经济数学线性代数第二版课后答案(吴传生著)高等教育出版社(20201014001441)
线性代数(经管类)参考答案
参考答案一.选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1—5 C A B B D二. 填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）6. ___6_____.7. 2111⎛⎫⎪⎝⎭8. 13 9. ()10,25,16- 10. ()2,1,0T- 11. -2 12. 3 13. 60 14. 43,55⎛⎫⎪⎝⎭15. 2 三.计算题（本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分）16 . 解一 100100010010011001001001a a a b a b D c a b c d d ++==-++--100010001000aa ba b c d a b c a b c d+==++++++++解二 ()()111410111111101101001bD c a d++-=-⋅⋅-+-⋅---a b c d =+++ 17.解： 2AB -A =B -E2∴AB -B =A -E ()2A-E B =A -E()()12-∴B =A -E A-E()()()1-=A -E A -E A +E()=A+E315052432⎛⎫ ⎪B =- ⎪⎪-⎝⎭()12412112412118.,123012001113233012015234T T --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪A B =→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解：12412112032110152340103211001113001113---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→----→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ 1003211100321101032110103211001113001113--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 3211=3211113T -⎛⎫ ⎪X -- ⎪ ⎪-⎝⎭则，331=22111113-⎛⎫⎪X - ⎪ ⎪--⎝⎭故.19.解：()12345,,,,αααααT T T T TA =1114311143113210113121355000003156700000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪----- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∴向量组的秩=2且1α，2α是一个极大无关组(回答1α,3α；1α,4α；1α,5α也可).20.解：对增广矩阵作初等行变换()101211012110121213140113201132=123450226400000112130113200000b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪A A =→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 同解方程组为1342342132x x x x x x =---⎧⎨=-+-⎩，34x x ，是自由未知量，特解()*=1200ηT --，，， 导出组同解方程组为13423423x x x x x x =--⎧⎨=-+⎩，34x x ，是自由未知量，基础解系()1=1110ξT--，，，，()2=2301ξT-，，，，通解为*1122=k k ηηξξ++，12k k R ∈，21.解：特征方程()()2200=0212221001a a aλλλλλλλλ-E -A --=---+-=-- 将特征值=1λ代入特征方程有()()=1212210a a E-A ---+-=，则2a =. 故()()()=213=0λλλλE-A ---，特征值为123=2=1=3λλλ，，.1=2λ对应的齐次线性方程组为123000000100100x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为23=0=0x x ⎧⎨⎩，1x 是自由未知量，特征向量1100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1ξ单位化为1100p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2=1λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨-⎩，3x 是自由未知量，特征向量2011ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，2ξ单位化为2011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，3=3λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨⎩，3x 是自由未知量，特征向量3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3ξ单位化为3011p ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 正交矩阵()123100,,00Q p p p ⎛⎫⎪⎪==⎝，213⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，使得1Q Q -A =Λ.011101110-⎛⎫ ⎪A =- ⎪ ⎪⎝⎭22.解：二次型矩阵()()211=11=21=011λλλλλλ--A -E ---+--令，123=2==1λλλ-得，.1211101=22=121011112000λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-A +E -→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，132333x x x x x x =-⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩ 1111ξ-⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则1111-⎛⎫⎪P =-⎪⎪⎭ 23111111==1=111000111000λλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪A +E --→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当时,1232233x x x x x x x =-+⎧⎪∴=⎨⎪=⎩ 2110ξ-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭， 3112ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则2110-⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭，3112⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭因此=0⎛ ⎪T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，X=TY . 化二次型为2221232f y y y =-++.四.证明题（本大题7分）23.证明：基础解系中向量个数为3.设()()()1123212331232220k k k ααααααααα++++++++=即()()()1231123212332220k k k k k k k k k ααα++++++++=123,,ααα是基础解系，故线性无关，因此123123123202020k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，系数行列式21112140112A ==≠，则齐次线性方程组只有零解， 故1230k k k ===.因此1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++线性无关. 又()()()1231231231231231232=2=02=2=02=2=0ααααααααααααααααααA ++A +A +A A ++A +A +A A ++A +A +A 则1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++也是该方程组的基础解系.说明：1.试卷题目均要求为自学考试真题；2.命题参照自学考试试卷的题型、题量；3.根据课程性质不同，可以更换或调整题型；4.试卷格式统一为：宋体 五号 单倍行距；选择题选项尽量排在一行；其他题型留出适当的答题区域。
大学《线性代数》第2版(清华大学出版社、居余马)课后习题详细答案-较完整
1 a2 a3 1 0
0
( )( ) ( )( ) 22、解法 1： 1 b2 b3 = 1 b2 − a2 b3 − a3 = b2 − a2 c3 − a3 − c2 − a2 b3 − a3
1 c2 c3 1 c2 − a2 c3 − a3
整理得 = (ab + bc + ca)(b − a)(c − a)(c −b)
1 1 11 1 1 1 1
−2 1 0
1 −1 2 1
1 −1 2 1 0 −2 1 0
13、
第1，4行交换 −
=−
= − −3 −2 −4 = −7
4 1 20
4 1 2 0 0 −3 −2 −4
−1 −5 −3
1 1 11
5 0 4 2 0 −1 −5 −3
14、先将第 1 行与第 5 行对换，第 3 行与第 4 行对换（反号两0 0 1 3 第3，5行对换 − 0 1 0 1 1 = − 6 7 8
= −10*2 = −20
43
00024
00024 010
01 01 1
00 01 3
17、根据课本 20 页公式（1.22）
0 0 1 −1 2
0030 0024 1 240
2
1 −1 2
0 = (−1)2×3 3
2 2 3 L 2 2 第3行 − 第1行 1 0 1 L 0 0
28、
L L L L L L LLLLLL L L L L L L
2 2 2 L n −1 2 第n行 − 第1行 1 0 0 L n − 3 0
−5 0 0 0 0
所以
* A = (−1)3*5 | A || B |= −3!5!
线性代数简明教程,(第二版)科学出版社课后答案第四章、线性方程组习题答案
∴ (k0 + L + k n − r )η + k1ξ1 + k 2ξ 2 + L + k n − rξ n − r = ϑ
*
k 0 + L + k n − r = 0 k1 = 0 M kn−r = 0
复习题四
1、解： Q n = 4, n − r
= 2 ⇒ R( A) = 2
(a − 1) = 0 ⇒ a = 1 2、答：n − 1
2
3 、解：
(α 3 α 2 α1
−1 − 2 a 1 β)= 1 1 2 b 4 5 10 − 1
a 1 −1 − 2 ~ 0 − 1 2 + a b + 1 α 2 x2 + α 3 x3 + α 4 x4 = b 为其向量表达式
b −a 0 2 、解： D = 0 − 2c 3b = −5abc ≠ 0 c 0 a − 2ab − a 0 2 D1 = bc − 2c 3b = 5a bc 0
D2 = 0 c
0
a
0 3b = −5ab 2 c a
⇒ x1α1 + x2α 2 + x3α 3 + x4α 4 = α1 + α 2 + α 3 + α 4
⇒ x1 (2α 2 − α 3 ) + x2α 2 + x3α 3 + x4α 4 = 2α 2 − α 3 + α 2 + α 3 + α 4
⇒ (2 x1 + x2 + 3)α 2 + (− x1 + x3 )α 3 + ( x4 − 1)α 4 = ϑ
线性代数第二版 主编 吴传生 第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换)
a22 x2 a2 n xn b2
am 2 x2 am n xn bm
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
考查方程组 （1） 分析系数
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
两边同乘以已知常数 ，得到一个新的线性方程：
a1 x1 a2 x2 L an xn b.
线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘。
线性方程的线性组合
将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数 1, 2
再将所得的两个方程相加，得到新方程：
1a11 2a21 x1 1a12 2a22 x2 L
方程组转换成 x2 ， ，xn 的方程组来解 ，
若 x1 的系数不全为0，则利用变换（1），使 a11 0 . （2） 化简：利用初等变换（3），分别把第一个方程的 ai1 倍
a11 加到第 i 个方程，则方程组可以变成：
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
考查方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1
c22 x2 c2n xn d2
crr xr crn xn dr
0 dr1
00
00
（II）当 dr1 0 或方程组中根本没有0 0 的方程，分两种情形：
ii）r n . 这时阶梯型方程组为：
c11 x1 c12 x2 c1r xr c1，r1 xr1 c1n xn d1
定理1 线性方程组的初等变换总是把方程组变成 同解方程组 ．
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
大学《线性代数》第2版(清华大学出版社、居余马)课后习题详细答案-较完整精编版
2
d2
(d + 1)2
(d + 2) 2
2 2
b (b + 3) 第 3 列 − 第 1 列 c2 (c + 3) 2 第 4 列 − 第 1 列 d2 (d + 3) 2 2a + 1 2 6 2b + 1 2 6 =0 2b + 1 2 6 2b + 1 2 6
第2列 − 第1列
a2
2
2a + 1 4a + 4 6a + 9 2b + 1 4b + 4 2c + 1 4c + 4 6b + 9 6c + 9
线性代数课后习题答案
第 2 版 清华大学出版社
1、
a 2 ab = a 2 ⋅ b2 − ab ⋅ ab = 0 ab b2
cos α sin α − sin α = cos α ⋅ cos α − (− sin α ) ⋅ sin α = cos 2 α + sin 2 α = 1 cos α
2、
= 10 ⋅ (−1)
1 1 1 −1 1 1 1 1 1 1
⋅1⋅ 2L 8 ⋅ 9 = 10!
11、
1 1 1 1 1 第2行 − 第1行 1 0 −2 0 0 第3行 − 第1行 = 1*(−2)3 = −8 −1 1 0 0 −2 0 第4行 − 第1行 1 −1 0 0 0 −2
12、该行列式中各行元素之和均为 10，所以吧第 2，3，4 列加到第 1 列，然后再把第 1 列 后三个元素化为零，再对第 1 列展开，即
= 10*16 = 160
5
13、
0 1 1
4 2 2 0 1 1 第1，行交换 4 −
《经济数学》第2版习题答案完整版人大版
())1(32.150.1450),50(25.05015.0500,15.0.13100),100(541001000,.1230)3(3120)2(360)1.(111000,200908001001000800),800(90801008000,100.10,.939539.8.7.62,ln ,,.5sin ,,.4222)5.0(,2)0(,2)3(.3)111(1)(.2),1()1,)(2(]1,00,1-)[1.(1222122212≥+-=≤--==⎩⎨⎧>-+⨯≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤⋅==-=-=⎪⎩⎪⎨⎧>⨯+⨯≤<-+⨯≤≤=≤≤+==========-==++=+∞⋃--∞⋃-x x x y x xy y x x x x y x x a a x x a P Q Q Q R P Q Q Q Q Q Q R bq a q c c c x w w v v u u y x v v u e y f f f xx x f u 略偶函数（）1、1191.016万元.2、561.256元.3、约2884年.4、7.18%.5、631.934元.6、收益的现值是61.977万元，租赁设备的方案更好.7、美国、中国、日本的年均增长率分别为6.83%，15.85%，12.65%.8、（1）14；（2）0；（3）13；（4）12；（5）2.9、（1）0；（2）0；（3）0；（4）极限不存在.10、（1）-16；（2）32；（3）0；（4）13；(5) 2x；.11、（1）w；（2）14；（3）2；（4）8；(5)12e；(6) e；(7) 2e；(8)53e.12、（1）0；（2）1；（3）0；（4）1.习题三答案1(1) 26sec x x - (2) 2ln 22x x + (3) 2732x x +(4) 2661x x -+ (5) 2cot csc sec tan x x x x x -+ (6) 1[ln ln 5]xe x x ++ (7)22(1)x + (8) 1cos 1x - (9) 222sec (1tan )xx - (10) 32(1) 2614(1)x x - (2)(3) 210x e -- (4) 22sec tan x x (5) 222sin 2cos 2cos sin x x x x x -- (6) 2(cos35sin 3)xe x x --(7) 1ln ln ln x x x (8) 13cot x x + (9) 243(21)x x + (10) 2 3(1) (62)x dx + (2) 322[2(3)(2)3(3)(2)]x x x x dx +-++- (3) 2(ln 2ln )x x dx + (4) (sin 2cos sin )x x x x dx -+(5) 33224(1)x dx x -+ (6) 2sin ln(12)12x dx x+-+ 4(1) (100)2200C =元 (100)22C =元/吨；(2) (100)9.5C '=元 5 (10)125C =， (10)5C '= 6 ()C Q'=， 25R ()(1)Q Q '=+， 25()(1)L Q Q '=+ 7 5060050pp η=- 1(1)111η=<； (6)1η=； (8)2η= 8(1) 214x- (2) 214x e - (3) 2sin cos x x x -- (4) 2cos te t --9(1) yy x - (2) x y x ye y x e++--10(1) 3(1)2t + (2) 2211t t +-11(1) (,)23x f x y x y '=+；(,)32y f x y x y '=+ (2) (,)2sin 2x f x y x y '=；2(,)2cos2y f x y x y '=百件。
近世代数初步（第二版）课后习题答案（石生明）04
第三章 有限域及其应用１畅有限域中的元素的数目．ｐｎ元域的存在及唯一性，它的结构（Ｚｐ上的ｎ维向量空间、是ｘｐｎ－ｘ＝０的全部根、它的全部非零元组成乘法循环群），它的子域．２畅有限域上不可约多项式的性质．Ｆｑ上全部ｎ次不可约多项式皆为ｘｑｎ－ｘ的因子．不可约多项式ｆ（ｘ）（≠ｃｘ）的周期性．本原多项式及用于纠错码．３畅移位寄存器序列（线性递归序列）序列的数学刻画：引入Ｆ２上向量空间Ｖ（Ｆ２）＝｛ａ＝（ａ０，ａ１，ａ２，…，）｜ａｉ∈Ｆ２｝及Ｖ（Ｆ２）上左移变换Ｌ：Ｌａ＝（ａ１，ａ２，ａ３，…）．对Ｆ２上递归关系ａｎ＋ｋ＝ｃｎ－１ａ（ｎ－１）＋ｋ＋ｃｎ－２ａ（ｎ－２）＋ｋ＋…＋ｃ０ａｋ，ｋ＝０，１，２，…（倡）引入Ｆ２上多项式ｆ（ｘ）＝ｘｎ＋ｃｎ－１ｘｎ－１＋…＋ｃ０．则Ｖ（Ｆ２）中向量ａ满足（倡）（即ａ是满足（倡）的线性递归序列）的充分必要条件是ｆ（Ｌ）ａ＝０．优美的理论结果：０≠ａ的周期等于ｆ（ｘ）的周期（这时ｆ（ｘ）必须是不可约多项式且ｆ（ｘ）≠ｘ）ｍ序列及其优美性质（参看习题）１畅§３内容是总导引中第一点思想的又一体现．读者自己察看一下，§３中共组织了两个运算系统．一个是Ｆ２上的无限序列作成的线性空间Ｖ（Ｆ２）；一个是引入左移变换Ｌ，组成了Ｖ（Ｆ２）上线性变换的多项式环．正是有这两个运算系统才能将线性递归序列的周期性与Ｆ２上多项式的理论联系起来．２畅§１及§２内容是有限域及其上的多项式理论的一个简短而较全面的介绍．这在一般近世代数教材中少见．而§３内容在这些教材中从未出现过．其中的应用使我们看到这些内容与当代信息技术有密切联系．实际上它们对今后更·８６·大范围的应用来说也是基本的．３畅§３内容是理论与实践相互促进的范例．正是分析移位寄存器序列性质的需要产生了理论的研究，理论的建立和优美的结果又解决了实践中的问题．这充分显示了理论的力量读者试作出一个具体线性递归序列来验证一下§３中关于周期性的结果．§１ 有限域的基本构造 倡１畅验证ｘ２＋１及ｘ２＋ｘ＋２皆为Ｚ３［ｘ］上不可约多项式．写出下列两域Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋１） 及 Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋ｘ＋２）的加法表和乘法表．找出这两个域之间的同构对应． 倡２畅作出Ｚ２［ｘ］，Ｚ３［ｘ］中所有的二次、三次、及两个四次不可约多项式．作出２２，２３，２４个元的域． 倡３畅ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）都是Ｚｐ［ｘ］上ｍ次不可约多项式，则Ｚｐ［ｘ］／（ｆ１（ｘ））碖Ｚｐ［ｘ］／（ｆ２（ｘ））．４畅作出一个３４个元的域，并在其中找出一个３２个元的子域． 倡５畅设ｄ｜ｍ，证明（１）ｐｄ－１｜ｐｍ－１．（２）ｘｐｄ－ｘ｜ｘｐｍ－ｘ． 倡６畅设Ｆｐｎ＝Ｚｐ（α）．问α是乘法群Ｆ倡ｐｎ＝Ｆｐｎ＼｛０｝的生成元吗？１畅ｘ２＋１及ｘ２＋ｘ＋２在Ｚ３上皆无根，故它们在Ｚ３［ｘ］中不可约．Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋１） 及 Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋ｘ＋２）都是域．我们略去它们的加法表和乘法表，只证明它们同构．Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋１）＝Ｚ３［珔ｘ］，其中珔ｘ＝ｘ＋（（ｘ２＋１））．珔ｘ满足Ｚ３上ｘ２＋１＝０．而·９６·Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋ｘ＋２）＝Ｚ３［珕ｘ］其中珕ｘ＝ｘ＋（（ｘ２＋ｘ＋２））．珕ｘ满足Ｚ３上ｘ２＋ｘ＋２＝０．我们要找出Ｚ３［珕ｘ］中的元素α，满足方程ｘ２＋１＝０．实际上由０＝珕ｘ２＋珕ｘ＋２＝＝珕ｘ２＋珕ｘ＋１＝＋１＝＝珕ｘ２＋４珕ｘ＋４＝＋１＝＝（珕ｘ＋２＝）２＋１＝（在Ｚ３中４＝＝１＝）．取α＝珕ｘ＋２＝就适合α２＋１＝＝０．由此［Ｚ３（α）：Ｚ３］＝２．再由Ｚ３（α）彻Ｚ３［珕ｘ］及［Ｚ３［珕ｘ］：Ｚ３］＝２，知Ｚ３（α）＝Ｚ３［珕ｘ］．现作映射Ｚ３［ｘ］φＺ３（α）＝Ｚ３［珕ｘ］＝Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋ｘ＋２）ｐ（ｘ）ｐ（α）这是满同态，且Ｋｅｒφ＝（（ｘ２＋１））．由同态基本定理得同构Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋１）Ｚ３（α）ｐ（珔ｘ）ｐ（α）．其中珔ｘ＝ｘ＋（（ｘ２＋１））．２畅Ｚ２［ｘ］中不可约多项式如下：一次的：ｘ，ｘ＋１，二次的：ｘ２＋ｘ＋１，三次的：ｘ３＋ｘ２＋１，ｘ３＋ｘ＋１，四次的：ｘ４＋ｘ＋１，ｘ４＋ｘ３＋１，ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１．Ｚ３［ｘ］中不可约多项式如下：一次的：ｘ，ｘ＋１，ｘ＋２，二次的：ｘ２＋１，ｘ２＋ｘ＋２，ｘ２＋２ｘ＋２，三次的：ｘ３＋２ｘ＋１，ｘ３＋２ｘ＋２，ｘ３＋ｘ２＋２，ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋２，ｘ３＋ｘ２＋２ｘ＋１，ｘ３＋２ｘ２＋１，ｘ３＋２ｘ２＋ｘ＋１，ｘ３＋２ｘ２＋２ｘ＋２，四次的：ｘ４＋２ｘ３＋２，ｘ４＋ｘ３＋２，ｘ４＋ｘ２＋２ｘ＋１，ｘ４＋２ｘ３＋ｘ＋１，ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋２ｘ＋２，ｘ４＋２ｘ３＋ｘ＋１，ｘ４＋２ｘ３＋ｘ２＋１，ｘ４＋２ｘ３＋ｘ２＋２ｘ＋１，ｘ４＋ｘ３＋２ｘ２＋２ｘ＋１，ｘ４＋２ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋２，ｘ４＋２ｘ２＋２ｘ＋２，ｘ４＋２ｘ＋２，ｘ４＋ｘ＋２，ｘ４＋２ｘ２＋２，ｘ４＋２ｘ＋２，ｘ４＋ｘ２＋２，ｘ４＋ｘ２＋ｘ＋１，ｘ４＋ｘ２＋２ｘ＋１．找寻的步骤：（１）列举出Ｚ２［ｘ］（Ｚ３［ｘ］）中所有一次，二次，三次及四次多项式．（２）一次多项式皆不可约．（３）检验Ｚ２［ｘ］（Ｚ３［ｘ］）中哪些二次、三次多项式在Ｚ２（Ｚ３）中没有根，它们是不可约多项式．（４）检验Ｚ２［ｘ］（Ｚ３［ｘ］）中哪些四次多项式在Ｚ２（Ｚ３）中没有根，又不是Ｚ２［ｘ］（Ｚ３［ｘ］）中两个二次不可约多项式的乘积，则它们都是不可约多项式．３畅它们都是ｐｍ个元的有限域，由定理３知它们同构．４畅取Ｚ３［ｘ］中的四次不可约多项式ｘ４＋２ｘ２＋２，则Ｚ３［ｘ］／（ｘ４＋２ｘ２＋２）是··０７３４个元的域．令珔ｘ＝ｘ＋（（ｘ４＋２ｘ２＋２）），则珔ｘ４＋２珔ｘ２＋２＝（珔ｘ２＋１）２＋１＝０．即珔ｘ２＋１是Ｚ３［ｘ］中二次不可约多项式的根．于是有Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋１）碖Ｚ３（珔ｘ２＋１）彻Ｚ３（珔ｘ）＝Ｚ３［ｘ］／（ｘ４＋２ｘ２＋２）这表明Ｚ３（珔ｘ２＋１）是Ｚ３（珔ｘ）中的３２个元的子域．５畅（１）ｄ｜ｍ，令ｍ＝ｋｄ．则ｐｍ－１＝ｐｋｄ－１＝（ｐｄ）ｋ－１＝（ｐｄ－１）（ｐｄ（ｋ－１）＋ｐｄ（ｋ－２）＋…＋ｐｄ＋１）．故ｐｄ－１｜ｐｍ－１．（２）令ｐｍ－１＝ｌ（ｐｄ－１）．则ｘｐｍ－１－１＝ｘ（ｐｄ－１）ｌ－１＝（ｘｐｄ－１－１）（ｘ（ｐｄ－１）（ｌ－１）＋ｘ（ｐｄ－１）（ｌ－２）＋…＋ｘｐｄ－１＋１）．故ｘｐｄ－１－１｜ｘｐｍ－１－１，即得ｘｐｄ－ｘ｜ｘｐｍ－ｘ．６畅不一定．例Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋１）＝Ｆ．令珔ｘ＝ｘ＋（（ｘ２＋１）），它满足珔ｘ２＋１＝０，当然有珔ｘ４－１＝０，即珔ｘ４＝１．但Ｆ是３２个元的域，Ｆ倡＝Ｆ＼｛０｝是８阶循环乘法群．故珔ｘ不是Ｆ倡的生成元．§２ 有限域上不可约多项式及其周期，本原多项式及其对纠错码的应用以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题． 倡１畅验证Ｚ３［ｘ］／（ｘ２＋１）的非零元乘法群是循环群，找出生成元．ｘ２＋１是否本原多项式？ 倡２畅ｘ３＋ｘ＋１，ｘ４＋ｘ＋１是否Ｚ２［ｘ］中的本原多项式？ 倡３畅证明映射ＦｐｍＦｐｍａａｐ是Ｆｐｍ的自同构且保持Ｆｐｍ中的素子域Ｆｐ中的元素不动．４畅ｆ（ｘ）是Ｚｐ上ｍ次不可约多项式．设α∈Ｆｐｍ是ｆ（ｘ）的一个根，则α，αｐ，…，αｐｍ－１是ｆ（ｘ）的全部ｍ个根．５畅设β∈Ｆｐｍ，β在Ｚｐ上的极小多项式ｆ（ｘ）是ｄ次的，则（１）β属于Ｆｐｍ中的一个ｐｄ个元的子域．（２）ｄ｜ｍ．６畅证明Ｆｐｍ中元素β与βｐ在Ｚｐ上有相同的极小多项式．·１７· 倡７畅设α是Ｚ３［ｘ］中多项式ｘ４＋ｘ＋２的一个根．把Ｚ３（α）中全部元素用１，α，α２，α３的线性组合表示出来．并算出１＋α＋α３１＋α２＋α３＋α＋α２．８畅把ｘ２４－ｘ，ｘ２３－ｘ分解成Ｚ２［ｘ］上不可约多项式的乘积，把ｘ３３－ｘ，ｘ３２－ｘ分解成Ｚ３［ｘ］上不可约多项式的乘积． 倡９畅取Ｚ２［ｘ］中本原多项式ｘ３＋ｘ＋１．在多项式∑６ｉ＝１ａｉｘ７－ｉ＝ａ１ｘ６＋ａ２ｘ５＋…＋ａ６ｘ＋ａ７与向量（ａ１，ａ２，…，ａ７）等同的约定下，作码集合Ｍ＝｛（ｘ３＋ｘ＋１）（ｂ１ｘ３＋ｂ２ｘ２＋ｂ３ｘ＋ｂ４）｜ｂｉ∈Ｚ２｝．（ｉ）取ｆ（ｘ）＝ｘ６＋ｘ４＋ｃ１ｘ２＋ｃ２ｘ＋ｃ３，试决定ｃ１，ｃ２，ｃ３使ｆ（ｘ）属于码集合Ｍ．（ｉｉ）设ｆ１（ｘ）＝ｘ６＋ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１及ｆ２［ｘ］＝ｘ６＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１是接受到的向量，并设传输过程中最多错一位，试进行译码．１畅令珔ｘ＝ｘ＋（（ｘ２＋１））．计算珔ｘ＋２的各方幂珔ｘ＋２，（珔ｘ＋２）２＝珔ｘ，（珔ｘ＋２）３＝２珔ｘ＋２，（珔ｘ＋２）４＝２，（珔ｘ＋２）５＝２珔ｘ＋１，（珔ｘ＋２）６＝２珔ｘ，（珔ｘ＋２）７＝珔ｘ＋１，（珔ｘ＋２）８＝１．故珔ｘ＋２生成了非零元素乘法群，它是８阶循环群．珔ｘ只是４阶元，它不是生成元，从而证明ｘ２＋１不是本原多项式．２畅ｘ３＋ｘ＋１的周期是２３－１＝７的因子．它不是ｘ－１的因子，故周期不为１，只能是７，所以它是本原多项式．ｘ４＋ｘ＋１的周期是２４－１＝１５的因子．但ｘ４＋ｘ＋１嘲ｘ－１，ｘ３－１，ｘ５－１．故它的周期只能是１５．因此是本原多项式３畅橙ａ，ｂ∈Ｆｐｍ，有（ａ＋ｂ）ｐ＝ａｐ＋ｂｐ及（ａｂ）ｐ＝ａｐｂｐ故是φ同态．又由第二章§１习题８知（ａ－ｂ）ｐ＝ａｐ－ｂｐ，故这是单射．又上面的映射是有限集Ｆｐｍ中的单射，必是满射．因此是Ｆｐｍ的自同构．由于子域Ｆｐ是ｐ个元的域，由第二章§５习题５，知这映射是Ｆｐ上的恒等变换．４畅设ｆ（ｘ）＝ａｍｘｍ＋ａｍ－１ｘｍ－１＋…＋ａ１ｘ＋ａ０，ａｉ∈Ｚｐ．因此ａｐｉ＝ａｉ（第二章§１习题８）．·２７·设ａ∈Ｆｐｍ满足ｆ（ａ）＝０，则ｆ（ａ）ｐ＝（ａｍａｍ＋…＋ａ０）ｐ＝ａｐｍａｍｐ＋…＋ａｐ１ａｐ＋ａｐ０＝ａｍ（ａｐ）ｍ＋…＋ａ１ａｐ＋ａ０＝ｆ（ａｐ）＝０．即ａｐ也是ｆ（ｘ）的根．设ａ，ａｐ，ａｐ２，…，ａｐｋ中两两不同，ａｐｋ＋１与前面某ａｐｌ相同．ａ１，ａｐ，…，ａｐｋ是ｆ（ｘ）的ｋ个不同的根，故ｋ≤ｍ．又若１≤ｌ≤ｋ．则ａｐｌ＝（ａｐｋ＋１－ｌ）ｐｌ．因ａａｐｌ是Ｆｐｍ的自同构（习题３），上式两端元素的原象应相等，得ａ＝ａｐｋ＋１－ｌ．又ｋ＋１－ｌ≤ｋ，与ａ，ａｐ，…，ａｐｋ中两两不同矛盾．故ｌ＝０，即ａ＝ａｐｋ＋１．令ｇ（ｘ）＝（ｘ－ａ）（ｘ－ａｐ）…（ｘ－ａｐｋ）＝ｘｋ＋ｂ１ｘｋ－１＋…＋ｂｋ．则ｂ１＝－（ａ＋ａｐ＋…＋ａｐｋ），…，ｂｋ＝（－１）ｋａ·ａｐ…ａｐｋ，ｂｐ１＝（－１）ｐ（ａｐ＋ａｐ２＋…＋ａｐｋ＋１）＝－（ａｐ＋…＋ａｐｋ＋ａ）＝ｂ１，…，ｂｐｋ＝（－１）ｋｐａｐ·ａｐ２…ａｐｋ＋１＝（－１）ｋａｐａｐ２…ａｐｋａ＝ｂｋ．任意ｂｉ＝（－１）ｉ［ａ，ａｐ，…，ａｐｋ中任取ｉ个的乘积之和］，ｂｐｉ＝（（－１）ｉ）ｐ［ａｐ，ａｐ２，…，ａｐｋ＋１中任取ｉ个的乘积之和］＝（－１）ｉ［ａｐ，ａｐ２，…，ａｐｋ，ａ中任取ｉ个的乘积之和］＝ｂｉ．即所有ｂｉ满足ｘｐ－ｘ＝０，故所有ｂｉ属于Ｆｐｍ的子域Ｚｐ之中，因此ｇ（ｘ）是Ｚｐ上的多项式．因ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在Ｆｐｍ［ｘ］中有公因式（ｘ－ａ），故ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在Ｚｐ［ｘ］中不互素，又ｆ（ｘ）是Ｚｐ［ｘ］中不可约多项式，且ｇ（ｘ）的次数≤ｍ．故ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）是相伴的．因而ｋ＝ｍ，且ａ，ａｐ，ａｐ２，…，ａｐｍ是ｆ（ｘ）的全部ｍ个根．５畅因ｆ（ｘ）是β在Ｚｐ上的极小多项式，由第二章§２定理４，ｆ（ｘ）在Ｚｐ［ｘ］中不可约．由ｆ（β）＝０，有Ｆｐｍ澈Ｚｐ（β）碖Ｚｐ［ｘ］／（ｆ（ｘ））．又ｆ（ｘ）是ｄ次的，故Ｚｐ（β）是ｐｄ个元的子域，再由定理４知ｄ｜ｍ．６畅设Ｆｐｍ的元β在Ｚｐ上的极小多项式为ｆ（ｘ）．由第二章§定理４知它在Ｚｐ［ｘ］中不可约．再由第４题，ｆ（βｐ）＝０．这时ｆ（ｘ）不可约，仍由第二章§定理４，它是βｐ在Ｚｐ上的极小多项式．７畅由§１习题２，知ｘ４＋ｘ＋２是Ｚ３［ｘ］中不可约多项式．α是它的根，故Ｚ３（α）＝｛ａ０＋ａ１α＋ａ２α２＋ａ３α３｜ａ０，ａ１，ａ２，ａ３∈Ｚ３｝．易计算知，α２（α３＋α２＋１）－（α＋１）（α４＋α＋２）＝１，即有α２（α３＋α２＋１）＝１．于是１＋α＋α３１＋α２＋α３＋α＋α２＝α２（１＋α＋α３）＋α＋α２＝α３＋α２＋２α．８畅ｘ２３－ｘ＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ３＋ｘ＋１）（ｘ３＋ｘ２＋１），ｘ２４－ｘ＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ２＋ｘ＋１）（ｘ４＋ｘ＋１）（ｘ４＋ｘ３＋１）（ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１），·３７·ｘ３２－ｘ＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ２＋１）（ｘ２＋ｘ＋２）（ｘ２＋２ｘ＋２），ｘ３３－ｘ＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ３＋２ｘ＋１）（ｘ３＋２ｘ＋２）（ｘ３＋ｘ２＋２）（ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋２）（ｘ３＋ｘ２＋２ｘ＋１）（ｘ３＋２ｘ２＋１）（ｘ３＋２ｘ２＋ｘ＋１）（ｘ３＋２ｘ２＋２ｘ＋２）．９畅（ｉ）作除法算式，ｘ６＋ｘ４＝（ｘ３＋１）（ｘ３＋ｘ＋１）＋ｘ＋１．取Ｃ１＝０，Ｃ２＝１，Ｃ３＝１，ｆ（ｘ）＝ｘ６＋ｘ４＋ｘ＋１＝（ｘ３＋１）（ｘ３＋ｘ＋１）就属于码集合Ｍ．（ｉｉ）ｆ１（ｘ）＝（ｘ３＋ｘ２＋１）（ｘ３＋ｘ＋１），故传输过程中无错误．ｆ２（ｘ）＝ｘ３（ｘ３＋ｘ＋１）＋ｘ２＋ｘ＋１．作计算：ｘ（ｘ２＋ｘ＋１）＝ｘ３＋ｘ２＋ｘ＝（ｘ３＋ｘ＋１）＋ｘ２＋１≡ｘ２＋１，（ｍｏｄｘ３＋ｘ＋１），ｘ２（ｘ２＋ｘ＋１）＝ｘ（ｘ２＋１）＝（ｘ３＋ｘ＋１）＋１≡１，（ｍｏｄｘ３＋ｘ＋１），即ｘ２（ｘ２＋ｘ＋１）≡１．但ｘ２·ｘ５＝ｘ７≡１，故ｘ５≡ｘ２＋ｘ＋１，（ｍｏｄｘ３＋ｘ＋１）．这即说明ｆ２（ｘ）错在ｘ５项上，原来输出的码字应为ｆ２（ｘ）＋ｘ５＝ｘ６＋ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１．§３ 线性移位寄存器序列以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题．１畅Ｆｐ（ｐ为素数）上首项系数为１的ｍ次本原多项式的个数为φ（ｐｍ－１）／ｍ，这里φ是欧拉函数（参见第二章§５）．并算出Ｚ２，Ｚ３上三次、四次本原多项式的数目． 倡２畅作出Ｚ２上两个周期为７的ｍ序列（写出２个周期的长度）． 倡３畅设Ｆ２上序列ａ＝（ａ０，ａ１，ａ２，…）的周期为ｅ．证明（ｉ）若有ｅ′使ａｋ＋ｅ′＝ａｋ，ｋ＝０，１，２，…，则ｅ｜ｅ′．（ｉｉ）若令Ｓ０＝（ａ０，…，ａｅ－１），Ｓ１＝（ａ１，…，ａｅ），…，Ｓｅ－１＝（ａｅ－１，…，ａ２ｅ－２），则它们两两不同． 倡４畅设ｆ（ｘ）是Ｆ２上ｎ次不可约多项式，则（ｉ）Ｇ（ｆ）是Ｆ２上向量空间．（ｉｉ）对任意ａ∈Ｇ（ｆ）．令Ｓａ＝（ａ０，ａ１，…，ａｎ－１），称为ａ的初始状态向量．则橙ａ，ｂ∈Ｇ（ｆ），ａ＝ｂ当且仅当Ｓａ＝Ｓｂ．（ｉｉｉ）ａ１，…，ａｋ，ａ∈Ｇ（ｆ），ｌ１，…，ｌｋ∈Ｆ２，则··４７ａ＝ｌ１ａ１＋…＋ｌｋａｋ当且仅当Ｓａ＝ｌ１Ｓａ１＋…＋ｌｋＳａｋ．于是ａ１，…，ａｋ线性相关当且仅当Ｓａ１，…，Ｓａｋ线性相关．（ｉｖ）Ｇ（ｆ）是Ｆ２上ｎ维空间．５畅设ｆ（ｘ）是Ｆ２［ｘ］中ｎ次本原多项式，ａ是Ｇ（ｆ）中非零序列，即ｍ序列，则ａ＝ａ０，Ｌａ＝ａ１，…，Ｌ２ｎ－２ａ＝ａ２ｎ－２是Ｇ（ｆ）中全部非零序列．进一步Ｓａ０，Ｓａ１，…，Ｓａ２ｎ－２全不相同，它们是Ｆ２上ｎ元向量空间中全部非零向量．６畅设ａ＝（ａ０，ａ１，ａ２，…）是Ｆ２上周期为２ｎ－１的ｍ序列．将ａ的一个周期（ａ０，ａ１，…，ａ２ｎ－２）中的元依次排在圆周上，并使ａ２ｎ－２与ａ０＝ａａｎ－１相邻，则Ｆ２上的任一ｋ元组（１≤ｋ≤ｎ），（ｂ１，ｂ２，…，ｂｋ）在上述圆周中出现的次数为２ｎ－ｋ， 若（ｂ１，ｂ２，…，ｂｋ）≠（０，０，…，０），２ｎ－ｋ－１， 若（ｂ１，ｂ２，…，ｂｋ）＝（０，０，…，０）．（考察有多少个Ｓａｉ的前ｋ个元正是ｂ１，ｂ２，…，ｂｋ）．７畅ａ为Ｆ２上周期为２ｎ－１的ｍ序列，则在ａ的一个周期中１的数目为２ｎ－１，０的数目为２ｎ－１－１．８畅对习题２中作出的Ｆ２上周期为７的两个ｍ序列的一个周期排成圆圈如习题６，数出１，０，０１，１０，１０１，１１０，出现的次数．１畅考虑域Ｆｐｍ，它由Ｆｐ上多项式ｘｐｍ－ｘ的全部根组成．将ｘｐｍ－ｘ分解成Ｆｐ上不可约多项式的乘积．任一Ｆｐ上ｍ次不可约多项式ｆ（ｘ）都是它的因子，·５７·故ｆ（ｘ）在Ｆｐｍ中有ｍ个根．任取一根α，则Ｆｐｍ＝Ｆｐ（α）碖Ｆｐ［ｘ］／（ｆ（ｘ））＝Ｆ（珔ｘ）．其中珔ｘ＝ｘ＋（ｆ（ｘ））．由此知ｆ（ｘ）是Ｆｐ上ｍ次本原多项式当且仅当珔ｘ是ｐｍ－１阶乘法循环群Ｆｐ（珔ｘ）＼｛０｝的生成元当且仅当α是乘法循环群Ｆｐ（α）＼｛０｝＝Ｆｐｍ＼｛０｝的生成元．反之，任取Ｆｐｍ＼｛０｝的任一生成元α，则它必为Ｆｐ上某不可约多项式ｆ（ｘ）的根，显然Ｆｐｍ＝Ｆｐ（α）碖Ｆｐ［ｘ］／（ｆ（ｘ））．比较两边元素的数目，知ｆ（ｘ）是ｍ次不可约多项式．又α是乘法循环群Ｆｐｍ＼｛０｝的生成元，前一段证明了ｆ（ｘ）是Ｆｐ上ｍ次本原多项式．ｍ次本原多项式都是ｘｐｍ－ｘ的因式，后者无重根，故全体ｍ次本原多项式在Ｆｐｍ中的全体根也各不相重．设共有ｋ个ｍ次本原多项式，它们共有ｍｋ个根，前面证明了它们是ｐｍ－１阶乘法循环群Ｆｐｍ＼｛０｝的全部生成元．任取一个生成元α，由第一章§７习题５知αｎ是生成元当且仅当（ｎ，ｐｍ－１）＝１．故Ｆｐｍ＼｛０｝的生成元的数目等于与ｐｍ－１互素的且小于ｐｍ－１的正整数的数目即φ（ｐｍ－１）．由于ｍｋ＝φ（ｐｍ－１），得ｋ＝１ｍφ（ｐｍ－１）．Ｚ２，Ｚ３上３次，４次本原多项式的数目分别是１３φ（２３－１），１４φ（２４－１），１３φ（３３－１），１４φ（３４－１）．用第二章§５中关于φ（ｎ）的公式进行计算，得到１３φ（２３－１）＝１３φ（７）＝２，１４φ（２４－１）＝１４φ（１５）＝１４φ（３）φ（５）＝２，１３φ（３３－１）＝１３φ（２６）＝１３φ（２）φ（１３）＝４，１４φ（３４－１）＝１４φ（８０）＝１４φ（１６）φ（５）＝１４２４１－１２·４＝８．２畅取Ｚ２上的三次本原多项式ｘ３＋ｘ＋１（Ｚ２上的３次不可约多项式都是本原多项式）．作线性递归序列ａ＝（ａ０，ａ１，ａ２…），其递归关系为ａｋ＋３＝ａｋ＋１＋ａｋ，ｋ＝０，１，２，…．因ｘ３＋ｘ＋１为本原多项式，它的周期，因而上述序列的周期为２３－１＝７．取ａ０＝１，ａ１＝ａ２＝０．可计算出ａ取ａ０＝ａ１＝ａ２＝１，可计算出ａ３畅（ｉ）作除法算式ｅ′＝ｌｅ＋ｅ１，ｅ１＝０或０＜ｅ１＜ｅ．若０＜ｅ１＜ｅ，则对ｋ＝０，·６７·１，２，…有ａｋ＋ｅ１＝ａｋ＋ｅ１＋ｌｅ＝ａｋ＋ｅ′＝ａｋ．即ｅ１也是ａ的周期与ｅ是极小周期矛盾．故ｅ１＝０，ｅ′＝ｌｅ．（ｉｉ）若有０≤ｉ＜ｊ≤ｅ－１，使Ｓｉ＝Ｓｊ．即（ａｉ，ａｉ＋１，…，ａｉ＋ｅ－１）＝（ａｊ，ａｊ＋１，…，ａｊ＋ｅ－１）．当ｉ≥１，由ａｉ＋ｅ－１＝ａｉ－１，ａｊ＋ｅ－１＝ａｊ－１，并把上面两端向量的前ｅ－１个分量都向右移一位，而最后一位分量移至第一位，得到的两向量仍相等，（ａｉ－１，ａｉ，…，ａ（ｉ－１）＋ｅ－１）＝（ａｊ－１，ａｊ，…，ａ（ｊ－１）＋ｅ－１）．即Ｓｉ－１＝Ｓｊ－１．可继续这样做，结果得到Ｓ０＝Ｓｉ－ｉ＝Ｓｊ－ｉ．于是对任意０≤ｔ≤ｅ－１有ａｔ＝ａｔ＋（ｊ－ｉ）．而对任意ｋ＝０，１，２，…，作除法算式，设ｋ＝ｌｅ＋ｓ，０≤ｓ≤ｅ－１．则ａｋ＝ａｋ－ｌｅ＝ａｓ＝ａｓ＋（ｊ－ｉ）＝ａｓ＋ｌｅ＋（ｊ－ｉ）＝ａｋ＋（ｊ－ｉ）．即ａ有周期ｊ－ｉ．而０＜ｊ－ｉ＜ｅ，与ｅ为极小周期矛盾．故任意０≤ｉ＜ｊ≤ｅ－１，必有Ｓｉ≠Ｓｊ．４畅（ｉ）Ｇ（ｆ）＝｛ａ∈Ｖ（Ｆ２）｜ｆ（Ｌ）ａ＝０｝．橙ａｂ∈Ｇ（ｆ），则ｆ（Ｌ）ａｆ（Ｌ）ｂ＝０．于是ｆ（Ｌ）（ａｂ）＝ｆ（Ｌ）ａ＋ｆ（Ｌ）ｂａｂ∈Ｇ（ｆ）．又设ｌ∈Ｆ２，ａＧ（ｆ），ｆ（Ｌ）（ｌａｌ（ｆ（Ｌ）ａｌａ∈Ｇ（ｆ）．因此Ｇ（ｆ）是Ｖ（Ｆ２）的子空间．（ｉｉ）橙ａｂＧ（ｆ），显然ａｂ推出Ｓａ＝Ｓｂ．反之，设Ｓａ＝Ｓｂ．对ｋ＝０，１，２，…，有ａｋ＋ｎ＝ｃｎ－１ａｋ＋（ｎ－１）＋…＋ｃ１ａｋ＋１＋ｃ０ｃｋｂｋ＋ｎ＝ｃｎ－１ｂｋ＋（ｎ－１）＋…＋ｃ１ｂｋ＋１＋ｃ０ｂｋ．由Ｓａ＝Ｓｂ，并在上式中令ｋ＝０，则有ａｎ＝ｂｎ．于是ＳＬａ＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ）＝（ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ）＝ＳＬｂ．但ｆ（Ｌ）ＬａＬｆ（Ｌ）ａ＝０，ｆ（Ｌ）Ｌｂ＝Ｌｆ（Ｌ）ｂ同样可证ＳＬ２ａ＝ＳＬ２ｂ．归纳地可证，对任意ｋ有ＳＬｋａ＝ＳＬｋｂ．就得到对任意ｋ，ａｋ＋ｎ＝ｂｋ＋ｎ．加上Ｓａ＝（ａ０，ａ１，…，ａｎ－１）＝（ｂ０，ｂ１，…，ｂｎ－１）＝Ｓｂ，就证明了ａｂ（ｉｉｉ）ａｉ有初始向量Ｓａｉ．于是若ａｌ１ａ１＋…＋ｌｋａｋ，则显然Ｓａ＝ｌ１Ｓａ１＋…＋ｌｋＳａｋ．反之，设Ｓａ＝ｌ１Ｓａ１＋…＋ｌｋＳａｋ．因ｌ１ａ１＋…＋ｌｋａｋ∈Ｇ（ｆ），及Ｓｌ１ａ１＋…＋ｌｋａ＝ｌ１Ｓａ１＋…＋ｌｋＳａｋ＝Ｓａ．由（ｉｉ）ａｌ１ａ１＋…＋ｌｋａｋ．特别地当ａ时就得到ｌ１ａ１＋…＋ｌｋａｋ＝０当且仅当ｌ１Ｓａ１＋…＋ｌｋＳａｋ＝０．即有ａ１，…，ａｋ线性相关当且仅当Ｓａ１，Ｓａ２，…，Ｓａｋ线性相关．（ｉｖ）考虑到可取Ｆ２上ｎ维向量空间的任一组基作初始向量，由递归关系ｆ（Ｌ）ａ得到Ｇ（ｆ）中的一组序列ａ１，…，ａｎ．而初始向量Ｓａ１，…，Ｓａｎ是Ｆ２上ｎ维向量空间的基．由（ｉｉｉ）ａ１，…，ａｎ也线性无关．橙ａＧ（ｆ），Ｓａ是Ｓａ１，…，Ｓａｎ的线性组合，再由（ｉｉ），ａａ１，…，ａｎ的线性组合，故ａ１，…，ａｎ是Ｇ（ｆ）的一组基，因·７７·此Ｇ（ｆ）是Ｆ２上ｎ维线性空间．５畅ｆ（ｘ）为Ｆ２上ｎ次本原多项式，ａＧ（ｆ）中非零序列，则其周期为２ｎ－１．由习题３（ｉｉ）知Ｓａ０，Ｓａ１，…，Ｓａ２ｎ－２ 互不相同，它们是Ｆ２上２ｎ－１个非零的ｎ维向量，但Ｆ２上仅有２ｎ－１个非零的ｎ维向量，故Ｓａ１，…，Ｓａ２ｎ－２ 是Ｆ２上全部非零 是Ｇ（ｆ）中全部非零序列．的ｎ维向量．由习题４（ｉｉ），ａ０，…，ａ２ｎ－２６畅设ａａ０，ａ１，ａ２，…）是周期为２ｎ－１的ｍ序列，由习题５知Ｓａ０，Ｓａ１，…，Ｓａ２ｎ－２ 是Ｆ２上２ｎ－１个不同的，也即全部非零的ｎ元向量．对１≤ｋ≤ｎ，（ｂ１，ｂ２，…，ｂｋ）每次出现必有某Ｓａｉ＝（ｂ１，ｂ２，…，ｂｋ，…）．因此它出现的次数正是这样的Ｓａｉ的数目．当（ｂ１，ｂ２，…，ｂｋ）≠（０，０，…，０）时，后面ｎ－ｋ位分量可任意在Ｆ２上取值，故这样的Ｓａ共２ｎ－ｋ个．若（ｂ１，…，ｂｋ）＝（０，０，…，０），后面ｎ－ｋ位分量除了不能全取零外可任意选取（因Ｓａｉ不能为零向量），故这样的Ｓａｉ共有２ｎ－ｋ－１个．７畅在习题６中取ｋ＝１．当（ｂ１）＝（１）时，它出现的次数是２ｎ－１；当（ｂ１）＝（０）时，它出现的次数是２ｎ－１－１．８畅习题２出现的周期为７的两个ｍ序列各取一个周期，分别为１００１０１１及１１１００１０．排成的圆圈是下列同样的圆圈．可见到１出现４（＝２３－１）次，０出现３（＝２３－１－１）次，０１出现２（＝２３－２）次，１０１出现１（＝２３－３）次，１１０出现１（＝２３－３）次．··８７第四章 有因式分解唯一性的环１畅基本概念：因子、倍元、相伴、不可约元、素元、因式分解及唯一性、公因子、最大公因子．２畅整环成为唯一因分解环的充要条件．不是唯一因式分解环的例子．３畅欧氏环及例子（Ｚ，域上多项式环，高斯整数环）主理想环及其因式分解唯一性．４畅交换环上的多项式环．唯一因式分解环上的多项式环仍是唯一因式分解环．５畅几个典型环类的包含关系欧氏环主理想环唯一因式分解环整环．１畅在其它抽象代数教材中，由于内容的逻辑体系的需要，都是把本章内容作为主要内容放在域论内容之前．占用了大量教学用时，以致只能讲很少域论内容．为了教材内容现代化，为了写入应用内容和为应用所需的理论内容，我们把域论和域论的应用内容放在前面，而把本章内容放在最后．时间不够，可以少讲和不讲．这是教材内容的重要改革．２畅本章§３的内容是为说明一般域甚至交换环上多项式的存在性．多项式是一类运算系统．必须举出实例才能表明对它的讨论有意义．本书的第二章§６及第三章§１的内容都是以一般域上多项式的存在为前提的．３畅§４中定理１的证明中又采用了将整系数作模ｐ剩余类的方法．这个证明比以前教科书（包括本书第一版）中的证明有所简化．４畅内容要点中第５点中的包含关系是严格的真包含关系，要能用例子说明此关系．·９７·§１ 整环的因式分解以下习题中打倡者为必作题，其余是选作题． 倡１畅试说明整环中的零元，可逆元不能是不可约元的乘积． 倡２畅Ｒ是整环，则它的素元是不可约元． 倡３畅Ｒ是整环，则ａ∈Ｒ是素元当且仅当主理想（ａ）＝ａＲ是非零素理想（第二章§７习题２）．４畅令整环Ｍ＝｛ａ＋ｂ３ｉ｜ａ，ｂ∈Ｚ｝．求出Ｍ的全部可逆元．证明它没有因式分解唯一性（举反例，有Ｍ中非零的不可逆元ａ，它没有分解唯一性）． 倡５畅证明在环Ｚ（－５）中３（２＋５ｉ）和９没有最大公因子．６畅Ｒ为整环．（１）ａ，ｂ∈Ｒ，ａ，ｂ不同时为零，ａ＝ａ１ｄ，ｂ＝ｂ１ｄ，则ｄ是ａ，ｂ的最大公因子当且仅当ａ１，ｂ１互素．（２）把ａ，ｂ两个元素推广到任意ｋ个元素的情形．７畅设Ｍ是形为ｍ２ｋ（ｍ任意整数，ｋ非负整数）的全部有理数的集合，则它是Ｑ的子环．找出Ｍ的全部可逆元和不可约元．８畅Ｒ是唯一因式分解环．ａ，ｂ∈Ｒ是互素的，且ａ｜ｂｃ，则ａ｜ｃ． 倡９畅Ｒ是唯一因式分解环，ｐ为不可约元，则珚Ｒ＝Ｒ／（ｐ）为整环．１畅设在整环Ｒ中有０＝ｐ１ｐ２…ｐｓ，ｐｉ是不可约元，于是ｐ１及ｐｓ都是零因子，与Ｒ是整环矛盾．又设可逆元ｕ＝ｐ１…ｐｓ，ｐｉ是不可约元．并设ｕｖ＝１，则ｐ１ｐ２…ｐｓｖ＝１，得出ｐ１是可逆元，与ｐ１非可逆矛盾．２畅设ｕ是素元，若ｕ可约，则ｕ＝ｖ１ｖ２，ｖ１，ｖ２皆非可逆．于是ｕ｜ｖ１ｖ２，ｕ又是素元，必有ｕ｜ｖ１或ｕ｜ｖ２．若ｕ｜ｖ１，则ｖ１＝ｕｖ，某ｖ∈Ｒ．因此ｕ＝ｖ１ｖ２＝ｕ（ｖｖ２）．Ｒ是整环，ｕ≠０，用消去律得１＝ｖｖ２．与ｖ２非可逆矛盾．同样ｕ｜ｖ２也·０８·有矛盾．故ｕ不可约．３畅设ａＲ是非零素理想，故ａ是非零的非可逆元．对ｂ，ｃ∈Ｒ，ａ｜ｂｃ，则ｂｃ∈ａＲ．故ｂ∈ａＲ或ｃ∈ａＲ，即ａ｜ｂ或ａ｜ｃ，所以ａ是素元．反之，设ａ是素元．ｂ，ｃ∈Ｒ，ｂｃ∈ａＲ．于是ａ｜ｂｃ，有ａ｜ｂ或ａ｜ｃ．即ｂ∈ａＲ或ｃ∈ａＲ．又ａ是非零非可逆元，故ａＲ≠０及ａＲ≠Ｒ，所以ａＲ是非零素理想．４畅设（ａ＋ｂ３ｉ）（ｃ＋ｄ３ｉ）＝１，ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｚ．对两端取复数模平方，得（ａ２＋３ｂ２）（ｃ２＋３ｄ２）＝１．若ｂ≠０或ｄ≠０则３ｂ２≥３或３ｄ２≥３，左端必大于１，不可能，所以ｂ＝０，ｄ＝０，得到ａｃ＝１，ａ＝±１．故ａ＋ｂ３ｉ在Ｍ中可逆当且仅当ｂ＝０，ａ＝±１．４在Ｍ中有两种分解：４＝２·２＝（１＋３ｉ）（１－３ｉ）．下证２，１±３ｉ皆为Ｍ中不可约元，实际上它们的模平方皆为４．令它们中任一个为α，设α＝α１α２，α１，α２皆非可逆．而Ｍ中非可逆元ａ＋ｂ３ｉ，必有ｂ≠０，或ａ≠±１，这时｜ａ＋ｂ３ｉ｜２＝ａ２＋３ｂ２≥３．于是｜α１｜２｜α２｜２≥９．而左端｜α｜２＝４，不能相等．故２，１±３ｉ皆为不可约元，４分解成Ｍ中的不可约元乘积的方式不唯一．５畅要证明不存在９与３（２＋５ｉ）在Ｚ［５ｉ］中的公因子ｄ，使得９与３（２＋５ｉ）的任一公因子皆是ｄ的因子．反设ｄ＝ａ＋ｂ５ｉ，ａ，ｂ∈Ｚ满足上述要求．由于３是９与３（２＋５ｉ）的公因子．故３｜ｄ，即有ｃ，ｅ∈Ｚ使ａ＋ｂ５ｉ＝３（ｃ＋ｅ５ｉ）．于是ａ＝３ｃ，ｂ＝３ｅ．但ｄ｜９，两边取模平方得（３ｃ）２＋５（３ｅ）２｜９２，则有ｃ２＋５ｅ２｜３２．只有ｃ＝±２，ｅ＝±１；ｃ＝±３；ｅ＝０这几种情况适合这条件．故ｃ＋ｅ５ｉ的仅有的可能为±２±５ｉ，±３．即ｄ＝ａ＋ｂ５ｉ的仅有的可能为±６±３５ｉ，±９．若ｄ＝±６±３５ｉ，ｄ｜９，９＝ｄα．取模平方９２＝｜ｄ｜２｜α｜２＝９２｜α｜２．得｜α｜＝１故α＝±１畅９＝±ｄ，这不可能．若ｄ＝±９，ｄ｜３（２＋５ｉ），３（２＋５ｉ）＝ｄα．取模平方，９２＝｜ｄ｜２｜α｜２＝９２｜α｜２．得｜α｜＝１，α＝±１．３（２＋５ｉ）＝±ｄ也不可能．故９，３（２＋５ｉ）在Ｚ［５ｉ］中没有最大公因子．６畅（１）这时ｄ≠０．设ａ１，ｂ１不互素，则有ｄ１非可逆元是它们的公因子．则ｄｄ１是ａ，ｂ的公因子，而ｄ为最大公因子，故ｄｄ１｜ｄ．有ｄ２∈Ｒ，ｄｄ１ｄ２＝ｄ．Ｒ是整环，用乘法消去律得ｄ１ｄ２＝１，即ｄ１是可逆元，矛盾．故ａ１，ｂ１互素．反之，设ａ１，ｂ１互素．又设ｄ１是ａ，ｂ的最大公因子．则ｄ｜ｄ１，有ｄ２∈Ｒ使ｄ１＝ｄｄ２．ｄ１是ａ，ｂ的因子，有ａ２，ｂ２∈Ｒ使ａ＝ｄ１ａ２＝ｄｄ２ａ２＝ｄａ１，及ｂ＝ｄ１ｂ２＝ｄｄ２ｂ２＝ｄｂ１．用消去律ｄ１ａ２＝ａ１，ｄ２ｂ２＝ｂ１．于是ｄ２是ａ１，ｂ１的公因··１８子．但ａ１，ｂ１互素故ｄ２为可逆元．由此知ｄ＝ｄ１（ｄ２）－１也是ａ，ｂ的最大公因子．（２）略．７畅由于Ｍ中的元具有形式ｍ２ｋ，它们的和，差，积仍为这种形式的元，故Ｍ是Ｑ设ｍ２ｋ为Ｍ中可逆元，则有ｎ２ｌ使ｍ２ｋｎ２ｌ＝１．故ｍ必为±２ｔ，ｔ为非负整数．反之，对±２ｔ２ｋ，ｋ，ｔ皆非负整数，则±２ｋ２ｔ属于Ｍ，且±２ｔ２ｋ·±２ｋ２ｔ＝１，故在Ｍ中可逆．因此Ｍ中可逆元集＝±２ｔ２ｋｔ，ｋ皆非负整数．由此易知，Ｍ中非可逆元集＝ｍ２ｋｍ是具有奇素数因子的非负整数．下面证明ｍ２ｋ为Ｍ中不可约元当且仅当ｍ＝±ｐ·２ｔ，其中ｐ为奇素数，ｔ为非负整数．先设ｍ２ｋ，ｍ＝±ｐ·２ｔ，ｐ为奇素数．若ｍ２ｋ＝ｍ１２ｋ１·ｍ２２ｋ２，则ｍ１·ｍ２＝±ｐ·２ｔ１．因此ｍ１，ｍ２中的一个只是２的非负方幂，于是ｍ１２ｋ１·ｍ２２ｋ２中有一个是可逆元．因此ｍ２ｋ是不可约元．再设ｍ２ｋ，ｍ＝ｐ１ｐ２ｍ１，ｐ１，ｐ２皆为奇素数，可以相同，ｍ１为整数．则ｍ２ｋ＝ｐ１２０·ｐ２ｍ１２ｋ，右端是Ｍ中两个非可逆元的乘积．因此ｍ２ｋ为Ｍ中可约元．故若ｍ２ｋ在Ｍ中不可约，必须ｍ＝±ｐ·２ｔ，其中ｐ为奇素数，ｔ非负整数，证毕．８畅设ｂｃ＝ａｄ，将ｂ，ｃ分解成不可约因式的乘积ｂ＝ｐ１…ｐｓ，ｃ＝ｐｓ＋１…ｐｔ．再将ａ，ｄ分解成不可约因式的乘积ａ＝ｑ１…ｑｒ，ｄ＝ｑｒ＋１…ｑｌ．由ｂｃ＝ａｄ，及因式分解唯一性知ｔ＝ｌ，及有１，２，…，ｔ的一个排列ｉ１ｉ２…ｉｔ，使ｐｉｊ与ｑｊ相伴．对１≤ｊ≤ｒ，ｑｊ是ａ的不可约因子，则ｐｉｊ不在ｐ１，…，ｐｓ之中，否则ａ与ｂ有公因子ｐｉｊ，与它们互素矛盾．这样ｐｉ１…ｐｉｒ必出现在ｃ的分解中，它与ａ＝ｑ１…ｑｒ相伴，故ａ｜ｃ．９畅Ｒ为唯一因式分解环，由§１定理１及定义２知它的不可约元ｐ为素元．设珋ｃ，珔ｄ是珚Ｒ的两个非零元，来证珋ｃ珔ｄ≠０，即珚Ｒ是整环．反证法设ｃｄ＝珋ｃ珔ｄ＝０，·２８·则ｐ｜ｃｄ、因ｐ为素元，则或ｐ｜ｃ或ｐ｜ｄ，即或珋ｃ＝０或珔ｄ＝０．矛盾．故ｃｄ≠０，珚Ｒ为整环．§２ 欧氏环，主理想整环以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题． 倡１畅主理想环的商环是主理想环． 倡２畅Ｒ是主理想环，ａ为Ｒ中不可约元，则（ｉ）（ａ）为极大理想；（ｉｉ）ａ为素元；（ｉｉｉ）每个非０素理想（见第二章§７习题２）是极大理想；（ｉｖ）Ｒ／（ａ）是域．３畅证明Ｍ＝｛ａ＋ｂ２ｉ｜ａ，ｂ∈Ｚ｝是欧氏环（仿例１）． 倡４畅ｐ是素数．令Ｒ＝ａｂａ，ｂ∈Ｚ，（ｂ，ｐ）＝１．（ｉ）证明Ｒ是整环；（ｉｉ）求出Ｒ的所有可逆元；（ｉｉｉ）证明Ｒ的所有非可逆元组成Ｒ的唯一极大理想；（ｉｖ）上述极大理想是主理想；（ｖ）求出Ｒ的全部理想． 倡５畅找出高斯整数环Ｚ｛ａ＋ｂｉ｜ａ，ｂ∈Ｚ｝的全部可逆元． 倡６畅高斯整数环的元素ａ满足δ（ａ）＝素数，则ａ为不可约元．７畅Ｒ是欧氏环，求证（ｉ）若ε∈Ｒ倡＝Ｒ＼｛０｝，则ε是Ｒ中可逆元当且仅当橙ａ∈Ｒ倡有δ（ε）≤δ（ａ）．（ｉｉ）设ａ∈Ｒ倡，ａ不可逆．若对所有不可逆元ｂ∈Ｒ倡都有δ（ａ）≤δ（ｂ），则ａ是Ｒ中不可约元．８畅Ｒ＝１２ａ＋１２ｂ１９ｉａ，ｂ∈Ｚ，则Ｒ是主理想环但不是欧氏环（参看Ｍｏｔｚｋｉｎ，ＴｈｅＥｕｃｌｉｄｅａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ，Ｂｕｌｌ．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．５５．１１４２－１１４６（１９４９）．或参看张勤海著枟抽象代数枠（科学出版社，２００４）中推论２畅４畅１４及命题２畅４畅１６）．９畅Ｒ是主理想环．ｄ是Ｒ中非零元，则Ｒ中只有有限个不同的素理想包含·３８·（ｄ）（提示：（ｄ）炒（ｋ）痴ｋ｜ｄ）．１畅设Ｒ为主理想环，珚Ｒ＝Ｒ／Ｉ为商环．任取一个理想珡Ｎ，令Ｎ＝｛ｒ∈Ｒ｜珋ｒ＝ｒ＋Ｉ∈珡Ｎ｝．易证它是Ｒ的理想并包含Ｉ（参见第二章§４习题８）．Ｒ是主理想环，故有Ｎ＝ａＲ．于是珡Ｎ＝珔ａ珚Ｒ，即珚Ｒ是主理想环．２畅（ｉ）设有（ａ）炒Ｍ炒Ｒ，Ｍ为Ｒ的理想．故有ｂ∈Ｍ使Ｍ＝（ｂ）．ａ∈（ｂ），有ａ＝ｂｒ，ｒ∈Ｒ．因ａ不可约，ｂ，ｒ中必有可逆元，若ｂ可逆，则（ｂ）＝Ｒ；若ｒ可逆，则（ａ）＝（ｂ）．故（ａ）是极大理想．（ｉｉ）主理想环是唯一因式分解环，它的不可约元皆为素元．（ｉｉｉ）设（ｂ）是非零素理想，由§１习题３，ｂ为素元．因而是不可约元．由（ｉ），（ｂ）为极大理想．（ｉｖ）由（ｉ），（ａ）为极大理想，故Ｒ／（ａ）为域．３畅仿例１，令δ：Ｍ倡Ｚ＋（非负整数集）δ（ａ＋ｂ２ｉ）＝ａ２＋２ｂ２．当ａ＋ｂ２ｉ≠０，δ（ａ＋ｂ２ｉ）≥１，具有性质（ｉ）δ（αβ）＝δ（α）δ（β）≥δ（β），橙α，β∈Ｍ倡．（ｉｉ）橙α，β∈Ｍ，β≠０，我们证明有ｑ，ｒ∈Ｒ使得α＝ｑβ＋γ，且γ＝０或δ（γ）＜δ（β）．证明 对α∈Ｍ及β∈Ｍ倡，可写αβ－１＝ａ＋ｂ２ｉ，这几ａ，ｂ∈Ｑ选最接近ａ，ｂ的整数ｋ，ｌ使ａ＝ｋ＋ν，ｂ＝ｌ＋μ，其中｜μ｜≤１２，｜ν｜≤１２．则α＝β［（ｋ＋ν）＋（ｌ＋μ）２ｉ］＝β［ｋ＋ｌ２ｉ］＋β（ν＋μ２ｉ）．令ｑ＝ｋ＋ｌ２ｉ，γ＝β（ν＋μ２ｉ）＝α－βｑ∈Ｍ．则α＝ｑβ＋γ，且若γ≠０，δ（γ）＝｜γ｜２＝｜β｜２｜ν＋μ２ｉ｜２≤｜β｜２１４＋２４＝３４｜β｜２＜δ（β）．故Ｍ＝｛ａ＋ｂ２ｉ｜ａ，ｂ∈Ｚ｝是欧氏环．４畅（ｉ）设ａ１ｂ１，ａ２ｂ２∈Ｒ，（ｂｉ，ｐ）＝１，ｉ＝１，２．于是（ｂ１ｂ２，ｐ）＝１，ａ１ａ２ｂ１ｂ２∈Ｒ，ａ１ｂ１±ａ２ｂ２＝ｂ２ａ１±ｂ１ａ２ｂ１ｂ２∈Ｒ．故Ｒ是Ｑ的子环，因而是整环．（ｉｉ）（ｂ，ｐ）＝１．若ａｂ在Ｒ中可逆，存在ｃｄ∈Ｒ使ａｂｃｄ＝１．这时（ｂ，ｐ）＝（ｄ，ｐ）＝１，故（ｂｄ，ｐ）＝１．由ａｃ＝ｂｄ，于是（ａ，ｐ）＝１．·４８·反之，ａｂ∈Ｒ，若（ａ，ｐ）＝１，则ｂａ∈Ｒ，ａｂ·ｂａ＝１．即ａｂ在Ｒ中可逆．故Ｒ中可逆元集＝ａｂａ，ｂ∈Ｚ，（ｂ，ｐ）＝（ａ，ｐ）＝１．（ｉｉｉ）由（ｉｉ）知ａｂ∈Ｒ非可逆当且仅当（ｂ，ｐ）＝１及ｐ｜ａ．令Ｍ＝｛Ｒ中非可逆元｝．橙ａｂ，ｃｄ∈Ｍ，即有ｐ｜ａ，ｐ｜ｃ．ａｂ±ｃｄ＝ｂｃ±ａｄｄｂ，这时（ｄｂ，ｐ）＝１，ｐ｜ｂｃ±ａｄ．故ａｂ±ｃｄ非可逆，属于Ｍ．又橙ａｂ∈Ｍ，ｃｄ∈Ｒ，ｃｄ·ａｂ＝ａｃｄｂ．这时（ｄｂ，ｐ）＝１及ｐ｜ａｃ，故ｃｄ·ａｂ是非可逆元，属于Ｍ．这就证明了Ｍ是Ｒ的理想．设Ｍ１是Ｒ的真理想，则Ｍ１中元皆为Ｒ中的非可逆元，故Ｍ１炒Ｍ，即Ｍ为Ｒ的唯一的极大理想．（ｉｖ）易知Ｍ＝ａｂ（ｂ，ｐ）＝１，ｐ｜ａ＝ｐＲ，故为主理想．（ｖ）设Ｍ１是Ｒ的任一非零理想，Ｍ１炒Ｍ．任意０≠ａｂ∈Ｍ１，（ｂ，ｐ）＝１，ｐ｜ａ．令Ｍ１的全体元ａｂ中使ｐｌ｜ａ的最小的ｌ值为ｋ，ｋ≥１，则Ｍ１彻ｐｋＲ．又设Ｍ１中具有ｐｋ因子的元是ｐｋｃｄ，（ｄ，ｐ）＝（ｃ，ｐ）＝１．则ｐｋ＝ｐｋｃｄ·ｄｃ∈Ｍ１，于是ｐｋＲ彻Ｍ１，即有Ｍ１＝ｐｋＲ．也易知任一ｐｋＲ也是Ｒ的理想．故Ｒ的全部理想是ｐｋＲ，ｋ＝０，１，２，…，及零理想．５畅设ａ＋ｂｉ是Ｚ［ｉ］中可逆元，则有ｃ＋ｄｉ∈Ｚ［ｉ］使（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）＝１．两边取模平方就得（ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）＝１．只能ａ２＋ｂ２＝１，有四个可能ａ＝±１，ｂ＝０；ａ＝０，ｂ＝±１．Ｚ［ｉ］中只有四个可逆元±１，±ｉ．６畅设ａ∈Ｚ［ｉ］，δ（ａ）＝素数．若ａ＝ｂｃ，ｂ，ｃ∈Ｚ［ｉ］．因δ（ａ）＝｜ａ｜２，故δ（ａ）＝δ（ｂ）δ（ｃ）．由于δ（ａ）为素数，δ（ｂ）或δ（ｃ）＝１．由习题５，知ｂ或ｃ为可逆元．故ａ为Ｚ［ｉ］中不可约元．７畅设ε是Ｒ中可逆元，则有εｒ＝１．对ａ∈Ｒ倡，有εｒａ＝ａ，由δ的性质知δ（ａ）≥δ（ε）．反之，对ε∈Ｒ倡，若橙ａ∈Ｒ倡皆有δ（ａ）≥δ（ε）．用欧氏环的定义，对１，ε有ｑ，ｒ∈Ｒ使１＝ｑε＋ｒ，ｒ＝０或δ（ｒ）＜δ（ε）．且若ｒ≠０，则δ（ｒ）＜δ（ε），这与题设矛盾．故ｒ＝０，得１＝ｑε，即ε为可逆元．（ｉｉ）设ａ有题设的性质，若ａ＝ｂｃ，ｂ，ｃ皆非可逆．设有ｑ，ｒ使·５８·ｂ＝ｑａ＋ｒ，ｒ＝０或δ（ｒ）＜δ（ａ）．若ｒ＝０，则ｂ＝ｑａ＝ｑｂｃ．用消去律有１＝ｑｃ与ｃ非可逆矛盾．若ｒ≠０，且非可逆，则δ（ａ）＞δ（ｒ）与题设δ（ａ）≤δ（ｒ）矛盾．故ｒ为可逆元．由ｂ－ｑａ＝ｂ－ｑｂｃ＝ｂ（１－ｑｃ）＝ｒ，可得ｂ为可逆元，与ｂ非可逆矛盾．故ａ为Ｒ的不可约元．８畅不作要求，可参看所列文献．９畅Ｒ为主理想环，若某一素理想包含（ｄ），可设该理想为（ｋ）．设ｄ＝ｐｌ１１ｐｌ２２…ｐｌｓｓ，ｐ１，…，ｐｓ是不相伴的不可约元或素元．（ｋ）是素理想，（ｄ）彻（ｋ），则（ｋ）不为零．由习题３知ｋ为素元，又ｋ｜ｄ，知ｋ与ｐ１，…，ｐｓ之一相伴，故（ｋ）为（ｐｉ）之一，１≤ｉ≤ｓ．§３ 交换环上多项式环以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题． 倡１畅Ｒ是整环，则Ｒ［ｘ］中可逆元一定是Ｒ中可逆元．２畅设Ｒ是有限域．令Ｒ１＝｛Ｒ到Ｒ的全部映射的集合｝．Ｒ１上有加法和乘法：ｆ１，ｆ２∈Ｒ１，令橙ａ∈Ｒ，（ｆ１＋ｆ２）（ａ）＝ｆ１（ａ）＋ｆ２（ａ），（ｆ１·ｆ２）（ａ）＝ｆ１（ａ）ｆ２（ａ）．易知Ｒ１在这两个运算下成环．其单位元ｅ为：橙ａ∈Ｒ，ｅ（ａ）＝１．对橙ｒ∈Ｒ，作Ｒ１中映射ｆ（ｒ）：ｆ（ｒ）（ａ）＝ｒ，橙ａ∈Ｒ．它们组成Ｒ１的子环，并与Ｒ同构．干脆记成Ｒ，于是Ｒ１是Ｒ的扩环，并将ｆ（ｒ）记成ｒ．令ｕ是Ｒ的恒等映射：ｕ（ａ）＝ａ，橙ａ∈Ｒ．证明ｕ不是Ｒ上不定元． 倡３畅Ｚ是整数环，则ａ＋ｂｉ，ａ，ｂ∈Ｚ，不是Ｚ上不定元．１畅设ｆ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］，在Ｒ［ｘ］中可逆，则有ｇ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］使ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝１．在整环Ｒ［ｘ］中，多项式相乘则次数相加．故必有抄（ｆ（ｘ））＝抄（ｇ（ｘ））＝０．即ｆ（ｘ）＝ａ０，ｇ（ｘ）＝ｂ０，皆为Ｒ中元，且ａ０ｂ０＝１．故ｆ（ｘ）＝ａ０是Ｒ中可逆元．·６８·２畅先证明Ｒ１澈Ｒ０＝｛ｆ（ｒ）｜ｒ∈Ｒ｝是Ｒ１的子环并与Ｒ同构．实际上（ｆ（ｒ１）±ｆ（ｒ２））（ａ）＝（ｒ１±ｒ２）＝ｆ（ｒ１±ｒ２）（ａ），（ｆ（ｒ１）·ｆ（ｒ２））（ａ）＝ｆ（ｒ１）（ａ）ｆ（ｒ２）（ａ）＝ｒ１ｒ２＝ｆ（ｒ１ｒ２）（ａ）．即ｆ（ｒ１）±ｆ（ｒ２）＝ｆ（ｒ１±ｒ２），ｆ（ｒ１）ｆ（ｒ２）＝ｆ（ｒ１ｒ２），Ｒ０对加，减，乘是封闭的，故是Ｒ１的子环．作映射Ｒ０Ｒｆ（ｒ）ｒ它显然环同构．把ｆ（ｒ）干脆与ｒ等同．则Ｒ１是Ｒ的扩环．现设Ｒ＝Ｆｐｎ．橙ａ∈Ｒ满足ａｐｎ－ａ＝０．ｕｐｎ（ａ）＝ａｐｎ，ｕ（ａ）＝ａ，即有（ｕｐｎ－ｕ）（ａ）＝０，橙ａ∈Ｒ．故ｕｐｎ－ｕ＝０，这即说ｕｐｎ，ｕ在Ｒ上线性相关，ｕ不是Ｒ上不定元．３畅令ｕ＝ａ＋ｂｉ，则（ｕ－ａ）２＋ｂ２＝０，ａ，ｂ∈Ｚ．这是ｕ２，ｕ，１在Ｚ上的一个线性关系，故ｕ不是Ｚ上不定元．§４ 唯一因式分解环上的多项式环以下习题中打倡者是必作题，其余为选作题．下面的环Ｒ都是唯一因式分解环． 倡１畅Ｒ［ｘ］的正次数多项式若是不可约元，一定是本原多项式． 倡２畅ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］．ｇ（ｘ）的首项系数为１，则有ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］，使ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）ｑ（ｘ）＋ｒ（ｘ），其中ｒ（ｘ）或者为零或者抄（ｒ（ｘ））＜抄（ｇ（ｘ））． 倡３畅ｆ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］，ｃ∈Ｒ是ｆ（ｘ）的一个根，则（ｘ－ｃ）｜ｆ（ｘ）． 倡４畅Ｒ［ｘ］中的ｎ次多项式ｆ（ｘ）在Ｒ中最多有ｎ个不同的根．于是ｆ（ｘ）＝ａｎｘｎ＋…＋ａ０在Ｒ中若有多于ｎ＋１个根，必是零多项式．１畅设ｆ（ｘ）各系数的最大公因子为ｄ，则ｆ（ｘ）＝ｄｇ（ｘ）．ｇ（ｘ）为正次数必·７８·不可逆．因ｆ（ｘ）不可约，故ｄ是Ｒ［ｘ］中可逆元．由§３习题１，ｄ是Ｒ中可逆元．故ｆ（ｘ）是Ｒ［ｘ］中本原多项式．２畅设ｆ（ｘ）＝ａｎｘｎ＋ａｎ－１ｘｎ－１＋…＋ａ１ｘ＋ａ０，ｇ（ｘ）＝ｘｍ＋ｂｍ－１ｘｍ－１＋…＋ｂ１ｘ＋ｂ０，ｍ≥０．我们对ｎ作归纳法．当ｎ＝０时是显然的．设次数≤ｎ－１时已对．若ｎ＜ｍ，ｆ（ｘ）＝０ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）就是要求的ｒ（ｘ）．若ｎ≥ｍ．作ｆ（ｘ）－ａｎｘｎ－ｍｇ（ｘ），此中两多项式的首项都是ａｎｘｎ，两者相消．这个差多项式若为零，则ｆ（ｘ）＝ａｎｘｎ－ｍｇ（ｘ）＋０，命题已对．若差多项式不为零，其次数已小于ｎ．用归纳假设有ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）使ｆ（ｘ）－ａｎｘｎ－ｍｇ（ｘ）＝ｑ（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｒ（ｘ），就有ｆ（ｘ）＝（ａｎｘｎ－ｍ＋ｑ（ｘ））ｇ（ｘ）＋ｒ（ｘ），其中ｒ（ｘ）＝０或抄（ｒ（ｘ））＜抄（ｇ（ｘ））．完成了归纳法．３畅用（ｘ－ｃ）去除ｆ（ｘ），由习题２可得ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｃ）ｑ（ｘ）＋ｒ，这时ｒ∈Ｒ．两边用ｃ代入，０＝ｆ（ｃ）＝（ｃ－ｃ）ｑ（ｃ）＋ｒ．故ｒ＝０．即得ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｃ）ｑ（ｘ），（ｘ－ｃ）｜ｆ（ｘ）．４畅这时Ｒ［ｘ］是唯一因式分解环．设ｆ（ｘ）有ｎ＋１个不同的根α１，α２，…，αｎ，αｎ＋１．由习题３，（ｘ－αｉ）｜ｆ（ｘ），ｉ＝１，２，…，ｎ＋１．先设ｆ（ｘ）＝（ｘ－α１）ｑ１（ｘ）．用α２代入得０＝（α２－α１）ｑ１（α２）．因α２≠α１，知ｑ１（α２）＝０．仍由习题３，ｑ１（ｘ）＝（ｘ－α２）ｑ２（ｘ），于是ｆ（ｘ）＝（ｘ－α１）（ｘ－α２）ｑ２（ｘ）．同样α３代入，得ｑ２（α３）＝０．于是ｑ２（ｘ）＝（ｘ－α３）ｑ３（ｘ）．这样可得ｆ（ｘ）＝（ｘ－α１）ｑ１（ｘ）＝（ｘ－α１）（ｘ－α２）ｑ２（ｘ）＝…＝（ｘ－α１）…（ｘ－αｎ）ｑｎ．因ｆ（ｘ）是ｎ次的，这时ｑｎ必为Ｒ中非零元．再用αｎ＋１代入，左端为ｆ（αｎ＋１）等于零，右端（αｎ＋１－α１）…（αｎ＋１－αｎ）ｑｎ≠０，矛盾．故ｆ（ｘ）最多有ｎ个不同的根．因此ｆ（ｘ）＝ａｎｘｎ＋…＋ａ１ｘ＋ａ０若有ｎ＋１个不同的根，必为零多项式．·８８·。
线性代数(经济数学2)-习题集(含答案)
《线性代数(经济数学2）》课程习题集一、计算题11. 设三阶行列式为231021101--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13．2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D3. 求解下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---1111322112132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠4. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？5. 问λ取何值时, 齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解？二、计算题26. 计算6142302151032121----=D 的值。
7. 计算行列式5241421318320521------=D 的值。
8. 计算0111101111011110=D 的值。
9. 计算行列式199119921993199419951996199719981999的值。
10. 计算4124120210520117的值。
11. 求满足下列等式的矩阵X 。
2114332X 311113---⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭12. A 为任一方阵，证明T A A +，T AA 均为对称阵。
13. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=212321A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=103110021B 求AB ．14. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121311A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212211033211B 求T )(AB 和T T A B15. 用初等变换法解矩阵方程 AX =B 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011220111A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121111B16. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2100430000350023A求1-A17. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=311121111A 的逆。