同济大学数学习题及答案

高等数学 练习题)习题1-1 映射与函数1． 设是定义在对称区间上的任何函数。

()x f (l l ,−⑴ 证明：()()()x f x f x −+=φ是偶函数，()()()x f x f x −−=ψ是奇函数；⑵ 证明定义在区间()l l ,−上任何函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和。

2． 设在数集()x f X 上有定义，试证：()x f 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界。

3． 指出下列函数是否为复合函数，若是复合函数，分析它是由哪些函数复合而成的： ⑴ ()325cos 1x e +；⑵ x sin ；⑶ ()[]()x y x f ()()0>x f ；4． 设，()2x e x f =()[]x x f −=1φ，且()0≥x φ，求()x φ并写出它的定义域。

5． 设()⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1,11011x x x x f ，，，，求()2e x g =()[]x g f 和()[]x f g ，并作这两个函数的图形。

6． 收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购一台，售价就降低1分，但最低价为每台75元， ⑴ 将每台的实际售价表示为订购量的函数； P x ⑵ 将厂方所获的利润表示程订购量的函数； P x ⑶ 某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？⑴ 1lim22=+∞→na n n ； ⑵ 19999.0lim =∞→"个n n ； 2． 若，证明a u n n =∞→lim a u n n =∞→lim ，并举例说明：如果数列{n x 有极限，数列{}n x 未必有极限；3． 设数列{有界，又}n x 0lim =∞→n n y ，证明：0lim =∞→n n n y x ；4． 对于数列{，若}n x a x k →−12()∞→k ，a x k →2()∞→k ，证明a x n →()∞→n 5． 证明的充要条件为对任一a x n n =∞→lim 0>ε，区间()εε+−a a ,外最多只有有限多项n x 6． 利用第5题的结论证明定理4（收敛数列与子数列的关系）⑴ 424lim22−=+−−→x x x ； ⑵ 0sin lim=+∞→xxx ；2． 当时，，问2→x 42→=x y δ等于多少，使当δ<−2x 时，001.02<−y 。

3． 根据极限定义证明：存在的充分必要条件是()x f x x 0lim →()x f 在处左极限、右极限各自存在并相等。

0x 4． 分别求()x xx f =，()xx x =φ，当时左、右极限，并说明它们在时极限是否存在？0→x 0→x 5． 证明：当+∞→x 及时，函数−∞→x ()x f 极限都存在且都等于A ，则()A x f x =∞→lim 。

6． 设，证明存在正数，使得()A x f x =∞→lim x ()x f 在()()∞+∪−∞−,,x x 有界。

习题1-4 无穷小与无穷大1． 两个无穷小的商是否一定无穷小？试举例说明可能出现的各种情况。

2． 根据定义证明：当时，0→x x x y 1sin =为无穷小。

3． 根据定义证明：当时，0→x xxy 21+=为无穷大，并问应满足什么条件，能使x 410>y ？4． 求下列极限并说明理由：⑴ xx x 12lim +∞→；⑵ xx x −−→11lim 20；5． 当时，0x x →()x f 是无穷大，是对任何收敛于点到0x {}n x 都有，而()∞=∞→n n x f lim ()x f 在的任一去心邻域是无界量，是指有一个收敛于的点到使，所以无穷大是无界量，而无界量未必是无穷大。

由此分析0x 0x n x ()∞=∞→n n x f lim ()xx x f 1sin 1=当时是一个无界量而非无穷大。

0→x 6． 函数x x y cos =在内是否有界？这个函数是否为(∞+∞−,)+∞→x 时的无穷大？为什么？习题1-5 极限运算法则1． 指出下列解法有悖于极限运算法则的，并给出正确的解法：⑴ 2222lim 1lim 121lim n n n n n n n ∞→∞→∞→+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++"01lim 2=−++∞→n n n " ⑵ 3113113lim 11lim1311lim x x x x x x x −−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−→→→0=∞−∞= ⑶ ()()()15321lim3=∞∞=+++∞→n n n n n⑷ ()11cos1lim 21−−→x x x ()011cos lim 1lim 121=−−=→→x x x x2． 求下列极限⑴ xx x arctan lim ∞→；⑵ 1!sin lim 32+∞→n n n n ；3． 求下列极限⑴ ()⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅+⋅∞→11321211lim n n n "； ⑵ nnn b b b a a a ++++++++∞→""2211lim()1,1<<b a ； ⑶ 4586lim 224+−+−→x x x x x ；⑷ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→21211lim x x x ； 4． 求下列极限 ⑴ 22lim2+−→x x x ； ⑵ 145lim1−−−→x xx x ；⑶ ()x x x xx −−++∞→22lim。

习题1-6 极限存在准则两个重要极限1． 计算下列极限 ⑴ xxx βαsin sin lim0→(0≠)β；⑵ nn n x2sin2lim ∞→（为不等于零的常数）； x ⑶ xxx 3sin 5tan lim 0→；⑷ ()x xx sin sin lim 0→；⑸ x x x cot lim 0+→；⑹ xx xx sin 2cos 1lim0−→；⑺ x xx −→ππsin lim。

2． 计算下列极限⑴ kxx x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∞→11lim （正整数）；⑵ k bxx x a ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→1lim ；3． 利用极限夹逼存在准则，证明：⑴ 11211lim 222=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n "；⑵ 0!lim=∞→nn n n 。

4． 利用单调有界数列必有极限存在准则，证明：数列2、22+、222++…极限存在，并求出极限。

习题1-7 无穷小的比较1． ⑴ 等价无穷小的替代求极限其优越性何在？ ⑵ 我们要熟记哪些在时常见的等价无穷小？0→x ⑶ 将下列时的无穷小按低阶到高阶次序排列起来： 0→x① x arcsin ；② ()11212−+x；③ ()1cos 2−x ；④ ()3tan x ；2． 当时，下列函数哪个是比高阶的无穷小？哪个是的同阶无穷小？哪个是的等价无穷小？0→x x x x⑴ ()xx x x 1arctan 323+=α； ⑵ ()1arcsin 3−+=x e x x β； ⑶ ()()3113x x −−=γ。

3． 证明无穷小等价关系具有下列性质：⑴ αα~自反性； ⑵ 若βα~、γβ~，则γα~（传递性）。

4． 利用等价无穷小的替代性质，求下列极限：⑴ ()()m n x x x sin sin lim 0→（n 、为正整数）； ⑵ m ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∞→x x x 1cos 1lim 2； ⑶ x x x x 2sin 3553lim2+−∞→；⑷ xxx x 30sin sin tan lim−→； ⑸ ()()1sin 111tan sin lim320−+−+−→x x xx x ；⑹ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−→x x x 6tan 3tan lim 6ππ；⑺ ()211cos 1lim −+→x xx π；⑻ xbxax m nx +−−→11lim 0。

习题1-8 函数的连续性与间断点1． 单项选择填空题⑴ 在点处有定义是当时()x f 0x x =0x x →()x f 有极限的（ ）条件； ⑵ 在点处有定义是在()x f 0x x =()x f 0x x =处连续的（ ）条件； A．必要； B．充分； C．充要； D．无关 2． 问常数取何值时，可使下列函数在分段点处连续？k ⑴ ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin 1x x x x k x x x x f⑵ ()。

⎩⎨⎧<≤−<≤=21,310,2x x k x x x f 3． 研究下列函数的连续性，并画出函数的图形。

⑴ ；⑵ ()()⎩⎨⎧≤<−≤≤=21,210,2x x x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=31,1,x x xx x x f 。

4． 求()633223−+−−+=x x x x x x f 连续区间，并求()x f x 0lim →，()x f x 3lim −→，。

()x f x 2lim →5． 下列函数在指出点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：⑴ 23122+−−=x x x y ，1=x ，； 2=x ⑵ x x y tan =，πk x =，2ππ+=k x ，()",2,1,0±±=k ； 6． 讨论()x x x x f nnn 2211lim+−=∞→的连续性，若有间断点，判别类型，并指出是否为初等函数？()x f习题1-9 连续函数的运算与初等函数连续性1． 判断下列命题真伪，并说明理由：⑴ 若及都存在，则()()[]x g x f ax +→lim ()x f ax →lim ()x g ax →lim 也存在；⑵ 若及都存在，则()()x g x f ax ⋅→lim ()x f ax →lim ()x g ax →lim 也存在。

2． 求下列极限： ⑴ xx e 1lim +∞→；⑵ xx e1000lim −→；⑶ xx a1011lim +−→()0>a 。

3． 求下列极限 ⑴ (x x 2cos 2ln lim π→)6；⑵ ax ax x −−→sin sin lim；⑶ ()[]x x x ln cos 1ln cos lim −++∞→。

4． 求下列极限： ⑴ bxaxx cos ln cos ln lim 0→；⑵ ()xx x2cos 2tan 31lim +→；⑶ xx x x x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∞→21lim 22；⑷ bx a a bx b x −−→lim()0>a 。

习题1-10 闭区间上连续函数的性质1． 证明方程至少有一个根介于1和2之间。