纤维多孔金属的流阻率分形模型研究_陈卫华

（１．西 安 交 通 大 学 机 械 工 程 学 院 ，７１００４９， 西 安 ；２．兰 州 理 工 大 学 机 电 工 程 学 院 ，７３００５０， 兰 州 ）
摘要：为了揭示纤维多孔金属吸声材料的流阻率与其孔隙率、孔 直 径 以 及 孔 的 弯 曲 度 等 主 要 几 何 参 数 之 间 的 变 化 规 律 ，给 纤 维 多 孔 金 属 吸 声 材 料 的 结 构 设 计 提 供 基 本 的 理 论 指 导 ，提 出 了 一 种 流 阻 率 分 形 模 型 。 通 过 对 纤 维 多 孔 金 属 的 孔 隙 结 构 进 行 分 形 处 理 ，结 合 材 料 内 部 空 气 流 体 学 分 析 ，首 先 获得了流经纤维多孔金属材料截面总的空气流量 Ｑ 的表达式，该表达式是最大平均孔径λｍａｘ、曲 线 分形维数 ＤＴ 和孔面积分形维数 Ｄｆ 的 函 数，其 次 结 合 纤 维 多 孔 金 属 吸 声 材 料 流 阻 率 的 公 式，获 得 了 流 阻 率 分 形 模 型 。 模 型 理 论 计 算 值 与 实 验 测 试 值 的 最 大 偏 差 为 １３．９％ ，最 小 偏 差 为 ７．６％ ，平 均 偏差为１０．６％，验证了该理论模型的可靠性。分析结果表明：随着孔隙率 Φ 的增大，纤维多 孔金属 吸声材料的流阻率减小；Φ 和ＤＴ 一定时，流阻率随着 Ｄｆ 的 增 大 而 减 小；Φ 和 Ｄｆ 一 定 时，流 阻 率 随 着 ＤＴ 的增大而增大。与通过实验确 定 流 阻 率 的 经 验 公 式 相 比，文 中 所 建 流 阻 率 分 形 模 型 能 够 反 映材料的几何参数与流阻率之间的变化规律，为纤维多 孔金属 吸 声 材 料 的 微 观 结 构 设 计 提 供 了 一 定的依据。 关 键 词 ： 流 阻 率 ；分 形 模 型 ；曲 线 分 形 维 数 ；孔 面 积 分 形 维 数 中 图 分 类 号 ：ＴＢ５３５ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：０２５３－９８７Ｘ（２０１５）０６－０１３２－０６
１ 分形理论简介
分形几 何 学 产 生 于 ２０ 世 纪 ７０ 年 代 末 ８０ 年 代 初，是一门以非规则 几 何 形 态 为 研 究 对 象 的 新 兴 学 科 。 ［５］ 分 形 的 概 念 是 由 美 国 学 者 Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ 于 １９７５年首先提出来的。在自 然 界 中，大 量 的 研 究 对 象例如粗糙表面、海 岸 线、山 脉 以 及 岛 屿 等，都 是 无 序 和 不 规 则 的 ，它 们 不 能 用 欧 式 几 何 进 行 准 确 描 述 ， 这些对象被称为分 形，它 们 的 维 数 不 再 是 整 数 而 是 分 数 ，称 为 分 形 维 数 。 这 些 分 形 对 象 满 足 下 式 ［６］
Ｍ（Ｌ）～ ＬＤｆ
（１）
式中：Ｍ 可以是 线的长度、平面面积、立方体体积或
物体质量；Ｌ 是测量尺度；Ｄｆ 是 分 形 维 数。 式（１）表 示分形对象的局部和整体具有精确的自相似性。然
而 ，自 然 界 具 有 精 确 自 相 似 性 的 物 体 几 乎 没 有 ，绝 大
部分研究对象都是 统 计 自 相 似，因 此 本 文 中 提 到 的
ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ
烧结纤维多孔 金 属 具 有 多 功 能 复 合 特 性，例 如 超轻、高 强 韧、耐 撞 击、高 比 强 度、高 比 刚 度、高 效 散 热 或 隔 热 以 及 吸 声 性 能 优 良 等［１］，其 结 构 通 常 由 金 属骨架和内部介质（通 常 为 空 气）组 成，金 属 骨 架 由 一定数量的金属丝 按 层 交 错 排 列 高 温 烧 结 形 成，内 部具有复杂的开孔或闭孔结构。与传统的非金属吸 声 材 料 相 比 ，纤 维 多 孔 金 属 材 料 能 够 耐 高 温 高 压 ，因 此可以用作极端恶劣工况下的吸声降噪材料。
收稿日期：２０１４－１１－２３。 作者简介：陈卫华（１９７６—），男，在职博士生，兰州理工 大 学 讲 师；王 小 鹏 （通 信 作 者），男，副 教 授。
基 金 项 目 ： 国 家 重 点 基 础 研 究 发 展 规 划 资 助 项 目 （２０１１ＣＢ６１０３０６）；陕 西 省 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 （２０１５ＪＭ５１５４）。
声波在纤维多孔金属介质中的传播主要考虑两 个 方 面 ：一 是 孔 隙 填 充 介 质 中 波 的 传 播 ；二 是 多 孔 介 质骨架内的弹性波传播。本文假设金属骨架为刚性 体，只考虑声 波 在 孔 隙 空 气 中 的 传 播。Ａｌｌａｒｄ 等 将 纤维材料作为等效 流 体 研 究，指 出 流 阻 是 反 映 多 孔 材料吸声性能的 一 个 重 要 参 数［２］；Ｄｅｌａｎｙ等 的 研 究 表明，声波在多孔介 质 中 的 传 播 和 衰 减 主 要 由 孔 隙 中空气的流阻决定，通 过 空 气 流 阻 就 能 预 测 多 孔 介 质的吸声性能［３］。Ｂｉｅｓ等对多孔金属纤维材料的 流 阻进行了测 量，获 得 了 相 关 实 验 结 果 。 ［４］ 上 述 文 献 研究工作表明，纤维 多 孔 金 属 的 流 阻 率 是 决 定 其 吸 声性能优劣的一个重要声学参数。
纤维多孔金属介质的内部孔隙结构呈现无规则 排 列 ，孔 的 分 布 是 杂 乱 无 章 的 无 序 结 构 ，使 得 纤 维 多 孔金属吸声材料的设计难度很大。分形几何学以非 规则的几何形态为 研 究 对 象，可 以 处 理 自 然 界 和 非 线性系统中不光滑的具有自相似性且没有特征长度 的 形 状 和 现 象 。 因 此 ，本 文 以 分 形 几 何 理 论 为 基 础 ， 对纤维多孔金属材 料 的 微 观 孔 隙 结 构 进 行 描 述，建 立材料的流阻率与分形维数之间的声学模型。
分形维数均是指统计分形维数。
２ 纤维多孔金属的分形研究
纤维多孔金属材料内部孔隙结构随着纤维直 径 、长 度 以 及 纤 维 的 相 对 排 列 方 式 而 异 ，实 际 烧 结 而 成的纤维多孔金属，其 纤 维 的 形 状 与 堆 积 均 是 无 序 的。图１为纤维多孔金属的宏观和微观结构图。
（ａ）宏 观 结 构 （ｂ）截 面 微 观 结 构 图 １ 纤 维 多 孔 金 属
纤 维 多 孔 金 属 内 部 具 有 不 同 尺 寸 的 孔，可 以 看
作由一簇具有不同 截 面 积 的 弯 曲 毛 细 管 组 成，假 设
毛 细 管 的 直 径 为 λ，沿 着 声 波 传 播 方 向 的 长 度 为 Ｌｔ（λ），参照毛细管长度为 Ｌ０，则根据 Ｗｈｅａｔｃｒａｆｔ等 的研 究［７］可 知，纤 维 多 孔 金 属 内 部 毛 细 管 的 直 径 和
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｆｒａｃｔａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｆｌｏｗ ｒｅｓｉｓｔｉｖｉｔｙ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｏ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｌｏｗ ｒｅｓｉｓｔｉｖｉｔｙ ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｆｉｂｒｏｕｓ ｐｏｒｏｕｓ ｍｅｔａｌｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｐｏｒｏｓｉｔｙ，ｐｏｒｅ ｄｉａｍｅｔｅｒ ａｎｄ ｔｏｒｔｕｏｓｉｔｙ，ａｎｄ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ａ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｇｕｉｄａｎｃｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｓｏｕｎｄ－ａｂｓｏｒｐｔｉｏｎ ｍａｔｅｒｉａｌｓ．Ｆｉｒｓｔ ｏｆ ａｌｌ，ａ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｏｗＱｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｆｒａｃｔａｌ ｇｅｏｍｅｔｒｙ ａｎｄ ｆｌｕｉｄ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｘｉｍａｌ ｍｅａｎ ｄｉａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｐｏｒｅλｍａｘ，ｔｈｅ ｆｒａｃｔａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ＤＴ ｏｆ ｔｏｒｔｕｏｓｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｏｒｅ ａｒｅａ ｆｒａｃｔａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ Ｄｆ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅ ｆｒａｃｔａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｆｌｏｗ ｒｅｓｉｓｔｉｖｉｔｙ ｉｓ ａｃｑｕｉｒｅｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｒｅｓｉｓｔｉｖｉｔｙ ｆｏｒｍｕｌａ． Ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｅｒｒｏｒ，ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｅｒｒｏｒ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｅａｎ ｅｒｒｏｒ ｂｅｔｗｅｅｎ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｎｄ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ａｒｅ １３．９ ％，７．６ ％ ａｎｄ １０．６ ％，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｗｈｉｃｈ ｖｅｒｉｆｉｅｓ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ．Ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｒｅｓｉｓｔｉｖｉｔｙ ｄｅｃｒｅａｓｅｓ ａｓ ｔｈｅ ｐｏｒｏｓｉｔｙΦｉｎｃｒｅａｓｅｓ．Ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｐｏｒｏｓｉｔｙΦａｎｄ ｔｈｅ ｔｏｒｔｕｏｓｉｔｙ ｆｒａｃｔａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ＤＴａｒｅ ｆｉｘｅｄ，ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｒｅｓｉｓｔｉｖｉｔｙ ｄｅｃｒｅａｓｅｓ ａｓ ｔｈｅ ｐｏｒｅ ａｒｅａ ｆｒａｃｔａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ Ｄｆｉｎｃｒｅａｓｅｓ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｐｏｒｏｓｉｔｙΦ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｏｒｅ ａｒｅａ ｆｒａｃｔａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ Ｄｆａｒｅ ｆｉｘｅｄ，ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｒｅｓｉｓｔｉｖｉｔｙ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ ａｓ ｔｈｅ ｔｏｒｔｕｏｓｉｔｙ ｆｒａｃｔａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ＤＴ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ．Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｒｅｓｉｓｔｉｖｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ
网 络 出 版 时 间 ：２０１５－０３－２３
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第６期
陈 卫 华 ，等 ：纤 维 多 孔 金 属 的 流ｉｃ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ｒｅｖｅａｌｅｄ ｍｏｒｅ ｃｌｅａｒｌｙ ｂｙ ｔｈｅ ｆｒａｃｔａｌ ｆｌｏｗ ｒｅｓｉｓｔｉｖｉｔｙ ｍｏｄｅｌ ｔｈａｎ ｂｙ ｔｈｅ ｅｍｐｉｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ．Ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｎｃｌｕｄｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｐｒｏｖｉｄｅ ａ ｒｅｌｉａｂｌｅ ａｎｄ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｇｕｉｄａｎｃｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｓｏｕｎｄ－ａｂｓｏｒｐｔｉｏｎ ｍａｔｅｒｉａｌｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｌｏｗ ｒｅｓｉｓｔｉｖｉｔｙ；ｆｒａｃｔａｌ ｍｏｄｅｌ；ｔｏｒｔｕｏｓｉｔｙ ｆｒａｃｔａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ；ｐｏｒｅ ａｒｅａ ｆｒａｃｔａｌ