对有理数的认识
对有理数和无理数的认识
对有理数和无理数的认识摘要：本文将对有理数和无理数的由来、概念及性质作一介绍，试图对数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关键词：有理数 无理数 代数无理数与超越无理数一、 有理数1、有理数的由来在远古时候人们的生活经历探索，由模型到符号的演变发展成现在数及其符号，算术运算和早期代数也随之发展起来，在这里不做详细说明(大家可以参考由［英国］ 蒂莫西·高尔斯的《数学史》译:刘熙文献)，今日的算术和维叶塔以前的算术的区别在于对“不可能”到可能“可能”态度的转变，17世纪以前的代数家赋予这个名词有绝对的意义，认定了自然数是一切算术运算的特有数域，他们把可能性或者说，限制了的可能性，视为这些运算的内在性质。
也既是算术的直接运算乘法(ab)、加法（a+b ）、自乘(ba )在自然数域中是全可能的，然而逆运算除法（ba ），减法（a-b ）、开方（b a ）要在只在有限制的条件下成立。
维塔娜以前的代数学家只满足于陈述这些事实，他们不能对这些问题做更深入的分析。
然而算术直接运算之所以全可能，是因为这些运算只不过是一系列重复运算，一步步深入到自然数中，然自然数我们先验假定为无限。
若要除去这个假定，我们把算术域限于一个有限集合（比如1000以内自然数）因此998+456>1000、600 X 50>1000就变的没意义了，然而相对式子也就失去意义。
或者限于奇数，对乘法还是全可能(奇数之积任为奇数)，然而加法就不成立了。
因此在自然数域中算术运算是全可能的。
那么问题来了，能否把把数域扩大使得算术逆运算也成立，然而对于减法，我们只要把负数和0加进去就可以了。
对于除法，只要把正负分数加进去就使得除法也全可能。
因此由正负整数，正负分数和0组成的数域称为有理数域。
（希腊文称为λογος，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。
有理数与无理数
谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。
这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。
本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；m2、每个有理数都可以写成分数的形式，即，其中m和n都是整数，且nn≠0。
利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。
我们不加证明地给出关于有理数的一条结论：m当有理数的分母n能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）nm时，有理数能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。
（关于有理数与小n数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述）2无理数是指那些无限不循环小数。
大家熟悉的无理数很多，、e、π等等都是。
与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。
譬如，两个无理数的四2则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，=1。
2根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a有理数，b是无理数，则a+b，a-b，a·b（a≠0），a/b（a≠0）都是无理数。
下面着重介绍实数无理性的判定方法。
在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算2311有关，如，；与对数值有关，如log23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e（自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。
判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。
原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数m和无理数的关系，α就是有理数，故α=（n≠0），于是就得到一个具体的n等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。
认识有理数
认识有理数一、学习目标1.认识正数和负数；2.有理数的定义；3.有理数的分类。
二、知识点讲解1、认识正数和负数①正数：像3，3.5这种大于0的数叫做正数；②负数：像-3，-4.5这样在正数前加上“-”号的叫做负数；③符号：一个数前面的“+”、“-”号叫做它的符号。
知识点解读一般，我们会把上升、运送、零上、收入、前进、高出等规定为正；而它的相反意义的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负。
2、负数和正数①负数：比0小的数。
负数是数学术语，比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反的量。
负数用负号（即相当于减号）“－”和一个正数标记，如−2，代表的就是2的相反数。
②正数：比0大的数。
正数是数学术语，比0大的数叫正数，0本身不算正数。
正数与负数表示意义相反的量。
正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写，负数用负号（即相当于减号）“－”和一个正数标记，如−2，代表的就是2的相反数。
③0既不是正数，也不是负数。
注意事项①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a 是正数；当a表示0时，-a仍是0。
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。
所以省略“+”的正数的符号是正号。
典型例题、认识正数和负数五个数中，负数共有（）个。
1.题干：在-5、-2.3、0、0.89、1-43A、2个B、3个C、4个D、5个个人分析：负数的定义是_______。
答案：B、解析：根据负数定义，正数前带有“-”号的是负数，符合条件的有3个，故选B错因分析：______A.没有理解清楚定义B.看错条件了C.题目没读懂总结：本题主要考察正数和负数的相关概念，需要分清他们的定义。
2.题干：-5属于（）。
（填正数或者负数）个人分析：负数的定义是_______；正数的定义是______。
答案：负数解析：根据负数定义，正数前带有“-”号的是负数，故为负数。
错因分析：______A.没有理解清楚定义B.看错条件了C.题目没读懂3.题干：-8是正数。
有理数的意义分析
有理数单元教学目标1了解有理数的意义。
会用正数与负数表示相反意义的量，会按要求把给出的有理数归类。
2了解数轴、相反数、绝对值的概念。
会画数轴，会用数轴上的点表示整数或分数（以刻度尺为工具），会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。
3掌握有理数大小比较的法则。
会用不等号连接两上或两个以上不同的有理数。
单元教学重点1有理数（特别是负数）和绝对值的意义。
2数形结合的思想方法。
单元教学策略有理数是根据学生熟悉的实际需要，对小学学过的数的进一步护展。
对于本单元的学习，学生已有一定的知识基础和生活体验。
教学时教师应注意避免多讲，要从学生已有的知识和熟知的实例出发，引导学生认真阅读、思考、讨论，形成新的认知结构。
同时还要注意为后面的学习做好准备。
教学手段和方法1引导学生把学过的知识和熟悉的事例与新的学习内容联系起来2指导学生阅读、讨论、练习、总结。
3使用投影仪。
第1、2课时正数与负数一、学习目标1了解正数与负数是由于实际需要而产生的，会初步应用正负数表示实际生活中的有关量。
2了解有理数的概念，会判断一个数是正数还是负数，是整数还是分数。
二、教学过程师：同学们先回顾一下我们在小学学过哪些数（小学六年级就接触了负数）填空1在数物体时，物体的个数用 ___________________________ 示；一个物体也没有，就用_________________________ 示。
2测量和计算有时得不到整数的结果，就要用 ______________________________ 示。
3北京冬季里的一天，白天最高气温比0C高10C，记作10C ;夜晚最低气温比0C低5C，记作_______________________________________ 。
在中国地形图上，珠穆朗玛峰处标着8848,表示不打珠穆朗玛峰比海平面高8848米；叶鲁番盆地处标着-155，表示叶鲁番盆地比海平面低21 2 8848、-155,21师：在黑板上写出11、2、3、0、-5、21、1.5、-1、1.5、2请同学们认真观察教师写出的数，以四个小组为单位，讨论下面的问题1哪些数是我们在小学已经学过的？自然数包括0吗？2哪些数我们还没有学过？试说明它们都是在实际需要中产生的。
初一数学有理数的要点归纳
初一数学有理数的要点一、知识要点本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。
有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。
有理数的运算是全章的重点。
在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。
基础知识：1、正数(positionnumber)：大于0的数叫做正数。
2、负数(negationnumber)：在正数前面加上负号"-"的数叫做负数。
3、0既不是正数也不是负数。
4、有理数(rationalnumber)：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
5、数轴(numberaxis)：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
数轴满足以下要求：(1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点(origin);(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向;(3)选取适当的长度为单位长度。
6、相反数(oppositenumber)：绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数。
7、绝对值(absolutevalue)一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
记做|a|。
由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.正数大于0，0大于负数，正数大于负数;两个负数，绝对值大的反而小。
8、有理数加法法则(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0.(3)一个数同0相加，仍得这个数。
加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。
表达式：a+b=b+a。
加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。
七年级数学上册试讲教案
七年级数学上册试讲教案第一章：有理数1.1 认识有理数教学目标：让学生理解有理数的定义，掌握有理数的分类。
教学内容：有理数的定义，有理数的分类（整数、分数）。
教学方法：通过实例讲解，引导学生理解有理数的定义，通过分类讨论，让学生掌握有理数的分类。
1.2 数轴教学目标：让学生理解数轴的概念，学会在数轴上表示有理数。
教学内容：数轴的定义，数轴上的表示方法。
教学方法：通过直观的图形展示，让学生理解数轴的概念，通过实例讲解，让学生学会在数轴上表示有理数。
第二章：整式的加减2.1 单项式加减教学目标：让学生掌握单项式的加减法运算。
教学内容：单项式的加减法运算规则。
教学方法：通过例题讲解，让学生掌握单项式的加减法运算规则。
2.2 多项式加减教学目标：让学生掌握多项式的加减法运算。
教学内容：多项式的加减法运算规则。
教学方法：通过例题讲解，让学生掌握多项式的加减法运算规则。
第三章：分式3.1 认识分式教学目标：让学生理解分式的定义，掌握分式的分类。
教学内容：分式的定义，分式的分类（正分式、负分式、零分式）。
教学方法：通过实例讲解，引导学生理解分式的定义，通过分类讨论，让学生掌握分式的分类。
3.2 分式的加减教学目标：让学生掌握分式的加减法运算。
教学内容：分式的加减法运算规则。
教学方法：通过例题讲解，让学生掌握分式的加减法运算规则。
第四章：函数的概念4.1 认识函数教学目标：让学生理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
教学内容：函数的定义，函数的表示方法（列表法、解析法）。
教学方法：通过实例讲解，引导学生理解函数的概念，通过分类讨论，让学生掌握函数的表示方法。
4.2 一次函数教学目标：让学生掌握一次函数的定义，学会解一次方程。
教学内容：一次函数的定义，一次方程的解法。
教学方法：通过例题讲解，让学生掌握一次函数的定义，通过解方程的练习，让学生学会解一次方程。
第五章：数据的收集与处理5.1 数据的收集教学目标：让学生掌握数据收集的方法，学会使用调查法收集数据。
七年级上册有理数教案
第一章有理数一、全章概况：本章主要分两部分：有理数的认识，有理数的运算。
二、本章教学目标1、知识与技能（1）理解有理数的有关概念及其分类。
（2）能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。
（3）理解有理数运算的意义和有理数运算律，经历探索有理数运算法则和运算律的过程，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主），并能运用运算律简化运算。
（4）能运用有理数的有关知识解决一些简单的实际问题。
2、过程与方法（1）通过实例的引入，认识到数学的发展来源于生产和生活，培养学生热爱数学并自学地学习数学的习惯。
（2）通过对有理数的加、减、乘、除、乘方的学习，培养学生独立思考、认真作业的态度，提高运算能力，逐步激发学生的创新意识。
3、情感、态度与价值观（1）通过对有理数有关概念的理解，使学生了解正与负、加与减、乘与除的辩证关系，初步感受数学的分类思想。
（2）通过师生互动，讨论与交流，培养学生善于观察、抽象、归纳的数学思想品质，提高分析问题和解决问题的能力。
三、本章重点难点：1、重点：有理数的运算。
2、难点：对有理数运算法则的理解（特别是混合运算中符号的确定）。
四、本章教学要求认识有理数，首先是引入负数，必须从学生熟知的现实生活中，挖掘具有相反意义的量的资源，让学生有真切的感受，然后才引出用正负数表示这些具有相反意义的量，在理解有理数的意义时，注意运算数轴这个直观模型。
无论是有理数的认识，还是有理数运算的教学，都应设法让学生参与到“观察、探索、归纳、猜测、分析、论证、应用”等数学活动中来，并适时搭建“合作交流”的平台，让学生在学习数学中，动脑想、动手做、动口说，力求让学生自己建立个性化的认识结构。
在有理数的运算教学中，应鼓励学生自己探索运算法则和运算律，并通过适量的练习巩固，提倡算法多样化，反对做繁难的笔算，遇到较为复杂的计算应指导使用计算器。
有理数的基本概念与运算
第一章有理数基本内容结构本章内容：（1）有理数的相关概念，包括数轴、相反数、绝对值等；（2）有理数的运算，包括有理数的加、减、乘、除和乘方运算等；（3）科学记数法和近似数.本章重点：（1）有理数的相关概念，能在数轴上表示有理数，并借助数轴理解相反数和绝对值的意义；（2）有理数的运算，能进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算和简单的混合运算.本章难点：负数概念的建立以及对有理数运算法则的理解.本章考情：本章在中考题中主要考查有理数的有关概念和科学记数法，题型主要以选择题、填空题为主. 本章知识是后续学习的基础，所以在对其他内容的考查中也会包含有理数的知识.学习方法指导1. 有理数的有关概念及运算与小学学过的数的概念及运算联系紧密，因此注意应用类比的方法学习. 例如，对负数的认识离不开对已学过的数的认识；有理数的运算，当符号确定后，就归结为已学过的运算.2. 注重数学思想的应用，体会数形结合、分类讨论、转化、类比等数学思想方法在本章学习中的应用.1.1 正数和负数本节概念与方法：正数和负数是具有相反意义的量．教学要求1．了解正数和负数的产生过程，体会数学与现实生活的联系．2．理解正数、负数和0的意义，会判断一个数是正数还是负数．13．能用正数、负数表示生活中具有相反意义的量．提前预习内容1．自然数的认识：自然数起源于数数，0是最小的自然数，没有最大的自然数．2．自然数与整数的关系：自然数都是整数，但整数不一定是自然数．3．分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数．知识点突破知识点1 正数与负数的定义1．像2%，4，3，5这样大于0的数叫做正数. 有时为了明确所表达的意义，要在正数前面加上“＋”（正）号，如＋2，＋0.7，17+，…．2．像－3，－2.7%，－4.5这样在正数前面加上“－”（负）号的数叫做负数．提示：小于零的数是负数．3．0既不是正数，也不是负数，不要忽视零的这一特性．注意：（1）一个数前面的“＋”或“－”号叫做这个数的符号，正数前面的“＋”号一般省略不写，负数前面的“－”号不能省略不写．（2）0的意义：0不仅表示“没有”，它还是正数与负数的分界．例1 判断下列各数，哪些是正数，哪些是负数．＋2014，－3.1，12，10.58，－9，＋1，－45.6，0，1100+，－7%，114-．分析：可根据正数、负数的定义判断一个数是正数还是负数．解：正数有：＋2014，12，10.58，＋1，1100+．负数有：－3.1，－9，－45.6，－7%，114-．知识点2 用正数、负数表示具有相反意义的量在生产、生活中常常会遇到一些具有相反意义的量，例如“收入1000元与支出500元”“向东走2 km与向西走3 km”“上升1.5 m与下降0.8 m”等．为了更好地区分这些具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正的，把另一种和它具有相反意义的量规定为负的．学习具有相反意义的量应注意两点：（1）它们表示的意义相反；（2）它们是同类量．提示：（1）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正是可以任意选择的，2但习惯把“前进、上升，收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负．例如：若规定收入1000元记作＋1000元，则支出500元记作－500元；若规定上升1.5 m记作＋1.5 m，则下降0.8 m记作－0.8 m．（2）具有相反意义的量一定是具体的数量．（3）具有相反意义的量中的两个量必须是同类量，如节约3吨汽油与浪费1吨水就不是具有相反意义的量．（4）具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能成为具有相反意义的量．具有相反意义的量，只要求意义相反，而不要求数量相等，如盈利3000元与亏损400元是具有相反意义的量．例2 （1）天气预报说某地12月某天的最高温度是零上5 ︒C，最低温度是零下3 ︒C，若规定零上温度为正，则零上5 ︒C可记作︒C，零下3 ︒C可记作︒C．（2）如果某蓄水池的水位比标准水位高2 m，记作＋2 m，那么比标准水位低0.8 m应记作；恰好在标准水位应记作．（3）某地区的平均高度高于海平面310 m，记作海拔高度＋310 m，则海拔高度－270 m 表示．解析：（1）因为规定零上温度为正，所以零下温度为负；（2）比标准水位高用正数表示，那么比标准水位低则用负数表示，恰好在标准水位上就用0表示；（3）高于海平面的海拔高度用正数表示，所以负数表示海拔高度低于海平面．答案：（1）＋5（或5），－3；（2）－0.8 m，0 m；（3）低于海平面270 m．点拨：用正数和负数表示具有相反意义的量时，要明确“基准”．例3 长江某水文站的警戒水位为12 m，如果超过警戒水位1 m，记作＋1 m，那么低于警戒水位0.60 m，记作m．观察某年8月1日至8月5日该水文站的水位记录表并回答问题．日期8月1日8月2日8月3曰8月4曰8月5日水位/m －0.80 0 0.38 0.50 0.96（1）哪一天的水位最高？最高水位是多少？（2）哪一天的水位最低？最低水位是多少？（3）在这五天中，有多少天的水位超过警戒水位？分析：在本题中负数表示低于警戒水位，正数表示超过警戒水位，由此可确定每天的水位，再进行比较即可．解：－0.60．（1）8月5日的水位最高，为12.96 m．（2）8月1日的水位最低，为11.20 m．（3）在这五天中，有三天的水位超过警戒水位．34规律总结：当题目中已明确给出“一种意义”的量对应的是正数还是负数时，我们就可判断“与之具有相反意义”的量所对应的是负数还是正数．题型分类剖析题型1 辨别正数和负数例1 在－5，0，2014，123-，13-，＋0.03，154+，－1.23，π中，负数的个数为（ ）． A ．8 B ．6 C ．4 D ．3解析：根据负数的定义进行判断．注意对于正数和负数，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数，如＋(－4)＝－4不是正数，－(－2)＝2不是负数.答案：C题型2 正数和负数的实际应用1．用具有相反意义的量表示行走问题中的量例2 文具店、书店和玩具店依次位于一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20 m 处，玩具店在书店东边100 m 处，小明从书店沿街向东走了40 m ，接着又向东走了－60 m ，此时小明在（ ）．A ．文具店B ．玩具店C ．文具店西40 m 处D ．玩具店西60 m 处解析：把文具店、书店、玩具店的相对位置及小明的行走路线在图上表示出来，小明从书店出发沿街向东走了40 m ，到达M 处，接着又向东走了－60 m ，表示接着向西走了60 m ，所以小明向西走了60 m ，此时小明在文具店．答案：A方法归纳：图示法．图示法是将研究的问题用图表示出来，使其直观形象，便于理解问题内在联系的方法．例如，本题中用直线上的点表示位置，用线段的长表示距离，便可轻松地确定小明的位置．2．用正数、负数记录成绩例3 七年级（1）班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为85分，一名同学以平均成绩为标准，将超过平均成绩的记为正，得到五名同学的成绩为－15分，－4分，0分，4分，15分．这五名同学的实际成绩分别是多少分？分析：以平均成绩为标准，负数表示该成绩低于平均成绩，0表示该成绩与平均成绩相同，正数表示该成绩高于平均成绩．解：－15分表示比平均成绩85分少15分，即70分；－4分表示比平均成绩少4分，即81分；0分表示和平均成绩相同，即85分；4分表示比平均成绩多4分，即89分；15分表示比平均成绩多15分，即100分．这五名同学的实际成绩分别是70分，81分，85分，89分，100分．方法归纳：为了计算方便，常把高于平均数、标准数或某一基准数的量规定为正，把与它们具有相反意义的量用负数表示．3．用正数、负数表示误差范围例 4 某饮料公司生产了一种瓶装饮料，外包装上印有“(600±30) mL”的字样，那么(600±30) mL表示什么含义？质检局抽查了5瓶该产品，容量分别为603 mL，611 mL，588 mL，568 mL，628 mL，就容量而言，问抽查的产品是否合格？解题关键：“(600±30) mL”隐含着产品合格的范围，即合格产品的容量在(600－30) mL与(600＋30) mL之间，根据这个范围来判断抽查产品是否合格．解：(600±30) mL表示容量在(570～630) mL的产品都合格．抽查的5瓶饮料中只有568 mL比600 mL少了32 mL，属不合格，其余均合格．注意：正数和负数的分界是0，但并不是所有的分界都是0，如本题中的分界为600 mL．题型3 与正数、负数相关的表格信息题例 5 一个病人每天要测量五次体温，该病人某一天五次所测体温的变化情况（与前一次测量的体温比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是38 ︒C）如下表：时间6：00 10：00 14：00 18：00 22：00 体温变化/︒C ＋1.1 ＋0.4 －1 ＋0.5 －0.1实际体温/︒C（1）完成上面的表格；（2）计算该病人这一天的平均体温；（3）用前一天最后一次测量的体温与这天的平均体温比较，你能判断出该病人的体温是上升还是下降吗？分析：（1）根据该病人一天的体温变化情况，结合正数和负数的表示方法，即可求出答案．（2）根据表中所给的数据，结合题意，即可求出该病人这一天的平均体温．（3）用该病人前一天最后一次测量的体温与病人这天的平均体温进行比较，即可得出答案．解：（1）完成表格如下：5时间6：00 10：00 14：00 18：00 22：00 体温变化/︒C ＋1.1 ＋0.4 －1 ＋0.5 －0.1实际体温/︒C ＋39.1 ＋39.5 ＋38.5 ＋39 ＋38.9（2）根据题意，得平均体温＝(39.1＋39.5＋38.5＋39＋38.9)÷5＝195÷5＝39 ︒C．（3）∵前一天最后一次测量的体温是38 ︒C，这天的平均体温是39 ︒C，39 ︒C>38 ︒C，∴该病人的体温上升了．注意：本题中明确每次的基准温度是难点，只有第一次测量体温时的基准温度是38 ︒C，而后几次的基准温度均是前一次所测量的实际温度．题型4 正数、负数的规律探究题例6 观察下面依次排列的两组数，请按其规律写出后面的3个数，你能说出第15个数、第101个数、第2017个数分别是什么吗？（1）－1，－2，＋3，－4，－5，＋6，－7，－8，，，，…；（2）－1，12，－3，14，－5，16，－7，18，，，，…．分析：仔细观察每组数的特点，尤其是符号的分布特点，从变化中发现一般规律．由第（1）题所给的依次排列的一组数中的前8个数可知：对于第n个数，当n是3的整数倍时，此数为＋n；当n不是3的整数倍时，此数为－n；由第（2）题所给的依次排列的一组数中的前8个数可知：对于第n个数，当n为奇数时，此数为－n；当n为偶数时，此数为1n．解：（1）＋9，－10，－11．这组数中的第15个数为＋15，第101个数为－101，第2017个数为－2017．（2）－9，110，－11．这组数中的第15个数为－15，第101个数为－101，第2017个数为－2017．点拨：探索规律时，应全面分析题中所给的所有数据，要从符号和数两个方面进行观察，若是分数，还要分别观察分子和分母．要特别注意观察符号的变化规律，这样才能找到这组数的变化规律．中考考点对接考点归纳解读 1：正数和负数的定义，主要考查辨别一个数是正数还是负数，中考题中多以选择题和填空题的形式出现，题目较简单．解读 2：考查运用正数、负数表示具有相反意义的量或考查用正数、负数表示的数的实际意义，题型以选择题、填空题为主．6典型考题中考真题（(2016·山东临沂中考·3分）四个数－3，0，1，2，其中负数是（）．A．－3 B．0 C．1 D．2解析：根据负数的定义来判断．答案：A考题点睛：中考真题和教材练习题均考查了依据正数、负数的定义来辨别正数或负数，需要注意的是0既不是正数也不是负数．中考真题（2016·广州中考·3分）中国人很早开始使用负数，在中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章就正式引入了负数，这在世界数学史上属首次．如果收入100元记作＋100元，那么－80元表示（）．A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元解析：在实际问题中，由于“收入”和“支出”的意义相反，因此在用正负数表示具有相反意义的量时，若收入100元记作＋100元，那么－80元表示支出80元，所以选项C正确，答案：C．考题点睛：中考真题与教材练习题都考查了对用正数、负数表示具有相反意义的量的理解，其解决问题的思想方法完全相同，属基础题．小结与警示一、知识结构图示二、前车之鉴易误点1 误认为凡带有正号的数就是正数，凡带有负号的数就是负数．正数前面的“＋”号有时可以省略，但省略“＋”号后仍是正数；用字母表示数时，带有“＋”号或省略“＋”号的数不一定是正数，带有“－”号的数不一定是负数．提示：例题见“题型分类剖析”例1．易误点2 对“0”的含义理解不准确．例1 下列说法错误的是（）．7A．0是自然数B．0是整数C．0是偶数D．某地海拔高度为0 m表示某地没有海拔高度答案：D注意：小学阶段开始学习数的吋候，0表示没有，学习了负数后，0除了表示“没有”外，还是正数与负数的分界．本题D选项中对海拔高度0 m的理解错误，它并不是表示某地没有海拔高度，而是表示某地与海平面一样高．易误点3 对负数表示的意义理解不清．例2 如果上升3 m记作＋3 m，那么－4 m表示什么意义？解：－4 m表示下降4 m．注意：本题易错答案为下降－4 m．产生错误的原因是用正数、负数表示具有相反意义的量时，对负数表示的意义理解不清．易误点4 用正数、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位．例3 如果中午12点记作0时，下午3点记作＋3时，那么上午9点记作．解析：中午12点记作0时，中午12点之后几小时记作正几时，则中午12点之前几小时记作负几时，上午9点是中午12点之前3小时，故用－3时表示．答案：－3时注意：把一个量去掉它后面的单位名称后，它就是一个数，而不是一个量了．本题易错答案为－3，因漏掉后面的单位而出错．综合练习1．如果规定每天上午10时记为0时，10时以前记为负，10时以后记为正，且以45分钟为1个时间单位，如9：15记为－1时，10：45记为1时，那么7：45应记为（）．A．3时B．－3时C．－2.15时D．－7.45时2．在一次跳远测试中，体育老师以达标成绩2.00 m为标准，将高于该成绩的记为正，低于该成绩的记为负．王非跳出了2.12 m，记为＋0.12 m；何叶跳出了1.95 m，记为；张平跳出的成绩记为0 m，他实际跳的距离是．3．一个物体沿着东、西两个方向运动，若向东记为正，向西记为负，则：（1）向东运动2 m，记作，向西运动4 m，记作；（2）＋3 m表示向运动m，－6 m表示向运动m；（3）物体原地不动时，记作m．4.（“典型例题分析”例4变式）如图所示，某食品包装盒上标有“净含量385 g±5 g”，则这盒食品的合格净含量范围是g～390 g．895．教室高3 m ，教室里课桌高0.8 m ，如果把桌面高度记作0 m ，那么教室顶部和地面的高度分别记作什么？如果把教室顶部的高度记作0 m ，那么桌面和地面的高度分别记作什么？6．（“题型分类剖析”例3变式）如果课桌高度比标准高度高2 mm 记作＋2 mm ，那么比标准高度低3 mm 记作什么？现有5张课桌，量得它们的高度比标准高度分别高＋1 mm ，－1 mm ，0 mm ，＋3 mm ，－1.5 mm ，若规定课桌的高度比标准高度高不超过 2 mm ，低不超过 2 mm 就算合格，则上述5张课桌中有几张合格？1.2 有理数本节概念与方法：有理数，有理数的分类，数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较．教学要求1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小，能对有理数按一定标准进行分类．2．借助数轴理解相反数、绝对值的意义，掌握求一个有理数的相反数、绝对值的方法． 3．知道|a |（a 表示有理数）的含义． 4．初步感悟分类讨论思想和数形结合思想．提前预习内容1．几个定义：10正数：像2%，4，3.5这样大于0的数叫做正数．负数：像－3，－2.7%，－4.5这样在正数前面加上符号“－”（负）的数叫做负数． 非正数包括负数和0； 非负数包括正数和0．2．已学过的几类数：（1）正整数，如1，2，3，…； （2）0；（3）负整数，如 1，－2，－3，…；（4）正分数，如12，13，0.1，35，…； （5）负分数，如－0.5，23-，18-，…．知识点突破知识点1 有理数的有关概念★ 整数包括正整数、0、负整数，如－3，－2，0，1，2，3等． ★ 分数包括正分数、负分数，如＋113，0.18，－1.35，45-等． 分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式，同时有限小数和无限循环小数又都可以化为分数，如10.254=，10.33= ，10.1428577= ．所以有限小数和无限循环小数都属于分数，如3.17，0.3- 等都是分数． ★ 整数和分数统称为有理数． ★ 几个常用数学名词的含义．（1）正整数：既是正数，又是整数的数． （2）负整数：既是负数，又是整数的数． （3）正分数：既是正数，又是分数的数． （4）负分数：既是负数，又是分数的数． （5）非负数：正数和0． （6）非正数：负数和0． （7）非负整数：正整数和0． （8）非正整数：负整数和0． 拓展：任何一个有理数都可以写成nm的形式，其中只有当m ，n 同时满足：① m ，n 是互质的整数；② n ≠0，m ≠1时，nm才表示一个最简分数． 注意：（1）有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不能转化成分数，故无限不循环。
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（3）一个数前面加上一个“+”号，得到的仍是这个数，一个数前面加上一个“ ”号，得到的是这 个数的 。
-
3．绝对值的概念： 数轴上的点到原点的距离叫做这个点表示的有理数的绝对值。 4．求一个数的绝对值 （1）正数的绝对值是它本身；
4
（2）负数的绝对值是它的相反数； （3）0 的绝对值仍是 0. 5．绝对值相等，但是符号相反的两个数互为相反数；一个有理数是由这个数的符号和绝对值两部分 组成。 6．一个负数的绝对值越小，数轴上表示它的点距离原点越近；反之，一个负数的绝对值越大，数轴 上表示它的点距离原点越远。 7．两个负数比较大小：两个负数绝对值大的反而小。 二、基础练习 1．求下列各数的相反数：
7
。
⑪ 4 4 0 ；
3 1 1 ⑭ ； 4 4 2
⑫ 8 6 14；
5 5 ⑮ 5 5 。 8 8
⑬ 0 5 5 ；
A、 4
（3）用数轴上的点表示有理数时， 位于数轴原点左侧的点表示的数 的数，位于数轴原点右侧的点表示的数 二、基础练习： 【 】1．下列图形中，是数轴的是：
位于数轴原点左侧的点表示的数。
3
2．指出下面数轴上各点所表示的数：
A C F D N B E M
-2
A 点表示： E 点表示： ；B 点表示： ；F 点表示：
5.5 ； ⑰ 10
9.9 ；⑱
8．画数轴，在数轴上标出表示 1.5 和 2 .5 的两点，并写出比 1.5 大，且比 2 .5 小的所有整数，并且用“<”
将它们与这两个数连接起来。
9．判断正误：对的打上“√” ，错的打上“×”并加以更正。 ⑪
3 3 [ 4 4
] ； ]；
]；
⑺ 两个有理数相等，则它们的绝对值也相等 [
]；
⑻两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 [
]。 ⑼
5 10 [ 6 11
]；
⑽
二、有理数的四则运算
2．4 有理数的加法 一、知识点梳理： 1．有理数的加法法则： （1）同号两个有理数相加， （2）异号两个有理数相加，取 （3）互为相反数的两个数相加得 （4）任何一个数和零相加，得 2．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：两个数相加，可以 即ab
；⑫ 7.5 ；⑯ 3.53
5 ；⑬ 8
；⑭ 8
；
⑮ 3
17 ；⑰ 26
；⑱ 8.1
；⑲
3 11
-1
0
1
2
；D 点表示： ；N 点表示： ； ；
；C 点表示： ；M 点表示：
3．在数轴上分别用 A，B，C，D，P，Q，R，T 表示下列各数：
2.1, 1 4 , 4, 3 ， 3.5, , 1, 0 2 5
4．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“>”把他们连接起来
1 1 2.4, 3.5 （1） 2 , 2 3
1 5
（2） 18 10
（3） 17.1 17.1
（5） 23 32
5 17 （8） 7 7
11 8 4 11
。
⑶
；⑷
。
6．求出绝对值分别为 1.5,
1 , 16, 0 的有理数。 5
7．用“>” ， “+” ， “<”号填空： ⑪
3 4 1 ； 4
⑫ 7.5
7.5 ； ⑬ 0.2
0.22 ；
2 7
⑭ 5
1 。 3
5 ；
⑮
2 7
1 ； ⑯ 4.5 6
] ；
⑳ 任何负数都小于零 [
]：
]；
⑴ 数轴上的点表示有理数时，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 [ ⑵ 一个负数的绝对值越小，数轴上表示它的点距离原点越远 [ ⑶ 绝对值最小的数是零 [ ⑹
]；
]；
⑸ 零是最小的正整数 [
]；
⑷
6 7 [ 9 9
]；
]；
2 3 [ 3 4
【例 1】填空：
。
1
①用字母 a 表示有理数时： 1）a ＞0 时，a 表示
数， a 表示 数。
数； 2）a ＜0 时，a 表示
数，
a 表示
数；3） a ≥0 时，a 表示
②一个物体沿着东、西两个相反方向运动时，可以用正负数表示它的运动。 1）如果向东运动 4 米记作 4 米，那么相西运动应记作 2）如果-7 米表示物体向西运动 7 米，那么 6 米表示 。 。
5 1 ，+2， 1 ，0，3.3，-0.732，1 中： 2 7
； ； ； 。
【例 4】文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边 20 米处，玩具店位于书店东 边 100 米 处 ， 小 明 从 书 店 沿 街 向 东 走 了 40 米 ， 接 着 又 向 东 走 了 -60 米 ， 此 时 小 明 的 位 置 在 。
1 ⑪ 2 的相反数是 2
；⑫
1 的相反数是 2
；⑬ 7 的相反数是 ；⑯ 0.325 的相反数是 ；⑲ a 的相反数是
； ； ；
⑭ 8 的相反数是 ⑰
17 的相反数是 26
；⑮ 0 的相反数是 ；⑱ 34 的相反数是
2．化简下列有理数的表达式：
3 ⑪ 4
。
⑨有理数包括
和
。
⑩最小的正整数是
；最大的负整数是
；既不是正数又不是负数的数是
。
【例 2】判断正误： ① 0 是最小的有理数。 ② 分数是有理数。 ③ 大于负数的数是正数。 ④ 有理数中不是正数就是负数。 ⑤ 既没有最小的整数，也没有最大的整数。 （ （ （ （ （ ） ） ） ） ）
2
【例 3】在下面有理数：-21，-3.11， 正数有 负数有 整数有 非负整数有
2.2 用数轴上的点表示有理数 一、知识点梳理： 1．我们把规定了 2．数轴的三要素： ， ， 和 ， 的直线叫做数轴。 。
3．每一个有理数都可以在数轴上用一个确定的点表示，反之数轴上的每一个点都可以表示一个确定 的有理数。 4．有理数比较大小： （填上大于，小于） （1）任何负数都 （2）任何负数都 任何正数，任何正数都 零，任何正数都 零； 位于数轴原点右侧的点表示 任何负数；
⑫ 7.5 7.5 [
] ； ] ；
6
⑬ 1000 0 [
⑭ 负数的绝对值都是正数 [
⑮ 符号相反而绝对值相等的两个数互为相反数 [ ] ； ⑯ 有理数的绝对值一定不是负数 [ ] ； ] ；
⑰ 规定了正方向，单位长度的直线叫做数轴 [ ⑱ 有理数都是成对出现的 [
⑲ 任何负数小于任何正数 [
B、 1
C、 2
；3 2
D、 3
。
5．计算： 3.4 4.3 6．计算下列各题： （1） 10 3 （4） 0 7
23 63 （7） 8 8
2 5
5
-
。
。 （2）按符号分为：
整数
分数
正数
负数
有理数
0.45 6 0
1 3
2．某轮中超比赛甲队和乙队的比分为 4 : 2 ，则甲队净胜球记为 2 ， 那么乙队净胜球记为 。
3．在跳高测试中，合格标准为 4.00 米，王超同学跳出 4.05 米，记作 0.05 ，张凯同学跳出了 3.85 米， 则记作 。
； ；
⑮ 3 4.1 ⑰
17 9 26 26 1 1 1 2 4 8 2 5 3 3 6 2 2 6 3 5
⑲
；⑳ 6 3 1 1.9
；
⑴
；⑵ 7.2 2.4 1.6 1.8
冷库的温度高一些。
⑥一潜水艇所在的高度是-50 米，一条鲨鱼在艇上方 10 米处，鲨鱼所在的高度是
米。
⑦ 如 果 水 库 的 水 位 上 升 5 cm ， 记 作 +5 cm ， 那 么 水 位 下 降 3 cm ， 记 作 ： 示 。
， 上 升 -2 cm 表
⑧若 a 不是负数，那么 a 一定是
；⑳ 0.99
1 ；⑴ 2
。
3．求下列有理数的绝对值：
2.1, 1 4 , 0.4576 , 3 ， 3.5, , 1, 0 ， 2 5
4．计算： ⑪
3 4
；⑫ 7.5 ；⑯ 3.53
；
不变，并把
相加； 的绝对值减去较 的绝对值；
的加数的符号，并用较 ； ；
两Байду номын сангаас的加数的顺序，和不变，
（2）加法结合律：三个数相加，先把两个数相加，或者先把两个数相加，和不变，即
a b c a b c 。
3．一个有理数由符号和绝对值两部分组成，运算时，应注意： （1）先判断两个加数是同号还是异号，确定用那条法则，确定和的符号； （2）然后再确定绝对值的大小，最后将绝对值 二、基础练习： 1．下列运算中，正确的个数是
【例 5】一小虫从点 O 处出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程为正数，向左爬行的路程为负数，爬过 的各段路程依次为（单位： cm ） ： 15，-13，20，-18，-16，22，-10 （1）小虫最后能否回到出发点 O 处？为什么？ （2）小虫离开出发点 O 最远时的距离是多少？ （3）爬行过程中，如果每爬 1 cm ，奖励两粒芝麻，那么小虫共得了多少粒芝麻？