七年级数学上册全册单元测试卷达标检测(Word版 含解析)
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一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选(难)
1.如图,已知AB∥CD,现将一直角三角形PMN放入图中,其中∠P=90°,PM交AB于点E,PN交CD于点F
(1)当△PMN所放位置如图①所示时,则∠PFD与∠AEM的数量关系为________;(2)当△PMN所放位置如图②所示时,求证:∠PFD?∠AEM=90°;
(3)在(2)的条件下,若MN与CD交于点O,且∠DON=30°,∠PEB=15°,求∠N的度数.
【答案】(1)∠PFD+∠AEM=90°
(2)过点P作PG∥AB
∵AB∥CD,
∴PG∥AB∥CD,
∴∠AEM=∠MPG,∠PFD=∠NPG
∵∠MPN=90°
∴∠NPG-∠MPG=90°
∴∠PFD-∠AEM=90°;
(3)设AB与PN交于点H
∵∠P=90°,∠PEB=15°
∴∠PHE=180°-∠P-∠PEB=75°
∵AB∥CD,
∴∠PFO=∠PHE=75°
∴∠N=∠PFO-∠DON=45°.
【解析】【解答】(1)过点P作PH∥AB
∵AB∥CD,
∴PH∥AB∥CD,
∴∠AEM=∠MPH,∠PFD=∠NPH
∵∠MPN=90°
∴∠MPH+∠NPH=90°
∴∠PFD+∠AEM=90°
故答案为:∠PFD+∠AEM=90°;
【分析】(1)过点P作PH∥AB,然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PH∥AB∥CD,根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPH,∠PFD=∠NPH,然后根据∠MPH+∠NPH=90°和等量代换即可得出结论;(2)过点P作PG∥AB,然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PG∥AB∥CD,根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPG,∠PFD=∠NPG,然后根据∠NPG-∠MPG=90°和等量代换即可证出结论;(3)设AB与PN 交于点H,根据三角形的内角和定理即可求出∠PHE,然后根据平行线的性质可得∠PFO=∠PHE,然后根据三角形外角的性质即可求出结论.
2.如图,数轴上线段AB=4(单位长度),CD=6(单位长度),点A在数轴上表示的数是-16,点C在数轴上表示的数是18.
(1)点B在数轴上表示的数是________,点D在数轴上表示的数是________,线段AD=________;
(2)若线段AB以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动,同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动,设运动时间为t秒,
①若BC=6(单位长度),求t的值;
②当0<t<5时,设M为AC中点,N为BD中点,求线段MN的长.
【答案】(1)-12;24;40
(2)解:①设运动t秒时,BC=6
当点B在点C的左边时,
由题意得:4t+6+2t=30,
解之:t=4;
当点B在点C的右边时,
由题意得:4t?6+2t=30,
解之:t=6.
综上可知,若BC=6(单位长度),t的值为4或6秒;
②当0 A点表示的数为?16+4t,B点表示的数为?12+4t, C点表示的数为18?2t,D点表示的数为24?2t, ∵M为AC中点,N为BD中点, ∴点M表示的数为:=1+t,点N表示的数为: =6+t ∴MN=6+t-(1+t)=5. 【解析】【解答】解:(1)∵AB=4,A在数轴上表示的数是-16, ∴点B在数轴上表示的数为:-16+4=-12 ∵点C在数轴上表示的数是18,CD=6, ∴点D在数轴上表示的数为:18+6=24; ∵点A在数轴上表示的数是-16,点D在数轴上表示的数为24, ∴AD=|-16-24|=40 故答案为:-12;24;40 【分析】(1)由线段AB=4,点A在数轴上表示的数是-16,根据两点间的距离公式可得点B在数轴上表示的数;由CD=6,点C在数轴上表示的数是18,根据两点间的距离公式可得点D在数轴上表示的数;根据两点间的距离公式可得AD的长。 (2)①设运动t秒时,BC=6(单位长度),然后分点B在点C的左边和右边两种情况,根据题意列出方程求解即可;②当0 3.如图 (1)观察思考 如图,线段AB上有两个点C、D,请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段,并计算图中共有多少条线段; (2)模型构建 如果线段上有m个点(包括线段的两个端点),则该线段上共有多少条线段?请说明你结论的正确性; (3)拓展应用 8位同学参加班上组织的象棋比赛,比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛),那么一共要进行多少场比赛? 请将这个问题转化为上述模型,并直接应用上述模型的结论解决问题. 【答案】(1)解:∵以点A为左端点向右的线段有:线段AB、AC、AD,以点C为左端点 向右的线段有线段CD、CB,以点D为左端点的线段有线段DB,∴共有3+2+1=6条线段 (2)解:, 理由:设线段上有m个点,该线段上共有线段x条, 则x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+…+3+2+1, ∴倒序排列有x=1+2+3+…+(m-3)+(m-2)+(m-1), ∴2x= =m(m-1), ∴x= (3)解:把8位同学看作直线上的8个点,每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段,直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数, 因此一共要进行场比赛 【解析】【分析】(1)线段AB上共有4个点A、B、C、D,得到线段共有4×(4-1)÷2条;(2)根据规律得到该线段上共有m(m-1)÷2条线段;(3)由每两位同学之间进行一场比赛,得到要进行8×(8-1)÷2场比赛. 4.如图1,已知∠AOB=140°,∠AOC=30°,OE是∠AOB内部的一条射线,且OF平分∠AOE. (1)若∠EOB=30°,则∠COF=________; (2)若∠COF=20°,则∠EOB=________; (3)若∠COF=n°,则∠EOB=________(用含n的式子表示). (4)当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时,请把图补充完整;此时,∠COF与∠EOB有怎样的数量关系?请说明理由. 【答案】(1)20° (2)40° (3)80°-2n° (4)如图所示:∠EOB=80°+2∠COF. 证明:设∠COF=n°,则∠AOF=∠AOC-∠COF=30°-n°, 又∵OF平分∠AOE, ∴∠AOE=2∠AOF=60°-2n°. ∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140°-(60°-2n°)=(80+2n)° 即∠EOB=80°+2∠COF. 【解析】【解答】(1)∵∠AOB=140°,∠EOB=30°, ∴∠AOE=∠AOB-∠EOB=140°-30°=110°, ∵OF平分∠AOE, ∴∠AOF= ∠AOE= ×110°=55°, ∴∠COF=∠AOF-∠AOC, =55°-30°, =25°; 故答案为:25°; (2)∵∠AOC=30°,∠COF=20°, ∴∠AOF=∠AOC+∠COF=30°+20°=50°, ∵OF平分∠AOE, ∴∠AOE=2∠AOF=2×50°=100°, ∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140°-100°=40°; 故答案为:40°; (3)∵∠AOC=30°,∠COF=n°, ∴∠AOF=∠AOC+∠COF=30°+n°, ∵OF平分∠AOE, ∴∠AOE=2∠AOF=2(30°+n°)=60°+2n°, ∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140°-(60°+2n°)=80°-2n°; 故答案为:80°-2n°; 【分析】(1)根据∠AOE=∠AOB-∠EOB先求出∠AOE,再根据角平分线的定义求出∠AOF,最后根据∠COF=∠AOF-∠AOC解答即可; (2)根据∠AOF=∠AOC+∠COF先求出∠AOF,再根据角平分线的定义求出∠AOE,最后根据∠EOB=∠AOB-∠AOE解答即可; (3)与(2)的思路相同求解即可; (4)设∠COF=n°,先表示出∠AOF,再根据角平分线的定义求出∠AOE,最后根据∠EOB=∠AOB-∠AOE解答即可. 5.阅读理解:若A、B、C为数轴上三点,若点C到A的距离是点C到B的距离2倍,我们就称点C是点是【A,B】的好点. (1)如图1,点A表示的数为﹣1,点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是【A,B】的好点;又如,表示0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D________【A,B】的好点,但点D________【B,A】的好点.(请在横线上填是或不是)知识运用: (2)如图2,M、N为数轴上两点,点M所表示的数为4,点N所表示的数为﹣2.数________所表示的点是【M,N】的好点; (3)如图3,A、B为数轴上两点,点A所表示的数为﹣20,点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以4个单位每秒的速度向左运动,到达点A停止.当经过________秒时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点? 【答案】(1)不是;是 (2)0 (3)5或10 【解析】【解答】解:(1)如图1,∵点D到点A的距离是1,到点B的距离是2, 根据好点的定义得:DB=2DA,那么点D不是【A,B】的好点,但点D是【B,A】的好点; ⑵如图2,4﹣(﹣2)=6,6÷3×2=4, 即距离点M4个单位,距离点N2个单位的点就是所求的好点0; ∴数0所表示的点是【M,N】的好点; ⑶如图3,由题意得:PB=4t,AB=40+20=60,PA=60﹣4t, 点P走完所用的时间为:60÷4=15(秒), 当PB=2PA时,即4t=2(60﹣4t),t=10(秒), 当PA=2PB时,即2×4t=60﹣4t,t=5(秒), ∴当经过5秒或10秒时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点; 故答案:(1)不是,是;(2)0;(3)5或10. 【分析】(1)根据定义发现:好点表示的数到【A,B】中,前面的点A是到后面的数B 的距离的2倍,从而得出结论;(2)点M到点N的距离为6,分三等分为份为2,根据定义得:好点所表示的数为0;(3)根据题意得:PB=4t,AB=40+20=60,PA=60﹣4t,由好点的定义可知:分两种情况列式:①PB=2PA;②PA=2PB;可以得出结论. 6.如图,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=135°,将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处,斜边OM与直线AB重合,另外两条直角边都在直线AB的下方. (1)将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°,如图2所示,此时∠BOM=________度(答案直接填写在答题卡的横线上);在图2中,OM是否平分∠CON?请说明理由;(2)紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示,使得ON在∠AOC的内部,请探究:∠AOM与∠CON之间的数量关系,并说明理由; (3)将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,请你直接写出t的值为多少. 【答案】(1)90°, OM平分∠CON.理由如下: ∵∠BOC=135°, ∴∠MOC=135°-90°=45°, 而∠MON=45°, ∴∠MOC=∠MON (2)∠AOM=∠CON. 理由如下:如图3, ∵∠MON=45°, ∴∠AOM=45°-∠AON, ∵∠AOC=45°, ∴∠NOC=45°-∠AON, ∴∠AOM=∠CON (3)解:t= ×45°÷5°=4.5(秒)或t=(180°+22.5°)÷5°=40.5(秒). 故答案为90°;4.5秒或40.5秒. 【解析】【分析】(1)利用旋转的性质可得∠BOM的度数,然后计算∠MOC的度数判断OM是否平分∠CON;(2)利用∠AOM=45°-∠AON和∠NOC=45°-∠AON可判断∠AOM与∠CON之间的数量关系;(3)ON旋转22.5度和202.5度时,ON平分∠AOC,然后利用速度公式计算t的值. 7.点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠AOC:∠BOC=2:1,将一直角的顶点放在点O处,∠MON=90°. (1)如图1,当∠MON的一边OM与射线OB重合时,则∠NOC=________; (2)将∠MON绕点O逆时针运动至图2时,若∠MOC=15°,则∠BOM=________;∠AON=________. (3)在上述∠MON从图1运动到图3的位置过程中,当∠MON的边OM所在直线恰好平分∠AOC时,求此时∠NOC是多少度? 【答案】(1)150° (2)45°;135° (3)解:由(1)可知:∠AOC=120°,∠BOC=60°, ∵OM平分∠AOC, ∴∠COM= ∠AOC=60°, ∵∠MON=90°, ∴∠NOC=∠MON-∠COM=90°-60°=30°. 【解析】【解答】(1)∵∠AOC:∠BOC=2:1,∠AOC+∠BOC=180°, ∴∠AOC=180°× =120°,∠BOC=180°× =60°, ∵∠MON=90°, ∴∠NOC=∠BOC+∠MON=90°+60°=150°. 故答案为:150° ( 2 )由(1)可知:∠BOC=60°, ∵∠MOC=15°, ∴∠BOM=∠BOC-∠MOC=60°-15°=45°, ∵∠MON=90°, ∴∠BON=90°-∠BOM=45°, ∴∠AON=180°-∠AON=135°, 故答案为:45°,135° 【分析】(1)由∠AOC:∠BOC=2:1,根据平角的定义可求出∠AOC、∠BOC的度数,根据角的和差关系即可求出∠NOC的度数;(2)根据∠BOC和∠MOC的度数可求出∠BOM 的度数,根据角的和差关系即可求出∠BOM的度数,根据∠MON=90°可求出∠NOB的度 数,根据平角的定义即可求出∠AON的度数;(3)利用角平分线的定义可求出∠MOC的度数,进而可求出∠NOC的度数. 8.如图1,O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠AOC=30°,将一直角三角板(其中∠P=30°)的直角顶点放在点O处,一边OQ在射线OA上,另一边OP与OC都在直线AB 的上方.将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周. (1)如图2,经过t秒后,OP恰好平分∠BOC. ①求t的值; ②此时OQ是否平分∠AOC?请说明理由; (2)若在三角板转动的同时,射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周,如图3,那么经过多长时间OC平分∠POQ?请说明理由; (3)在(2)问的基础上,经过多少秒OC平分∠POB?(直接写出结果). 【答案】(1)解:①∵∠AOC=30°, ∴∠BOC=180°﹣30°=150°, ∵OP平分∠BOC, ∴∠COP=∠BOC=75°, ∴∠COQ=90°﹣75°=15°, ∴∠AOQ=∠AOC﹣∠COQ=30°﹣15°=15°, t=15÷3=5; ②是,理由如下: ∵∠COQ=15°,∠AOQ=15°, ∴OQ平分∠AOC; (2)解:∵OC平分∠POQ, ∴∠COQ=∠POQ=45°. 设∠AOQ=3t,∠AOC=30°+6t, 由∠AOC﹣∠AOQ=45°,可得30+6t﹣3t=45, 解得:t=5, 当30+6t﹣3t=225,也符合条件, 解得:t=65, ∴5秒或65秒时,OC平分∠POQ; (3)解:设经过t秒后OC平分∠POB, ∵OC平分∠POB, ∴∠BOC=∠BOP, ∵∠AOQ+∠BOP=90°, ∴∠BOP=90°﹣3t, 又∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣30°﹣6t, ∴180﹣30﹣6t=(90﹣3t), 解得t= . 【解析】【分析】(1)①由∠AOC=30°得到∠BOC=150°,借助角平分线定义求出∠POC 度数,根据角的和差关系求出∠COQ度数,再算出旋转角∠AOQ度数,最后除以旋转速度3即可求出t值;②根据∠AOQ和∠COQ度数比较判断即可;(2)根据旋转的速度和起始位置,可知∠AOQ=3t,∠AOC=30°+6t,根据角平分线定义可知∠COQ=45°,利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之间的关系构造方程求出时间t;(3)先证明∠AOQ与∠POB 互余,从而用t表示出∠POB=90°﹣3t,根据角平分线定义再用t表示∠BOC度数;同时旋转后∠AOC=30°+6t,则根据互补关系表示出∠BOC度数,同理再把∠BOC度数用新的式子表达出来.先后两个关于∠BOC的式子相等,构造方程求解. 9.已知:在和中,,,将如图摆放,使得的两条边分别经过点和点 . (1)当将如图1摆放时,则 ________度. (2)当将如图2摆放时,请求出的度数,并说明理由. (3)能否将摆放到某个位置时,使得、同时平分和?直接写出结论________(填“能”或“不能”) 【答案】(1)240 (2)∠ABD+∠ACD=40°; 理由如下: ∵∠E+∠F=100° ∴∠D=180°?(∠E+∠F)=80° ∴∠ABD+∠ACD=180°?∠A?∠DBC?∠DCB=180°?40°?(180°?80°)=40°; (3)不能 【解析】【解答】解:(1)在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?40°=140° 在△BCD中,∠D+∠BCD+∠CBD=180° ∴∠BCD+∠CBD=180°?∠D 在△DEF中,∠D+∠E+∠F=180° ∴∠E+∠F=180°?∠D ∴∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100° ∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=140°+100°=240°; 故答案为:240; ( 3 )不能.假设能将△DEF摆放到某个位置时,使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB.则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°,那么∠ABC+∠ACB=200°,与三角形内角和定理矛盾,所以不能. 【分析】(1)要求∠ABD+∠ACD的度数,只要求出∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD,利用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°;∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°,从而得出答案; (2)要求∠ABD+∠ACD的度数,只要求出∠ABC+∠ACB-(∠BCD+∠CBD)的度数.根据三角形内角和定理,∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°;根据三角形内角和定理得,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°,得出∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-(∠BCD+∠CBD)=140°-100°=40°; (3)不能,假设能将△DEF摆放到某个位置时,使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB,则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°,那么∠ABC+∠ACB=200°,与三角形内角和定理矛盾,所以不能. 10.如图,数轴上线段AB=2(单位长度),CD=4(单位长度),点A在数轴上表示的数是﹣10,点C在数轴上表示的数是16.若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动,同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动. (1)问运动多少时BC=8(单位长度)? (2)当运动到BC=8(单位长度)时,点B在数轴上表示的数是________; (3)P是线段AB上一点,当B点运动到线段CD上时,是否存在关系式 =3,若存 在,求线段PD的长;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)解:设运动t秒时,BC=8单位长度, ①当点B在点C的左边时, 由题意得:6t+8+2t=24 解得:t=2(秒); ②当点B在点C的右边时, 由题意得:6t﹣8+2t=24 解得:t=4(秒) (2)解:4或16 (3)解:存在关系式 =3. 设运动时间为t秒, 1)当t=3时,点B和点C重合,点P在线段AB上,0<PC≤2,且BD=CD=4,AP+3PC=AB+2PC=2+2PC, 当PC=1时,BD=AP+3PC,即 =3; 2)当3<t<时,点C在点A和点B之间,0<PC<2, ①点P在线段AC上时,BD=CD﹣BC=4﹣BC,AP+3PC=AC+2PC=AB﹣BC+2PC=2﹣BC+2PC,当PC=1时,有BD=AP+3PC,即 =3; 点P在线段BC上时,BD=CD﹣BC=4﹣BC,AP+3PC=AC+4PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC, 当PC= 时,有BD=AP+3PC,即 =3; 3°当t= 时,点A与点C重合,0<PC≤2,BD=CD﹣AB=2,AP+3PC=4PC, 当PC= 时,有BD=AP+3PC,即 =3; 4°当<t 时,0<PC<4,BD=CD﹣BC=4﹣BC,AP+3PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC,PC= 时,有BD=AP+3PC,即 =3. ∵P在C点左侧或右侧, ∴PD的长有3种可能,即5或3.5 【解析】【解答】解:(2)当运动2秒时,点B在数轴上表示的数是4;当运动4秒时,点B在数轴上表示的数是16. 【分析】(1)设运动t秒时,BC=8(单位长度),然后分点B在点C的左边和右边两种情况,根据题意列出方程求解即可;(2)由(1)中求出的运动时间即可求出点B在数轴上表示的数;(3)随着点B的运动,分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况. 11.如图1, .如图2,点分别是上的点,且, . (1)求证: F; (2)若的角平分线与的角平分线交于点,请补全图形并直接写出与之间的关系为________. 【答案】(1)证明:如图,延长EH,交CD的延长线与M, (2)∠BFE=2∠P. 【解析】【解答】解:(2)结论:∠BFE=2∠P,理由如下: 如图,设∠B=∠HEF=y.∠BFE=x = , 故答案为:∠BFE=2∠P. 【分析】(1)延长EH,交CD的延长线与M,根据平行线的性质及等量代换即可证明; (2)设∠B=∠HEF=y,∠BFE=x,根据平行的性质结合三角形的内角和定理得出 ∠BFE=2∠P. 12.已知:如图所示,直线,另一直线交于,交于,且,点为直线上一动点,过点的直线交于点,且 . (1)如图1,当点在点右边且点在点左边时,的平分线与的平分线交于点,求的度数; (2)如图2,当点在点右边且点在点右边时,的平分线与的平分线交于点,求的度数; (3)当点在点左边且点在点左边时,的平分线与的平分线所在直线交于点,请直接写出的度数,不说明理由. 【答案】(1)解:过点作 . ∵平分 . ∴ . ∴(两直线平行,内错角相等). 同理可证. . ∴ . (2)解:过点作 . ∵ . ∴ . ∵平分 . ∴ . ∴(两直线平行,同旁内角互补). ∵平分 . ∴(两直线平行,内错角相等). ∴ . (3)解:过点作 . ∵平分 . ∴(两直线平行等,内错角相等). ∴平分 . . ∴ . ∴(两直线平行,同旁内角互补). . 【解析】【分析】(1)过点作,由角平分线定义可得,利用两直线平行内错角相等,可 得,同理可得∠CPE=∠PCA= ∠DCA=25°,从而求出∠BPC的度数. (2)过点作 . 利用邻补角定义可得∠DBA=100°,由角平分线定义可得∠DBP= ∠DBA=50°,根据两直线平行,同旁内角互补可得∠BPE=130°.根据角平分线定义及两直线平行,内错角相等角可得∠PCA=∠CPE= ∠DCA=25°,从而求∠BPC的度数. (3)过点作 . 根据两直线平行,内错角相等角可得∠DBP=∠DPE=40°,根 据邻补角可求出∠CPE的度数,由角平分线的定义可得∠PCA= ∠DCA=65°,根据两直线平行,同旁内角互补可求出∠CPE的度数,继而求出∠BPC的度数. 13.已知BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠BED =∠ABE +∠EDC. (1)如图1,求证:AB//CD; (2)如图2,若∠ABE=3∠ABF,且∠BFD=30°时,试求的值; (3)如图3,若H是直线CD上一动点(不与D重合),BI平分∠HBD,画出图形,并探究出∠EBI与∠BHD的数量关系. 【答案】(1)证明:∵∠BED =∠ABE +∠EDC,∠EBD+∠BED+∠BDE=180°,∴∠ABD+∠BDC=180°,∴AB∥CD (2)解:∵BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,∴∠ABE=∠EBD,∠EDC=∠EDB. ∵∠ABD+∠BDC=180°,∴∠BED=∠ABE+∠EDC=90°. 设∠ABF=α,则∠ABE=3α. 如图, 过F作FG∥AB,则有:∠ABF+∠CDF=∠BFD,∴∠CDF=30°-α. 过E作EH∥AB,则有:∠ABE+∠CDE=∠BED,∴∠CDE=90°-3α,∴∠FDE=60°-2α,∴ . (3)解:分两种情况讨论: ①当H在点D的左边时,如图3. 设∠HBI=∠DBI=x,∠EBH=y,则∠EBD=2x+y,∴∠ABE=∠EBD=2x+y. ∵AB∥CD,∴∠BHD=∠ABH=2x+y+y=2(x+y)=2∠EBI; ②当H在点D右边时,如图4. 设∠HBI=∠DBI=x,∠EBD=y,则∠EBI=x+y,∴∠ABH=2x+2y. ∵AB∥CD,∴∠ABH+∠BHD=180°,∴2x+2y+∠BHD=180°,∴∠BHD+2∠EBI=180°. 综上所述:∠BHD=2∠EBI或∠BHD+2∠EBI=180° 【解析】【分析】(1)由∠BED =∠ABE +∠EDC和三角形内角和定理即可得到∠ABD+∠BDC=180°,再由同旁内角互补,两直线平行即可得到结论;(2)由角平分线定义和∠ABD+∠BDC=180°,得到∠BED=∠ABE+∠EDC=90°. 设∠ABF=α,则∠ABE=3α,过F作FG∥AB,则有∠ABF+∠CDF=∠BFD,得到∠CDF=30°-α.过E作EH∥AB,同理可得:∠CDE=90°-3α,根据角的和差得到∠FDE=60°-2α,即可得到结论;(3)分两种情况讨论:①当H在点D的左边时,②当H在点D右边时. 14.如图1,直线CB∥OA,∠A=∠B=120°,E ,F在BC上,且满足∠FOC =∠AOC,并且OE 平分∠BOF. (1)求∠AOB及∠EOC的度数; (2)如图2,若平行移动AC,那么∠OCB: ∠OFB的值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律或求出变化范围;若不变,求出这个比值; 【答案】(1)解:∵CB∥OA ∴∠BOA+∠B=180° ∴∠BOA=60° ∵∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF ∴∠EOC=∠EOF+∠FOC = ∠BOF+ ∠F0A = (∠BOF+∠FOA) = ×60° =30° (2)解:不变 ∵CB∥OA ∴∠OCB=∠COA,∠OFB=∠FOA ∵∠FOC=∠AOC ∴∠COA= ∠FOA, 即∠OCB:∠OFB=1:2 【解析】【分析】(1)利用两直线平行,同旁内角互补,易证∠BOA+∠B=180°,即可求出∠AOB的度数;再利用角平分线的定义,可证得∠BOE=∠EOF,从而可推出 ∠EOC=∠AOB,代入计算求出∠EOC的度数。 (2)利用平行线的性质可证得∠OCB=∠COA,∠OFB=∠FOA,再结合已知条件可证得∠COA=∠FOA,从而可推出∠OCB: ∠OFB的值。 15.如图,直线CB和射线OA,CB//OA,点B在点C的右侧.且满足∠OCB=∠OAB=100°,连接线段OB,点E、F在直线CB上,且满足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF. (1)求∠BOE (2)当点E、F在线段CB上时(如图1),∠OEC与∠OBA的和是否是定值?若是,求出这个值;若不是,说明理由。 (3)如果平行移动AB,点E、F在直线CB上的位置也随之发生变化.当点E、F在点C左侧时,∠OEC和∠OBA之间的数量关系是否发生变化?若不变,说明理由;若变化,求出 他们之间的关系式. 【答案】(1)解:, , 平分, , , ; (2)解:,, , 又, ,由(1)可知; ∴ (3)变化,, 证明:当点E、F在点C左侧时,如图, , , 平分, , , ; ∴, ,, , 又, ∴, ∴, ∴ . 即: 【解析】【分析】(1)根据两直线平行,同旁内角互补求出,然后根据已知可得,由此计算即可得解; (2)根据两直线平行,同旁内角互补求出,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ,从而可得 ,由此即可解题; (3)同理(1)可得,根据三角形的内角和定理可知∠OEC=180°-(∠OBE+∠BOE),从而得到,由此计算即可得解.