《概率论与数理统计》期末考试试题与答案
概率论与数理统计》期末考试试题及解答
概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。
因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。
解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。
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一、填空题(每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________。
答案：0.3解：3.0)(=+B A B A P即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P 。
2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案:161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________。
答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x=严格单调，反函数为()h y=所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eXP，则=λ_________，}1),{min(≤YXP=_________。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案
一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( )(A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ）3311()()()()328168A B C D(3)),4,(~2μN X ),5,(~2μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p >(4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）⎰-=-adx x f a F 0)(1)( （B ）⎰-=-adx x f a F 0)(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F(5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记5011,50i i X X ==∑ 则 50211()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2,)50N (B) 2(,4)50N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分)(1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=⋃B A P ,则___________)(=B A P(2) 设随机变量X 有密度⎩⎨⎧<<=其它010,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=>的常数a =(3) 设随机变量),2(~2σN X ，若3.0}40{=<<X P ,则=<}0{X P (4)设()221xx f x -+-=， 则EX = , DX =(5)设总体~(,9)X N μ，已知样本容量为25，样本均值x m =；记0.1u a =，0.05u b =；()0.124t c =，()0.125t d =；()0.0524t l =，()0.0525t k =，则μ的置信度为0.9的置信区间为三、解答题 （共60分）1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？2、(10分)设X 与Y 两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(其它x x f X ⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(y y e y f y Y求:随机变量Y X Z +=的概率密度函数.3、(10分)设随机变量X 服从参数2λ=的指数分布，证明：21XY e-=-服从()0,1上的均匀分布。
概率论与数理统计期末考试试题(答案)
概率论与数理统计开/闭卷闭卷A/B 卷 A课程编号 2219002801—2219002811课程名称 概率论与数理统计学分 3基本题6小题，每小题5分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分,选错分）。
事件表达式A B 的意思是 ( ） ） 事件A 与事件B 同时发生 (B ） 事件A 发生但事件B 不发生） 事件B 发生但事件A 不发生 （D) 事件A 与事件B 至少有一件发生D ，根据A B 的定义可知。
假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( )） 是不可能事件 (B ） 是可能事件 C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 :选A,这是因为对立事件的积事件是不可能事件。
已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 （ ） A) 自由度为1的χ2分布 （B ） 自由度为2的χ2分布 ） 自由度为1的F 分布 （D) 自由度为2的F 分布选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的2分布.已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2，4),Y ～N （-2，1), 则（ ） X +Y ～P （4） (B ） X +Y ～U （2，4） （C) X +Y ~N （0,5) （D ） +Y ~N (0,3）C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X ）+E （Y ）D （X +Y )=D (X ）+D （Y )=4+1=5， 所以有X +Y ~N (0，5)。
样本（X 1,X 2，X 3）取自总体X ，E （X ）=μ， D (X ）=σ2， 则有( ） A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B ）1233X X X ++是μ的无偏估计） 22X 是σ2的无偏估计（D ） 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计:选B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。
概率论与数理统计期末考试试题库及答案
概率论与数理统计期末考试试题库及答案概率论与数理统计概率论试题一、填空题1.设 A、B、C是三个随机事件。
试用 A、B、C分别表示事件1)A、B、C 至少有一个发生 2)A、B、C 中恰有一个发生3)A、B、C不多于一个发生2.设 A、B为随机事件, ,,。
则=3.若事件A和事件B相互独立, ,则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A______________7. 已知随机变量X的密度为,且,则________________8. 设~,且,则 _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命中率为_________10.若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2+x+10有实根的概率是11.设,,则12.用()的联合分布函数F(x,y)表示13.用()的联合分布函数F(x,y)表示14.设平面区域D由y x , y 0 和 x 2 所围成,二维随机变量x,y在区域D上服从均匀分布,则(x,y)关于X的边缘概率密度在x 1 处的值为。
15.已知,则=16.设,且与相互独立,则17.设的概率密度为,则=18.设随机变量X1,X2,X3相互独立,其中X1在[0,6]上服从均匀分布,X2服从正态分布N(0,22),X3服从参数为3的泊松分布,记YX1-2X2+3X3,则D(Y)19.设,则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有~ 或 ~ 。
特别是,当同为正态分布时,对于任意的,都精确有~ 或~.21.设是独立同分布的随机变量序列,且,那么依概率收敛于22.设是来自正态总体的样本,令则当时~。
23.设容量n 10 的样本的观察值为(8,7,6,9,8,7,5,9,6),则样本均值,样本方差24.设X1,X2,…Xn为来自正态总体的一个简单随机样本,则样本均值服从二、选择题1. 设A,B为两随机事件,且,则下列式子正确的是(A)P A+B P A; (B)(C) (D)2. 以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为 (A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”; (B)“甲、乙两种产品均畅销”(C)“甲种产品滞销”;(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
概率论与数理统计期末考试试题及答案
解：因为 是单调可导，故可用公式法计算………….1分
当 时， ………….2分
由 ， 得…………4分
从而 密度函数为 …………..5分
=…………..6分
六、〔8分〕 随机变量 与 概率分布为
而且 .
(1)求随机变量 与 联合分布;
(2)判断 与 是否相互独立
解：因为 ，所以
概率论与数理统计期末考试试题〔A〕
专业、班级：姓名：学号：
题 号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
总成绩
得 分
一、单项选择题(每题3分 共18分)
1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B
〔1〕
〔2〕设随机变量X其概率分布为 X -1 0 1 2
P 0.2 0.3 0.1 0.4
那么 〔 〕。
(A)(B) 1(C) 0 (D)
1. 2. , 3. 4.
〔1〕如果 ，那么 .
〔2〕设随机变量 分布函数为
那么 密度函数 ， .
〔3〕
〔4〕 设总体 与 相互独立,且都服从 ， 是来自总体
样本， 是来自总体 样本，那么统计量
服从 分布〔要求给出自由度〕。
三、(6分)设 相互独立， ， ，求 .
解： 0.88=
= (因为 相互独立)……..2分
解：用 表示第 户居民用电量，那么
………2分
那么1000户居民用电量为，由独立同分布中心极限定理
………3分
= ………4分
……….6分
= ………7分
十一、〔7分〕设 是取自总体 一组样本值， 密度函数为
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《概率论与数理统计》期末考试试题及解答一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)?P(B)?0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为__________.答案：0.3解：P(A?B)?0.3即0.3?P(A)?P(B)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.5?2P(AB)所以P(AB)?0.1P(?)?P(AB)?1?P(AB)?0.9.2．设随机变量X服从泊松分布，且P(X?1)?4P(X?2)，则P(X?3)?______.答案：1?1e6解答：P(X?1)?P(X?0)?P(X?1)?e????e,??P(X?2)??22e??????2?? 由P(X?1)?4P(X?2) 知e??e?2?e2 即2????1?0 解得??1，故P(X?3)?1?1e 623．设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y?X在区间(0,4)内的概率密度为fY(y)?_________.答案：0?y?4,fY(y)?FY?(y)?fX? 0,其它.?解答：设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x)，密度为fX(x)则FY(y)?P(Y?y)?P(X?2y)?y?)yX)Xy? ?)y 因为X~U(0,2)，所以FX(?0，即FY(y)?FX故10?y?4,fY(y)?FY?(y)?fX? 0,其它.?另解在(0,2)上函数y?x2严格单调，反函数为h(y)?所以0?y?4,fY(y)?fX? ?0,其它.?24．设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为?的指数分布，P(X?1)?e，则??_________，P{min(X,Y)?1}=_________.答案：??2，P{min(X,Y)?1}?1?e-4解答：P(X?1)?1?P(X?1)?e???e?2，故??2P{min(X,Y)?1}?1?P{min(X,Y)?1}?1?P(X?1)P(Y?1)?1?e?4.5．设总体X的概率密度为???(??1)x,0?x?1, f(x)?? ???1. ?其它?0,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则未知参数?的极大似然估计量为_________.答案：???11nlnxi?ni?1?1解答：似然函数为L(x1,?,xn;?)??(??1)xi??(??1)n(x1,?,xn)?i?1nlnL?nln(??1)??n?lnxi?1ni解似然方程得?的极大似然估计为dlnLn???lnxi?0 d???1i?12?? ?11n?lnxini?1?1.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若P(C)?1，则AC与BC也独立.（B）若P(C)?1，则A?C与B也独立.（C）若P(C)?0，则A?C与B也独立.（D）若C?B，则A与C也独立. （）答案：（D）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图可见A与C不独立.2．设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为?(x)，则P(|X|?2)的值为（A）2[1??(2)]. （B）2?(2)?1.（C）2??(2). （D）1?2?(2). （）答案：（A）解答：X~N(0,1)所以P(|X|?2)?1?P(|X|?2)?1?P(?2?X?2)(2)??(?2)?1?[2?(2?) ?1??1]?2?[1 ? 应选（A）.3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（A）X与Y独立. （B）D(X?Y)?DX?DY.（C）D(X?Y)?DX?DY. （D）D(XY)?DXDY. （） 3答案：（B）解答：由不相关的等价条件知，?xy?0?cov（x，y）?0 D(X?Y)?DX?DY+2cov （x，y）应选（B）.4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) P111169183??若X,Y独立，则?,?的值为（A）??29,??19. （A）??129,??9.（C）??16,??16 （D）??518,??118.4 ）（答案：（A）解答：若X,Y独立则有??P(X?2,Y?2)?P(X?2)P(Y?2) 1121 ?(????)(??)?(??) 393921 ???，??99 故应选（A）.5．设总体X的数学期望为?,X1,X2,?,Xn为来自X的样本，则下列结论中正确的是（A）X1是?的无偏估计量. （B）X1是?的极大似然估计量.（C）X1是?的相合（一致）估计量. （D）X1不是?的估计量. （）答案：（A）解答：EX1??，所以X1是?的无偏估计，应选（A）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A?‘任取一产品，经检验认为是合格品’B?‘任取一产品确是合格品’则（1）P(A)?P(B)P(A|B)?P()P(A|)?0.9?0.95?0.1?0.02?0.857.（2）P(B|A)?四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.5 P(AB)0.9?0.95??0.9977. P(A)0.857解：X的概率分布为P(X?k)?C3()()k25k353?kk?0,1,2,3.X即X的分布函数为P02712515412523612538 125x?0,?0,?27?,0?x?1,?125??81,1?x?2, F(x)???125?117 2?x?3,?125,?x?3.?1,?26EX?3??,552318DX?3???.5525五、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域D?{(x,y)|x?0,y?0,x?y?1} 上服从均匀分布. 求（1）(X,Y)关于X的边缘概率密度；（2）Z?X?Y的分布函数与概率密度.（1）(X,Y)的概率密度为?2,(x,y)?Df(x,y)??0,其它.?fX(x)?（2）利用公式fZ(z)? 其中f(x,z?x)????????????2?2x,0?x?1f(x,y)dy??0,其它??f(x,z?x)dx?2,0?x?1,0?z?x?1?x?2,0?x?1,x?z?1.??0,其它??0,其它.当z?0或z?1时fZ(z)?0 0?z?1时fZ(z)?2?z0dx?2x0?2zz6故Z的概率密度为??2z,0?z?1,fZ(z)????0,其它.Z的分布函数为fZ(z)??z??z?0?0,?0,z?0,?z??fZ(y)dy???2ydy,0?z?1??z2,0?z?1, 0??1,z?1.?z?1??1,或利用分布函数法?z?0,?0,?FZ(z)?P(Z?z z1,)?P(X?Y?)z,y0??????2dxd?D1?1,z?1.??0,?2, ??z?1,?z?0,0?z?1, z?1.?2z,?0,0?z?1,其它.fZ(z)?FZ?(z)??六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N(0,2)分布. 求（1）命中环形区域D?{(x,y)|1?x?y?2}的概率；（2）命中点到目标中心距离Z?1）P{X,Y)?D}?222.??f(x,y)dxdyD???2??4D?x2?y28dxdy? 18?r282??2?21e?r28rdrd??（2）EZ?E? ?21e?r28d(?)??e 82??e?e；1?18?12 ?? ??r28 ????1e?04 ???1e8??x2?y28dxdy?18???2???0re?rdrd??r28r2dr7??rer2?8????0??0e?r28dr??????r28dr?.七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~N(?,?2)，今抽取容量为16的样本，测得样本均值?10，样本方差s2?0.16. （1）求?的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设H0:?2?0.1（显著性水平为0.05）.（附注）t0.05(16)?1.746,t0.05(15)?1.753,t0.025(15)?2.132,解：（1）?的置信度为1??下的置信区间为(?t?/2(n?222?0.05(16)?26.296,?0.05(15)?24.996,?0.025(15)?27.488. ?t?/2(n??10,s?0.4,n?16,??0.05,t0.025(15)?2.132所以?的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）2 （2）H0:?2?0.1的拒绝域为?2???(n?1).15S22?15?1.6?24，?0.05 ??(15)?24.996 0.12 因为?2?24?24.996??0.05(15)，所以接受H0.2《概率论与数理统计》期末考试试题（A）专业、班级：姓名：学号：一、单项选择题(每题3分共18分)891011121314151617《概率论与数理统计》课程期末考试试题（B）专业、班级：姓名：学号：181920212223242526272829共8页30。
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《概率论与数理统计》期末考试试题（A ）专业、班级：姓名：学号：题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得分一、单项选择题 (每题 3 分1．D 2．A 3．B 共 18分)4．A 5．A6．B若事件A、B适合P(AB)0 ,则以下说法正确的是().(A) A 与B 互斥(互不相容);(B) P( A)0 或P(B)0 ;(C) A 与 B 同时出现是不可能事件 ;（1） (D) P(A) 0 , 则 P (B A)0.（ 2）设随机变量X其概率分布为X -1012P0.20.30.10.4则 P{ X 1.5}（）。
(A)0.6(B) 1(C) 0(D)1 2（ 3）设事件 A1与 A2同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是（）（ A ）P ( )()（B）P(A) P(A1) P( A2) 1 A P A1A2（ C）( )()（ D）PA PA1A2P(A)P(A1) P(A2) 1（ 4）设随机变量X~N(3, 1),Y ~ N(2,1),且X与Y相互独立,令Z X2Y 7, 则 Z~().(A) N (0, 5);(B) N (0,3);(C) N (0, 46);(D) N (0, 54).（5）设X1,X2,, X n为正态总体 N ( ,2) 的一个简单随机样本，其中2,未知，则（）是一个统计量。
(A)n22(B)n) 2 X i( X ii1i1(C) X(D)X（6）设样本X1, X2,, X n来自总体 X ~ N ( ,2 ), 2 未知。
统计假设为H0：（已知）：。
则所用统计量为（）00H 10(A) U X0(B) TX0 n S n(C)2( n 1)S2(D)21n2( X i) 22i 1二、填空题 (每空 3分共15分)1. P(B)2. f (x)xe x x0,3e 23.14.t(9)0x0（1）如果P( A) 0, P( B)0, P(A B)P(A)，则 P(B A).（ 2）设随机变量X的分布函数为0,x0,F ( x)(1 x)e x ,x0.1则 X 的密度函数 f ( x)， P(X2).（ 3）设?1 ,?2 ,?3是总体分布中参数的无偏估计量 ,?a?1 2?2 3?3,当 a ________时, ?也是的无偏估计量 .（ 4）设总体X和Y相互独立,且都服从N (0,1)， X1,X2,X9是来自总体X的样本， Y1 ,Y2 , Y9是来自总体Y 的样本，则统计量X 1X 9 UY92Y12服从分布（要求给出自由度）。
三、 (6 分) 设 A, B 相互独立， P(A)0.7 ， P(A B) 0.88 ，求 P( A B) .解： 0.88=P( A B)P( A) P(B) P( AB)=P(A) P( B)P( A)P(B)(因为 A, B 相互独立 )⋯⋯ ..2 分=0.7 P( B) 0.7P(B)⋯⋯⋯⋯ 3 分 则P(B) 0.6⋯⋯⋯⋯ .4 分P(A B)P( A) P( AB) P( A) P( A)P(B)0.70.7 0.60.28⋯⋯⋯⋯ 6 分四、（6 分）某宾馆大楼有 4 部电梯，通过调查，知道在某时刻 T ，各电梯在运行的概率均为 0.7 ，求在此时刻至少有 1 台电梯在运行的概率。
解：用 X 表示时刻 T 运行的电梯数， 则 X ~ b(4, 0.7) ⋯⋯⋯ ...2 分 所求概率P X 1 1 P X 0⋯⋯⋯⋯ 4 分1 C 40 (0.7)0 (1 0.7) 4 =0.9919⋯⋯⋯⋯ .6 分五、（ 6 分 ）设随机变量 X 的概率密度为 e x , x 0 f ( x)，0,其它求随机变量 Y=2X+1 的概率密度。
解：因为 y2x 1是单调可导的，故可用公式法计算 ⋯⋯⋯⋯ .1 分当 X 0时，Y 1⋯⋯⋯⋯ .2 分由 y2x 1， 得 xy 1, x'1 ⋯⋯⋯⋯ 4 分22f (y 11 1)y从而 Y 的密度函数为 f Y ( y)22⋯⋯⋯⋯ ..5 分y 11 y1e 2y 12⋯⋯⋯⋯ ..6 分=0 y 1六、（ 8 分 ） 已知随机变量 X 和 Y 的概率分布为X10 1 Y011 1 1 1 1P2 4P242而且 P{ XY0} 1.(1) 求随机变量 X 和 Y 的联合分布 ;(2)判断 X 与 Y 是否相互独立 ?解：因为 P XY 0 1，所以 P XY0 0(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出Y -11X1 01 141 42 12121 1 1424⋯⋯⋯⋯ .4 分(2) 因为1 1 1PX0,Y00PX0PY02 42所以 X 与 Y 不相互独立⋯⋯⋯⋯ 8 分七、（ 8 分）设二维随机变量( X ,Y)的联合密度函数为12e (3 x 4 y) , x0, y 0,f (x, y)0,其他.求：（1）P(0 X1,0 Y 2) ；（2）求 X 的边缘密度。
12解：（1）P(0X 1,0Y 2)dx 12e (3 x 4 y ) dy⋯⋯⋯⋯ ..2 分00124e 4 y dy = e 3 x1e 4 y23e3x dx0000=[ 1e 3] [1 e 8 ]⋯⋯⋯⋯.4分（ 2）f X ( x)12e(3 x 4 y) dy⋯⋯⋯⋯ ..6 分3e 3x x0⋯⋯⋯⋯⋯ ..8分0x0八、（ 6分） 一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从参数为1的指数分4布。
工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。
若工厂售出一台设备盈利 100 元，调换一台设备厂方需花费 300 元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。
1)1 e 1 x解： 因为 X ~ e(得 f (x)4x⋯⋯⋯⋯ .2 分440 x用 Y 表示出售一台设备的净盈利Y100X 1 ⋯⋯⋯⋯ 3 分100 300 0X1x 1则P(Y100)1 1e 4 dxe 44x1P Y2001 1e 4 dx1 e 4⋯⋯⋯ ..4 分411所以EY 100 e 4( 200)(1 e 4 )1300e 4 20033.64 （元）⋯⋯⋯ ..6 分九、（ 8分）设随机变量X 与 Y的数学期望分别为2 和 2，方差分别为1 和 4，而相关系数为0.5，求 E(2 XY),D(2 XY) 。
解：已知EX2,EY2,DX1,DY4,XY0.5则E(2 XY)2EXEY2 (2)26⋯⋯⋯ .4 分D(2XY)D(2X )DY2 cov( 2X , Y)⋯⋯⋯ .5 分2DXDY4 cov( X ,Y)⋯⋯⋯ .6 分2DXDY4 DXDY XY=12⋯⋯⋯⋯ ..8 分十、（ 7 分）设供电站供应某地区1 000 户居民用电，各户用电情况相互独立。
已知每户每日用电量（单位：度）服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限定理求这 1 000 户居民每日用电量超过10 100 度的概率。
（所求概率用标准正态分布函数 ( x) 的值表示）.解：用 X i表示第i户居民的用电量，则 X i ~ U [ 0,20]EX i 0 20DX i(20 0)2100⋯⋯⋯2分1012321000则 1000 户居民的用电量为X X i，由独立同分布中心极限定理i1P X10100 1P X10100⋯⋯⋯3分=1X1000 1010100 100010⋯⋯⋯4分P1001001000100033110100100010⋯⋯⋯ .6 分(100)10003=1( 3 )⋯⋯⋯7分10十一、（ 7 分）设x1, x2,, x n是取自总体X的一组样本值， X 的密度函数为(1) x,0 x1,f ( x)其他 ,0,其中0 未知，求的最大似然估计。
解 :最大似然函数为n n⋯⋯⋯ .2 分L( x1 ,, x n , ) f ( x i )(1) x ii 1i 1= (1) n ( x1 ,, x n )⋯⋯⋯ .3 分则ln L( x 1,, x n , ) n ln(1) ln( x 1 , , x n )0 x 1 , , x n 1⋯⋯⋯ ..4 分令 d ln Ln ln( x 1,, x n )⋯⋯⋯ ..5 分d1于是 的最大似然估计：?1n。
⋯⋯⋯ .7 分ln ln( x 1 ,, x n )十二、（ 5 分）某商店每天每百元投资的利润率X ~ N ( ,1) 服从正态分布， 均值为，长期以来方差 2稳定为 1，现随机抽取的100 天的利润，样本均值为x5 ，试求的置信水平为 95% 的置信区间。
（ t 0.05 (100)1.99,(1.96)0.975 ）解： 因为已知，且X~ N(0,1)⋯⋯⋯⋯ 1 分n故PXU1⋯⋯⋯⋯ 2 分n 2依题意0.05, U1.96, n 100,1, x 52则 的置信水平为 95%的置信区间为[ x U, x U] ⋯⋯⋯⋯ 4 分2n2n即为[4.801,5.199]⋯⋯⋯⋯ 5 分。