BF⊥AC，在Rt△BCF中，BF=2，CF=2，BC=4，在Rt△BCS中，CS=4，所以BS=4．设球心到平面ABC的距离为d，因为SC⊥平面ABC，且底面△ABC为正三角形，所以该三棱锥S﹣ABC的外接球是对应三棱柱的外接球，则球心到平面ABC的距离是SC的一半，即d=2，因为△ABC的外接圆的半径为，所以由勾股定理可得R2=d2+（）2=，则该三棱锥外接球的半径R=，所以三棱锥外接球的表面积是4πR2=，故选：B．14．（3分）数列a n=，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（）A．﹣10 B．﹣9 C．10 D．9【解答】解：因为数列{a n}的通项公式为且其前n项和为：++…+=1﹣==，∴n=9，∴直线方程为10x+y+9=0．令x=0，得y=﹣9，∴在y轴上的截距为﹣9．故选：B．15．（3分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上）16．（3分）11001101（2）=205（10）．【解答】解：11001101=1×27+1×26+0×25+0×24+1×23+1×22+0×2+1×20（2）=128+64+8+4+1=205．故答案为：205．17．（3分）直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是0或．【解答】解：若a=0，则两直线方程为x﹣1=0，﹣x﹣1=0，满足两直线平行，当a≠0时，若两直线平行，则，得a=，故答案为：0或．18．（3分）在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为．【解答】解：∵tanA=，∴cos2A==，又A∈（0，30°），∴sinA=，又sinC=sin150°=，BC=1，根据正弦定理得：=，则AB===．故答案为：19．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为60°．【解答】解：连结AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴AB∥D1C1且AB=D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，则∠D1AB1为两异面直线AB1与BC1所成角．连结B1D1，∵正方体的所有面对角线相等，∴△D1AB1为正三角形，所以∠D1AB1=60°．故答案为60°．20．（3分）把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，则第50个括号内各数之和为392．【解答】解：括号里的数有规律：即每三个括号算一组，里面的数个数都是1+2+3=6个，所以到第49个括号时共有数6×16+1=97个数，且第50个括号里的数的个数为2，则第50个括号里的第一个数是2×98﹣1=195，所以第50个括号里的数之和为195+197=392，故答案为：392．三、解答题（共5小题，满分60分）21．（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？【解答】解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0.0003×500=0.15；（2）从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；第二组的频率为0.0004×500=0.2；第三组的频率为0.0005×500=0.25；∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2=0.2⇒x=400．∴中位数为2400（元）由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，样本数据的平均数为2400（元）；（3）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000=2500（人），∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=，∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×=25（人）．22．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．（1）求△ABC的面积；（2）若b+c=6，求a的值．【解答】解：（1）因为，所以，．又由得bccosA=3，所以bc=5因此．（2）由（1）知，bc=5，又b+c=6，由余弦定理，得，所以23．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E是PC的中点，AD=CD=1，（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值．【解答】（I）证明：设AC∩BD=H，连结EH．在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA．又EH⊂平面BDE，PA不包含于平面BDE，所以PA∥平面BDE．（II）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC．由（I）得，DB⊥AC．又PD∩DB=D，故AC⊥平面PBD．（Ⅲ）解：由AC⊥平面PBD知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2，得DH=CH=，BH=，，在Rt△BHC中，，所以直线BC与平面PBD所成的角的正弦值为．24．（12分）已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（4﹣a n）2n﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得，解得．故a n=3+（n﹣1）•（﹣1）=4﹣n．（2）由（1）得，．，两边同乘以2得，两式相减得：﹣S n=1+21+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=（1﹣n）2n﹣1．25．（12分）已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上，（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；（2）已知直线l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．【解答】解：（1）由l AB：x﹣3y﹣6=0且AD⊥AB，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上∴AD所在直线的方程是：y﹣1=﹣3（x+1）即3x+y+2=0由得A（0，﹣2）…（3分）∴∴矩形ABCD的外接圆的方程是：（x﹣2）2+y2=8…（6分）（2）直线l的方程可化为：k（﹣2x+y+4）+x+y﹣5=0l可看作是过直线﹣2x+y+4=0和x+y﹣5=0的交点（3，2）的直线系，即l恒过定点Q（3，2）由于（3﹣2）2+22=5＜8知点在圆内，∴直线与圆恒有交点，设PQ与l的夹角为θ，则d=|PQ|sinθ=当θ=90°时，d最大，|MN|最短，此时l的斜率为PQ斜率的负倒数﹣，∴l：y﹣2=﹣（x﹣3）即x+2y﹣7=0。
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长郡中学2016-2017学年度高一第二学期期末考试数 学一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②，那么（ ）A ．①是系统抽样，②是简单随机抽样B ．①是分层抽样，②是简单随机抽样C ．①是系统抽样，②是分层抽样D ．①是分层抽样，②是系统抽样2.一个等差数列的第5项510a =，且1233a a a ++=，则有（ ）A ．12,3a d ==-B ．12,3a d =-=C ．13,2a d =-=D ．13,2a d ==-3.若1,1a b <>，那么下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b > B ．1ba > C ．22ab < D ．ab a b <+4.已知ABC ∆的三个内角之比为::3:2:1A B C =，那么对应的三边之比::a b c 等于（）A ．3:2:1B 2:1 C. D ．5.阅读下面的程序框图，则输出的S 等于（ ）A ．14B ．20 C.30 D ．556.点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是（ ）A ．8B ．2 C.．167.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC. 若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥8.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为,a b ，设物体的真实重量为G ，则（ ）A ．2a b G +=B ．2a b G +≤ C. 2a b G +> DG < 9.若方程220x y x y m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12m <B ．0m < C. 12m > D ．12m ≤ 10.若实数,x y 满足不等式组33023010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则x y +的最大值为（ ）A ．1B ．157 C.9 D ．71511.公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a -，2a -，3a 成等差数列，若11a =，则4S 等于（ ）A ．-20B ．0 C. 7 D ．4012.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示如下：则7个剩余分数的方差为（ ）A ．1169B ．367 C.36 D ．713.已知三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．1123π C. 283π D ．643π 14.数列{}n a 的通项1(1)n a n n =+，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(1)0n x y n +++=在y 轴上的截距为（ ）A ．-10B ．-9 C.10 D ．915.设,m n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是 （ ）A ．[1B ．(,1[1)-∞+∞C. [2-+ D ．(,2[2)-∞-++∞二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上） 16. 11001(2)101= (10)．17.直线210x ay +-=与直线(1)10a x ay ---=平行，则a 的值是18.在ABC ∆中，若1tan 3A =，0150C =，1BC =，则AB = . 19.正方体1111ABCD A BCD -中，直线1BC 与直线1AB 所成角的大小为 .20.把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…，循环分为(1)，(3,5)，（(7,9,1)），(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为 .21. 长沙市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)）.（1）求居民月收入在[3000,3500)的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，问月收入在[2500,3000)的这段应抽多少人？22.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 2A =，3AB AC ∙= . （1）求ABC ∆的面积；（2）若6b c +=，求a 的值.23.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，DB 平分ADC ∠，E为PC 的中点，1AD CD ==，DB =（1）证明：//PA 平面BDE .（2）证明：AC ⊥平面PBD .（3）求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值.24.已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为4-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(4)2n n n b a -=-，求数列{}n b 的前n 项和n S25.已知矩形ABCD 的对角线交于点(2,0)P ，边AB 所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)-在边AD 所在的直线上.（1）求矩形ABCD 的外接圆的方程；（2）已知直线:(12)(1)540l k x k y k -++-+=（k R ∈），求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程.试卷答案一、选择题1-5:ABDDC 6-10:ABCAC 11-15：ABBBD二、填空题16.205 17.0或12 18. 19. 060 20. 392 三、解答题21.【解析】（1）月收入在[3000,3500)的频率为0.0003(35003000)0.15⨯-=（2）∵0.0002(15001000)0.1⨯-=0.0004(20001500)0.2⨯-=0.0005(25002000)0.25⨯-=0.10.20.250.550.5++=> ∴样本数据的中位数为0.50.10.22000200040024000.0005--+=+= （3）居民月收入在[2500,3000)的频率为0.0005(30002500)0.25⨯-=，所以10000人中月收入在[2500,3000)的人数为0.25100002500⨯=（人）再从10000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2500,3000)的这段应抽取25001002510000⨯=（人） 22.【解析】（1）因为cos 2A =， 所以23cos 2cos 125A A =-=，4sin 5A =. 又由3AB AC ∙= 得cos 3bc A =，所以5bc = 因此1sin 22ABC S bc A ∆==. （2）由（1）知，5bc =，又6b c +=， 由余弦定理，得2222162cos ()205a b c bc A b c bc =+-=+-=，所以a =23.【解析】（1）设AC BD H = ，连接EH ，在ADC ∆中，因为AD CD =，且DB 平分ADC ∠，所以H 为AC 的中点，又由题设，知E 为PC 的中点，故//EH PA ，又EH ⊂平面BDE ，且PA ⊄平面BDE ，所以 //PA 平面BDE .（2）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，由（1）可得，DB AD ⊥，又PD DB D = ，故AC ⊥平面PBD .（3）由AC ⊥平面PBD 可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，所以CBH ∠为直线BC 与平面PBD 所成的角，由AD CD ⊥，1AD CD ==，DB =2DH CH ==，2BH =. 在Rt BHC ∆中，1tan 3CH CBH BH ∠==. 所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为13. 24.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .由已知得113368284a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得131a d =⎧⎨=-⎩.故3(1)(1)4n a n n =+-∙-=-.（2）由（1）得，12n n b n -=∙.121122322n n S n -=+∙+∙++∙ ，两边同乘以2得232222322n n S n =+∙+∙++∙ ，两式相减得(1)21n n S n =-+25.【解析】（1）∵:360AB l x y --=且AD AB ⊥点(1,1)-在边AD 所在的直线上，∴AD 所在直线的方程是13(1)y x -=-+，即320x y ++=，由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩，得(0,2)A -.∴AP ==，∴矩形ABCD 的外接圆的方程是22(2)8x y -+=.（2）直线l 的方程可化为(24)50k x y x y -++++-=，l 可看作是过直线240x y -++=和50x y +-=的交点(3,2)的直线系，即l 恒过定点(3,2)Q ，由22(32)258-+=<知点Q 在圆P 内，所以l 与圆P 恒相交，设l 与圆P 的交点为,M N ，则MN =（d 为P 到l 的距离），设PQ 与l 的夹角为θ，则sin d PQ θθ=∙=，当090θ=时，d 最大，MN 最短，此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数12-，故l 的方程为12(3)2y x -=--，270x y +-=.。