第五章习题解答_数值分析

第五章习题解答

1、给出数据点:0134

19156

i i x y =⎧⎨

=⎩

(1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。 (2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。 (3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。

解: (1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数

2

20

2

1303011915

01031013303152933

()()()()()()

()()()()()()()()

i i i x x x x x x L x l x y x x =------==

⨯+⨯+⨯-------++=

∑

代入可得2151175(.).L =。

(2)利用

134,,x x x ===,9156,,y y y ===构造如下差商表：

229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+- 代入可得215135(.).N =。

(3)用事后误差估计的方法可得误差为

()()()02222

03-x 150

x x x -=117513506563-04.()()()(..).x f L R L x N x x x --≈=

-≈- ()()()3222203-154

x x -=1175135-1.0938-04

.()()()(..)x x f N R x L x N x x x --≈=-≈-

2、设Lagrange 插值基函数是

0012()(,,,,)n

j i j i j

j i

x x l x i n x x =≠-==-∏

试证明:①对x ∀,有

1()n

i

i l x ==∑

②00110001211()()(,,,)()()n

k

i i i n n k l x k n x x x k n =⎧=⎪==⎨⎪-=+⎩

∑

其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。 证明：

①由Lagrange 插值多项式的误差表达式10

1()()()()()!n n

i i f R x x x n ξ+==-+∏知，对于函数1()f x =进行

插值，其误差为0，亦即0()()n

i i

i f x l x f

==

∑精确成立，亦即

1()n

i i l x ==∑。

②分别取被插值函数()k

f x x =，当k n ≤时Lagrange 插值多项式的误差表达式

1001()()()()()!n n

i i f R x x x n ξ+==-=+∏，即0()()n i i i f x l x f ==∑，亦即0

()n

k k i i i l x x x ==∑，对于0k =，由①可知结论成立；对于12,,,k n = 时，特别地取0x =，则有

00()n

k

i i

i l x

==∑；而当1

k n =+时知其Lagrange 插值误差为100

1()()()()()()!n n

n

i i i i f R x x x x x n ξ+===-=-+∏∏，于是有0

()()()n

i i i f x l x f R x ==+∑，即1

1

()()n

n

k k i i

i i i x

l x x

x x ++===+-∑∏，特别取0x =可得

1201010

011()()()n

k n n i i n n i l x

x x x x x x ++==-=-∑ ，证毕。

8、考虑构造一个函数01()([,])x

f x e x =∈的等距节点函数表，要使分段Hermite 插值的误差不大

于41

102

-⨯，最大步长h 应取多大？ 解：由等距分段Hermite 插值的误差表达式

4444

401

110423842

()()max ()!x h h R x f x e -≤≤≤=≤⨯ 从而可得

0.2899h ≈

10.已知f(0)，f(2)，f ′(2)，使用Lagrange 型插值基函数法构造二次Hermite 插值多项式H 2(x)，使其满足插值条件H 2(0)= f(0)，H 2(2)= f(2)，H ′2(2)= f ′(2)，并写出H 2(x)的截断误差。

解：设H 2(x)=h 0(x)f(0)+ h 2(x)f(2)+⎺h 2(x)f ′(2) 为满足插值条件 （1）h 0(0)=1 h 0(2)=0 h ′0(2)=0 且h 0(x)为二次多项式

设h 0(x)=()()()0-2

+=

+0-2x l x ax b ax b 由h 0(0)=1 h ′0(2)=0 得=12+=0

b a b ⎧⎨⎩ → 1=-,=12a b ()()2

01h x -24x ∴=

（2）h 2(0)=0 h 2(2)=1 h ′2(2)=0 且h 2(x)为二次多项式

设h 2(x)=()()()2+=

+2

x

l x cx d cx d 由h 2(2)=1 h ′2(2)=0 得2+=14+=0

c d c d ⎧⎨⎩ → 1=-,=22c d ()2

21h x -+4x x ∴=

（3）⎺h 2(0)=0 ⎺h 2(2)=0 ⎺h ′2(2)=1 且⎺h 2(x)为二次多项式

设⎺h 2(x)=

()-2x x λ

由h ′2(2)=1 得 2λ=1 →λ=1/2 ()()21

h x -22

x x ∴=

所以综上，()()()()()()()2202=0+2+h x H x h x f h x f f x '