初三数学-二次函数讲义-详细
二次函数(基础思想)讲义
二 次 函 数1、二次函数的常见解析式及其三要素①a 的符号决定抛物线的的开口大小、形状相同；如果a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。
2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。
⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。
基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2– 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ； 2、抛物线 y = 2x 2+ 12x – 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y =x 2－2x + 3配方为y =（x －h ）2+ k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是 。
5、抛物线 y = - 3x 2+ 5x - 4开口 , y = 4x 2– 6x + 5 开口 .6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。
7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x的增大而减小。
初三数学二次函数的表达式讲义
学科教师辅导讲义一、 知识梳理二、 知识概念（一）二次函数解析式的表示方法1、一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2、顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3、两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.体系搭建（二）二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．考点一：一般式例1、如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（）A．y=x2﹣x﹣2B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2C．y=﹣x2+x+2D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2例2、如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．考点二：顶点式例1、根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（）x…﹣1012…y…﹣12…A．y=x B．y=﹣C．y=（x﹣1）2+2D．y=﹣（x﹣1）2+2例2、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=﹣3（x﹣1）2+3B．y=3（x﹣1）2+3C．y=﹣3（x+1）2+3D．y=3（x+1）2+3例3、若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（）A．0 5B．0 1C．﹣4 5D．﹣4 1考点三：交点式（两根式）例1、如图，已知抛物线l1：y=（x﹣2）2﹣2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（）A．y=（x﹣2）2+4B．y=（x﹣2）2+3C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x﹣2）2+1例2、图象经过P（3，4）且与x轴两个交点的横坐标为1和﹣2，求这个二次函数的解析式．考点四：待定系数法例1、如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=1，请直接写出点P的坐标．例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．实战演练➢课堂狙击1、与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y=1+x2B．y=（2x+1）2C．y=（x﹣1）2 D．y=2x22、一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x﹣1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2+3C．y=﹣（2x+1）2+3D．y=﹣（2x﹣1）2+33、二次函数y=x2﹣6x+5配成顶点式正确的是（）A．y=（x﹣3）2﹣4B．y=（x+3）2﹣4C．y=（x﹣3）2+5D．y=（x﹣3）2+144、二次函数图象如图所示，则其解析式是（）A．y=﹣x2+2x+4B．y=x2+2x+4C．y=﹣x2﹣2x+4 D．y=﹣x2+2x+35、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2B．y=x2﹣x+2C．y=x2+x﹣2D．y=x2+x+26、如图，△AOB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=﹣x+m与x轴交于点E．（1）求点E的坐标；（2）求过A、O、E三点的抛物线的解析式．7、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D （1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求直线CM的解析式；（3）求△MCB的面积．➢课后反击1、已知抛物线y=x2﹣2x+c的顶点在x轴上，你认为c的值应为（）A．﹣1B．0C．1D．22、对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式（）A．y=﹣2x2+8x+3B．y=﹣2x‑2﹣8x+3C．y=﹣2x2+8x﹣5D．y=﹣2x‑2﹣8x+23、把二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a（x+m）2+k的形式是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x﹣2）2﹣1C．y=（x﹣2）2+3D．y=（x﹣2）2﹣3 4、若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b，k的值分别（）A．0，5B．﹣4，1C．﹣4，5D．﹣4，﹣15、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=﹣3（x﹣1）2+3B．y=3（x﹣1）2+3C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+36、若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2﹣4x﹣1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（）A．y=﹣x2+2x+4B．y=﹣ax2﹣2ax﹣3（a＞0）C．y=﹣2x2﹣4x﹣5D．y=ax2﹣2ax+a﹣3（a＜0）7、已知二次函数y=ax2（a≠0）与一次函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），（1）求二次函数和一次函数解析式．（2）求△OAB的面积．8、已知：二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和C（0，2）．（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数y=﹣x2+bx+c的图象在直线y=1上方的部分沿直线y=1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G，点M（m，y1）在图象G上，且y1≥0，求m的取值范围．直击中考1、【2016•兰州】二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x﹣2）2+42、【2013•深圳】已知二次函数y=a（x﹣1）2﹣c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）A．B．C．D．3、【2011•泰安】若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值为（）x﹣7﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2y﹣27﹣13﹣3353A．5B．﹣3C．﹣13D．﹣274、【2008•济宁】已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y=x2﹣2x+3B．y=x2﹣2x﹣3C．y=x2+2x﹣3 D．y=x2+2x+35、【2010•深圳】如图所示，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S‑PAD=4S‑ABM成立，求点P的坐标．重点回顾二次函数表达式的三种形式：一般式、顶点式、交点式；待定系数法名师点拨1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．学霸经验➢本节课我学到➢我需要努力的地方是。
初三数学二次函数讲义
学科教师辅导讲义体系搭建(a ＞0)(a ＜0) 开口向上 开口向下 直线x ＝－b2a直线x ＝－b2a⎛⎫b 4ac －b 2⎛⎫b 4ac －b 2（3）当Δ＞0时，有两个不同的交点；当Δ＝0时，有一个交点；当Δc＜0时，抛物线与x轴没有交点．考点一：二次函数的定义例1、若y=（1+m）是二次函数，且开口向下，则m的值为（）A．±3B．﹣3C．+3D．0例2、下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c模型的是（）A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B．我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与半径之间的关系考点二：二次函数的图像与性质例1、一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．例2、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0 ；③4ac﹣b2＜8a ；④＜a＜；⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤例3、将抛物线y=2（x+1）2﹣2向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得新抛物线的表达式（）A．y=2（x+3）2B．y=（x+3）2C．y=（x﹣1）2D．y=2（x﹣1）2考点三：二次函数的表达式例1、把二次函数y=﹣x2﹣x+3配方化为y=a（x﹣h）2+k形式（）A．y=﹣（x﹣2）2+2B．y=﹣（x﹣2）2+4C．y=﹣（x+2）2+4D．y=﹣（x﹣1）2+3例2、二次函数图象如图所示，则其解析式是（）A．y=﹣x2+2x+4B．y=x2+2x+4C．y=﹣x2﹣2x+4D．y=﹣x2+2x+3考点四：二次函数的应用例1、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（）A．20B．1508C．1550D．1558例2、如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，反映y与x之间函数关系的大致图形是（）A．B．C．D．例3、某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？考点五：二次函数与一元二次方程例1、若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（）A．0＜k＜4B．﹣3＜k＜1C．k＜﹣3或k＞1D．k＜4例2、如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点P（41，m）在此“波浪线”上，m的值为（）A．2B．﹣2C．0D．实战演练➢课堂狙击1、若y=（a2+a）是二次函数，那么（）A．a=﹣1或a=3B．a≠﹣1或a≠0C．a=3D．a=﹣12、下列函数关系中，是二次函数的是（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系B．当距离一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系C．矩形的面积S和矩形的宽x之间的关系D．等边三角形的面积S与边长x之间的关系3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的对称轴是（）A．直线x=﹣3B．直线x=﹣2C．直线x=﹣1D．直线x=04、如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45、将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y=（x+1）2﹣13B．y=（x﹣5）2﹣3C．y=（x﹣5）2﹣13D．y=（x+1）2﹣3 6、二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中可能的图象为（）A．B．C．D．7、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b2=4a．正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④8、若二次函数y=﹣x2+2x+m2+1的最大值为4，则实数m的值为（）A．B．C．±2D．±19、某宾馆有客房50间，当每间客房每天的定价为220元时，客房会全部住满；当每间客房每天的定价增加10元时，就会有一间客房空闲，设每间客房每天的定价增加x元时，客房入住数为y间．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）如果每间客房入住后每天的各种支出为40元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大？10、如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．➢课后反击1、若y=（1+m）是二次函数，且开口向下，则m的值为（）A．±3B．﹣3C．+3D．02、在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+5x+b的图象可能是（）A．B．C．D．3、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个4、已知二次函数y=ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为（）A．3B．﹣1C．4D．4或﹣15、若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（）A．y=﹣（x﹣2）2﹣1B．y=﹣（x﹣2）2﹣1C．y=（x﹣2）2﹣1D．y=（x﹣2）2﹣16、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=﹣3（x﹣1）2+3B．y=3（x﹣1）2+3C．y=﹣3（x+1）2+3D．y=3（x+1）2+37、某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销量y（件）之间关系如表所示：x/元130150165y/件70 50 35若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？8、已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m=0．（1）求证：不论m为任何实数时，该方程总有两个实数根；（2）若抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m与x轴交于A、B两点（点A与点B在y轴异侧），且AB=4，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m向上平移b个单位长度后，所得到的图象与直线y=x没有交点，请直接写出b的取值范围．直击中考1、【2016•广州】对于二次函数y=﹣+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x=2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）D．图象与x轴有两个交点2、【2016•赤峰】函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．3、【2016•临沂】二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10…y…40﹣2﹣204…下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是x=﹣4、【2016•兰州】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45、【2016•武汉】某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲6a20200乙201040+0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．重点回顾二次函数的定义；二次函数的图像与性质；二次函数的表达式与应用；二次函数与一元二次方程。
二次函数知识点总结ppt
二次函数知识点总结ppt一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线，开口方向取决于a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
4. 二次函数的对称轴二次函数的对称轴是通过抛物线顶点且垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。
5. 二次函数的平移二次函数的图像可以通过平移来变换位置，如上下平移、左右平移等。
6. 二次函数的零点二次函数的零点是函数与x轴相交的点，其坐标为(x1, 0)和(x2, 0)，其中x1和x2分别是二次方程ax^2+bx+c=0的根。
二、性质及相关概念1. 二次函数的坐标二次函数的坐标为(x, y)，其中x为自变量，y为因变量。
2. 二次函数的定义域二次函数的定义域为实数集R。
3. 二次函数的值域二次函数的值域取决于抛物线开口方向和顶点坐标。
4. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)，当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
5. 二次函数的判别式二次函数的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ>0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ=0时，二次函数有两个相等的实根；当Δ<0时，二次函数无实根。
6. 二次函数的性质（1）a的正负决定抛物线开口方向和抛物线的最值；（2）a的绝对值大小决定抛物线的开口程度；（3）b决定了抛物线的位置；（4）c决定了抛物线与y轴的交点。
三、二次函数的图像及相关变换1. 抛物线开口向上的二次函数二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，抛物线开口向上。
2. 抛物线开口向下的二次函数二次函数y=ax^2+bx+c，当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的平移二次函数y=ax^2+bx+c的平移变换为y=a(x-h)^2+k，其中(h, k)为抛物线顶点坐标。
初三数学-二次函数讲义-详细
二次函数一、二次函数的解析式1. 二次函数解析式有三种：(1)一般式：y ax bx c a =++≠20()(2)顶点式：()y a x h k =-+2顶点为()h k ，(3)交点式：()()y a x x x x =--12 ()()x x 120，，是图象与x 轴交点坐标。
2.根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式. 二、二次函数与一元二次方程1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠与一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的关系。
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况。
2.图像与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()()1212,0,,0A x B x x x ≠，其中12,x x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根；②当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点； ③当0∆<时，图像与x 轴没有交点。
1’ 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y > 2’ 当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。
板块一 二次函数解析式 1.(1)把函数23212++=x x y 化成它的顶点式的形式为_______________________； (2)把函数6422++-=x x y 化成它的交点式形式为____________________________； (3)把函数()2324y x =-+化为它的一般式的形式为__________________________； (4)把函数12)1(32--=x y 化成它的交点式为__________________________;(5)把函数的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的二次函数解析式是 ；(6)把抛物线322-+=x x y 向左平移3个单位,然后向下平移2个单位,则所得的抛物线的解析式为 .2.(1) 抛物线了y=a(x+1)(x-3)(a ≠0)的对称轴是直线 ( )22x y =A ．x=1B ．x=－1C ．x=－3D ．x=3(2)二次函数y=(x+1)2+2的最小值是 ( )A ．2B ．1C ．－3D ．233.(1)已知一个二次函数过(0 ，0)，(-1 ，11)，(1， 9)三点，求二次函数的解析式。
(完整word版)九年级数学上册二次函数讲义
初三数学 二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
初三试讲 二次函数.pdf
二次函数知识点归纳：1、二次函数的定义一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．2、二次函数的自变量的取值范围（1）一般情况下，二次函数的自变量的取值范围是全体实数．如二次函数y＝2x2－x＋1，y=－x2＋2，它们的自变量x的取值范围为全体实数．（2）实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．如圆的面积S与圆的半径r的关系式S＝πr2是一个二次函数，自变量r的取值范围是r>0，这里r不能小于或等于0．3、回顾学过的函数一次函数y＝kx＋b(k≠0)，其中包括正比例函数y＝kx(k≠0).反比例函数(k≠0)，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这些函数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质知识归纳:1、用配方法可把y=ax2＋bx＋c(a≠0)化成y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，形状与y=ax2的形状相同，只是位置不同．2、y=ax2＋bx＋c配方为，故抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为，对称轴为直线．3、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质如下：①当a>0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向上，时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最小值，则抛物线的顶点是其最低点．②当a<0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向下，时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最大值，则抛物线的顶点是其最高点．二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质知识归纳:1、二次函数y=a(x－h)2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的形状与y=ax2(a≠0)的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k的顶点是(h，k)，对称轴是直线x=h．2、二次函数y=a(x －h)2＋k(a ≠0)的性质如下：当a>0时，若x<h ，则y 随x 的增大而减小；若x>h ，则y 随x 的增大而增大；当x=h 时，y 有最小值k ；当a<0时，若x<h ，则y 随x 的增大而增大；若x>h ，则y 随x 的增大而减小；当x=h 时，y 有最大值k ．3、抛物线y=a(x －h)2＋k(a ≠0)与y=ax 2(a ≠0)的关系．抛物线y=ax 2向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位，得抛物线y=a(x －h)2，再把抛物线y=a(x －h)2向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得抛物线y=a(x －h)2＋k ．（二）、知识要点1.二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
九年级数学上册二次函数讲义
初三数学 二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质： 上加下减。
()2x h -4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；0a >二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y 1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
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二次函数一、二次函数的解析式1. 二次函数解析式有三种：(1)一般式：y ax bx c a =++≠20() (2)顶点式：()y a x h k =-+2 顶点为()h k ， (3)交点式：()()y a x x x x =--12 ()()x x 120，，是图象与x 轴交点坐标。
2.根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式.二、二次函数与一元二次方程1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠与一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的关系。
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况。
2.图像与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()()1212,0,,0A x B x x x ≠，其中12,x x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根；②当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；③当0∆<时，图像与x 轴没有交点。
1’ 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >2’ 当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。
板块一 二次函数解析式1.(1)把函数23212++=x x y 化成它的顶点式的形式为_______________________；(2)把函数6422++-=x x y 化成它的交点式形式为____________________________；(3)把函数()2324y x =-+化为它的一般式的形式为__________________________；(4)把函数12)1(32--=x y 化成它的交点式为__________________________;(5)把函数22x y =的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的二次函数解析式是 ；(6)把抛物线322-+=x x y 向左平移3个单位,然后向下平移2个单位,则所得的抛物线的解析式为 .2.(1) 抛物线了y=a(x+1)(x-3)(a ≠0)的对称轴是直线( ) A ．x=1 B ．x=－1 C ．x=－3 D ．x=3(2)二次函数y=(x+1)2+2的最小值是( )A ．2B ．1C ．－3D ．233.(1)已知一个二次函数过(0 ，0)，(-1 ，11)，(1， 9)三点，求二次函数的解析式。
(2)已知二次函数2y ax bx c =++的对称轴为2x =,且经过点(1，4),(5,0),求二次函数的解析式。
(3)已知二次函数过点(0，-1)，且顶点为(-1,2)，求二次函数的解析式，并化成它的一般形式。
(4)已知二次函数的图像与x 轴交于A(-1，0)，B(2，0)，并经过点M(1，2)求二次函数的解析式。
4.已知二次函数的图象与x 轴交于A(-2，0)、B(3，0)两点，且函数有最大值是2.(1)求二次函数的图象的解析式；(2)设次二次函数的顶点为P ，求△ABP 的面积.板块二 二次函数与方程1.(1)二次函数2y ax bx c =++与x 轴的两个交点坐标为(-1,0)、(5,0)，则一元二次方程20ax bx c ++=的两根为_____________.(2)如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是3和-1.则二次函数2y ax bx c =++的图像的对称轴是直线_________________.(3)已知二次函数24y x x m =-++的部分图像如右图所示，则关于x 的一元二次方程240x x m -++=的解是______________.2.根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，判断方程()200,,,ax bx c a a b c ++=≠为常数的一个解x 的范围是( )A.6 6.17x <<B. 6.17 6.18x <<C. 6.18 6.19x <<D.6.19 6.20x <<3.已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：…………则下列判断中正确的是( )A.抛物线开口向上B. 抛物线与y 轴交于负半轴C. 当4x =时，0y >D.方程20ax bx c ++=的正根在3和4之间4.(1)已知直线5y x k =+与抛物线235y x x =++的交点的横坐标为1，则k=________(2)直线41y x =+与抛物线22y x x k =++有唯一的交点，则k=___________(3)直线6y ax =-与抛物线243y x x =++只有一个交点，则a=___________(4)当m 取何值时，抛物线2y x =与直线y x m =+：①有公共交点；②没有公共点5.已知关于x 的二次函数()222134y x m x m m =--+++，探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图像与x 的交点个数。
6.二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图像如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出x 为何值时，y 的值大于0；(2)写出x 为何值时，y 随x 的增大而增大； (3)若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
板块三 二次函数与不等式1.(1)不论x 为何值时，2y ax bx c =++永远为正值的条件是( )A ．0,0a >∆< B. 0,0a >∆≥ C. 0,0a >∆> D. 0,0a <∆<(2)若抛物线()2123y m x mx m =-+++位于x 轴上方，则m 的取值范围是( )A. 1m >B. 32m >C. 32m ≥D. 312m << (3)二次函数2y ax bx c =++对于x 的任何值都恒为负值的条件是( )A ．0,0a >∆> B. 0,0a >∆< C. 0,0a >∆> D. 0,0a <∆<2.（1）如图1所示：抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴是直线x=1，则（ ）（A ）0>c ；（B ）02=+b a （C ）042>-ac b ； （D ）0>+-c b a（2）已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图2所示，则下列四个结论：①b<0；②c>0；③b 2一4ac>0； ④a-b+c<0，其中正确的个数是 ( ) A ．1 B ． 2C ．3D ．4(3)已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图3所示，则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ，2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为 ( )A ．2B ． 3C ．4D ． 5(4)如图4，在直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系式不正确的是 ( )A ．h=mB ．k=nC ．k>nD ．h>0，k>01-11x y O 图 1 图 2（5）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图6所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤(6)已知二次函数2y ax bx c （0≠a ）的图象如图7所示，则下列结论：1）,a b 同号；2）当1x和3x 时，函数值相同；3）40a b ；4）当2y 时，x 的值只能为0；其中正确的是3.(1)如图7，)0(21≠++=a c bx ax y 与m kx y +=2的图像交于点A （-2，4），B （8，2），观察图像，写出21y y ≥时x 的取值范围 ，方程m kx c bx ax +=++2的解为 。
图7 图8(2)二次函数223y x x =--的图象如图8所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是 ． (3)已知，抛物线562+-=x x y ,满足0562<+-x x 的x 的取值范围是 .4.如图，直线y x m =+和抛物线2y x bx c =++都经过点A(1，0)，B(3，2)。
（1） 求m 的值和抛物线的解析式；（2） 求不等式2x bx c x m ++>+的解集【课后练习】1.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )2.小强从如图1所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，观察得出了下列五个结论：①a<0；②c>1；③b>0；④a+b+c>0；⑤a －b+c>0．其中正确的个数是 ( )A ．2B ． 3C ．4D ． 53.二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图2所示，则下列判断错误的是( )1xDy O 图1A ．a<0B ． b<0C ．c<0D ． b 2—4ac<04.用配方法把二次函数y=x 2－4x+3 变成它的顶点式为______________________5.已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，－2)，求这个二次函数的解析式．6.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）方程20ax bx c ++=的两个根是_______________ （2）不等式20ax bx c ++>的解集是_______________（3）y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围是_______________（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________7.如图，二次函数过点A(0，－2)，B(－1，0)，C )89,45(． xyO 1322(1)求此二次函数的解析式．(2)点M(1，21)是否在直线AC 上? (3)过点M(1，21)作一条直线l 与二次函数的图象交于E 、F 两点(不同于A 、B 、C 三点)，请自己给出点E 的坐标，并证明△BEF 是直角三角形．。