数学人教版九年级上册二次函数动点问题专题

《动点问题》专题教学设计
29中黄昌军
《动点问题》专题地位概述：
动点问题是最常见的综合题，而且纵观近年来的宜昌中考压轴题中，动点问题几乎是必考题。

函数的概念，一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质，一次函数、二次函数、反比例函数与方程（组）、不等式、三角形、四边形和圆有紧密的联系，形成了函数常规综合题，主要涉及的数学思想有函数思想、方程思想（如：利用一元二次方程的根与系数的关系求已知一根的方程的另一根）、特殊到一般思想、建模思想、数形结合、转化思想（例如：解析式联立解方程组求图象交点坐标等）、分类与整合思想、配方法以及待定系数法等。

学情分析：
学生在解答动点问题时主要体现出信心不够，总认为压轴题不是自己能解决的，这些学生往往把解压轴题和做选择题的效果等同起来，认为做不出最后的结果就是没做出来，不如不做，殊不知，综合题的解答是分步得分的，不像选择题那么主观；而且入手第一问的设计往往面向全体学生，非常简单，根据几何直观、数形结合直接得到答案，相当于一个选择题水平；第二问在前一问基础上进一步拓展；第三、四问往往是在在运动变化中去解决问题，几个问题的设计难度呈螺旋上升，由特殊到一般，第一二问的相对单一的过程阅读评价到第三、四问综合能力要求相结合。

因此动点问题不是什么令人望而生畏的问题，而是全体学生都能有所作为的，是用来贯彻体现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的新课标理念的载体。

一、教学目标
知识与能力目标：
1.进一步理解一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象和性质，掌握根据具体条件判断函数类型，列出函数关系式的方法；
2.能够从已知条件和函数图象中获取相关信息，结合几何图形之间的位置关系，“以形析数，以数释形”，根据数与形的相互转化来建立方程或不等式，提高解决函数综合问题的能力。

过程与方法目标：通过对实际问题的分析，让学生体会解决问题的通性通法．
情感态度与价值观目标：通过解答分步设问的综合题，让学生体会一些应考得分技巧，增强学生学好数学的愿望与信心．
二、教学重难点
从已知条件和函数图象中获取相关信息，结合几何图形之间的位置关系，“以形析数，以数释形”，根据数与形的相互转化来建立方程或不等式，提高解决函数综合问题的能力。

三、教学方法：以学定教，自主合作，交流提高
四、教学准备：PPT课件
五、教学过程：
（一）目标引入
（1）如图，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，则∠AOB=，用m表示点A′的坐标：A′（，）；
x
y
D'A'
D
A
C
O
B
（2）已知抛物线C 1：y=ax 2+bx +（a ≠0）经过点A （﹣1，0）和B （3，0）．
则抛物线C 1的解析式为 ，其顶点C 的坐标为 。

设计意图：以上（1）题是2015年宜昌中考题第24题第（1）问，（2）是2015年十堰中考压轴题的第（1）问，选取这两个中考题的第一问引入，意在告诉学生，压轴题并不是那么深不可测，不是每个人都无所作为，实际上沉下心来，每个人都能得分。

从而引入课题《函数综合》专题的学习知能目标：
1.进一步理解一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象和性质，掌握根据具体条件判断函数类型，列出函数关系式的方法；
2.能够从已知条件和函数图象中获取相关信息，结合几何图形之间的位置关系，“以形析数，以数释形”，根据数与形的相互转化来建立方程或不等式，提高解决函数综合问题的能力。

（二）经典题例
例（2015•宜昌）如图1，B （2m ，0），C （3m ，0）是平面直角坐标系中两点，其中m 为常数，且m ＞0，E （0，n ）为y 轴上一动点，以BC 为边在x 轴上方作矩形ABCD ，使AB=2BC ，画射线OA ，把△ADC 绕点C 逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y=ax 2+bx+n （a≠0）过E ，A′两点．
（1）填空：∠AOB= ，用m 表示点A′的坐标：A′（ ， ）； （2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB 交于点P ，且
=时，△D′OE 与△ABC 是
否相似？说明理由；
（3）若E 与原点O 重合，抛物线与射线OA 的另一个交点为点M ，过M 作MN ⊥y 轴，垂足为N ：
①求a ，b ，m 满足的关系式；
②当m 为定值，抛物线与四边形ABCD 有公共点，线段MN 的最大值为10，请你探究a 的取值范围．
x
y
D'
A'
D
O
B
C
A
P
E
图（2）
设计意图：有了引入部分作铺垫，引导学生尝试（2）的解答，如图由
1
3
BP AP ，A （2m ，2m ），AB=2m,求出P 点坐标, 根据抛物线的顶点为A′，用顶点式表示出抛物线解析式，把点E 坐标代入整理得到m 与n 的关系式，将问题转化为线段之间的数量关系，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；同时借此复习在平面直角坐标系中，利用坐标表示线段的长的方法。

第（3）问中，怎么理解抛物线与四边形ABCD 有公共点，且线段MN 的最大值为10？利用几何直观性，理解抛物线过点C 时的开口最大，过点A 时的开口最小，且当抛物线过点C （3m ，0），此时MN 的最大值为10。

让学生体会在函数综合题中借助几何直观，可以让问题迎刃而解。

（三）尝试训练
1.如图，矩形ABCD 的边长AB=3，AD=k ，把这个矩形放入直角坐标系中，使AB 在x 轴的正半轴上，C ，D 在第一象限，且点D 在直线y=-2x+k+2上，以AB 为直径作⊙M ，⊙M 与CD 没有公共点，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A ，B 两点，其顶点为P 。

（1）求点A ，B ，M 的坐标；
（2）如果点P 在⊙M 外且在矩形ABCD 内（包括在⊙M 和矩形ABCD 边上），求a 的取值范围（用字母k 表示）；
（3）如果把矩形ABCD 与⊙M 组成的整体图形沿着x 轴的正半轴移动，移动的速度为每秒0.1个单位，移动时间为t 秒，当直线PO
：3
y x 与⊙M 有公共点时，同时该直线与线段CD 也相交，分别求出t 和k 的范围。

2.抛物线y=1-x 2与y 轴交于点A ，经过点B （0，-1）作y 轴的垂线和上述抛物线于点C ，D ，T 是线段CD 上一动点（不与点C ，B ，D 重合），设其横坐标为t ，连接AT 交x 轴于点N ，以点T 为顶点的另一条抛物线和y 轴交于点G ，其对称轴和抛物线y=1-x 2交于点M ，当点T 运动时，点G ，M ，N 始终在同一直线上（下图供参考） （1）用t 表示点M ，N 的坐标；
（2）四边形AGTM 是平行四边形吗？说明理由；
（3）四边形AGTM 能否成为菱形？若能，确定点T 的坐标，若不能，说明理由。

图（1） 图（2）
A M
A M
C C
4.已知，如图，△AOB 的顶点A 在第二象限，顶点B 在x 轴的负半轴，O 是坐标原点， ∠AOB=60°，∠ABO=90°，AO=2，P 是线段BO 上一动点，以点P 为圆心，AP 为半径作半圆和x 轴交于点C ，D ，抛物线y=-x 2+bx+c 过点C ，D 。

（1）求点A 的坐标；
（2）求抛物线y=-x 2+bx+c 的顶点到x 轴的距离k 的取值范围。