山东科技大学概率论卓相来岳嵘编第三章习题解析
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山东科技大学概率论卓相来岳嵘编第三章习题解析
习 题 三
1. 一个口袋中装有5只球，其中4只红球，1只白球，采用不放回抽样，接连摸两次.设
⎩⎨
⎧=⎩⎨⎧=.
,0,1 01第二次摸到白球第二次摸到红球，，第一次摸到白球；，第一次摸到红球，Y X
试求：（1）Y X 和的联合分布律；
（2）{}.Y X P ≥
解 （1） ),(Y X 的可能取的数组为 (0,0),(0,1),. (1,0), (1,1)
下面先算出每一组取值的概率
第一次取到白球的概率为15，第一次取到白球后，第二次取白球的概率为0.
第一次取到白球的概率为15，第一次取到白球后，第二次取红球的概率为1. 因此由乘法定理得
{}(,)}{(0,0)0
P X Y P == {}11
(,)(0,1)155
P X Y ==⨯=
第一次取到红球的概率为4
5，第一次取到红球
后，第二次取白球的概率为14
.
第一次取到红球的概率为4
5，第一次取到红球
后，第二次取红球的概率为34
. 因此由乘法定理得
{}433
(,)(1,1)545P X Y ==⨯=
{}411
(,)(1,0)545
P X Y ==⨯=
于是所求的分布律为
Y
1
X
0 0
15
1
15
35
（2）{}.Y X P ≥={}{}{}4
(0,0)(1,0)(1,1)5P P P ++=
2. 将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值。试写出Y X 和的联合分布律.
解 由X 表示在三次中出现正面的次数，出现反面次数为3X -，所以
(3)23
Y X X X =--=-，X 的取值为0,1,2,3，Y 的取值为
3,1,1,3
，且(3,0.5)X b :
于是{}{}3
11(,)(0,3)0()
2
8
P X Y P X =====
{}{}12
3113(,)(1,1)1()228P X Y P X C =====
{}{}223113
(,)(2,1)2()228P X Y P X C =====
{}{}311
(,)(3,3)3()28
P X Y P X =====
而(,)(0,1),(1,3),(2,3),(3,1),X Y =均为不可能事件.所求的Y X 和的联合分布律为
X
0 1
2 3
Y
1 0 3
8
3
8
3
18
0 18
3. 一盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求Y X 和的联合分布律.
解 X 的取值为0,1,2,3，Y 的取值为0,1,2,其联合分布律为
X
1 2 3
Y
0 0
335
235
1 0
635
1235
235
2
135
635
335
4. 设二维随机变量()Y X ,概率密度为
⎩⎨
⎧<<<<--=.
,0,
42,20),6(),(其它y x y x k y x f
求:（1）常数k ； （2）{}3,1< 解 （1）由概率密度的性质⎰⎰ +∞ ∞-+∞∞ -=1 ),(dxdy y x f ， 得 2 4 2 2 (,)(6)2(3)81 f x y dxdy k x y dxdy k x dx k +∞ +∞-∞-∞ =--=-==⎰⎰ ⎰ ⎰ ⎰,故18 k =. 于是 6,02,24,(,)8 0, . x y x y f x y --⎧<<<<⎪ =⎨⎪⎩其它 {}{}13 2 (2) 1,3(,)63 88 D P P X Y f x y dxdy x y dydx <<=--==⎰⎰⎰ ⎰ {} 1.54 2 627 (3) 1.5832 x y P X dydx --<==⎰ ⎰ (4）{}240 2 62 483 x x y P X Y dydx ---+≤==⎰⎰ . 5. 设二维随机变量()Y X ,服从区域G 上的均匀分布，其中{}1,1≤≤=y x G ，试求关于t 的一元二次方程0 2 =++Y Xt t 无实根的概率. 解 二维随机变量),(Y X 在区域{}1,1≤≤=y x G 服从均匀分布，由G 的面积 4 A =，所以),(Y X 的概率密度为 1 , 1,1, (,)4 0, . x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 若关于t 的一元二次方程0 2 =++Y Xt t 无实数根，则判别式 240 X Y ∆=-< t 的一元二次方程0 2 =++Y Xt t 无实数根的概 率为 2 112 2 1 4 111{40}{4}424 x P X Y P X Y dydx --<=<==⎰ ⎰ . 6. 设X 与Y 的联合概率密度为 4, 01,01, (,)0, . xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨ ⎩其它 求X 与Y 的联合分布函数(,)F x y