第40招 数列最值的求法

【知识要点】一、数列是一个函数，所以函数求最值的很多方法同样适用于它，又由于数列是一个特殊的函数，在求最值时，又表现出它的特殊性.有些特殊的方法要理解并记住.二、数列求最值常用的方法有函数、数形结合、基本不等式、导数、单调性等，特殊的方法有夹逼法等.【方法讲评】方法一函数的方法使用情景比较容易求出函数的表达式解题步骤一般先求出函数的表达式，再利用函数的方法求出数列的最值.【例1】在等差数列中，，为前项和，求的最大值.}{n a 1,101-==d a n S }{n a n n S【点评】数列是一个特殊的函数，等差数列的前项和可以看作是一个关于的二次函数n n ，利用图像解答.2n S An Bn =+【反馈检测1】 设等差数列{}的前项和为，已知=12，>0,,n a n n S 3a 12s 130s <(1)求公差的取值范围；d （2）指出，，…，中哪一个值最大，并说明理由.1s 2s 12s方法二数形结合法使用情景比较容易求出数列的通项解题步骤先求数列的通项，再对通项的图像进行研究.【例2】在等比数列中，，公比，且，与{}n a )(0*N n a n ∈>)1,0(∈q 252825351=++a a a a a a 3a 的等比中项为2.5a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，数列的前项和为S n ，当最大时，求的值.n n a b 2log ={}n b n nS S S n +++ 2121n【点评】（1）等差数列的通项可以看作是一个关于的一个一次函数，画出函数的图像，比较直观n a n 地看出数列的哪些项是正数，哪些项是负数，从而得到前多少项的和最大或最小.（2）注意数列中，{}n a由于，所以前8项的和和前9项的和相等，且都最大，所以在考虑问题时，注意那些“零”项，以免9a 0=得出错误的结论. 学.科.网【例3】已知数列中，则在数列的前项中最小项和最大项分别是（{}n a )n a n N *=∈{}n a n ）A. B. C. D.150,a a 18,a a 89,a a 950,a a【点评】该题中的函数是双曲线，画出函数的图像，可以看出在靠近渐近线的地方函数取到最小值或最大值.【反馈检测2】已知等差数列{},,=.若，求数列 {}的前项n a *n a N ∈n S 212)8n a +（1302n n b a =-n b n 和的最小值.方法三单调性法使用情景数列的单调性比较容易确定解题步骤先求数列的通项，再对通项的单调性进行研究.【例4】 已知数列的通项公式，，求的最大值.}{n a nn n a )109)(1(+=)(N n ∈}{n a 【点评】（1）数列按照单调性分可以分为单调增函数、单调减函数、非单调函数.（2）判断数列的单调性一般有两种方法，方法一是作差判断，如果方法二是作商判断，如果110{}0{}n n n n n n a a a a a a ++->⇒-<⇒单调递增；单调递减.111(0){}1(0){}n n n n n n n na a a a a a a a ++>>⇒<>⇒单调递增；单调递减.【例5】设单调递增函数的定义域为，且对任意的正实数有：()f x ()0,+∞,x y 且．()()()f xy f x f y =+1()12f =-⑴一个各项均为正数的数列满足:其中为数列的前项和,{}n a ()()(1)1n n n f s f a f a =++-n S {}n a n 求数列的通项公式；{}n a ⑵在⑴的条件下，是否存在正数M 使下列不等式：121221)(21)(21)n n n a a a M a a a ⋅≥---对一切成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．*n N ∈M ⑵假设存在满足条件，M 即对一切恒成立．　1212221(21)(21)(21)n nn a a a M n a a a ≤+--- *n N ∈令，12122()21(21)(21)(21)n nn a a a g n n a a a =+--- ，　∴1212(1)(1)2313(21)(21)n n n g n n n n +⨯⨯⨯⨯⨯++=+⨯⨯⨯⨯-+ 故，22(1)224841()4832123g n n n n g n n n n n ++++==>++++，单调递增，，．(1)()g n g n ∴+>∴()g n *n N ∴∈()(1)g n g ≥=． ∴0M <≤【点评】（1）本题就是利用作商法判断数列的单调性，再求数列的最值；（2）是选择作差法判断函数的单调性，还是选择作商法判断数列的单调性，主要看数列的形式，如果数列是商的形式，一般利用作商法判断数列的单调性，如果数列是和的形式，一般选择作差法判断数列的单调性.【反馈检测3】 已知数列中，且点在直线上．{}n a ,11=a ()()1,n n P a a n N *+∈10x y -+=（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若函数求函数的最小值；()1231111(),nf n n N n a n a n a n a *=++++∈++++ )(n f （3）设表示数列的前项和，n nn S a b ,1={}n b n 试证明：．1231(1),(,2)n n S S S S n S n N n *-++++=-∈≥ 方法四基本不等式法使用情景有一正二定三相等的数学情景解题步骤先求函数的表达式，再利用基本不等式解答.【例6】广州市某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引进该设备可获得的年利润为50万元.（1）引进该设备多少年后，开始盈利？（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.【点评】基本不等式同样可以求数列的最值.如果n 取等时的值不是正整数，可以求它附近的点的函数值，比较就可以了. 学.科.网【反馈检测4】某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，今年年初组织一些同学自筹资金万196元购进一台设备，并立即投入生产自行设计的产品，计划第一年维修、保养费用万元，从第二年开始，24每年所需维修、保养费用比上一年增加万元，该设备使用后，每年的总收入为万元，设从今年起使8100用年后该设备的盈利额为万元.n ()f n （Ⅰ）写出的表达式；()f n （Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；（Ⅲ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：年平均盈利额达到最大值时，以万元52价格处理该设备；方案二：当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备.问用哪种方案处理较为合算?请说明理由．方法五导数法使用情景函数比较复杂，单调性一般方法不行.解题步骤先求函数，再求导，再研究函数的单调性.【例7】在数列中，（），其中是常数，且}{n a nn k a a k a n n +-+=+=+2111,1n *∈N k .3625≤≤k （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的最小项.}{n a }{n a以上个式子相加得，即.1n -)11(11n k n a a n ---=-)11(11n k n a a n ---+=又，所以，即.k a +=11)11(11n k n k a n ---++=(2,3,)n ka n n n=+= 当时，上式也成立.1n =所以数列的通项公式为.}{n a (1,2,3,)n ka n n n=+= （Ⅱ）为考查数列的单调性，注意到，可设函数，}{n a (1,2,3,)n k a n n n =+= )1)()(≥+=x xkx x f则，即.21)(xkx f -='22)(x k x x f -='可知时，；时，；时，.x ⎡∈⎣0)(<'x f k x =0)(='x f )x ∈+∞0)(>'x f所以函数在[1，]上是减函数；在上是增函数.xkx x f +=)(k )+∞因为，所以.3625≤≤k 65≤≤k（3）当，即，即时，56a a =6655kk +=+30k =. 所以数列的最小项为12345567,a a a a a a a a >>>>=<< }{n a .11630665=+==a a （4）当且时，且，则，65a a <5>k 6655kk +<+25>k 3025<<k . 所以数列的最小项为.12345567,a a a a a a a a >>>>><< }{n a 555ka +=（5）当时，且，则，665<>k a a 且6655kk +>+36k <3630<<k .<<>>>>>76654321,a a a a a a a a 所以数列的最小项为.}{n a 666k a +=综上所述：当时，数列的最小项为=10；当时，数列的最小项为25k =}{n a 5a 3025<<k }{n a ；当时，数列的最小项为=11；当时，数列的最小项为555ka +=30k =}{n a 56a a =3036k <<}{n a ；当时，数列的最小项为.666ka +=36k =}{n a 612a =【点评】（1）利用导数求数列的最值，不能直接求，必须先构造数列对应的函数，因为数列是离散型函数，不可导.（2）注意数列对应的函数的单调性和数列本身的单调性是有区别的，有人认为“数列对应的函数在上单调递增，在上单调递减，则数列在最靠近的地方取得最大值”.如下图所),0(a ),(+∞a a x =示，数列对应的连续函数在上单调递增，在上单调递减，但是数列并不是在最靠近),0(a ),(+∞a 处取得最大值，而是在处取得最大值（其中.所以可知当数列对应的c x a x ==的b x =)0,,>∈*a N c b 函数在上单调递增，在上单调递减，则数列不一定在最靠近的地方取得最大值，必须),0(a ),(+∞a a x =把附近的整数值代进去比较，才可以判断谁是最大值.所以一般不利用导数求数列的最值.a x =【反馈检测5】求数列的最大项与最小项.}{nn n a =方法六夹逼法使用情景二项展开式中研究最值问题.解题步骤利用数列离散的特点，考察或，然后判断数列的最值情况.⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a ⎩⎨⎧≤≤-+11k k k k a a a a }{n a 【例8】已知二项式．122nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．【点评】利用数列离散的特点，考察或，然后判断数列的最值情况.（1）、⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a ⎩⎨⎧≤≤-+11k k k k a a a a }{n a 若数列中的最大项为，则；（2）、若数列中的最小项为，则.注意：}{n a k a ⎩⎨⎧≥≥-+11k kk k a a a a }{n a k a ⎩⎨⎧≤≤-+11k k k k a a a a 这只是为数列最值的必要不充分条件，不是充要条件，若k 不止一解时，需要代入检验. 学.科.网k a 【反馈检测6】已知nx x 223)(+的展开式的系数和比nx )13(-的展开式的系数和大992，求nx x 2)12(-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第40讲：数列最值的求法参考答案【反馈检测1答案】（1）（-,-3）；（2）当时，最大.2476n =n S解法二：由题意可得：=+=+=n S 1na (1)2n n d -(122)n d -22n n d -25(12)22d n d n +-显然, 是关于自变量的二次函数，0d ≠n S n 由（1）知：,0d <二次函数的图像抛物线的对称轴为,5122n d =-由（1）知：，2437d -<<-所以6<<,5122d -132又因为,n *N ∈故当时，最大，即最大.6n =n S 6s【反馈检测2答案】225-因此等差数列{}的公差大于0.n a ==,解得=2.1a 1s 2112)8a +（1a 所以,则.42n a n =-1302312n n b a n =-=-即数列{}也为等差数列且公差为2.n b 由，解得，23102(1)310{n n -≤+-≥293122n ≤≤因为，所以,n *N ∈15n =故{}的前15项为负值，n b 因此最小，15s 可知=-29，=2,1b d 所以数列 {}的前项和的最小值为n b n ==-225.15s 1529215312-+⨯-（）【反馈检测3答案】（1）；（2）的最小值是；（3）见解析.n a n =)(n f 1(1)2f =【反馈检测3详细解析】（1）由点P 在直线上，即，),(1+n n a a 01=+-y x 11=-+n n a a 且，数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，11=a n a 1(1)1n a n n =+-⋅=∴n a n =（2）nn n n f 212111)(+++++=11111(1)2342122f n n n n n n +=++++++++++ 111111(1)()021********f n f n n n n n n n +-=+->+-=++++++所以是单调递增，故的最小值是 )(n f )(n f 1(1)2f =()()()()123111*********n S S S S n n n n n n -∴++++=-⋅+-⋅+-⋅++--⋅⎡⎤⎣⎦- ()1111111111231231n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++--=++++- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.()1n n nS n n S =-=-(,2)n N n *∈≥【反馈检测4答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）从第三年开始盈()2480196f n n n =-+-n *∈N 利；（Ⅲ）采用方案一合算．【反馈检测4详细解析】（Ⅰ）．2(1)()100196[248]480196()2n n f n n n n n n N *-=--+=-+-∈（Ⅱ）由得：即，解得，由()0f n >24801960n n -+->220490n n -+<1010n <<+知，，即从第三年开始盈利n N *∈317n ≤≤（Ⅲ）方案①：年平均盈利为，则，当且仅当()f n n()494(8048024f n n n n =-++≤-⋅+=，即时，年平均利润最大，共盈利24×7＋52＝220万元．49n n=7n =方案②：，当时，取得最大值204，即经过10年盈利总额最大，共计盈2()4(10)204f n n =--+10n =利204＋16＝220万元两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．【反馈检测5答案】学.科.网31{} 1.n a a a ==【反馈检测6答案】（1）8064)1()2(555106-=-⋅⋅=x x C T ；（2）437310415360)1()2(x x x C T -=-=。