2018年上海市高三数学竞赛试题

2018年上海市高三数学竞赛试题

2018年上海市高三数学竞赛试题

时间：2小时，满分：120分 姓名

一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）

1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是 ．

2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x = ．

3．已知椭圆2222

1(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ?面积的最大值为 ．

4．设集合111111{,,,,,}2711131532A =的非空子集为1263

,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i =（单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++= ．

5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ．

6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -= ．

7．在三棱锥P ABC -中，已知3,1,2AB AC PB PC ====则22ABC PBC S S ??+的取值范围是 ．

8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为2

1(,)4k k k

A a a ，半径为2

1

(1,2,,2018)4k a k =，这里12201812018a

a a >>>=，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k =，则1

a = ．

11．设,,,

a b c d是实数，求

2222

+++++++++++++的最小值．

a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d

12．设n为给定的正整数，考虑平面直角坐标系xoy

中的点集{(,),,}

==≤∈对T中的两点,P Q，当

T x y x y n x y Z

且仅当2

PQ=PQ与两条坐标轴之一平行时，称

,P Q是“相邻的”，将T中的每个点染上红、蓝、绿三种颜色之一，要求任意两个相邻点被染不同的颜色，求染色方式的数目．