高等代数-6.7子空间的直和
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7.子空间的直和
§6.7 子空间的直和
反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面
§6.7 子空间的直和
三、多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
sБайду номын сангаас
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 的分解式
§6.7 子空间的直和
一、两个子空间的直和 二、余子空间 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
注意：
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ), 则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
证：由题设，V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s
V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ). 若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，
反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面
§6.7 子空间的直和
三、多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
sБайду номын сангаас
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 的分解式
§6.7 子空间的直和
一、两个子空间的直和 二、余子空间 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
注意：
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ), 则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
证：由题设，V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s
V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ). 若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，
6.7 子空间的直和
§6.7 子空间的直和
一. 子空间直和的概念 二. 子空间直和的性质 三. 直和概念的推广及性质
一 子空间直和的概念
定义 9 V1，V2 是 V 的子空间，和 V1 +V2 称为直和，记成 V1 V2
V1+V2, 1 2 的分解式唯一（i Vi，i 1，2）
由该证明可得如下结论：设1, ,m,m1, ,n 是线性空间 V 的 基，则 V L(1, ,m,m1, ,n ) L(1, ,m ) L(m1, ,n )
三. 直和概念的推广及性质
定义 10 设 V1, V2 , , Vs 是 V 的子空间，若和 V1 V2 Vs 中每个
向量 的分解式 1 2 s (i Vi ,i 1, 2, ,s) 唯一，则称该和
为直和，记为 V1 V2 Vs .
定理 11
V1, V2 , , Vs 是 V 的子空间，则以下条件等价：
1) W Vi 是直和；
2) 零向量的表法唯一；
3) Vi
Vj {0}；
ji
4) dim W dimVi .
即说： V1 +V2 是直和 零向量 0 的分解式唯一.
证明： 显然. 1 2 1 2 , i , i Vi , i 1, 2
(1 1) (2 2 ) 0，i i Vi，i=1，2 题设
1 1 2 2 0 ，即i i，i 1，2 .
4. (定理 10) 设 U 是 V 的子空间 存在子空间 W，使 V UV . 证明： 取 U 的基1, ,m ，将其扩充为 V 的基1, ,m,m1, ,n ， 令 W L(m1, ,n ) → U W L(1, ,m ) L(m1, ,n ) ， a11 amm bm1 m1 bnn 因1, ,m ,m1, ,n 是 基 可推出 a1 am bm1 bn 0 ，即 0 V U V . □
一. 子空间直和的概念 二. 子空间直和的性质 三. 直和概念的推广及性质
一 子空间直和的概念
定义 9 V1，V2 是 V 的子空间，和 V1 +V2 称为直和，记成 V1 V2
V1+V2, 1 2 的分解式唯一（i Vi，i 1，2）
由该证明可得如下结论：设1, ,m,m1, ,n 是线性空间 V 的 基，则 V L(1, ,m,m1, ,n ) L(1, ,m ) L(m1, ,n )
三. 直和概念的推广及性质
定义 10 设 V1, V2 , , Vs 是 V 的子空间，若和 V1 V2 Vs 中每个
向量 的分解式 1 2 s (i Vi ,i 1, 2, ,s) 唯一，则称该和
为直和，记为 V1 V2 Vs .
定理 11
V1, V2 , , Vs 是 V 的子空间，则以下条件等价：
1) W Vi 是直和；
2) 零向量的表法唯一；
3) Vi
Vj {0}；
ji
4) dim W dimVi .
即说： V1 +V2 是直和 零向量 0 的分解式唯一.
证明： 显然. 1 2 1 2 , i , i Vi , i 1, 2
(1 1) (2 2 ) 0，i i Vi，i=1，2 题设
1 1 2 2 0 ，即i i，i 1，2 .
4. (定理 10) 设 U 是 V 的子空间 存在子空间 W，使 V UV . 证明： 取 U 的基1, ,m ，将其扩充为 V 的基1, ,m,m1, ,n ， 令 W L(m1, ,n ) → U W L(1, ,m ) L(m1, ,n ) ， a11 amm bm1 m1 bnn 因1, ,m ,m1, ,n 是 基 可推出 a1 am bm1 bn 0 ，即 0 V U V . □
(汇总)子空间的直和.ppt
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
.精品课件.
4
一、直和的定义
设 V1,V2 为线性空间V的两个子空间，若和 V1 V2
中每个向量 的分解式 1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的，和 V1 V2就称为直和（direct sum）， 记作V1 V2 .
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
dim(V1 V2 ) 0
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
.精品课件.
11
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间， 则下面四个条件等价: （1）V1 V2 是直和 （2）零向量分解式唯一
（3）V1 V2 0
（4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
证：必要性.
若1 2 0, 1 V1,2 V2
V1 V2 是直和,
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
.精品课件.
7
充分性.
1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2 于是 (1 1 ) (2 2 ) 0
其中 1 1 V1, 2 2 V2
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一.
而在和 V1 V3 中，向量 的分解式是唯一的，
所以和 V1 V2 不是直和，V1 V3 是直和.
.精品课件.
6
二、直和的判定
1、(定理8)和V1 V2 是直和的充要条件是零向量 分解式唯一，
即若 1 2 0,1 V1,2 V2 ，则必有 1 2 0.
V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ).
.精品课件.
15
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
.精品课件.
4
一、直和的定义
设 V1,V2 为线性空间V的两个子空间，若和 V1 V2
中每个向量 的分解式 1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的，和 V1 V2就称为直和（direct sum）， 记作V1 V2 .
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
dim(V1 V2 ) 0
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
.精品课件.
11
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间， 则下面四个条件等价: （1）V1 V2 是直和 （2）零向量分解式唯一
（3）V1 V2 0
（4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
证：必要性.
若1 2 0, 1 V1,2 V2
V1 V2 是直和,
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
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7
充分性.
1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2 于是 (1 1 ) (2 2 ) 0
其中 1 1 V1, 2 2 V2
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一.
而在和 V1 V3 中，向量 的分解式是唯一的，
所以和 V1 V2 不是直和，V1 V3 是直和.
.精品课件.
6
二、直和的判定
1、(定理8)和V1 V2 是直和的充要条件是零向量 分解式唯一，
即若 1 2 0,1 V1,2 V2 ，则必有 1 2 0.
V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ).
.精品课件.
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§7子空间的直和
从而
W1 W2 L(1 ,, m ) L( 1 ,, s )
L(1 ,, m , 1 ,, s )
故 1 , 2 ,, m , 1 , 2 ,, s 的秩
dim(W1 W2 )
dim W1 dim W2 m s
是 W1 W2 的基. W1 W2 ,令
1 2 1 2 , 1 ,1 W1 , 2 ,2 W2
设
1 k11 k2 2 km m 2 l1 1 l2 2 l s s
1 l2 2 ls s 2 km m 2 l1 1 k11 k2
4) dim(W1 W2 Wt ) dimW1 dimW2 dimWt ; 5) 各取合起来构成的基.
例3 设
P nn 的子空间
S
A A P nn , A A ,
T A A P nn , A A
证明:
S T P nn .
0 1 2 , 1 W1 , 2 W2
则 1 0, 2 0 ;
3)
W1 W2 0.
证明 1) 2)显然的
.
2) 3) W1 W2 ,则 W1 , W2 ,由
0 ( ),因而 0 ,故 W1 W2 0 3) 1) 设 W1 W2 中的向量 的分解式为
1 2 , 1 W1 , 2 W2
是唯一的.称 W1 W2 为直和(direct sum), 记为 W1 W2
下面,我们讨论子空间的和是直和的等价条件. 定理7.1 设为数域上的线性空间的两个子空间.则下 列命题等价: 1) W1 W2 是直和; 2) 零向量分解式是唯一的.即若
W1 W2 L(1 ,, m ) L( 1 ,, s )
L(1 ,, m , 1 ,, s )
故 1 , 2 ,, m , 1 , 2 ,, s 的秩
dim(W1 W2 )
dim W1 dim W2 m s
是 W1 W2 的基. W1 W2 ,令
1 2 1 2 , 1 ,1 W1 , 2 ,2 W2
设
1 k11 k2 2 km m 2 l1 1 l2 2 l s s
1 l2 2 ls s 2 km m 2 l1 1 k11 k2
4) dim(W1 W2 Wt ) dimW1 dimW2 dimWt ; 5) 各取合起来构成的基.
例3 设
P nn 的子空间
S
A A P nn , A A ,
T A A P nn , A A
证明:
S T P nn .
0 1 2 , 1 W1 , 2 W2
则 1 0, 2 0 ;
3)
W1 W2 0.
证明 1) 2)显然的
.
2) 3) W1 W2 ,则 W1 , W2 ,由
0 ( ),因而 0 ,故 W1 W2 0 3) 1) 设 W1 W2 中的向量 的分解式为
1 2 , 1 W1 , 2 W2
是唯一的.称 W1 W2 为直和(direct sum), 记为 W1 W2
下面,我们讨论子空间的和是直和的等价条件. 定理7.1 设为数域上的线性空间的两个子空间.则下 列命题等价: 1) W1 W2 是直和; 2) 零向量分解式是唯一的.即若
高等代数 6-7子空间的直和
V1 L(1,2 ), V2 L(2,3 ), V3 L(3 ) 这里，1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) 所以和 V1 V2不是直和.
V1 V2 是直和 1,2, ,r ,1,2, ,s 线性无关. 证：由题设，V1 L(1,2 , ,r ), dimV1 r V2 L(1,2, ,s ), dimV2 s V1 V2 L(1,2 , ,r ,1,2, ,s ). 若 1,2, ,r ,1,2, ,s 线性无关，
分解式唯一，即若 1 2 0,1 V1,2 V2 则必有 1 2 0.
证：必要性. V1 V2 是直和,
V1 V2, 的分解式唯一. 若1 2 0, 1 V1,2 V2
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
充分性. 设 V1 V2 ，它有两个分解式 1 2 1 2 , 1, 1 V1 , 2 , 2 V2 于是 (1 1) (2 2 ) 0 其中 1 1 V1, 2 2 V2
则它是 V1 V2 的一组基. 从而有
dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和. 反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1,2, ,r ,1,2, ,s 的秩为r＋s . 所以 1,2, ,r ,1,2, ,s 线性无关.
dim(V1 V2 ) 0
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价:
1） V1 V2 是直和 2）零向量分解式唯一
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) 所以和 V1 V2不是直和.
V1 V2 是直和 1,2, ,r ,1,2, ,s 线性无关. 证：由题设，V1 L(1,2 , ,r ), dimV1 r V2 L(1,2, ,s ), dimV2 s V1 V2 L(1,2 , ,r ,1,2, ,s ). 若 1,2, ,r ,1,2, ,s 线性无关，
分解式唯一，即若 1 2 0,1 V1,2 V2 则必有 1 2 0.
证：必要性. V1 V2 是直和,
V1 V2, 的分解式唯一. 若1 2 0, 1 V1,2 V2
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
充分性. 设 V1 V2 ，它有两个分解式 1 2 1 2 , 1, 1 V1 , 2 , 2 V2 于是 (1 1) (2 2 ) 0 其中 1 1 V1, 2 2 V2
则它是 V1 V2 的一组基. 从而有
dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和. 反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1,2, ,r ,1,2, ,s 的秩为r＋s . 所以 1,2, ,r ,1,2, ,s 线性无关.
dim(V1 V2 ) 0
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价:
1） V1 V2 是直和 2）零向量分解式唯一
高等代数中子空间直和的证明方法及应用
高等代数中子空间直和的证明方法及应用高等代数中子空间直和的证明方法及应用是一个重要的概念，也称为微分空间直和原理。
它可以用来证明各种类型的几何图形及其他几何结构的等价性，甚至可以用来证明不同类型的空间布局的等价性。
子空间直和定理指出，一个空间可以转化为其子空间的“直和”；也就是说，可以将原空间分解为若干子空间，并使用这些子空间重新构建原空间。
通常情况下，证明子空间直和会主要做以下几步：
（1）首先证明原空间本身是由它的一系列子空间组成的；（2）接着将上面的子空间称之为有界空间；
（3）然后，可以使用微分空间的直和原理将有界空间的子空间结合起来，并且令其它的子空间等价的表示出来。
高等代数中子空间直和的应用十分广泛，它可以用来证明各种类型的几何图形及其他几何结构的等价性。
例如，如果旋转某一几何图形，某一点会绕着某一点旋转，其他点会随之旋转，从而引出旋转群的概念，并被用于更具体的应用，比如识别特征。
另外，如果将空间分割为平面和三维空间，我们可以使用子空间直和原理来证明任意空间的几何结构的等价性，而不管它处于何种空间内。
此外，子空间直和在研究几何重整学中也非常有用，它可以用来证明形状重整的可能性，例如将正六边形重整为正三角形，可以用它来研究多维空间中的曲线和曲面，以及连通性等相关问题。
总之，高等代数中子空间直和的证明方法及应用十分广泛，可以帮助我们更好地理解几何图形、多维空间及其他几何结构的等价性，从而应用到实际中。
高等代数§6.7子空间的直和
由 V1 , 必有 P , 使A .
n
由 V2 , 有A 0.
从而
A A A( A ) A 0.
2
V1 V2 0
所以 P n V1 V2 .
练习 1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与②的
解空间： x1 x2 xn 0 ① ②
(2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2)
所以和 V1 V2不是直和.
而在和 V1 V3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的，
(2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上，对 (a1 , a2 , a3 ) V1 V3 ,
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
一、直和的定义
设 V1 ,V2为线性空间V的两个子空间，若和 V1 V2 中每个向量 的分解式
n
V1 V2
又 dimV dimV ( n 1) 1 n dim P n 1 2
P n V1 V2
练习： 2、和 V1 V2 Vs 是直和
Vi V j 0 ,
j 1 i 1
i 1,2,, s
证: " " 若V1 V2 Vs 是直和,
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义
二、直和的判定 三、多个子空间的直和
引入
设 V1 ,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式
高等代数中子空间直和的证明方法及应用
高等代数中子空间直和的证明方法及应用高等代数中子空间直和可以证明向量空间中子空间的组合是一个新的子空间。
它有助于理解整个子空间的构成，例如子空间变换，因此，在高等代数中应用这一方法非常常见。
子空间直和的证明方法主要有两种：结构性证明和数学归纳法证明。
结构性证明由于其较好的直观效果，通常被推荐用来证明子空间直和。
结构性证明的步骤如下：首先，在子空间V和W中定义两个线性表达式a和b，满足ax + bz = 0，这样就定义了子空间V和W的和空间。
其次，证明任何向量x + z在子空间V和W中均为零。
对于任意给定的向量x + z，设α和β分别为它在V和W中的系数，由于αx + βz = 0，所以它必定等于零。
最后，证明每个给定的向量限于V和W的和的子空间。
由于它们均可以由V和W中定义的线性组合给出，因此限于V和W的和的子空间中的任何向量必定都可以写成V和W的线性组合。
这就是子空间直和的证明。
子空间直和在多个领域中得到了广泛应用，如数值分析、线性代数、统计学中等。
在数值分析中，子空间直和常常用于求解多元函数的最小值。
由于多元函数的大部分特性都可以用子空间直和来表示，所以在求解最优解时，可以使用它来作为一种简单的证明方法。
在线性代数中，子空间直和可以用来证明一个矩阵A的某个子空间P是一个空间基的子空间。
由于任意矩阵A都可以由一组空间基来表示，因此用子空间直和来证明一个矩阵A的子空间P是一个空间基子空间有其独特的优势。
在统计学中，子空间直和可以用来求解某类随机变量的数学期望。
假设X和Y是两个独立的变量，则E(X + Y) = E(X) + E(Y)。
由于E(X + Y) = E(X) + E(Y)，因此它可以用来证明任何随机变量的数学期望的等式。
总之，高等代数中的子空间直和可以用来证明子空间的组合是一个新的子空间，而证明方法主要有结构性证明和数学归纳法证明，并在数值分析、线性代数、统计学等多个领域得到广泛应用。
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故 V1 V2 是直和.
§6.7 子空间的直和
2、和 V1 V2是直和 V1 V2 0.
证：“ ” 若1 2 0, 1 V1, 2 V2 .
则有 1 2 V1 V2 0
1 2 0, 即V1 V2 是直和. “ ” 任取 V1 V2 , 于是零向量可表成
0 ( ), V 1, V2.
再证 Pn V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
任取 V1 V2, 即 V1且 V2 . 由 V1, 必有 Pn, 使A . 由 V2 , 有A 0. 从而 A A2 A( A ) A 0.
V1 V2 0
所以 Pn V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
练习 1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与②的
§6.7 子空间的直和
充分性. 设 V1 V2 ，它有两个分解式 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2
于是 (1 1 ) (2 2 ) 0 其中 1 1 V1, 2 2 V2
由零向量分解成唯一，且 0= 0 0,
有 1 1 0, 2 2 0. 即 1 1, 2 2 的分解式唯一.
在(*)式中，设最后一个不为0的向量是 i , (i s)
则(*)式变为 0 1 2 i ,
这时， 1 2 i1 i i Vi (V1 V2 Vi1 ) Vi
即 i 0, 矛盾. 所以，V1 V2
§6.7 子空间的直和
i 1
Vj {0}
j 1
Vs 是直和.
任取 A , A V1, k P, 有
A A A( ) V1, k( A ) A(k ) V1.
V1 是 Pn的子空间.
§6.7 子空间的直和
下证V2 是 Pn的子空间. A0 0, 0 V2
又对 , V2 , k P, 有 A 0, A 0,
从而有 A( ) A A 0 0 0 A(k ) kA k0 0
§6.7 子空间的直和
而在和 V1 V3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的， (2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上，对 (a1,a2 ,a3 ) V1 V3 , 都只有唯一分解式： (a1,a2 ,0) (0,0,a3 ).
故 V1 V2是直和.
§6.7 子空间的直和
则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
5、设 1, 2 , , r ; 1,2 , ,s 分别是线性子空间
V1,V2 的一组基，则
V1 V2 是直和 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关. 证：由题设，V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ). 若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，
dim(V1 V2 ) 0
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面
四个条件等价: 1） V1 V2 是直和 2）零向量分解式唯一
3） V1 V2 0
4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 则必存在一个子空间W，使 V U W .
则它是 V1 V2 的一组基. 从而有
§6.7 子空间的直和
dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和. 反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
二、直和的判定
1、(定理8) 和 V1 V2是直和的充要条件是零向量
分解式唯一，即若 1 2 0,1 V1,2 V2 则必有 1 2 0.
证：必要性. V1 V2 是直和, V1 V2 , 的分解式唯一. 若1 2 0, 1 V1,2 V2
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
解空间：
x1 x2
xn 0
①
x1 x2
xn
②
证明: Pn V1 V2
证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系
1 (1,0, ,0,1) 2 (0,1, ,0, 1)
n1 (0,0, ,1, 1)
§6.7 子空间的直和
V1 L(1 , 2 , , n1 ).
再解齐次线性方程组②.
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，若和V1 V2 中每个向量 的分解式
1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的，和 V1 V2就称为直和，记作 V1 V2 .
注: ① 分解式 1 2 唯一的，意即
若有 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 ,2 , 2 V2 则 1 1,2 2.
§6.7 子空间的直和
2、判定
设 V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，则下面
四个条件等价:
s
1）W Vi是直和
i 1
2）零向量分解式唯一，即
1 2 s 0, i Vi , 必有 i 0, i 1, 2, , s
3） Vi Vj 0,i 1,2, , s
ji s
4）dimW dimVi
由于V1 V2 是直和，零向量分解式唯一，
0. 故 V1 V2 0.
§6.7 子空间的直和
3、和 V1 V2 是直和 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 证：由维数公式
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 有， dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
§6.7 子空间的直和
三、推广 多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
s
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 的分解式
i 1
1 2 s , i Vi , i 1, 2, , s
s
是唯一的，则和 Vi 就称为直和，记作
i 1
V1 V2 Vs
§6.7 子空间的直和
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间
V1 L(1, 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 ) 这里，1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) 所以和 V1 V2不是直和.
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
由 x1 x2
xn
x1 xn 0
即
x2 xn
0
xn1
xn
0
得②的一个基础解系 (1,1, ,1)
V2 L( ). 考虑向量组 1 , 2 , , n1,
§6.7 子空间的直和
10
01 由于 0 0
0 1 0 1 1 1 0
11 1 1
1 , 2 , , n1, 线性无关，即它为Pn的一组基.
i 1
故 V L(1) L( 2 ) L( n ).
§6.7 子空间的直和
得证.
例 2、已知 A Pnn，设
V1
AX
X
P
n
,
V2
X
X P n , AX
0
证明：1）V1、V2 是 Pn的子空间.
2）当 A2 A 时， Pn V1 V2 .
证：1） 0 A0, 0 V1
称这样的W为V的一个关于U的余子空间.
§6.7 子空间的直和
证：取U的一组基 1 ,2 , ,m 把它扩充为V的一组基 1 ,2 , ,m ,m1 , ,n 令 W L(m1 ,m2 , ,n ), 则 V U W .
注意：
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ),
Pn L(1 , 2 , , n1 , n ) L(1 , 2 , , n1 ) L( n )
V1 V2 又 dimV1 dimV2 (n 1) 1 n dim Pn
P n V1 V2
§6.7 子空间的直和
练习： 2、和 V1 V2 Vs 是直和
i 1
Vi Vj 0,
j 1
i 1,2, , s
证: " " 若V1 V2 Vs是直和,
则 Vi Vj 0,
ji
i 1
§6.7 子空间的直和
2、和 V1 V2是直和 V1 V2 0.
证：“ ” 若1 2 0, 1 V1, 2 V2 .
则有 1 2 V1 V2 0
1 2 0, 即V1 V2 是直和. “ ” 任取 V1 V2 , 于是零向量可表成
0 ( ), V 1, V2.
再证 Pn V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
任取 V1 V2, 即 V1且 V2 . 由 V1, 必有 Pn, 使A . 由 V2 , 有A 0. 从而 A A2 A( A ) A 0.
V1 V2 0
所以 Pn V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
练习 1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与②的
§6.7 子空间的直和
充分性. 设 V1 V2 ，它有两个分解式 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2
于是 (1 1 ) (2 2 ) 0 其中 1 1 V1, 2 2 V2
由零向量分解成唯一，且 0= 0 0,
有 1 1 0, 2 2 0. 即 1 1, 2 2 的分解式唯一.
在(*)式中，设最后一个不为0的向量是 i , (i s)
则(*)式变为 0 1 2 i ,
这时， 1 2 i1 i i Vi (V1 V2 Vi1 ) Vi
即 i 0, 矛盾. 所以，V1 V2
§6.7 子空间的直和
i 1
Vj {0}
j 1
Vs 是直和.
任取 A , A V1, k P, 有
A A A( ) V1, k( A ) A(k ) V1.
V1 是 Pn的子空间.
§6.7 子空间的直和
下证V2 是 Pn的子空间. A0 0, 0 V2
又对 , V2 , k P, 有 A 0, A 0,
从而有 A( ) A A 0 0 0 A(k ) kA k0 0
§6.7 子空间的直和
而在和 V1 V3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的， (2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上，对 (a1,a2 ,a3 ) V1 V3 , 都只有唯一分解式： (a1,a2 ,0) (0,0,a3 ).
故 V1 V2是直和.
§6.7 子空间的直和
则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
5、设 1, 2 , , r ; 1,2 , ,s 分别是线性子空间
V1,V2 的一组基，则
V1 V2 是直和 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关. 证：由题设，V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ). 若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，
dim(V1 V2 ) 0
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面
四个条件等价: 1） V1 V2 是直和 2）零向量分解式唯一
3） V1 V2 0
4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 则必存在一个子空间W，使 V U W .
则它是 V1 V2 的一组基. 从而有
§6.7 子空间的直和
dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和. 反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
二、直和的判定
1、(定理8) 和 V1 V2是直和的充要条件是零向量
分解式唯一，即若 1 2 0,1 V1,2 V2 则必有 1 2 0.
证：必要性. V1 V2 是直和, V1 V2 , 的分解式唯一. 若1 2 0, 1 V1,2 V2
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
解空间：
x1 x2
xn 0
①
x1 x2
xn
②
证明: Pn V1 V2
证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系
1 (1,0, ,0,1) 2 (0,1, ,0, 1)
n1 (0,0, ,1, 1)
§6.7 子空间的直和
V1 L(1 , 2 , , n1 ).
再解齐次线性方程组②.
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，若和V1 V2 中每个向量 的分解式
1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的，和 V1 V2就称为直和，记作 V1 V2 .
注: ① 分解式 1 2 唯一的，意即
若有 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 ,2 , 2 V2 则 1 1,2 2.
§6.7 子空间的直和
2、判定
设 V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，则下面
四个条件等价:
s
1）W Vi是直和
i 1
2）零向量分解式唯一，即
1 2 s 0, i Vi , 必有 i 0, i 1, 2, , s
3） Vi Vj 0,i 1,2, , s
ji s
4）dimW dimVi
由于V1 V2 是直和，零向量分解式唯一，
0. 故 V1 V2 0.
§6.7 子空间的直和
3、和 V1 V2 是直和 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 证：由维数公式
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 有， dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
§6.7 子空间的直和
三、推广 多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
s
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 的分解式
i 1
1 2 s , i Vi , i 1, 2, , s
s
是唯一的，则和 Vi 就称为直和，记作
i 1
V1 V2 Vs
§6.7 子空间的直和
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间
V1 L(1, 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 ) 这里，1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) 所以和 V1 V2不是直和.
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
由 x1 x2
xn
x1 xn 0
即
x2 xn
0
xn1
xn
0
得②的一个基础解系 (1,1, ,1)
V2 L( ). 考虑向量组 1 , 2 , , n1,
§6.7 子空间的直和
10
01 由于 0 0
0 1 0 1 1 1 0
11 1 1
1 , 2 , , n1, 线性无关，即它为Pn的一组基.
i 1
故 V L(1) L( 2 ) L( n ).
§6.7 子空间的直和
得证.
例 2、已知 A Pnn，设
V1
AX
X
P
n
,
V2
X
X P n , AX
0
证明：1）V1、V2 是 Pn的子空间.
2）当 A2 A 时， Pn V1 V2 .
证：1） 0 A0, 0 V1
称这样的W为V的一个关于U的余子空间.
§6.7 子空间的直和
证：取U的一组基 1 ,2 , ,m 把它扩充为V的一组基 1 ,2 , ,m ,m1 , ,n 令 W L(m1 ,m2 , ,n ), 则 V U W .
注意：
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ),
Pn L(1 , 2 , , n1 , n ) L(1 , 2 , , n1 ) L( n )
V1 V2 又 dimV1 dimV2 (n 1) 1 n dim Pn
P n V1 V2
§6.7 子空间的直和
练习： 2、和 V1 V2 Vs 是直和
i 1
Vi Vj 0,
j 1
i 1,2, , s
证: " " 若V1 V2 Vs是直和,
则 Vi Vj 0,
ji
i 1