导数的乘除法法则分析
微积分运算法则
微积分运算法则微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究函数的变化规律和数量的无限逼近。
微积分运算法则是微积分中常用的一些规则和定理，它们可以帮助我们更方便、更准确地进行微积分运算。
本文将介绍微积分运算法则的一些基本内容。
一、导数的四则运算法则导数的四则运算法则是微积分中最基本的法则之一。
它规定了导数运算在加减乘除运算中的运用。
根据这个法则，我们可以根据已知函数的导数来求得新函数的导数。
二、链式法则链式法则是微积分中的另一个重要法则。
它用于求复合函数的导数。
复合函数是由两个或多个函数复合而成的函数。
链式法则告诉我们，复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数的导数。
三、反函数的导数反函数的导数是指如果函数f的值域上的每一个点都有唯一的反函数g，则g的导数等于f的导数的倒数。
这个法则在求反函数的导数时非常有用。
四、隐函数求导隐函数求导是指在某些情况下，函数的表达式无法直接写出，但是我们仍然可以通过一些方法求得函数的导数。
隐函数求导的关键是利用已知条件，通过求解方程组来求得导数值。
五、极限的四则运算法则极限的四则运算法则是指在求极限运算时，可以将各个极限运算符号分别作用于各个函数，并进行相应的加减乘除运算。
这个法则在求极限时非常有用。
六、泰勒公式泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它用于将任意一个光滑函数表示为无穷级数的形式。
泰勒公式可以通过求导数的方式来推导得出，它在近似计算中有着广泛的应用。
七、微分中值定理微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它用于研究函数在某个区间内的变化情况。
微分中值定理告诉我们，如果函数在某个区间内连续并可导，那么在这个区间内一定存在某个点，函数在这个点的斜率等于函数在整个区间上的平均斜率。
八、积分的四则运算法则积分的四则运算法则是指在求积分运算时，可以将各个积分运算符号分别作用于各个函数，并进行相应的加减乘除运算。
这个法则在求积分时非常有用。
九、换元积分法换元积分法是微积分中的一个重要方法，它用于将一个积分问题转化为另一个更容易求解的积分问题。
导数的乘除法法则
′ f ( x) f ′( x)g( x) − f ( x)g′( x) g( x) = 2 g ( x)
可得
′ sin x cos x ⋅ x − sin x ⋅ 1 x cos x − sin x = = 2 x x x2
（2）由导数的除法运算法则可得： ）由导数的除法运算法则可得：
x +1 (2) y = 2 x −1 ex + 1 − 2ex (3) y = x y′ = x e −1 (e −1)2 x π 2. 求曲线 y = 处的切线方程。 在 x = 处的切线方程。 sin x 3
− 3x2 − 4x x −1 y′ = 2 x( x2 −1)2
2 3 π k = y′ = − 3 6
′ 2 x ⋅ ln x − x 2 ⋅ 1 x2 x = x( 2 ln x − 1) = 2 2 ln x (ln x ) ln x
练习
分析： 分析： 无论题目中所给的式子多么复杂， 无论题目中所给的式子多么复杂，但是求导的实 质不会改变，求函数积（ 质不会改变，求函数积（商）的导数时，都满足运算 的导数时， 法则： 法则：
x
2x =− + 2 x ln 2 ln x + 2 x x (1 + x )
7 可求得 f ′(1) = ， 4
则曲线 f ( x ) = 方程为： 方程为：
1− x 1+ x
+ 2 x ln x 过点 (1,0) 的切线
7 y = ( x − 1) 4
即： 7 x − 4 y − 7 = 0 练习
(1) y = ( 2 x + 3)( 3 x − 1)
2
导数的四则运算法则
法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
题型二 由导数值求参数 [学透用活]
[典例 2] 设 f(x)＝a·ex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋bx，
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16. 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋xx00－16＝3x20＋1，解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
应 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 用 及涉及切线问题的综合应用
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方 方 程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再 法 根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至
关重要的作用
[对点练清]
1．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x；(2)y＝lnx2x； (3)y＝exx；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·1x＝2x＋ln x＋1.
()
3．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为
5.2.2导数的四则运算法则
2 所以 f′(1)＝ae＝2，故 a＝ .
e
导数的运算法则的综合应用
x)(
x2 )
2x2 cos x 4x sin x
x4
2x cos
x x3
4 sin
x
.
导数的运算法则的综合应用
例 3：设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等的实根，且 f′(x)＝2x ＋1.
求 y＝f(x)的函数表达式．
解：因为 f′(x)＝2x＋1，所以 f(x)＝x2＋x＋c(c 为常数)，
解：( 1) y ′＝( 2x 3) ′ ＋( x 2) ′ －( x ) ′＋( 1) ′＝6x 2＋2x －1.
(2)y′＝(x4)′＋(cos x)′＝4x3－sin x.
(3)y′＝(ex)′＋(ln
x
)
′
＝ex
1 ＋
.
x
(4)y′＝(5x)′－(ln
x ) ′＝5x
ln
1 5－
.
x
1
(5)y′＝(lg x)′＋(sin x)′＝
导数的运算法则的综合应用
又点( 1，0) 在切线上，所以
3x02－2x03＝0，解得
x0＝0
或
3 x0＝
.
2
当 x0＝0 时，由直线 y＝0 与曲线 y＝ax2＋15 x－9 相切可得, 4
方程 ax2＋15 x－9＝0 有两个相等的实数根， 4
《4.2导数的乘法与除法法则》知识清单
《4.2导数的乘法与除法法则》知识清单一、学习这部分知识的目的咱们为啥要学习导数的乘法与除法法则呢？就好比你要计算一些复杂的变化关系的时候，光靠之前的知识可不够。
比如说，你在研究一个物理问题，物体的速度和它受到的力之间有某种乘积关系，或者是在经济领域，成本和产量之间有除法关系，而且它们都是在不断变化的，这时候导数的乘法和除法法则就能派上大用场啦。
就像我上次去超市，发现商品的总价和单价、数量之间的关系，当单价和数量都随着促销活动等因素变化时，就类似这种复杂的关系需要用特殊的法则来处理。
二、导数乘法法则（一）法则内容1、如果我们有两个函数，设为\（u(x)＼）和\（v(x)＼），那么它们乘积的导数\（（u(x)v(x)）＇＼）等于\（u'（x)v(x)＋u(x)v'（x)＼）。
这里的\（u'（x)＼）就是\（u(x)＼）的导数，＼（v'（x)＼）就是\（v(x)＼）的导数。
这个法则看起来有点复杂，不过咱们可以把它想象成是一种分配工作的方式。
比如说，＼（u(x)＼）和\（v(x)＼）是两个小伙伴一起完成一项任务，它们的乘积的变化率（也就是导数）就等于\（u(x)＼）自己的变化率乘以\（v(x)＼）（这就好像\（u(x)＼）变化的时候拉着\（v(x)＼）一起），再加上\（u(x)＼）乘以\（v(x)＼）自己的变化率（就像\（v(x)＼）变化的时候也影响着整体）。
例如，设\（u(x)＝x^2\），＼（v(x)＝＼sin x\）。
首先我们求\（u'（x)＼），根据求导公式\（（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＼），＼（u'（x)＝2x\）；＼（v'（x)＝＼cos x\）。
那么\（（u(x)v(x)）＇＝（x^2\sin x)＇＝u'（x)v(x)＋u(x)v'（x)＝2x\sin x ＋ x^2\cos x\）。
（二）推导过程1、从导数的定义出发，＼（（u(x)v(x)）＇＼）等于\（＼lim\limits_{＼Delta x\rightarrow0}＼frac{u(x ＋＼Delta x)v(x+＼Deltax)u(x)v(x)｝｛＼Delta x}＼）。
导数的四则运算法则
导数的四则运算法则1.求和规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和的导数等于各自函数的导数之和。
即：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)2.差规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的差的导数等于各自函数的导数之差。
即：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)3.乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
即：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)4.除法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数且g(x)不等于零，则它们的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。
即：(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2这些四则运算法则可以用于计算复杂函数的导数。
下面通过一些简单的例子来说明这些规则的具体应用。
例子1：计算函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1的导数。
解：对于这个函数，可以按照求和规则和乘法规则分别对各项进行求导。
f'(x)=(x^3)'+(2x^2)'+(-3x)'+(1)'=(3x^2)+(4x)+(-3)=3x^2+4x-3例子2：计算函数g(x)=(2x^2+3x-1)/(x+2)的导数。
解：应用乘法规则和除法规则对该函数进行求导。
g'(x)=((2x^2+3x-1)'*(x+2)-(2x^2+3x-1)*(x+2)')/(x+2)^2=(((4x+3)*(x+2))-((2x^2+3x-1)*1))/(x+2)^2=(4x^2+11x+6-2x^2-3x+1)/(x+2)^2=(2x^2+8x+7)/(x+2)^2通过这两个简单的例子，我们可以看到四则运算法则在计算导数中的应用。
导数的乘除法法则
f (x)
1 (1 2x
x ) (1
x) 1 2x
(2x ln 2) ln x
2x
(1 x )2
x
1
2x ln 2 ln x 2x
x(1 x )2
x
可求得 f (1) 7 ， 4
则曲线 f (x) 1 x 2x ln x过点(1,0)的切线
y (x0 x)2 f (x0 x) x02 f ( x0 )
平均变化率：
y (x0 x)2 f (x0 x) x02 f (x0 )
x
x
如何得
到 f (x) 、g( x)？
即出现：f (x) f (x0 x) f (x0 )
x
x
则有：f (x) 2x, g(x) 1 cos x x
根据导数的乘法法则，得：
x2(ln x sin x)
2x(ln x sin x) x2( 1 cos x) x
x 2x ln x 2x sin x x2 cos x
本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。
练习
分析： 无论题目中所给的式子多么复杂，但是求导的实
质不会改变，求函数积（商）的导数时，都满足运算 法则：
f (x)g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g(
x)
g 2 ( x)
解：
（1）可设 f (x) x2 , g(x) ln x sin x
可得：
(x2ex ) 2xex x2ex (2x x2 )ex
《导数的乘法与除法法则》 知识清单
《导数的乘法与除法法则》知识清单一、导数的乘法法则1、乘积法则若两个函数＄u(x)＄和＄v(x)＄都可导，则它们的乘积＄u(x)v(x)＄的导数为：＼＼begin{align}（u(x)v(x)）＇＆＝u'（x)v(x) ＋ u(x)v'（x)＼end{align}＼这一法则可以通过对乘积进行求导的定义来推导得到。
为了更好地理解这一法则，我们通过几个具体的例子来进行说明。
例 1：设＄u(x) ＝ x^2$，＄v(x) ＝ 3x$，则＼＼begin{align}u'（x)＆＝ 2x\＼v'（x)＆＝ 3＼end{align}＼＼＼begin{align}（u(x)v(x)）＇＆＝（x^2 ＼cdot 3x)＇＼＼＆＝（3x^3)＇＼＼＆＝3\cdot 3x^2\＼＆＝9x^2＼end{align}＼而根据乘法法则：＼＼begin{align}u'（x)v(x) ＋ u(x)v'（x)＆＝ 2x ＼cdot 3x ＋ x^2 ＼cdot 3\＼＆＝ 6x^2 ＋ 3x^2\＼＆＝ 9x^2＼end{align}两者结果一致，验证了乘法法则的正确性。
例 2：设＄u(x) ＝＼sin x$，＄v(x) ＝＼cos x$，则＼＼begin{align}u'（x)＆＝＼cos x\＼v'（x)＆＝＼sin x＼end{align}＼＼＼begin{align}（u(x)v(x)）＇＆＝（＼sin x ＼cdot ＼cos x)＇＼＼＆＝＼cos x ＼cdot ＼cos x ＼sin x ＼cdot ＼sin x\＼＆＝＼cos^2 x ＼sin^2 x＼end{align}＼而根据乘法法则：＼begin{align}u'（x)v(x) ＋ u(x)v'（x)＆＝＼cos x ＼cdot ＼cos x ＋＼sin x ＼cdot （＼sin x)＼＼＆＝＼cos^2 x ＼sin^2 x＼end{align}＼再次验证了乘法法则的准确性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
cos x x x2 (cos x x ) x 2 (cos x x ) 2 x 2 2 (x ) ( sin x 1) x 2 2 x cos x 2 x 2 4 x x sin x 2 cos x x x3
从定义式中，能否变换出 f ( x ) 和 g ( x ) ？？
解析 对于 x0 的改变量 x ，有
y ( x0 x ) f ( x0 x ) x f ( x0 )
2 2 0
平均变化率：
2 y ( x0 x )2 f ( x0 x ) x0 f ( x0 ) x x
例2 求下列函数的导数：
sin x x2 (1) y ; ( 2) y x ln x
解： （1）设 f ( x ) sin x, g ( x ) x ，则可知
f ( x ) cos x, g ( x ) 1
由导数的除法运算法则可得
sin x cos x x sin x 1 x cos x sin x 2 2 x x x
2 x0 f ( x0 ) 2 x0 f ( x0 ) g ( x0 ) f ( x0 ) g ( x0 ) f ( x0 )
2 2 2 x f ( x ) 因此， 的导数是： x f ( x) ( x ) f ( x )
由此可以得到：
f ( x ) g ( x )
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
kf ( x) kf ( x)
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x) 2 g ( x)
例1 求下列函数的导数：
(1) y x 2e x ;
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
特别地，若 g ( x ) k ，则有
kf ( x) kf ( x)
概括
一般地，若两个函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的导数分别是
f ( x ) 和 g ( x ) ，则：
f ( x ) g ( x )
( 2) y ( x 2) 2 x x ( 3) y x sin cos 2 2
2 y 1 x
1 y 1 cos x 2 本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。
2. 求曲线 y x( 2 x 3 ) 2 在 (1,9) 处的切线方程。
k y 27
y 27 x 18
解： （1）可设
cos x x (1) y x (ln x sin x ) ; ( 2) y 2 x 2
2
例3 求下列函数的导数：
f ( x) x , g ( x) ln x sin x
1 则有：f ( x ) 2 x, g ( x ) cos x x
前面学习了导数的加法减法运算法则，下面来研
究两个函数积、商的导数求法： 引例：
2 处的导数为 ， ，求 f ( x ) g ( x ) x x0 y f ( x ) g ( x ) x 2 f ( x ) 在 x0处的导数。
设 y f ( x) 在
g ( x ) 之间的联系， 我们观察 f ( x ) g ( x ) 与 f ( x ) 、
根据导数的乘法法则，得：
x (ln x sin x)
2
1 2 x(ln x sin x) x ( cos x ) x x 2 x ln x 2 x sin x x 2 cos x
2
本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。
（2）由导数的除法法则，可得：
解： （1）设
( 2) y x sin x ; ( 3) y x ln x
f ( x) x , g ( x) e
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
，可知
x f ( x ) 2 x, g ( x ) e
由导数的乘法法则可得
( x e ) 2 xe x e ( 2 x x )e
2 x x 2 x 2
如何得到
f ( x ) g ( x )
、
？
f ( x ) f ( x0 x ) f ( x0 ) 即出现： x x 2 g ( x ) ( x0 x ) 2 x0 x x
2 y ( x0 x )2 f ( x0 x ) x0 f ( x0 ) x x
2 ( x0 x )2 f ( x0 x ) f ( x0 ) ( x0 x )2 x0 f ( x0 ) x 2 2 f ( x x ) f ( x ) ( x x ) x 2 0 0 0 ( x0 x ) 0 f ( x0 ) x x
x
（2）由导数的乘法法则可得：
sin x ( x sin x ) ( x ) sin x x (sin x ) x cos x 2 x
（3）由导数的乘法法则可得：
1 ( x ln x) ( x) ln x x(ln x) 1 ln x x ln x 1 x
（2）由导数的除法运算法则可得：
2 1 2 x ln x x 2 x x( 2 ln x 1) x 2 2 ln x (ln x ) ln x
1. 计算下列函数的导数：
(1) y ( 2 x 3)( 3 x 1)
2
y 18 x 2 4 x 9
由于
x 0
lim ( x0 x ) x
2
2 0
f ( x0 x ) f ( x0 ) lim f ( x0 ) x 0 x 2 ( x0 x ) 2 x0 lim 2 x0 g ( x0 ) x 0 x
2 所以 f ( x ) g ( x ) x f ( x ) 在 x0 处的导数值是：