概率论答案第三章测试题

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题第三章多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k ；（2）求{}3,1<<Y X P （3）求{}5.1<X P ；（4）求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

概率论第三章测试题

第三章测试题1、已知随机变量,ξη的分布列分别为求(),()E D ξξ2、设随机变量(,)ξη的分布列为求(),(),(),(|1),(|1),(),(),(,),E E E E E D D Cov ξηξηξηξηηξξηξηρ=-=。

3、设随机变量ξ的概率密度函数为1|1|,02()0,x x f x --<<⎧=⎨⎩其它，求(),()E D ξξ。

4、设随机变量ξ的概率密度函数为2,01()0,ax bx c x f x ⎧++<<=⎨⎩其它，且已知()0.5,()0.15E D ξξ==，求系数,,a b c 。

5、某机场的送客车一次载有20名旅客自机场开出，沿途有10个停车点，若到达停车点无人下车则车不停下，设每名旅客在各个停车点下车是等可能的，求送客车停车次数的数学期望。

6、设()4,()9,0.6D D ξηξηρ===，求(32)D ξη-。

7、设随机变量ξ的方差()D ξ存在且有限，已知(0,,a b a a b ηξ=+≠常数），求ξηρ。

8、设随机变量(,)ξη在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求()D ξη+。

9、设随机变量ξ的概率密度函数为,0()0,x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩， 2Y eξξ-=+，21Z ξ=-，求(),()E Y E Z 。

10、设随机变量(,)ξη的协方差矩阵为4339-⎛⎫⎪-⎝⎭，求ξηρ。

11、设随机变量(,)ξη的概率密度函数为212,01(,)0,y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它，求(),(),(),(),(,),E E D D Cov ξηξηξηξηρ。

12、设随机变量(,)ξη的概率密度函数为,01,0(,)0,cxy x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其它，求（1）常数c ；（2）(),(),(),()E E D D ξηξη；（3）边缘密度函数(),()f x f y ξη，并判断,ξη是否相互独立；（4）条件概率密度函数(|)f y x ，1(|)4f y ，(|)f x y ，1(|)2f x ，（5）条件数学期望1(|)4E η，1(|)2E ξ。

概率论第三章习题及答案

02
题目8
一个盒子里有100个球，其中红球有30个，蓝球有40个，黄球有20个，
绿球有10个。随机抽取一个球并记录其颜色，然后放回盒子中。连续抽
取三次，求三次抽取中抽到红球的次数的期望值。
03
题目9
一个袋子中有5个红球和5个蓝球，从中随机抽取3个球，求抽取到红球
的个数X的分布律。
02 答案部分
基础题目答案
在处理复杂事件时，应先分解为简单事件，再根据概率的加
法原则进行计算。
注意区分必然事件和不可能事件，它们在概率论中具有特殊
地位。
知识点回顾与巩固
知识点回顾概率的基本性质：概率具有非负性、规范性、有限可加性。
事件的独立性及其性质。
知识点回顾与巩固
条件概率的定义及其性质。贝叶斯公式的应用场景和推导方法。
挑战题目解题思路与技巧
总结词
综合运用知识
详细描述
对于挑战题目，需要综合运用概率论中的知识，如随机变量的分布、随机过程的性质等。要能够准确理解题目的背景和要求，构建合适的概率模型，并运用适当的数学方法进行求解。
示例
题目问的是“一个袋子中有3个红球和2个白球，每次从中随机取出1个球并放回，连续取 5次。求取出的5个球中至少有3个红球的概率。”解题时，应先计算取出的5个球中都是白球的概率，再用1减去这个概率，得出至少有3个红球的概率。
未来学习计划与展望
• 学习随机过程的基本概念和性质，了解常见的随机过程如泊松过程、马尔可夫链等。
未来学习计划与展望
展望
学习概率论与其他数学分支的交叉知识，如统计学、线性代数等。
将概率论的知识应用于实际问题和科学研究，加深对理论知识的理解和掌握。

概率论与数理统计第三章自测题与答案

第三章多维随机变量及其分布自测题(90分钟)一、单项选择题（每题3分，共15分）1．设),1,0(~,21N X X 则21X X Y += （）（A ）)2,0(~N Y （B ）)1,0(~N Y （C ）)2,0(~N Y （D ）Y 不一定服从正态分布 2．设Y X ,相互独立，都服从区间[0,1]上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的是（）（A ）()Y X , （B ）Y X + （C ）2X （D ）Y X -3．设随机变量X 和Y , 已知,73}0{}0{,71}0,0{=≤=≤=≤≤Y P X P Y X P =≤}0),{min(Y X P 则（）（A ）73 （B ）72 （C ）75 （D ）49164．设Y X ,相互独立，且都服从标准正态分布，则（）（A ）41}0{=≥+Y X P （B ）41}0{=≥-Y X P （C ）41}0),{max(=≥Y X P （D ）41}0),{min(=≥Y X P5．设两个随机变量Y X ,相互独立，且5.0}1{}1{}1{}1{=====-==-=Y P X P Y P X P ，则下列各式中正确的是（）（A ）1}{==Y X P （B ）5.0}{==Y X P （C ）25.0}0{==+Y X P （D ）25.0}0{==XY P 二、填空题（每空3分，共24分）1．设()Y X ,的联合分布律如下，且事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则a= , b= .2．设Y X ,相互独立，表中列出()Y X ,的联合分布律和关于X 和Y 的边缘分布律的部分数值，3．设Y X ,相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则=≤}1),{max(Y X P 。

4．设随机变量X 和Y 相互独立都服从b (2,p )，且95}1{=≥X P ，则}1{=+Y X P ＝。

5．已知()Y X ,的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他,00,),(yx e y x f y ，则=≤+}1{Y X P ，}21{≤Y X P ＝。

概率论习题第三章答案

第三章连续型随机变量3.1设随机变量 ξ 的分布函数为F （x ），试以F （x ）表示下列概率：。

)()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。

）（解：)0(1)()4();(1)()3();0()(P 2);()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ3.2函数x211F(x)+=是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果在其它场合恰当定义。

在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞<<∞-x x x 解：(1)F(x)在),(∞-∞内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； (2)F(x)在)0∞，（内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； (3)F(x)在），（－0∞内单调上升、连续且，若定义 ⎩⎨⎧≥<<∞=01)()(~x x X F x F －则)(~x F 可以是某一随机变量的分布函数。

3.3函数 sinx 是不是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为[]。

，）；（，）；（，）（⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ230302201 解：(1)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=⎰πxdx ，所以 sinx 可以是某个随机变量的分布密度； (2) 因为12sin 0≠=⎰πxdx ,所以sinx 不是随机变量的分布密度； (3) 当 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,ππx 时,sinx<=0所以sinx 不是随机变量的分布密度。

3.4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x)，即p(x)=p(-x) 证明：对任意的a>0，有[][]。

－－故上式右端＝知由证：）1)(21a)P(1a)(3)P(1;-2F(a))(21)(1)1(,)(2)()()2(;)(21)()(1)(1)(1)(1)(1)()()1(.)(F 12)()3(;1)(2)()2(;(p 21)(1)()1(00000-=<=>-=-==<-=--=-=-=+=-==--=>-=<-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞-∞-∞-∞--∞-a F dxx p a F dx x p dx x p a P dx x p dx x p dx x p a F dx x p dxx p dx x p dx x p a F a a P a F a P dx x a F a F a a a a a aaaaaa ξξξξξ3.5设)(1x F 与)(2x F都是分布函数，证明F(x)=aF(x)+bF(x)也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为)(1x F与 )(2x F 都是分布函数，于是F(x1)＝aF1(x1)+bF2(x2)<= aF1(x1)+bF2(x2)= F(x2) 又F(x-0)= aF1(x1-0)+bF2(x2-0) = aF1(x)+bF2(x)= F(x) 所以，F(x)也是分布函数。

概率论第三章习题及答案

i

PX x ， Y y
j i

j 1， 2，
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第三章习题课
已知联合分布律求边缘分布律
X 以及Y 的边缘分布律也可以由下表表示
Y X
y1 p11
p21

y2 p12
p22

… … … … …
yj
p1 j
… … …

pi
p1
p2
x1
x2

p2 j
对于任意固定的 Y, 对于任意固定的 X,
F ( , y ) 0;
F ( x,) 0;
F (,) 0;
F (,) 1.
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第三章习题课
3) F (x , y)=F(x+0, y), F (x, y)=F(x, y+0), 即 F (x, y)关于 x 右连续，关于 y 也右连续.

2 则称随机变量 X， Y 服从参数为 1， 2， 12， 2 ,

X， Y ~ N 1， 2，，， 2, 1 1. i i 1 ， 2, i 0 i 1
2 1 2 2
的正态分布，记作
Y 的取值为 y1， y2，， y j ，
则称
设 X， Y 二维离散型随机变量，X 的取值为
pij P X xi ， Y y j
i，j 1， 2，
X， Y 的（联合）分布律．为二维离散型随机变量
第三章习题课
二维离散型随机变量的联合分布律
X， Y 的联合分布律也可以由下表表示
Y X
x1 x2

概率论课后习题答案第三章

概率论课后习题答案第三章第三章概率论课后习题答案概率论是一门研究随机现象的数学学科，它在现代科学和工程领域中有着广泛的应用。

而习题则是巩固和加深对概率论知识的理解和应用的重要手段。

在第三章的习题中，我们将探讨一些与随机变量和概率分布相关的问题，并给出相应的答案和解析。

1. 设随机变量X服从参数为λ的指数分布，即X～Exp(λ)，其概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)，x≥0。

求以下概率：(a) P(X > 2)(b) P(X ≤ 1)(c) P(1 ≤ X ≤ 3)答案：(a) P(X > 2) = ∫[2,∞] λe^(-λx) dx = e^(-2λ)(b) P(X ≤ 1) = ∫[0,1] λe^(-λx) dx = 1 - e^(-λ)(c) P(1 ≤ X ≤ 3) = ∫[1,3] λe^(-λx) dx = e^(-λ) - e^(-3λ)解析：根据指数分布的性质，我们可以利用概率密度函数求解概率。

对于(a)，我们计算X大于2的概率，即求解X在区间[2,∞]上的概率密度函数的积分。

对于(b)，我们计算X小于等于1的概率，即求解X在区间[0,1]上的概率密度函数的积分。

对于(c)，我们计算X在1到3之间的概率，即求解X在区间[1,3]上的概率密度函数的积分。

2. 设随机变量X服从参数为μ和σ^2的正态分布，即X～N(μ,σ^2)，其概率密度函数为f(x) = (1/(σ√(2π))) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，-∞<x<∞。

求以下概率：(a) P(X > μ)(b) P(X ≤ μ)(c) P(μ-σ ≤ X ≤ μ+σ)答案：(a) P(X > μ) = 1 - P(X ≤μ) = 1 - 0.5 = 0.5(b) P(X ≤ μ) = 0.5(c) P(μ-σ ≤ X ≤ μ+σ) = P(X ≤ μ+σ) - P(X ≤ μ-σ) = 0.6827 - 0.3173 =0.3654解析：对于正态分布，我们可以利用概率密度函数求解概率。

概率论与数理统计第三章测验题答案更新

第三章测验题答案(2010-05-11)班级______ 姓名______ 学号______ 做题时间____分钟********************************************************************************************一. 填空(共17分)1. （5分）设随机变量()X P λ:且{2}{4}P X P X ===，则λ= 解：因为()X P λ:，属离散型随机变量，故{},0,1,2 0kP X k e k k λλλ-===>.由题设条件{2}{4}P X P X ===可知242!4!ee λλλλ--=，所以212.λ=又因为0,λ>所以λ=2. （12分，每空2分）根据定义完成下列各式：()()()(,(11)(,))1;(12)(,)1;(21);(22)(31)(,);(32)(,;()(.))X xxy X X xY Xx dx x dx x f f x y dxdy f F f f x y dx x y dx f dx f x y dy F dy F x y y x +∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞-∞-=-=-=--===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰二. 选择(共20分，每题5分)1. 设随机变量X 的绝对值不大于1，且{1}1,8P X =-=1{1}4P X ==，则{11}P X -<<=[ A ](A) (B) (C) (D)解：因为随机变量X 的绝对值不大于1，所以必定有X 的所有取值只可能在-1到1之间，即{||1}1P X ≤=，所以{11}{||1}{1}{1}P X P X P X P X -<<=≤-=--=1151.848=--=2. 设X 与Y 相互独立且同分布，1{1}{1}2P X P Y =-==-=，1{1}{1}2P X P Y ====，在下列各式中成立的是 [ A ] (A) 1{}2P X Y ==(B) {}1P X Y == (C)1{0}4P X Y +==(D) 1{1}4P XY == 解：因为111,22+=所以X 和Y 的取值只能是1或-1，因此利用X 与Y 的边缘分布律和两者独立性的条件可知(X , Y )的联合分布律，如下表所示：{1}{1}P X Y P X Y ===-+==111442=+=，故选项(A)正确，(B)错误；(){0}{1,1}{1,1}P X Y P X Y X Y +===-=⋃==- {1,1}{1,1}P X Y P X Y ==-=+==-111442=+=，故选项(C)错误；(){1}{1}{1}P XY P X Y X Y ====⋃==- {1}{1}P X Y P X Y ===+==-111442=+=，故选项(D)错误.3. 已知3{0,0}7P X Y ≥≥=，且4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max(,)0}P X Y ≥=[ C ].(A)37 (B)47 (C)57 (D) 1649解：本题关键是分析max 函数的含义，从而利用概率的加法公式来解. 具体过程如下：{max(,)0}{00}P X Y P X Y ≥=≥≥或者(){0}{0}P X Y =≥⋃≥(){0}{0}{0}{0}P X P Y P X Y =≥+≥-≥⋂≥({0}{0})X Y ≥≥因为事件和事件不互斥，所以只能利用加法公式{0}{0}{0,0}P X P Y P X Y =≥+≥-≥≥ 44357777=+-=4. 设随机变量2(,)X N μσ:，则随着σ的增大，{}P X μσ-<[ ]. (A)增大 (B)减小 (C)保持不变 (D)增减不定解：||{||}{1}{11}(1)(1)2(1)1X X P X P P μμμσσσ---<=<=-<<=Φ-Φ-=Φ-，与σ无关，所以选(C).(0,)σσ>因为两边同时除以以后不等号不变号三. 解答题（请写明求解过程，共63分）1. （18分，每小题6分）已知随机变量X 的分布函数为0,0()sin ,0,21,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩求(1) A ; (2){||}6P X π<; (3)()f x .解：(1)利用分布函数的右连续性可知，在2x π=点，右连续性表现为2lim (x))2(x F F ππ→+=，根据(x)F 定义可知，当1x >时，()1F x =，所以左边=2lim (x)x F π→+=2lim 11x π→+=，右边(si 22)n F A A ππ===，故A =1.所以得到0,0()sin ,02,1,2x F x x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩(2) 注意到这个(x)F 在整个实轴都是连续的，根据第二章的结论：只要分布函数是连续函数，那么随机变量在单点处的概率就为0，因此有{||}{}{}66666X X P X P P πππππ<=-<=≤-<<()()66F F ππ=--0sin 6π=-=12=.(3)已知分布函数求概率密度，只需要在密度函数的连续点处对x 求导即可：因此有cos ,0().20,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（此题没有()f x 无定义的点，否则需要修改相应区间，例如第二章测验解答题第一题.）2. （15分）某元件寿命X 服从参数为11000λ=的指数分布，则三个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少解：随机变量X表示元件寿命，由题意可知其概率密度为1000,01(),.1000xxothe sfeexrwi->⎧⎪=⎨⎪⎩又因为11000100010001{1000}()1000.xP X f x dx e dx e-+∞+∞-≥===⎰⎰即元件能够使用超过1000小时的概率是1e-，又因为三个元件的寿命是相互独立的，所以最后所求概率值即为()313e e--=.3.（10分）已知二维随机向量(X, Y)的联合密度函数为8,01(,)0,xy x yf x y≤≤≤⎧=⎨⎩其它求(X, Y)的关于Y的边缘密度函数.解：通过以下四个步骤求边缘密度：①写定义：()(,)Yf y f x y dx∞-∞+=⎰②定区间： ____,001,y <<⎧=⎨⎩其它③化积分： 08,0,10y y xydx ⎧⎪=⎨⎪⎩<<⎰其它④求积分： 34,00,1y y <<⎧=⎨⎩其它.4. （10分）设(1,2),X U :求2X Y e =的概率密度函数.解：因为(1,2),X U :所以有1,12().0,X x f x <<⎧=⎨⎩其它因为函数2x y e =是严格单调函数，所以可以利用书中第52页定理直接求Y 的密度函数.21ln ()2x y h y y e ==是的原函数，且242412,,,x e y e e e αβ<<<=<=当时则有即定理中的；1ln (2)2(,)1y h y ∈=所以(())1X f h y =. 又注意到'()12h y y=，所以由定理可知·|'((()|)),0,()X Y h y h y f y y f αβ<<⎧=⎨⎩其它241,0,2e y e y⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它（10分）已知(X , Y )的概率密度为1(),0(,,)810x y f x y x y ≤≤⎧≤+⎪=⎨⎪⎩其它求1{}P X Y +≤.解：本题所求的是二维随机变量(X , Y )落在某区域中的概率，则{}(,)1GP X Y f x y dxdy ≤+=⎰⎰现要将此二重积分化成累次积分，则要确定这个区域{}(,)|1G x y x y =+≤与0(,)f x y ≠的区域的交集，如下图所示故{}(,)1GP X Y f x y dxdy ≤+=⎰⎰11201()8y ydy x y dx -=+⎰⎰1.48= 四. 选做题(10分,100分以外)设(X , Y )的分布函数为(,)(arctan 2)(arctan 3)F x y A B C x y=++,求(1) A,B,C; (2)(,)f x y ; (3)X 和Y 是否相互独立解：(1)法一：利用二维随机变量的分布函数的性质：(,)0,(,)0,(,)1F y F x F -∞=-∞=+∞+∞=得到()(arctan )0(1)23(arctan )()0(2)22()()1(3)22y A B C x A B C A B C ππππ⎧-+=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪++=⎪⎩式式式.由(3)式可知，0A ≠. 又因为(,)1F +∞+∞=, 所以(,)(arctan )(arctan )023x F x y A B C y=++≠故00.23arctanarctan B y C x ++≠≠并且则又（１）（２）式可知21,2B C A ππ===．因此21(,)(arctan )(arctan )2223x yF x y πππ=++．法二：利用一维随机变量的分布函数的性质()0,()1F F -∞=+∞=来做：因为边缘分布()(,)lim (,)(arctan )()22X y x F x F x F x y A B C π→+∞=+∞==++()(,)lim (,)()(arcta )23n Y x F y F y F x y A B C yπ→+∞=+∞==++作为一维随机变量的分布函数是满足上述性质的，故1()lim (,)lim (arctan )(arctan 23)()()22X x x y F F x A B B x C A C y ππ→+∞→+∞→+∞=+∞=+∞=++=++0()lim (,)lim (arctan )(arctan 23)()()22X x x y F F x A B B x C A C y ππ→-∞→-∞→+∞=-∞=+∞=++=-+0()lim (,)lim (arctan )(arctan )3()22()2Y y x y F F y A B B x C A C y ππ→-∞→+∞→-∞=-∞=+∞=++=+-解此方程组得到21,2B C A ππ===.(2)22222222222(,)(,)1(arctan )(arctan )2211(arct 2313an )2111246.(4)(921213119)F x y f x y x yx y yx x y y x x y y πππππππ∂=∂∂⎡⎤∂++⎢⎥⎣⎦=∂∂⎡⎤⎢⎥⎢⎥∂⨯+⨯⨯⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=∂=⨯⨯⨯=+++++(3)要判断独立性，就要先求边缘分布；法一：因为此题给出的条件是分布函数，所以这里我们先求X 和Y 的边缘分布函数. 根据分布函数的定义，我们有1()(,)lim (,)(arctan )()(arctan )2222X y x x F x F x F x y A B C πππ→+∞=+∞==++=+1()(,)lim (,)()(arctan )(arctan )3322Y x F y F y F x y A B C y yπππ→+∞=+∞==++=+所以对任意的x, y , 有(,)()()X Y F x y F x F y =成立，故X 与Y 独立. 法二：利用第(2)题联合密度求边缘密度后，判断是否独立.()(,)X f x f x y dy +-∞∞=⎰222222222222226(4)(9)61(4)9611(4)91arct 3613|(4)93613(4)924an 22()dyx y dy x y dy x y y x x x ππππππππ+-+-+-∞∞∞∞∞∞+∞-∞=++=++=⨯⨯+⎛⎫+ ⎪⨯⨯⎛⎫⨯⨯+ ⎪⎝⎭=⨯+=⎝⎭⨯+=+⎰⎰⎰ ()(,)Y f y f x y dx +-∞∞=⎰222222222222226(4)(9)61(9)4611(9)41arct 2612|(9)42612(9)439an 22()dxx y dx y xdy y x x y y y ππππππππ+-+-+-∞∞∞∞∞∞+∞-∞=++=++=⨯⨯+⎛⎫+ ⎪⨯⨯⎛⎫⨯⨯+ ⎪⎝⎭=⨯+=⎝⎭⨯+=+⎰⎰⎰ 22222623(,)(),(4)(9)(4)(9)()X Y f x y f y x y x y x f πππ==⨯=++++x y 对任意，均成立，故X 与Y 独立.。

《概率论与数理统计答案》第三章

第三章
习题参考答案与提示
第三章随机变量的数字特征习题参考答案与提示
1．设随机变量 X 的概率分布为
X
－3 0.1
0 0.2
1 0.3
5 0.4
pk 试求 EX 。
答案与提示： EX = 2 。 2．已知随机变量 X 的分布列为
X
0 0.1
1
p
2 0.4
3 0.2
Pk
答案与提示：（1）由归一性， p = 0.3 ；（2） EX = 1.7 ；（3） DX = 0.81 3．已知随机变量 X 的分布列为
后
答
D X −Y = 1−
26．设灯管使用寿命 X 服从指数分布，已知其平均使用寿命为 3000 小时，现有
—5—
案
若一周 5 个工作日里无故障可获利 10 万元，发生一次故障仍获利 5 万元，发生二次2π网
。
ww w
3 ； 2
.k
hd a
EZ =
1 ， DZ = 3 ； 2
w. c
解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义( ρ XY =
第三章
习题参考答案与提示
求：（1） Y = 2 X 的数学期望；（2） Y = e −2 X 的数学期望。答案与提示：（1） EY = E 2 X = 2 ；（2） EY = Ee −2 X = 1/ 3 。
1 11．试证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过。 4
答案与提示：事件在 n 次独立重复试验中发生的次数服从参数为 n ， p 的二项分布 B ( n, p ) ，当然在一次试验中发生的次数应服从 B (1, p ) ，即为(0-1)分布。
f ( x) = 1 − x− β e 2α

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