2017届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三二模数学（文）试卷

合集下载

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三上学期第二次调研考试数学(文)试题(简略答案)

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯绝密★启用前○○黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三上学期第二次调研⋯⋯⋯⋯考试数学（文)试题（简略答案)⋯⋯⋯⋯试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx 线线题号一二三总分⋯⋯⋯⋯得分⋯⋯注意事项：⋯⋯○○⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯订订⋯⋯级班___________：名姓___________ :校学○⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯○2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、单选题x1．集合 A x y x 2 x . B y y 2 , x 0 ，则A B （）A．0,2 B．1,2 C．1,2 D．1,【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020 届高三上学期第二次调研考试数学（文)试题（简略答案)【答案】 B【解析】【分析】计算出集合A、B ，利用交集的定义可得出集合 A B .【详解】⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯○A x y x 2 x x x 2 x 0 x x x 2 0 0,2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯x由于指数函数y 2 是增函数，当x 0时，x 0y 2 2 1 ，则B1, ，⋯外⋯内因此， A B 1,2 ，故选： B.⋯⋯【点睛】⋯⋯本题考查集合交集运算，同时也考查了函数的定义域与值域的求解，考查计算能力，属⋯⋯⋯⋯于基础题.○⋯○⋯uur2．已知OA 1,2u u u r，OB 3,m ，若OA OB ，则m等于（）⋯⋯试卷第 1 页，总21 页⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯A． 6 B．6 C．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020 )届高三上学期第二次调研考试数学（文32D．32⋯⋯○⋯⋯○试题（简略答案)⋯⋯⋯⋯【答案】 C⋯⋯【解析】线线【分析】⋯⋯将OA OB 转化为OA OB 0 ，并利用向量数量积的坐标运算可求出m 的值.⋯⋯⋯⋯⋯⋯【详解】uur u u u rQOA 1,2 ，OB 3,m 故选：C.【点睛】uur u u u r，且O A O B，OA OB 3 2m 0 ，解得3m ，2○⋯⋯⋯⋯※※题※※答※○⋯⋯⋯⋯本题考查垂直向量的坐标表示，通常将向量垂直转化为两向量数量积为零，考查计算能力，属于基础题.3．已知函数 f xxsin , x 06，则f f 9 （）log x, x 013A．12B．12C．32D．32【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020 届高三上学期第二次调研考试数学（文)试题（简略答案)【答案】 D【解析】订⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请订⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯【分析】⋯○※※⋯○利用函数y f x 的解析式由内到外计算出f f 9 的值.⋯⋯⋯⋯【详解】⋯⋯f xxsin ,x06log x,x 01f ，9 log 9 2， 13⋯内⋯⋯外⋯3⋯⋯因此，3f f 9 f 2 sin sin ，故选：D.3 3 2⋯⋯⋯⋯【点睛】○⋯○⋯⋯⋯试卷第 2 页，总21 页⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯本题考查分段函数值的计算，对于多层函数值的计算，需充分利用函数解析式，由内到⋯⋯○○外逐层计算，考查计算能力，属于基础题.⋯⋯⋯⋯4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两⋯⋯⋯⋯层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯线线A.1盏B.3盏⋯⋯C.5盏D.9盏⋯⋯⋯⋯【来源】2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版)⋯⋯○⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯___________：号考___________：级班___________：名姓___________ :校○⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯【答案】 B【解析】【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意{ a n} 是公比为2的等比数列，∴S7=7a1 1 21 2=381，46 5B．解得a1=3．故选：B．，则cos35（）4C．5sin5．已知3A．4 53 5D．-【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020 届高三上学期第二次调研考试数学（文)试题（简略答案)【答案】 C学○○【解析】⋯⋯【分析】⋯⋯⋯⋯⋯外⋯内将角3表示为3 2 6，再利用诱导公式可得出结果.⋯⋯【详解】⋯⋯⋯⋯⋯⋯4Q cos cos sin ，故选：C.3 2 6 6 5○○【点睛】⋯⋯本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计⋯⋯试卷第 3 页，总21 页⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯算能力，属于中等题.⋯⋯6．如图所示，矩形A BCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若○○u u u r u u u r u u u rDE AB AD , R ，则等于（）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯线线⋯⋯⋯⋯33A．B．1616112C．D．2【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020 届高三上学期第二次调研考试数学（文)试题（简略答案)【答案】 A【解析】【分析】⋯⋯⋯※线※※订⋯⋯⋯利用平面向量的线性运算，将用和表示，可得出和的值，由此可计算DE AB AD出的值.【详解】○⋯⋯⋯⋯※※装※※在※※u u u r uuru u u u r u u u ruuru 1 1 1E 为AO 的中点，且O为AC 的中点，所以，AE AO AC AB AD2 4 4uuru u u u r uuru u u u r uuru uuru u u u r uuru1 1 3 1 3 DE AE AD AB AD AD AB AD，，.44 4 4 4 ，装⋯⋯⋯要※※不※※请装⋯⋯⋯因此，1 3 34 4 16，故选：A.⋯○※※⋯○⋯⋯【点睛】⋯⋯本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，⋯⋯⋯⋯属于中等题.内外7．已知函数 f (x) sin x x R,0 的最小正周期为,为了得到函数4 ⋯⋯⋯⋯g x cos x 的图象,只要将y f x 的图象()⋯⋯⋯⋯A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度8 8 ○⋯○⋯⋯⋯试卷第 4 页，总21 页⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯○C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4 4⋯⋯⋯⋯【来源】2014 届安徽省屯溪一中高三第一次月考理科数学试卷（带解析)【答案】 A⋯⋯⋯⋯【解析】线⋯线⋯【详解】⋯⋯由 f (x) 的最小正周期是，得2，⋯⋯⋯⋯即f (x) sin(2x )4○⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯___________：号考___________：级班___________：名姓___________ :校○⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯cos 2x2 4cos 2x4cos2( x )，8因此它的图象向左平移个单位可得到g( x) cos2 xA的图象．故选．8考点：函数 f ( x) A s in( x ) 的图象与性质．【名师点睛】三角函数图象变换方法：学○○⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯外⋯⋯内⋯⋯8．已知函数x12 4 (3 )f x ，则不等式f a f a 的解集为()( )f x ，则不等式f a f a 的解集为()2⋯⋯A.( 4,1) B.( 1,4) C.(1,4) D.(0, 4) ⋯⋯【来源】广东省惠州市2018-2019 学年高一下学期期末数学试题○○⋯⋯【答案】 B⋯⋯21 页试卷第 5 页，总⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【解析】⋯⋯○○【分析】x先判断函数( ) 1f x 的单调性，把22 4 (3 )f a f a 转化为自变量的不等式求解.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【详解】线线可知函数 f (x) 为减函数，由 2f (a 4) f (3a) ，可得 2 4 3a a ，⋯⋯整理得a2 3a 4 0，解得 1 a 4，所以不等式的解集为( 1,4) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯故选 B.【点睛】○⋯※※○⋯本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式. 9．已知正项等比数列a n 中满足a2019 a2018 2a2017 ，若存在两项a m 、a n ，使得⋯⋯⋯题※※答※⋯⋯⋯a a 2a ，则m n （）m n 1 订⋯※内※订⋯A．4 B．5 C．6 D．7 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020 届高三上学期第二次调研考试数学（文)⋯⋯⋯※线※※订⋯⋯⋯试题（简略答案) 【答案】 A 【解析】【分析】○⋯⋯⋯⋯※※装※※在※※○⋯⋯⋯⋯设等比数列a n 的公比为q，由题中条件a a a 求出公比q，再利用等比2019 2018 2 2017装⋯要※※不装⋯数列的通项公式以及条件【详解】设等比数列a a 2am n.可求出的值m n 1a 的公比为q，则q0 ，nQ a2019 a2018 2a2017 ，⋯※※请※※○○⋯⋯⋯⋯2a2017 q a2017 q 2a2017 ，⋯⋯⋯⋯2 2q q ，即2 2 0q q ，q 0，解得q = 2，⋯⋯Q a a 2a ，即m n 12a a 4a ，所以，m n 1m 1 n 1 2a1 2 a1 2 4a1 ，化简得2 2 4m n ，内⋯外⋯⋯⋯m n 2 2，因此，m n 4 ，故选：A.⋯⋯【点睛】⋯⋯○○ 本题考查等比数列相关量的计算，对于等比数列的问题，通常利用首项和公比进行表示，⋯⋯考查计算能力，属于中等题.⋯⋯试卷第 6 页，总21 页⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯uur uuru10．ABC中，BA AC 2， 3S ，则A （）ABC○⋯○⋯A．B．323C．6D．56⋯⋯【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020 届高三上学期第二次调研考试数学（文)⋯⋯试题（简略答案)⋯⋯线线【答案】 B⋯⋯【解析】⋯⋯【分析】⋯⋯⋯⋯ABC A Cba c设的内角、B、的对边分别为、、，利用平面向量数量积的定义和_○⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯,0 0,上的如下函数：学○○○__三角形的面积公式将题中等式用 b 、c 、A的等式表示，可求出tan A的角 A值，结合__⋯___的取值范围，可得出角A的值.⋯___⋯【详解】：⋯号设ABC的内角A、B 、C 的对边分别为a 、b、c ，考_订__uur u u u r则BA AC cb cos A bc cos A S_⋯___⋯___b c cos A 2所以，两个等式相除得ta A bc sin A 2 3_⋯：⋯级班○__故选：B._⋯___【点睛】_⋯___⋯_本题考查平面向量数量积的定义，同时也考查了三角形的面积公式，考查计算能力，属：⋯名于中等题.装姓___⋯_11．定义在,0 0, 上的函数 f x ,如果对于任意给定的等比数列a n , 若__⋯___⋯f a 仍是比数列，则称f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在n__:⋯校⋯⋯⋯⋯①3f x x ；⋯⋯⋯⋯②xf x e ；外内③f x x ；⋯⋯⋯⋯④f x ln x⋯⋯⋯⋯则其中是“保等比数列函数”的 f x 的序号为（）○○A．①②B．③④C．①③D．②④⋯⋯⋯⋯试卷第7 页，总21 页⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020 届高三上学期第二次调研考试数学（文)⋯⋯○ ○ 试题（简略答案 ) ⋯ ⋯ 【答案】 C⋯⋯ 【解析】⋯⋯ ⋯ ⋯【分析】线线设等比数列f aa的公比为q ，验证n 1nf an是否为非零常数，由此可得出正确选项.⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯ 【详解】⋯ ⋯a设等比数列a n的公比为q ，则n 1anq .○ ⋯※ ※○ ⋯对于①中的函数3f x x ，33f aaan 1n 1 n 13q2f aaannn，该函数为“保等比数列⋯ ⋯ ⋯题 ※ ※ 答 ※⋯ ⋯ ⋯函数”；af a enn 1 af a ennxf xe ，对于②中的函数等比数列函数”；a f a1 1 n 1 n n对于③中的函数f x x ，f a a a不是非零常数，该函数不是“保 q，该函数为“保等订 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ○⋯⋯ ⋯ ⋯※ 内 ※ ※ 线 ※ ※ 订 ※ ※ 装 ※ ※ 在 ※ ※订 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ○ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯比数列函数”；对于④中的函数 f x ln x ，f a1 lnannf a ln an n1 不是常数，该函数不是“保等比数装⋯要※※不装⋯列函数”.故选：C. 【点睛】⋯⋯⋯※※请※※⋯⋯⋯○○ 本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. ⋯⋯⋯⋯12．锐角ABC中，角A、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若 2 2 0a b ac ，⋯⋯sin 则sin AB的取值范围是（）⋯⋯内外⋯⋯A．0,22B．2 3,2 2C．2, 3 D．3 2,3 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020 届高三上学期第二次调研考试数学（文)试题（简略答案)○⋯○⋯⋯⋯试卷第8 页，总21 页⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【答案】 D⋯⋯○○【解析】⋯⋯【分析】⋯⋯利用余弦定理、正弦定理边角互化思想、两角差的正弦公式，并结合条件⋯⋯⋯线⋯线2 2 0a b ac 得出B 2A，根据ABC为锐角三角形得出角A的取值范围，可得⋯⋯⋯⋯出s in A 1sin B 2cos A的取值范围.【详解】⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯○___________：号考___________：级班___________：名姓___________ :校学⋯○⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯○2 2 2 2 cos 0a a c ac Bac ，化简得2 2 0Q a b ac ，即2a cosB c a 0.Q 0 A0，2由正弦定理边角互化思想得2sin AcosB sin C sin A0，即2sin A cosB sin A B sin A 0 ，所以，sin AcosB cos Asin B sin A 0，sin A sinB cosA cosB sin A sin B A ，B ，2B A ， B A2 2A 22A2A ABC 是锐角三角形，且C AB 3A ，所以3sin A sinA 13 2,sin B sin2A 2cosA 32A ，则2cos 3解得A ，所以，6 42 2因此，s insin AB的取值范围是3 2,3 2，故选： D.，⋯⋯【点睛】⋯⋯本题考查余弦定理、正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了二倍角公式的应用， ⋯⋯考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题 .⋯ ⋯ 外内 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯○ ○ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯试卷第9 页，总21 页⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯第II 卷（非选择题) ⋯⋯⋯⋯请点击修改第II 卷的文字说明○○⋯⋯评卷人得分⋯⋯二、填空题⋯⋯13．设等差数列{a n} 的前n 项和为S n ，若S3 9, S5 25，则a2019 ______。

2022-2023学年黑龙江哈尔滨第九中学校高二上学期开学检测数学试题(解析版)

2022-2023学年黑龙江哈尔滨第九中学校高二上学期开学检测数学试题一、单选题1．已知为i 虚数单位，若复数1i1ia z -=+（a R ∈）的虚部为-3，则z = A ．5 B ．13 C ．23 D ．10【答案】B 【详解】因为111(1)(1)[(1)(1)]122ai z ai i a a i i -==--=--++，所以1352a a +=⇒=，则14623132z i i =--=--=，应选答案B ． 2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，如果cos cos a B b A =，那么ABC 一定是（）． A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形【答案】D【详解】∵cos cos a B b A =，由正弦定理可得sin cos sin cos A B B A =，即sin cos sin cos 0A B B A -=， ∴in 0()s A B -=， ∴A B =，∴ABC 一定是等腰三角形．故选D ．3．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（） A ．一个圆台、两个圆锥 B ．两个圆台、一个圆锥 C ．两个圆台、一个圆柱 D ．一个圆柱、两个圆锥【答案】D【解析】先将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，根据旋转体的定义，可直接得出结果. 【详解】将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示：矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边旋转一周得到圆锥；因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得几何体为：一个圆柱、两个圆锥. 故选：D.4．如图在△ABC所在平面上有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△P AB与△ABC的面积之比是()A．13B．12C．23D．34【答案】A【详解】解：∵PA＋PB＋PC＝AB，∴PA＋PB＋PC-AB=0，即PA＋PB＋PC+BA=0∴PA＋PA+PC=0，2PA+PC=0，∴点P在线段AC上，且|AC|=3|PA|那么△PAB的面积与△ABC的面积之比是13．故选A．5．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中①OA+OD与OA1+OD1是一对相反向量；②OB-OC1与OC-OB1是一对相反向量；③OA1+OB1+OC1+OD1与OD+OC+OB+OA是一对相反向量；④OC-OA与OC1-OA1是一对相反向量．正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可. 【详解】设E,F 分别为AD 和A 1D 1的中点，①OA +2OD OE =与1OA +12OD OF =不是一对相反向量，错误； ②OB -11OC C B =与OC -11OB B C =不是一对相反向量，错误；③OA 1+OB 1+OC 1+()1OD OC OD OA OB OC OD OA OB =----=-+++是一对相反向量,正确； ④OC -OA AC =与OC 1-111OA AC =不是一对相反向量,是相等向量，错误．即正确结论的个数为1个故选：A6．200辆汽车通过某一段公路时时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为（）A ．62 km/h ，62.5 km/hB ．65 km/h ，62 km/hC ．65 km/h ，62.5 km/hD ．62.5 km/h ，62.5 km/h 【答案】C【分析】众数为最高组的组中值，首先求出前两组的概率，即可求出中位数；【详解】解：∵最高的矩形为第三个矩形，∴时速的众数的估计值为6070652+=km/h. 前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4. ∵0.5－0.4＝0.1，0.110 2.50.4⨯=， ∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5(km/h). 故选：C.7．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，沿BD 将ABD △折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AC ，则在四面体ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用线面垂直得到平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ACD ⊥平面ABD ，得到答案.【详解】平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AB BD ⊥，AB ⊂平面ABD ，故AB ⊥平面BCD ，AB ⊂平面ABC ，故平面ABC ⊥平面BCD ；CD BD ⊥，CD ⊂平面BCD ，故CD ⊥平面ABD ，CD ⊂平面ACD ，故平面ACD ⊥平面ABD ；综上所述：平面ABD ⊥平面BCD ；平面ABC ⊥平面BCD ；平面ACD ⊥平面ABD ；故选：C8．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（）． A ．112 B ．16C ．14D ．13【答案】B【分析】设齐王的三匹马分别为123,,a a a ，田忌的三匹马分别为123,,b b b ，列举所有比赛的情况，利用古典概型的概率公式计算即可得出结果.【详解】设齐王的三匹马分别为123,,a a a ，田忌的三匹马分别为123,,b b b ，所有比赛的情况:：11()a b ,、22(,)a b 、33(,)a b ，齐王获胜三局； 11()a b ,、23(,)a b 、32(,)a b ，齐王获胜两局；12(,)a b 、21(,)a b 、33(,)a b ，齐王获胜两局； 12(,)a b 、23(,)a b 、31(,)a b ，齐王获胜两局； 13(,)a b 、21(,)a b 、32(,)a b ，田忌获胜两局；13(,)a b 、22(,)a b 、31(,)a b ，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为16P =故选：B【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，考查了理解辨析和数学运算能力，属于中档题目.二、多选题9．某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二，学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有（） A ．应该采用分层抽样法抽取B ．高一、高二年级应分别抽取100人和135人C ．乙被抽到的可能性比甲大D ．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力【答案】ABD【分析】由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法，并且按照各年级的比例抽取样本个数，综合分析，即得解.【详解】易知应采用分层抽样法抽取，A 正确；由题意可得高一年级的人数为20501000⨯=，高二年级的人数为30451350⨯=，则高一年级应抽取的人数为100023510010001350⨯=+，高二年级应抽取的人数为235100135-=，所以高一、高二年级应分别抽取100人和135人，故B 正确；乙被抽到的可能性与甲一样大，故C 错误；该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力，故D 正确．故选：ABD.10．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12【答案】ACD【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D.【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件1A ，从“乙袋中摸出一个红球”为事件2A ，则()113P A =，()212P A =，对于A 选项，2个球都是红球为12A A ，其概率为111326⨯=，故A 选项正确，对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为15166-=，故B 选项错误，对于C 选项，2个球至少有一个红球的概率为()()1221211323P A P A -=-⨯=，故C 选项正确，对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为1211232132⨯+⨯=，故D 选项正确．故选：ACD ．11．点O 在ABC ∆所在的平面内,则以下说法正确的有 A ．若0OA OB OC ++=,则点O 为ABC ∆的重心B ．若0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则点O 为ABC ∆的垂心 C ．若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=,则点O 为ABC ∆的外心 D ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅,则点O 为ABC ∆的内心【答案】AC【解析】逐项进行分析即可.【详解】解：选项A ，设D 为BC 的中点，由于()2OA OB OC OD =-+=-，所以O 为BC 边上中线的三等分点(靠近点D )，所以O 为ABC ∆的重心；选项B ，向量,||||AC ABAC AB 分别表示在边AC 和AB 上的单位向量，设为AC '和AB '，则它们的差是向量B C ''，则当0||||AC AB OA AC AB ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，即OA B C ''⊥时，点O 在BAC ∠的平分线上，同理由0||||BC BA OB BC BA ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，知点O 在ABC ∠的平分线上，故O 为ABC ∆的内心；选项C ，OA OB +是以,OA OB 为邻边的平行四边形的一条对角线，而AB ｜｜是该平行四边形的另一条对角线，()0AB OA OB ⋅+=表示这个平行四边形是菱形，即||||OA OB =，同理有||||OB OC =，于是O 为ABC ∆的外心；选项D ，由OA OB OB OC ⋅=⋅得0OA OB OB OC ⋅-⋅=， ∴()0OB OA OC ⋅-=，即0OB CA ⋅=， ∴OB CA ⊥．同理可证,OA CB OC AB ⊥⊥，∴OB CA ⊥，OA CB ⊥，OC AB ⊥，即点O 是ABC ∆的垂心；故选：AC ．【点睛】本题主要考查平面向量在三角形中的应用，考查向量的数量积，考查三角形的“五心”，属于中档题．12．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 和BD 的交点为O ，设AB a =，AD b =，1AA c =，则下列结论正确的是（）A ．BD b a =-B ．1BD a b c =-+C ．1AC a b c =++D ．11122AO a b c =++ 【答案】AC【分析】求得BD 判断选项A ；求得1BD 判断选项B ；求得1AC 判断选项C ；求得1AO 判断选项D. 【详解】选项A ：BD AD AB b a =-=-.判断正确；选项B ：11=BD AD DD AB b c a =+-+-.判断错误；选项C ：11=AC AB BC CC a b c =++++.判断正确；选项D ：111111()222AO AO AA AB AD AA a b c =-=+-=+-.判断错误. 故选：AC三、填空题13．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为________.【答案】32π3【分析】设圆柱的底面半径为r ，则其母线长为2l r =，由圆柱的表面积求出r ，代入圆柱的体积公式，求出其体积，结合题目中的结论，即可求出该圆柱的内切球体积. 【详解】设圆柱底面半径为r ，则其母线长为2l r =，因为圆柱的表面积为222S r rl ππ=+ 所以22224r rl πππ+=，得到2r = 所以圆柱的体积为23216V r l r πππ===，根据题意可知圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，所以该圆柱的内切球的体积为23233V V π'==. 故答案为：323π. 【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式，考查对题意的理解和转化，属于中档题. 14．某企业三月中旬生产,,A B C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格（见如图）.由于不小心，表格中,A C 产品的有关数据已被污染看不清，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是__________件.【答案】700【分析】设样本容量为x ，即150********x⨯=，求得样本容量，再设C 产品的样本容量为y ，即10150y y ++=，计算即可解决.【详解】设样本容量为x ，所以150********x⨯=，所以300x =，所以A 产品与C 产品在样本中共有300150150-=件，设C 产品的样本容量为y ，所以10150y y ++=，所以70y =，所以C 产品的产品数量是300070700300⨯=件. 故答案为：700 15．有以下命题：①若p xa yb =+（,R x y ∈），则p 与a 、b 共面； ②若p 与a 、b 共面，则p xa yb =+（,R x y ∈）；③若MP xMA yMB =+（,R x y ∈），则M 、P 、A 、B 共面； ④若M 、P 、A 、B 共面，则MP xMA yMB =+（,R x y ∈）. 则所有真命题的序号为___________. 【答案】①③【分析】由空间向量的共面定理判断.【详解】由空间向量的共面定理可知，①真、③真；对②，当a 与b 共线且p 与a 、b 不共线时，满足p 与a 、b 共面，但不存在实数组(),x y ，使p xa yb =+成立，故②假；对④，当M 、A 、B 共线且P 与M 、A 、B 不共线时，满足M 、P 、A 、B 共面，但不存在实数组(),x y ，使MP xMA yMB =+，故④假. 故答案为：①③四、双空题16．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，6PD =，E 为PD 中点，过EB 作平面α分别与线段P A 、PC 交于点M ，N ，且//AC α，则PMPA=________；四边形EMBN 的面积为________.【答案】23【分析】延伸平面α，交AC 所在的平面ABCD 于RS ，即平面α平面ABCD RS =，可得//AC RS ，在三角形PAD 和RED 中，利用平面几何三角形全等和平行线中的比例关系可得PMPA；至于四边形EMBN 的面积，连接MN ，BD ，可证明MN BE ⊥，求出,MN BE 的长度，通过面积公式12MN EB ⋅可得答案.【详解】延伸平面α，交AC 所在的平面ABCD 于RS ，即平面α平面ABCD RS =，又B ∈平面α平面ABCD ，B RS ∴∈，即,,R S B 三点共线，又//AC α，由线面平行的性质定理可得//AC RS ，则4ARB ABR π∠=∠=，即AR AB =，∴点A 为RD 的中点，又E 为PD 中点，则6,3,2PD RD DA DE PDA ADP π====∠=∠=，PAD RED ∴≅，MPE MRA ∴∠=∠，又,PME RMA PE RA ∠=∠=， PME RMA ∴≅，则ME MA =，过M 作MK PD ⊥交PD 于点K ， 222PM MK MK ME MAPA AD DR RE PA∴==⋅=⋅=⋅，则2PM MA =， 2233PM MA PA MA ∴==；连接MN ，BD 由23PM PA =同理可得23PN PC =， //MN AC ∴，又PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PD AC ∴⊥，又,BD AC BD PD D ⊥=，AC ∴⊥面PBD ，又BE ⊂面PBD ，AC BE ∴⊥，MN BE ∴⊥，23MN PM AC PA ==， 22322233MN AC ∴==⨯=，又()222233233EB ED BD =+=+=，所以四边形EMBN 的面积为1133223622MN EB ⋅=⨯⨯=. 故答案为：23；36.【点睛】本题考查空间线面平行的判定和性质，考查空间线面垂直的判定和性质，关键是利用线面平行的性质合理作出图像，考查学生的作图能力和计算能力，是中档题.五、解答题17．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG PQ λ=，将OG 用λ，OP ，OQ 表示；(2)设OP xOA =，OQ yOB =，证明：11x y +是定值．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）寻找包含OG 的图形OPG ，利用向量的加法法则知OG OP PG +＝，再根据PG PQ λ=和PQ OQ OP -＝即可（2）根据（1）结合OP xOA =，OQ yOB =知：()()11OG OP OQ xOA yOB λλλλ-+-+＝＝，再根据G 是OAB 的重心知： ()2211133233OG OM OA OB OA OB ⨯++＝＝＝，最后根据OA OB 、不共线得到关于x y λ，，的方程组即可求解【详解】(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x ＋λy ；①另一方面，∵G 是△OAB 的重心，∴＝＝× (＋)＝＋.②而，不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题． 18．如图，正三棱柱111ABC A B C 的每条棱的长度都相等，D ，F 分别是棱11A B ，BC 的中点，E 是棱11B C 上一点，且DE ∥平面11A BC .（1）证明：CE ∥平面1AB F .（2）求四棱锥1A B FCE -的体积与三棱柱111ABC A B C 的体积之比.【答案】（1）见解析（2）13【分析】（1）由线面平行的性质定理可得11//DE A C ，然后可得E 是11B C 的中点，然后证明四边形1EB FC 是平行四边形，得出1//CE B F 即可（2）首先证明AF ⊥平面11BCC B ，设2BC a =，然后分别求出四棱锥1A B FCE -和三棱柱111ABC A B C 的体积即可.【详解】（1）证明：因为DE ⊂平面111A B C ，平面111A B C 平面1111A BC AC =，且//DE 平面11A BC ，所以11//DE A C .因为D 是棱11A B 的中点，所以E 是11B C 的中点，又F 是棱BC 的中点，所以1//B E FC ，1B E FC =，所以四边形1EB FC 是平行四边形，所以1//CE B F .又1B F ⊂平面1AB F ，CE ⊄平面1AB F ，所以//CE 平面1AB F .（2）解：因为F 是棱BC 的中点，所以AF BC ⊥.又1BB ⊥底面ABC ，所以1BB AF ⊥，而1BB BC B =，所以AF ⊥平面11BCC B .设2BC a =，则3AF a =，四棱锥1A B FCE -的体积()23111233232V a a =⨯⨯=，又三棱柱111ABC A B C 的体积)23232223V a a a =⨯=，故1213V V =.【点睛】本题考查的是线面平行的证明和几何体体积的求法，属于基础题.19．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知()3,m a c b =-，()cos ,cos n B C =-，且m n ⊥.(1)求sin B 的值；(2)若2b =，ABC ABC 的周长.【答案】；3.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示建立关系，再由正弦定理化边为角，逆用和角的正弦公式即可解得cos B ，进而可解出sin B 的值；（2）利用三角形面积定理求出ac ，再用余弦定理建立关系即可作答.【详解】（1）因向量(3,)m a c b =-，(cos ,cos )n B C =-，且m n ⊥，则(3)cos cos 0m c b n a B C ⋅=--=，在ABC 中，由正弦定理可得(3sin sin )cos sin cos 0A C B B C --=，即3sin cos sin cos sin cos 3sin cos sin()0A B C B B C A B B C --=-+=；又sin()sin B C A +=，则有3sin cos sin 0A B A -=，而(0,π)A ∈，sin 0A >，所以1cos 3B =，又(0,π)B ∈，sin 0B >，则sin B ==. （2）由（1）及余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：22243a c ac +-=，即28()43a c ac +-=.又ABC 12ABC S ac ==ac =从而得228()441)3a c ac +=+=+，0a c +>，则1a c +=，即123a b c +++=，所以ABC3.20．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长度为4，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.用向量法求：(1)BD 1的长；(2)直线BD 1与AC 所成角的余弦值.【答案】(1)263【分析】（1）利用向量模的计算公式和向量的数量积的运算即得出BD 1的长；（2）分别求出11||,||,AC BD AC BD ⋅ 的值，代入数量积求夹角公式，即可求得异面直线BD 1与AC 所成角的余弦值．【详解】（1）∵111111BD BB B A A D =++，()22111111BD BB B A A D =++ 222111111111111111222BB B A A D BB B A BB A D B A A D =+++⋅+⋅+⋅222422242cos60242cos120222cos90=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ＝24，∴1BD 的长为6（2）∵AC AB BC =+，∴()22222222208AC AB BCAB BC AB BC =+=++⋅=++=， ∴22AC = ∵126BD =()()111111111111111124cos12022cos18022cos9024cos1202AC BD AB BC BB B A A D AB BB AB B A AB A D BC BB BC B A BC A D ⋅=+⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⨯+⨯+⨯+⨯+2cos9022cos 08⨯+⨯=-，∴111cos ,==122AC BD AC BD AC BD ⋅⋅所以直线BD 1与AC 21．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：（1）该应聘者用方案一考试通过的概率；（2）该应聘者用方案二考试通过的概率．【答案】（1）0.75;（2）0.43;【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可；（2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解.【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C ，则()0.5P A =，()0.6P B =，()0.9P C =，应聘者用方案一考试通过的概率：()()()()1p P ABC P ABC P ABC P ABC =+++()()()0.50.60.910.50.60.90.510.60.90.50.610.9=⨯⨯+-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-0.270.270.180.03=+++0.75=；（2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为13，考试通过的概率：()()()2111333p P AB P BC P AC =++ 110.50.60.60.910.50.9333⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 0.10.180.15=++0.43=.22．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是60DAB ∠=︒且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .（1）若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面PAD .（2）求证：AD PB ⊥.（3）若E 为BC 边的中点，能否在PC 上找出一点F ，使平面 DEF ⊥平面ABCD ？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）证明PG AD ⊥，利用面面垂直的性质即可证明（2）证AD ⊥平面BPG 即可得AD PB ⊥（3）存在点F ，且F 为PC 的中点，证明MF ⊥平面ABCD ，即可证出平面 DEF ⊥平面ABCD .【详解】证明：连接PG ，BD ，因为PAD ∆是等边三角形，G 为AD 边的中点，所以PG AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PG ⊥平面ABCD ，所以PG BG ⊥．因为四边形ABCD 是菱形，所以AB AD =．又因为60BAD ∠=︒，所以ABD ∆是等边三角形，所以BG AD ⊥．又因为PG AD G ⋂=，，所以BG ⊥平PAD ．（2）证明：因为AD PG ⊥，AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，所以AD ⊥平面BPG ．又因为BP ⊆ 平面BPG ，所以AD PB ⊥．（3）存在点F ，且F 为PC 的中点．证明如下：连接CG 交DE 于M ，连接FM ，因为AD BC 且AD BC =，又E ，G 分别是BC ，AD 的中点，连接EG ，所以CE DG 且CE DG =，所以四边形CEGD 是平行四边形，所以CM MG =．又因为CF FP =，所以MF PG ．由（1）知PG ⊥平面ABCD ，所以MF ⊥平面ABCD ．又MF ⊆ 平面DEF ，所以平面DEF ⊥平面ABCD ．【点睛】本题主要考查了两个平面垂直的性质、判定，线面垂直的判定、性质，属于中档题.。

2024年黑龙江省哈尔滨市中考二模数学试题

2024年黑龙江省哈尔滨市中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．实数3-的绝对值是（）A ．3-B ．3C ．13D ．3± 2．下列计算正确的是（）A 3±B ．2325x x x +=C ．()2222x x =D ．1122-= 3．如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（）A ．B ．C ．D ．4．点P （1，3）在反比例函数()0k y k x =≠的图象上，则k 的值是（） A ．13 B ．13- C ．3 D ．3-5．不等式组1024x x -<⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上可表示为（） A ． B ． C ． D ． 6．某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：下列说法错误的是（）A ．众数是1B ．平均数是4.8C ．样本容量是10D ．中位数是57．“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有x 只，兔有y 只，则所列方程组正确的是（）A ．354294x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．352494x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．944235x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．942435x y x y +=⎧⎨+=⎩ 8．关于x 的一元二次方程2220x x m -+-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．32m < B ．3m > C ．3m ≤ D ．3m <9．如图，在ABC V 中，点D 、E 为边AB 的三等分点，点F 、G 在边BC 上，AC DG EF ∥∥，点H 为AF 与DG 的交点．若12AC =，则DH 的长为（）A ．1B ．32C ．2D ．310．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线=1x -，若点A 的坐标为()4,0-，则下列结论正确的是（）A ．20a b +=B ．420a b c -+>C ．2x =是关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个根D ．点()11,x y ，()22,x y 在抛物线上，当121x x >>-时120y y <<二、填空题11．“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为．12．在函数132y x =-中，自变量x 的取值范围是．13 14．把多项式39x x -分解因式的结果是．15．一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是．16．观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．17．一个扇形的弧长是10πm ，面积是60πcm 2，则此扇形的圆心角的度数是． 18．如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，150ADC ∠=︒，弦2AC =，则O e 的半径等于．19．已知：在Rt ABC △中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，将ABC V 绕着点C 逆时针旋转得到A B C ''△，旋转角为()0180αα︒<<︒，连接,AA BB ''，当AA C '△的面积等于线段BB '的长为．20．如图，在ABCD Y 中，1213,15,tan 5AB BC B ==∠=，点E 是BC 上一动点，将ABE V 沿AE 折叠得到AB E 'V ，当点B '恰好落在线段DE 上时，则线段BE 的长为．三、解答题21．先化简，再求代数式211224x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭的值，其中2sin45x =︒． 22．将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．23．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技，体育、艺术劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：(1)求随机抽取的学生共有多少人：(2)求第四小组的频数，并补全频数分布直方图；(3)若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校学生共有1800人，请估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数．24．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB 长为5米，与水平面的夹角为16︒，且靠墙端离地高BC 为4米，当太阳光线AD 与地面CE 的夹角为45︒时，求阴影CD 的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin160.28,cos160.96,tan160.29︒≈︒≈︒≈）25．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A 粽子能够畅销．根据预测，每千克A 粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A 粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：(1)该商场节后每千克A 粽子的进价是多少元？(2)如果该商场在节前和节后共购进A 粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A 粽子？26．已知：AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，连接AC ．(1)如图1，求证：BAC DAC ∠=∠；(2)如图2，连接BC ，延长DC 交AB 的延长线于点,E AEC ∠的平分线分别交,AC BC 于点,F G ，求证：CF CG =；(3)如图3，在（2）的条件下，连接OF ，如果G 是EF 的中点，且CD =，求线段OF 的长． 27．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线142y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 作BC AB ⊥交x 轴于点C ．(1)求点C 的坐标；(2)点D 为线段BC 的中点，点E 为线段AB 的延长线上一点，连接DE ，设点E 的横坐标为t ，BDE V 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；(3)在（2）的条件下，过点B 作BF DE ⊥，垂足为点F ，点G 为线段EF 的中点，连接CG ，且CG BE =．过点E 作EH AE ⊥交x 轴于点H ，点M 在线段EH 上，连接AM ，过点()0,8N 作NP AM ⊥交x 轴于点P ，连接PM ，若2MPN MAH ∠=∠；求点M 的坐标．。

黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第四次模拟数学试题

( ) k =
y0¢¢
1+ ( y0¢ )2
3 2
.
(1)求证：抛物线
y
=
ax2
+ bx
+c（a
¹
0 ）在
x
=
-
b 2a
处弯曲程度最大；
(2)已知函数
g
(
x)
=
6x2lnx
-
2ax3
-
9x2
，
h
(
x)
=
2xex
-
4ex
+
ax2
，
a
Î
æ çè
0,
1 e
ö ÷ø
，若
g
(
x)
，
h ( x) 曲率为 0 时 x 的最小值分别为 x1 ， x2 ，求证： x12
B． 4 ± 7 3
C． 3 或 3 3
D． 2 或 2 2
5．现代建筑物的设计中通常会运用各种曲线、曲面，将美感发挥到极致.如图所示是试卷第11 页，共33 页
位于深圳的田园观光塔，它的主体呈螺旋形，高 15.6m，结合旋转楼梯的设计，体现了建筑中的数学之美.某游客从楼梯底端出发一直走到顶部.现把该游客的运动轨迹投影
e x2
8
> e3 .
试卷第71 页，共33 页
1．A
参考答案：
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案.
【详解】由题意得 p : "x Î{x 1 £ x £ 5} ， x2 - 4x > 5 为全称量词命题，
故命题 p 的否定是 $x Î{x 1 £ x £ 5} ， x2 - 4x £ 5 ，

黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题含答案解析

哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（）A.()0,2 B.()1,2- C.(],4∞- D.(]1,4-2.若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（）A.2iB.2i- C.2- D.23.在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（）A.20B.24C.27D.294.“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.下列命题中，真命题的是（）A.函数sin ||y x =的周期是2πB.2,2x x R x ∀∈>C.函数2()ln2x f x x +=-是奇函数. D.0a b +=的充要条件是1ab=-6.设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（）A. B.3C.9D.7.已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 的中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC ⋅的最小值为（）A .27B.0C.716-D.916-8.在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（）A.35B.42C.49D.56二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（）A.数列1{}2n a +为等比数列 B.11322n n a =⨯-C.数列{}n a 是递减数列 D.{}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-10.下列说法中正确的是（）A.在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B.非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b ，则a b -= C.已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，若2350OA OB OC ++=，则AOC 与AOB 的面积之比为3511.已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A.若()0f =，则π3ϕ=B.若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C.若()f x 在[],a b 上单调，则π2b a ω-≤D.若2ϕπ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12.已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax xx f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（）A.()f x 的单调递增区间为()0,6πB.方程()f x m =可能有三个实数根C.若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D.过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．14.已知ABC的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅= ________；15.若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．16.()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.19.已知数列{}n a 满足11a =，且()1111n n a a n n n n +-=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，且312n n S -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABCBC S ⋅=；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．21.已知等差数列{}n a 满足212a a =，且1a ，32a -，4a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若{}n a 的公差为整数，且()111nn n nS b S +-=-，求n T .22.已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()mf x x <恒成立，求m 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n++<++⋅⋅⋅++++．哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（）A.()0,2 B.()1,2- C.(],4∞- D.(]1,4-【答案】D 【解析】【分析】解不等式可得集合,A B ，根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为{}(]2log 20,4A x x =≤=，{}()2201,2B x x x =--<=-，所以(]1,4A B =- ，故选：D.2.若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（）A.2iB.2i- C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】先求出复数z ，得到z 的共轭复数，即可得到答案.【详解】因为复数z 满足i 2i z =+，所以2i12i iz +==-，所以z 的共轭复数12i z =+.其虚部为：2.故选：D3.在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（）A.20B.24C.27D.29【答案】D 【解析】【分析】求出基本量，即可求解.【详解】解：2642=10a a a +=，所以45a =，又59a =，所以544d a a =-=，所以510592029a d a +=+==，故选：D 4.“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.【详解】26k πθπ=+，Z k ∈时，1sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，526k πθπ=+，Z k ∈时，551sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的充分而不必要条件，故选:A .5.下列命题中，真命题的是（）A.函数sin ||y x =的周期是2πB.2,2x x R x ∀∈>C.函数2()ln 2x f x x +=-是奇函数. D.0a b +=的充要条件是1ab=-【答案】C 【解析】【分析】选项A ，由sin ||sin |2|33πππ-≠-+可判断；选项B ，代入2x =，可判断；选项C ，结合定义域和()()f x f x -=-，可判断；选项D ，由1ab=-得0a b +=且0b ≠，可判断【详解】由于353sin ||,sin |2|sin()32332ππππ-=-+==-，所以函数sin ||y x =的周期不是2π，故选项A 是假命题；当2x =时22x x =，故选项B 是假命题；函数2()ln 2x f x x+=-的定义域(2,2)-关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，故函数()f x 是奇函数，即选项C 是真命题；由1a b =-得0a b +=且0b ≠，所以“0a b +=”的必要不充分条件是“1ab=-”，故选项D 是假命题故选：C6.设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（）A. B.3C.9D.【答案】C 【解析】【分析】根据等差中项的定义，利用对数的运算得到21a b +=，然后利用这一结论，将目标化为齐次式，利用基本不等式即可求最小值.【详解】解：0,0,lg a b >>Q 是lg 4a 与lg 2b 的等差中项，2lg4lg2,lg 2lg 2b a a b +∴=+∴=，即222a b +=，即21a b +=，则212122(2)559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b b a=，即13a b ==时取等号.故选C .【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中项概念和对数运算，难度中等.当已知a b k αβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0m nm n a b+>，为常数)的最小值时常用()1m n m n a b a b k a b αβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭方法，展开后对变量部分利用基本不等式，从而求得最小值；已知k a bαβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0ma nb m n +>，为常数)的最小值时也可以用同样的方法.7.已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 的中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC ⋅的最小值为（）A.27B.0C.716-D.916-【答案】D 【解析】【分析】根据图形特点，建立直角坐标系，由题设数量关系得出A ，B ，C 的坐标，再设出点M 的坐标，将所求问题转化为函数的最小值即可.【详解】解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意可知，()0,4A ，()3,0C ，3,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),0M t ，其中[]3,3t ∈-，则3,22MD t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3,0MC t =- ，故()22399993222416MD MC t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以当94t =时，MD MC ⋅ 有最小值916-.故选：D.8.在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（）A.35B.42C.49D.56【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n 轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染,则每轮新增感染人数为0nR ，经过n 轮传染，总共感染人数为：1200000111n nR R R R R +-++++=- ，∵0R 3=，∴当感染人数增加到1000人时，113=100013n +--，化简得3=667n ，由563243,3729==，故得6n ≈，又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6742⨯=天，故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（）A.数列1{}2n a +为等比数列 B.11322n n a =⨯-C.数列{}n a 是递减数列 D.{}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-【答案】AB 【解析】【分析】推导出1113()22n n a a ++=+，11322a +=，从而数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【详解】解：数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，*n ∈N ，131n n a a +∴=+，1113(22n n a a +∴+=+， 11322a +=，∴数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，故A 正确；113133222n n n a -+=⨯=⨯，∴11322n n a =⨯-，故B 正确；数列{}n a 是递增数列，故C 错误；数列1{}2n a +的前n 项和为：13(13)3132(31)313444n n n n S +-'==-=⨯--，{}n a ∴的前n 项和1111332424n n n S S n n +'=-=⨯--，故D 错误．故选：AB ．10.下列说法中正确的是（）A.在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B.非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b，则a b -= C.已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，若2350OA OB OC ++=，则AOC 与AOB 的面积之比为35【答案】BD 【解析】【分析】利用向量的数量积的定义得到角C 为钝角，从而否定A ；利用向量的和、差的模的平方的关系求得26a b -= ，进而判定B ；注意到a 与a b λ+ 同向的情况，可以否定C ；延长AO 交BC 于D ,∵,AO OD共线，利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到58BD BC = ,进而35CD DB =，然后得到35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，利用分比定理得到35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，从而判定D.【详解】0a b ⋅>即0BC CA ⋅> ,∴0CB CA ⋅<,∴C 为钝角，故A 错误；2222222810a b a b a b -++=+=+= ，2224a b +== ，21046a b -=-=，a b -=B 正确；(1,2)a b λλλ+=++r r，当0λ=时，a 与a b λ+ 同向，夹角不是锐角，故C 错误；∵2350OA OB OC ++=，∴3522AO OB OC =+ ，延长AO 交BC 于D ,如图所示.∵,AO OD共线，∴存在实数k ，3522k k OD k AO OB OC ==+ ，∵,,D B C 共线，∴35122k k +=,∴14k =,∴3588OD OB OC =+ ，∴555888BD OD OB OB OC BC =-=-+= ，∴35CD DB =.∴35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，∴35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，故D 正确.故选：BD.11.已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A.若()0f =，则π3ϕ=B.若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C.若()f x 在[],a b 上单调，则π2b a ω-≤D.若2ϕπ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】将0x =代入()f x 求出函数值，根据ϕ的范围即可判断选项A ；根据偶函数的性质即可判断选项B ；根据()f x 在[],a b 上单调，则2Tb a ≥-即可判断选项C ；根据整体思想以及正弦函数的性质即可判断选项D.【详解】对于选项A ，若()0f =，则2cos ϕ=3cos 2ϕ=，∵[]0,πϕ∈，∴π6ϕ=，则A错误；对于选项B ，若函数()y f x =为偶函数，则0ϕ=或πϕ=，即2cos 1ϕ=，则B 正确；对于选项C ：若()f x 在[],a b 上单调，则π2T b a ω-≤=，但不一定小于π2ω，则C 错误；对于选项D ：若2ϕπ=，则()2sin f x x ω=-，当ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∵()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，∴ππ32ππ42ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则D 正确．故选：BD ．12.已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax x x f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（）A.()f x 的单调递增区间为()0,6πB.方程()f x m =可能有三个实数根C.若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D.过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，根据()0f x ≥，得到1a ≥，画出函数图象，可得单调区间；B 选项，结合函数图象得到方程()f x m =的根的个数；C 选项，分[0,6π)x ∈和[]6π,7πx ∈两种情况，得到00tan x x =或0001cos sin x x x -=；D 选项，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，分M 为切点和不是切点，结合函数图象可得过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线.【详解】A 选项，因为函数()0f x ≥，[6π,7π]x ∈时，由于1cos 0x -≥恒成立，故3π(1cos )y a x =-要想恒正，则要满足0a ≥，[0,6π]x ∈时，sin 0y ax x =-≥恒成立，cos y a x '=-，当1a ≥时，cos 0y a x '=-≥在[)0,6π恒成立，故sin y ax x =-在[)0,6π单调递增，又当0x =时，0y =，故sin 0y ax x =-≥在[)0,6π上恒成立，满足要求，当01a <<时，令cos 0y a x '=-=，故存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0cos a x =，当()00,x x ∈时，0'<y ，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，故sin y ax x =-在()00,x x ∈上单调递减，又当0x =时，0y =，故()00,x x ∈时，sin 0y ax x =-<，不合题意，舍去，综上：1a ≥，当6πx →时，sin 6πy ax x a =-→，(6)3π[1cos(6π)]0f a π=-=，且(7π)3π[1cos(7π)]6πf a a =-=，画出函数图象如下，故()f x 的单调递增区间为(0,6π),(6π,7π)，A 错误；B 选项，可以看出方程()f x m =最多有两个实数解，不可能有三个实数根，B 错误；C 选项，当[)0,6πx ∈时，()cos f x a x '=-，则()00cos f x a x '=-，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()()0000sin cos y ax x a x x x --=--，将()0,0代入切线方程得()()0000sin cos ax x x a x --=--，解得00tan x x =，当[]6π,7πx ∈时，()3πsin f x a x '=，则()003πsin f x a x '=，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()0003π1cos 3πsin y a x a x x x --=-⎡⎤⎣⎦，将()0,0代入切线方程得，0001cos sin x x x -=，其中06πx =满足上式，不满足00tan x x =，故C 错误；D 选项，当[)0,6πx ∈时，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，()cos f x a x '=-，当切点为()111,sin M x ax x -，则()11cos f x a x '=-，故切线方程为()()()1111sin cos y ax x a x x x --=--，此时有一条切线，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()222,sin N x ax x -，则()22cos f x a x '=-，此时有()2211221sin sin cos ax x ax x a x x x ---=--，即12212sin sin cos x x x x x -=-，其中1212sin sin x x t x x -=-表示直线MN 的斜率，画出cos ,[0,6π)y x x =∈与y t =的图象，最多有6个交点，故可作6条切线，[]6π,7πx ∈时，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()()22,3π1cos N x a x -，则()3πsin f x a x '=，()223πsin f x a x '=，()7π3πsin 7π0f a '==，()6π3πsin 6π0f a '==，13π13π3πsin 3π22f a a ⎛⎫⎪==⎭'⎝，结合图象可得，存在一个点()()22,3π1cos N x a x -，使得过点()()22,3π1cos N x a x -的切线过[)0,6πx ∈上时函数的一点，故可得一条切线，当M 点在[]6π,7πx ∈时的函数图象上时，由图象可知，不可能作8条切线，综上，过()f x 图象上任何一点，最多可作函数f(x)的8条切线，D 正确.故选：ABC【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x ='；(2)已知斜率k 求切点()()11,A x f x ,即解方程()1f x k '=；(3)已知切线过某点()()11,M x f x (不是切点)求切点,设出切点()()00,A x f x ,利用()()()10010f x f x k f x x x -=='-求解.Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】12n -【解析】【分析】当1n =时求得1a ；当2n ≥时，利用1nn n a S S -=-可知数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果.【详解】当1n =时，1121a a =-，解得：11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，12n n a a -∴=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=.故答案为：12n -.14.已知ABC 的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅= ________；【答案】2【解析】【分析】由三角形的面积可解得4bc =，再通过数量积的定义即可求得答案【详解】由题可知1sin 2S bc A ==3A π∠=，所以解得4bc =由数量积的定义可得1cos 422AB AC bc A ⋅==⨯= 【点睛】本题考查三角形的面积公式以及数量积的定义，属于简单题．15.若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【答案】19-【解析】【分析】由sin 2sin 2632πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式和二倍角公式得出答案．【详解】2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，21cos 212sin 369ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22326πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，1sin 2sin 2cos 263239ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：19-16.()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．【答案】21223n +-【解析】【分析】设n A 中有n c 项为0，其中1和1-的项数相同都为n b ，由已知条件可得()111222n n n b c n ---+=≥①，()112n n n b b c n --=+≥②，进而可得()1122n n n b b n --+=≥③，再结合12n n n b b ++=④可得()11122n n n b b n -+--=≥，分别研究n 为奇数与n 为偶数时{}n b 的通项公式，运用累加法及并项求和即可求得结果.【详解】因为()11,1A =-，依题意得，()21,0,0,1A =-，()31,0,1,1,1,1,0,1A =---，显然，1A 中有2项，其中1项为1-，1项为1，2A 中有4项，其中1项为1-，1项为1，2项为0，3A 中有8项，其中3项为1-，3项为1，2项为0，由此可得n A 中共有2n 项，其中1和1-的项数相同，设n A 中有n c 项为0，所以22nn n b c +=，11b =，从而()111222n n n b c n ---+=≥①，因为()f A 表示把A 中每个1-都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，则()112n n n b b c n --=+≥②，①+②得，()1122n n n b b n --+=≥③，所以12nn n b b ++=④，④-③得，()11122n n n b b n -+--=≥，所以当n 为奇数且3n ≥时，()()()324122411222122211143n n n n n n n n n b b b b b b b b ------+=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++=+=-，经检验1n =时符合，所以213n n b +=（n为奇数），当n 为偶数时，则n 1-为奇数，又因为()1122n n n b b n --+=≥，所以111121212233n n n n n n b b ----+-=-=-=，所以2+1,321,3n n n n b n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，+112121233n n nn n b b ++-+=+=，所以{}n b 的前2n 项和为21211352112345621222422()()()()2+2+2++2143n n n n n b b b b b b b b -+---⨯-++++++++===- .故答案为：21223n +-.【点睛】本题的解题关键是根据题目中集合的变换规则找到递推式，求出通项公式，再利用数列的特征采取分组求和解出.四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值【答案】（I ）6π（II ）max 3()2f x =【解析】【详解】(1)由2a ＝x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，2b ＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及a b =r r，得4sin 2x ＝1.又x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以x ＝6π.(2)()·=f x a b =sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π≤56π，∴当2x －6π＝2π时，即x ＝3π时，sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭取最大值1.所以f (x )的最大值为32.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）64【解析】【分析】（1）取PC 的中点M ，根据题意证得//AE MF 且AE MF =，得到四边形AEMF 为平行四边形，从而得到//AE ME ，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量31(,,1)22PB =-和平面PAD的一个法向量n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取PC 的中点M ，连接,MF EM ，在PCD 中，因为,M F 分别为,PC PD 的中点，可得//MF CD 且12MF CD =，又因为E 为AB 的中点，所以//AE CD 且12AE CD =，所以//AE MF 且AE MF =，所以四边形AEMF 为平行四边形，所以//AE ME ，因为ME ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，所以//AF 平面PCE .【小问2详解】解：因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，连接BD ，可得ABD △为等边三角形，又因为E 为AB 的中点，所以DE AB ⊥，则DE DC ⊥，又由PD⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以,,DE DC DP 所在的直线分别为,x y 和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，1PD AD ==，可得3131(0,0,0),(,,0),(,,0),(0,0,1)2222D A B P -，则3131(,,1),(,,0),(0,0,1)2222PB DA DP =-=-= ，设平面PAD 的法向量为(,,)n x y z = ，则310220n DA x y nDP z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，取x =，可得3,0y z ==，所以n =，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，则6sin cos ,4n PB n PB n PB θ⋅=== ，所以直线PB与平面PAD 所成角的正弦值为6 4.19.已知数列{}n a满足11a=，且()1111n na an n n n+-=++．（1）求{}n a的通项公式；（2）若数列nnab⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S，且312nnS-=，求数列{}n b的前n项和n T．【答案】（1）21na n=-（2）1133n nnT-+=-【解析】【分析】（1）利用累加法求出nan，进而得na；（2）求得1213n nnb--=，利用错位相减法可求出答案.【小问1详解】因为()1111111n na an n n n n n+-==-+++，所以11221111221n n n n na a a a a a a an n n n n---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111121212n n n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=-⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21na n=-．【小问2详解】因为312n n S -=，所以当1n =时，1111a S b ==，得11b =；当2n ≥时，1113131322n n n n n n n a S S b -----=-=-=，所以1213n n n b --=（1n =时也成立）．因为0121135213333n n n T --=++++ ，所以12311352133333n n n T -=++++ ，所以1012111121222212133121333333313n n n n n n n T --⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=+⨯-- 112122112333n n n n n --+=+--=-，故1133n n n T -+=-．20.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABC BC S ⋅= ；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．【答案】（1）2π3B =（2）[)8,12【解析】【分析】（1）选①时：利用面积和数量积公式代入化简即可；选②时：利用正弦定理代入，结合余弦定理得到；选③时：正弦定理进行边角转换，结合角度的范围即可确定角B .（2）结合（1）的角度，和边的大小，用余弦定理进行代换，结合基本不等式即可得到最终范围.【小问1详解】选①，由2ABC BC S ⋅=可得：1cos2sin sin2B ac B ac B=⋅=，故有sintancosBBB==又∵()0,πB∈，∴2π3B=；选②，∵()()()sin sin sin sin sin sin sinB A B AC C A+-=+，由正余弦定理得222c ac b a+=-，∴2221cos22a c bBac+-==-，又()0,πB∈，∴2π3B=；选③，∵()2cos cosc a B b C+=-，由正弦定理可得()sin2sin cos sin cosC A B B C+=-，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sinA B B C C B C B A=--=-+=-，∵()0,πA∈，∴sin0A≠，∴1cos2B=-，又()0,πB∈，∴2π3B=．【小问2详解】由余弦定理得2222cos12c a b ac B ac+=+=-∵0ac>，∴2212a c+<．又有222222122c ac a ac c a+=++≤++，当且仅当2a c==时取等号，可得228c a+≥．即22a c+的取值范围是[)8,12．21.已知等差数列{}n a满足212a a=，且1a，32a-，4a成等比数列.（1）求{}n a的通项公式；（2）设{}n a，{}n b的前n项和分别为n S，n T.若{}n a的公差为整数，且()111n nnnSbS+-=-，求nT.【答案】（1）25na n=或2na n=（Nn+∈）（2）当n为正偶数时，1nnTn=-+，当n为正奇数时，231nnTn+=-+【解析】【分析】（1）设出公差d，根据已知条件列出相应的等式即可求解.（2）由题意可以先求出{}n b的通项公式，再对n进行讨论即可求解.【小问1详解】设等差数列{}n a的公差为d，∵2112a a a d ==+，∴1a d =，∵1a ，32a -，4a 成等比，∴()21432a a a =-，即()()2111322a a d a d +=+-，得()22432d d =-，解得25d =或2d =，∴当125d a ==时，25n a n =；当12d a ==时，2n a n =；∴25n a n =或2n a n =（N n +∈）.【小问2详解】因为等差数列{}n a 的公差为整数，由（1）得2n a n =，所以()()2212n n n S n n +==+，则()()112n S n n +=++，∴()()()()()()()12121111111111n n n n n n n b n n n n n n n ⎡⎤++-+⎛⎫=-=--=-++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦.①当n 为偶数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++--+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++----+++-+ 1111n =-++1n n =-+.②当n 为奇数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++-+++----+ 1111111n n n =-+---+231n n +=-+.所以当n 为正偶数时，1n n T n =-+，当n 为正奇数时，231n n T n +=-+.22.已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()m f x x <恒成立，求m 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n ++<++⋅⋅⋅++++．【答案】（1）递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出单调区间；（2）转化为1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭在()1,x ∈+∞上恒成立，令()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，分0m ≥和0m <两种情况，求导，结合导函数特征，再分类讨论，求出m 的取值范围；（3）在（2）基础上得到12ln x x x <-，赋值得到211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，利用累加法得到结论.【小问1详解】当3m =-时，()ln 3,0f x x x x =->，则()1133x f x x x -'=-=，令()0f x ¢>，得103x <<；令()0f x '<，得13x >，所以()f x 的单调递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由()m f x x <，得1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，设()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，当()1,x ∈+∞时，1ln 0,0x x x >->，所以当0m ≥时，()0g x >，不符合题意．当0m <时，()2111g x m x x ⎛⎫=++ ⎝'⎪⎭22mx x m x ++=，设()()2,1,h x mx x m x =++∈+∞，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为12x m =-0>，当112m ->，即102m -<<时，因为()1210h m =+>，所以当11,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x >，即()0g x '>，此时()g x 单调递增，所以()()10g x g >=，不符合题意．当1012m <-≤，即12m ≤-时，()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()1210h x h m <=+≤，所以()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10g x g <=，符合题意．综上所述，m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【小问3详解】由（2）可得当1x >时，11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即12ln x x x <-，令*1,n x n n +=∈N ，则211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，所以22223351212ln ,2ln ,,2ln 111222n n n n n++<<⋅⋅⋅<+++，以上各式相加得22223135212ln ln ln 121122n n n n n++⎛⎫++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭，即22223135212ln 121122n n n n n ++⎛⎫⨯⨯⋅⋅⋅⨯<++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭，所以()22235212ln 11122n n n n ++<++⋅⋅⋅++++．【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.。

东北三省三校2017届高三第三次模拟数学(文)试题 Word版含答案

东北三省三校2017届高三第三次模拟数学(文)试题 Word版含答案XXX2017年高三第三次模拟考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，务必填写姓名、准考证号码，并将条形码准确粘贴在指定区域。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔记清晰。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。

在草稿纸、试题卷上答题也无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，从每小题的四个选项中选出一个符合题意的答案）1.设复数z满足z×(1+i)=2i（i是虚数单位），则z=（）A.2B.2.C.1.D.52.已知A=xy=lg(x-1)，B=yy=4-x^2，则A∩B=（）A.[0,2]B.(1,2]C.[1,2)D.(1,4]3.已知cosα-sinα=2，则sin2α的值为（）A.-11/8B.-7/8C.7/8D.11/84.已知实数x，y满足2x+y≥3，则z=x+y的取值范围为（）A.[0,3]B.[2,7]C.[3,7]D.[2,0]5.已知x∈(0,π/2)，p:sinx<x，q:sinx<x^2，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18,27，则输出的a=（）A.0.B.9.C.18.D.547.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.2/3B.3/4C.4/3D.8/38.直线x+2y=m（m＞2）与εO:x+y=5交于A，B两点，若OA+OB>2AB，则m的取值范围是（）A.(5,25)B.(25,5)C.(5,5)D.(2,5)9.已知函数$f(x)=2\sin(2x-\frac{\pi}{2})-1$，在$[0,\frac{\pi}{2}]$随机取一个实数$a$，则$f(a)>0$的概率为$\frac{6323}{}$。

东北三省四市2017届高三数学二模试卷理(含解析)

2017年东北三省四市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2} 3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个设计几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．5．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）A．9 B．15 C．18 D．306．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，4] C．7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．10．运行如图所示的程序框图，则输出的a、b、c满足（）A．c≤b≤a B．a≤b≤c C．a≤c≤b D．b≤c≤a11．已知向量，，若m+n=1，则|的最小值为（）A．B．C．D．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4= ．16．F是双曲线的左焦点，过F作某一渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．18．某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．20．椭圆C：的长轴长为2，P为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A2为椭圆C的右顶点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与直线OM的斜率之积为﹣．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，N点的横坐标的取值范围是，求线段AB的长的取值范围．21．已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，证明：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）的图象与直线y=m的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点的横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．五、23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）证明：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的取值范围．2017年东北三省四市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．故选：A．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2} 【考点】1E：交集及其运算．【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}．故选：D．3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个设计几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p⇒q，反之不成立．即可得出．【解答】解：由p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=﹣，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．5．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）A．9 B．15 C．18 D．30【考点】8E：数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式可得a n．及其数列{a n}的前n项和S n．令a n≥0，解得n，分类讨论即可得出．【解答】解：∵a n+1﹣a n=2，a1=﹣5，∴数列{a n}是公差为2的等差数列．∴a n=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．数列{a n}的前n项和S n==n2﹣6n．令a n=2n﹣7≥0，解得．∴n≤3时，|a n|=﹣a n．n≥4时，|a n|=a n．则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．故选：C．6．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，4] C．【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出满足约束条件的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到目标函数的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知解得A（1，2）当x=1，y=2时，目标函数z=2x+y有最大值4．故目标函数z=2x+y的值域为（﹣∞，4]故选：B．7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积．故选D．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对立事件及n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式得到p=1﹣（）n，由此能求出n的最小值．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为，∴p=1﹣（）n，∴（）n≤．∴n的最小值为4．故选：A．9．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，由此求得x1+x2 值．【解答】解：∵x∈，∴2x+∈[，]，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，∴=，则x1+x2=，故选：C．10．运行如图所示的程序框图，则输出的a、b、c满足（）A．c≤b≤a B．a≤b≤c C．a≤c≤b D．b≤c≤a【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序运行的功能是比较a、b、c的大小并按大小顺序输出，写出运行结果即可．【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是比较a、b、c的大小并按大小顺序输出，程序运行后输出的是c≤b≤a．故选：A．11．已知向量，，若m+n=1，则|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】93：向量的模．【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得的坐标，由向量模的公式可得||=，由基本不等式的性质可得≥（）2=，即m2+n2≥；即可得答案．【解答】解：根据题意，向量，则=m﹣n=（3m+n，m﹣3n），||==，又由m+n=1，则有≥（）2=，即m2+n2≥；故||=≥，即||的最小值为；故选：C．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】3T：函数的值．【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要即可，当m＜2时，只要即可，由此能求出结果．【解答】解：当m=2时，f（x）==1，此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立；当m＞2时，，只要即可，解得2＜m＜5；当m＜2时，，只要即可，解得，综上．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有48 种不同的分法（用数字作答）．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论．【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，∴共有8×6=48种不同的分法．故答案为48．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是y=x ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=e x•sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣0），即y=x．故答案为：y=x．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4= 30 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16，∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q），=16，解得a1=q=2．则S4==30．故答案为：30．16．F是双曲线的左焦点，过F作某一渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为或2 ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到．【解答】解：当b＞a＞0时，由，可知A为BF的中点，由条件可得=，则Rt△OAB中，∠AOB=，渐近线OB的斜率k=，即离心率e===2．同理当a＞b＞0时，可得e=；故答案为：或2．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f （x）的最小正周期；（Ⅱ）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=（，1）•（﹣cosx，1﹣sinx）=﹣cosx﹣sinx+4=﹣2sin（x+）+4，f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=，又∵BC=3，∴9=（b+c）2﹣bc．∵bc≤，∴，∴b+c≤2，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为3+2．18．某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）画出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大；（Ⅱ）由分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，根据X的取值计算对应的概率，求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）对于女性用户，各小组的频率分别为：0.1，0.2，0.4，0.25，0.05，其相对应的小长方形的高为0.01，0.02，0.04，0.025，0.005，对于男性用户，各小组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20，0.10，其相对应的小长方形的高为0.015，0.025，0.03，0.02，0.01，直方图如图所示：，由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，且P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；所以X的分布列为X的数学期望为EX=1×+2×+3×=2．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．20．椭圆C：的长轴长为2，P为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A2为椭圆C的右顶点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与直线OM的斜率之积为﹣．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，N点的横坐标的取值范围是，求线段AB的长的取值范围．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）由2a=2，解得a=，设P（x0，y0），A1（，0），A2（，0）．由=1，可得=﹣．根据OM∥PA1，可得，于是===﹣=﹣，解得b2．（II）设直线l的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，利用根与系数的关系与中点坐标公式可得线段AB的中点Q，QN的方程为：y﹣=﹣，可得N．根据＜＜0，解得：0＜2k2＜1．利用弦长公式可得：|AB|=，即可得出．【解答】解：（I）由2a=2，解得a=，设P（x0，y0），A1（，0），A2（，0）．则=1，可得=﹣．∵OM∥PA1，∴，∴====﹣=﹣，解得b2=1．∴椭圆C的方程为=1．（II）设直线l的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=，x1•x2=，∴y1+y2=k（x1+x2+2）=，可得线段AB的中点Q，QN的方程为：y﹣=﹣，∴N．∵＜＜0，解得：0＜2k2＜1．∴|AB|=•=，∵＜1，∴|AB|∈．21．已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，证明：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）的图象与直线y=m的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点的横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导，令f′（x）=0，根据函数单调性与导数的关系，即可求得函数f（x）的极值；（2）采用分析法，要证明f（e+x）＞f（e﹣x），只需证（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e ﹣x），构造辅助函数求导，由F′（x）＞0，即可求得函数单调性递增，F（x）＞F（0）=0，即可求得f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）由（1）可知0＜x1＜e＜x2，则0＜e﹣x1＜e，由（2）可知，f（x）在（e，+∞）上单调递减，x1+x2＞2e，x0=＞e，即可f'（x0）＜0．【解答】解：（1）由f（x）=，x＞0，求导f′（x）=，当x∈（0，e），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值，（2）证明：要证明f（e+x）＞f（e﹣x），即证＞，只需证（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），求导F′（x）=﹣ln（e2﹣x2）=+＞0，∴f（x）在（0，e）单调递增，∴F（x）＞F（0）=0，∴（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），∴f（e+x）＞f（e﹣x），（3）证明：不妨设x1＜x2，由（1）可知0＜x1＜e＜x2，由0＜e﹣x1＜e，由（2）可知：f＞f=f（x1）=f（x2），由2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，即x1+x2＞2e，则x0=＞e，∴f'（x0）＜0．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．五、23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）证明：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）化简f（x）的解析式，判断f（x）的单调性，根据单调性得出f（x）的最小值化简即可得出结论；（2）分离参数得t≤，把2a+b=2代入不等式，根据基本不等式的性质得出的最小值，从而得出t的范围．【解答】解：（1）证明：令x+a=0得x=﹣a，令2x﹣b=0得x=，∵a＞0，b＞0，∴﹣a，则f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，]上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴f min（x）=f（）=a+=1，2a+b=2；（2）∵a+2b≥tab恒成立，∴t≤恒成立，∵2a+b=2，∴a+b=1，∴=+=+=+≥=，（当且仅当a=b时取等号）∴的最小值为，∴t．。

哈尔滨市第九中学校2023届高三下学期第二次高考模拟考试语文试卷

哈尔滨市第九中学2023届高三第二次高考模拟考试语文学科试卷一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成1～5题。

材料一：黑洞这一术语是非常近代才出现的。

黑洞是我们宇宙中最奇怪、最神秘的物体。

天文学家相信在宇宙中有无数的黑洞，并且认为：黑洞是涵盖了一切事物开始的关键，它们是未知世界的大门。

一个大质量的恒星在其生命最后阶段会因自身的引力而坍缩。

它自身的引力是如此之强，以致它的核坍塌直至成为一个没有大小、密度极大的数学上的点。

围绕这个点有一个直径只有几公里被称为“视界”的区域，这里引力强得使任何东西，甚至于连光都不能逃逸出去，这就是黑洞。

我们可以将诗人但丁针对地狱入口所说的话恰到好处地应用于事件视界：“从这里进去的人必须抛弃一切希望”。

任何东西或任何人，一旦进入事件视界，就会很快地到达无限致密的区域和时间的终点。

其实，除此之外，黑洞还有一种成因：就是在宇宙大爆炸的早期，宇宙的压力和能量是如此之强，足以使一些物质小团块压缩成为不同尺度和质量的太初黑洞。

通常，对一个物体的完整描述需要很多参量，而黑洞只需用质量、角动量和电荷三个参量描述：最简化的无电荷、无转动的球对称黑洞——史瓦西黑洞：有电荷、无转动的球对称黑洞——雷斯勒-诺斯特诺姆黑洞；无电荷但有转动的黑洞——克尔黑洞：以及又带电荷又有转动的黑洞——克尔纽曼黑洞。

由于黑洞质量越小，其引力场就越小，粒子逃逸的过程就变得越容易，因此黑洞粒子的发射率和其表面温度就越大。

黑洞向外辐射粒子导致黑洞质量减小，进一步导致了辐射速率和温度的上升，因而黑洞的质量就减小得更快！当黑洞的质量变得极小的时候，它将在一个巨大的、相当于几百万颗氢弹爆炸的发射中结束自己的历史！（摘编自霍金《时间简史》，有删改）材料二：白洞，是广义相对论所预言的一种特殊星体。

其理论依据是物质世界的对称性：即世界上任何一种物质都会有一种反物质与它对称。

例如，现已证实的电子与反电子、质子与反质子，它们大小相等，正负相反，完全对称。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2017届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三二模数学
（文）试卷
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（）A．B．C．D．
2. 设非空集合，满足，则
A．，有B．，有
C．，使得D．，使得
3. 若过点A(0，－1)的直线l与圆x2＋(y－3)2＝4的圆心的距离为d，则d的取值范围为( )
A．[0,4] B．[0,3]
C．[0,2] D．[0,1]
4. 从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于40的概率为（）
A．B．C．D．
5. 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）
A．或
B．或C．
D．
6. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A．16
B．32
C．48
D．144
7. 已知实数a，b满足，，则函数的零点所在的区间是
A．B．C．D．
8. 已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且
，则球面积是（）
A．B．C．
D．
9. 若实数满足，则的最小值为（）
A．B．
C．D．
10. 函数，的图象大致是（）
11. 已知抛物线的焦点为，是准线上的一点，是直线与的一个交点，若，则( )
C．D．
A．B．
12. 已知数列的通项公式为，其前项和为,则（）
A．-30 B．-60 C．90 D．120
二、填空题
13. 已知向量，且，则实数__________．
三、单选题
14. 为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为.由以上信息，得到下表中的值为天数（天） 3 4 5 6 7
繁殖个数
2.5 3 4 4.5
（千个）
A．5 B．6 C．7 D．8
四、填空题
15. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则的最小
值________．
五、单选题
16. 设函数，其中，，存在使得
成立，则实数的值是
D．1
A．B．C．
六、解答题
17. 设函数
（1）求的最大值，并写出使取最大值时x的集合；
（2）已知中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若
，求a的最小值.
18. 某批次的某种灯泡个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布
表如下，根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或
. 寿命 (天) 频数频率
合计
（1）根据频率分布表中的数据，写出的值；
（2）某人从这个灯泡中随机地购买了个，求此灯泡恰好不是次品的概率；
（3）某人从这批灯泡中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情況恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求的最小值.
19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，
底面.
（1）求证:；
（2）求与平面所成角的正弦值.
20. 椭圆的左、右焦点分别为，且离心率为，点
为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，连接
并延长分别交直线于两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.
21. 已知，函数，．（的图象连续不断）(1) 求的单调区间；
(2) 当时，证明：存在，使；
(3) 若存在属于区间的，且，使，证明：
．
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为为参数) ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线过曲线的左焦点.
（1）直线与曲线交于两点，求；
（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值.
23. 选修4-5：不等式证明选讲
已知函数，且恒成立.
（1）求实数的最大值；
（2）当取最大时，求不等式的解集.。