探索四边形的重心
【初中数学】初中数学知识点：重心
【初中数学】初中数学知识点：重心重心定义：物体的重心与物体的形状有关，规则图形的重心就是它的几何中心。
如：线段，平行四边形，三角形，正多边形等等。
其它图形重心：注：下面的几何体都是均匀的，线段指细棒，平面图形指薄板。
三角形的重心就是三边中线的交点。
线段的重心就是线段的中点。
平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边中点连线的交点。
平行六面体的重心就是其四条对角线的交点，也是六对对棱中点连线的交点，也是四对对面重心连线的交点。
圆的重心就是圆心，球的重心就是球心。
锥体的重心是顶点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个。
四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点，也是每条棱与对棱中点确定平面的交点。
正多边形的重心是其对称轴的交点。
由物理方法，我们可以找出任意四边形的重心。
三角形重心：重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理证明。
三角形重心性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系??横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3。
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6.(莱布尼兹公式)三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG2=(AP2+BP2+CP2)-1/3(AB2+BC2+CA2)。
7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP+AC/AQ=3。
8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB2+BC2+CA2)为半径的圆周上。
三角形“五心歌”三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混。
《重心》教案1(人教新课标八年级下)
活动四：探究三角形的重心（让学生自己动手按活动三的方法做，找出三角形的重心）
小结：三角形的重心在三角形三条边的中线的交点上.
活动五：让学按照刚才的方法寻找任意四边形的重心的位置.
第二步课堂小结：
通过课题学习，你能得到什么结论呢？在哪些体会呢？
课后反思：
学!优?中≌考)，网
重点
通过课题学习的任务、目的、结论等环节，培养学生探究能力和创新意识.
难
教学设计与师生互动
第一步：新课讲解
活动一：向学生简略介绍物体重力的产生和重心的含义.
活动二：探究小木条的重心.
结论：重心在小木条所在线段的中点上.
活动三：用带线的重锤与平行四边形及特殊的平行四边形有同一顶点挂起来，找到重力的作用线，这样做二次，得到二条重力作用线的交点，即为平行四边形的重心.
19.4课题学习重心
教学目标
知识与技能
通过寻找几何图形的重心的数学活动，经历探究物体与图形的重心的过程，了解规则几何图形的重心就是它的几何中心.
过程与方法
在探索线段、特殊平行四边形、三角形、任意多边形的重心活动等过程，让学生经历观察、实验、猜想等过程，发展几何直觉
情感态度与价值观
了解重心的物理意义，体会数学与物理之间的联系，能用实验方法寻找任意多边形的重心.
四边形中点四边形规律总结
四边形中点四边形规律总结四边形中点四边形规律总结介绍四边形中点四边形是指一个四边形的对角线的中点连成的四边形。
这种四边形有一些特殊的性质和规律，本文将对其进行全面总结。
性质一：对角线互相平分从一个四边形的任意两个相邻顶点出发，可以画出两条对角线。
这两条对角线在交点处将四边形分成了两个三角形。
根据几何学知识可知，这两个三角形是全等的，因此它们的底部也是相等的。
而由于对角线互相平分，所以它们底部各自等于整个四边形底部的一半。
性质二：中心连线互相平分连接一个四边形的相邻顶点和中心，可以得到4条线段。
这些线段都是由相邻顶点和中心构成，因此它们长度相等，并且互相平分。
性质三：对角线交点为重心连接一个四边形的对角线会得到一个交点，即重心。
重心是由每个顶点与其对面顶点之间连线所交于一点而得到的。
在这种情况下，重心将每条连线分成两条长度相等的线段。
性质四：对角线互相垂直对于一个四边形，如果它的对角线互相平分，那么它们必定互相垂直。
这个性质可以通过利用勾股定理证明得出。
规律一：中点四边形面积为原四边形面积的一半由于中点四边形是由对角线中点构成的，因此它的面积是原四边形面积的一半。
这个规律可以通过将原四边形分成两个三角形，然后再将中点四边形分成两个三角形来证明。
规律二：中心连线构成平行四边形连接一个四边形的相邻顶点和中心所得到的4条线段会构成一个平行四边形。
这个规律可以通过利用向量几何来证明得出。
规律三：重心到顶点距离为重心到中心距离的二分之一连接一个四边形的对角线会得到一个交点，即重心。
在这种情况下，重心到每个顶点之间连线距离都等于重心到中心之间连线距离的二分之一。
这个规律可以通过利用向量几何来证明得出。
规律四：对角线互相垂直的条件对于一个四边形，如果它的对角线互相垂直，那么它们必定平分彼此的交点角度。
这个规律可以通过利用正弦定理证明得出。
结论四边形中点四边形有许多特殊的性质和规律，包括对角线互相平分、中心连线互相平分、对角线交点为重心、对角线互相垂直等等。
数学重心知识点总结
数学重心知识点总结`本文将围绕数学中的重心概念展开，讨论其在不同领域的应用以及相关的重要知识点。
`1. 重心的概念重心是物体均匀分布质量时的中心点，也是物体受到重力作用时所受合力的作用点。
在数学中，重心也被用来描述几何图形和空间图形的平衡点或中心位置。
重心的位置可以通过重心定理、积分法、向量法等进行计算。
2. 几何图形的重心在平面几何中，不同形状的图形具有不同的重心计算方法。
常见的几何图形包括三角形、四边形、圆等。
三角形的重心位于三条中线的交点处，可以通过中线长的平方和的三倍的和来确定。
四边形的重心位于对角线的交点处，可以通过对角线的中点来确定。
圆的重心位于圆心的位置，其坐标可以通过圆心坐标来确定。
3. 空间图形的重心在空间几何中，立体图形的重心计算较为复杂。
常见的空间图形包括球体、长方体、圆柱体、圆锥体等。
球体的重心位于球心的位置，可以通过球心坐标来确定。
长方体的重心位于中心位置，可以通过长方体的对称性来确定。
其他复杂的空间图形的重心计算通常需要利用积分法或向量法来进行。
4. 重心在力学中的应用重心在力学中具有重要的应用价值。
对于刚体平衡问题，重心是刚体平衡的关键要素。
当刚体受到外力作用时，重心位置的改变会影响刚体的平衡状态。
在飞行器、汽车、船舶等工程领域，重心的位置设计对于整个系统的稳定性至关重要。
5. 重心在航空航天工程中的应用在航空航天工程中，对于飞行器的设计和控制来说，重心的位置是至关重要的。
飞行器的重心位置直接影响其飞行动力学性能和操纵稳定性。
一般来说，飞行器的重心位置应该在飞行器整体几何形状的中心位置，以确保其飞行稳定性和操纵性能。
6. 重心在建筑工程中的应用在建筑工程中，重心的位置也是一个重要考虑因素。
建筑物的重心位置对其整体结构的稳定性和安全性有着直接影响。
在建筑设计中，需要考虑建筑物整体结构的重心位置，以确保建筑物能够承受外部引力和自重的作用，并保持稳定。
7. 重心在船舶工程中的应用在船舶工程中，船舶的重心位置直接影响其稳定性和操纵性能。
中点四边形的规律探索
中 点 四 边 形 的 规 律 探 索
罗 国 强
（ 疆 兵 团 农 二 师 ２ ３ 中学 ， 新 ２团 新疆 和 静 ８ １０ ） ４ ３ ８
何 谓 中 点 四边 形 ？依 次 连 接 四边 形 各 边 中点 所 得 的 四边
形 称 为 中 点 四边 形 。 例 题 解 析
一
、
例 １在 北 师 大 版 教 材 《 学 》 年 级 上 册 第 三 章 中有 这 样 ： 数 九 道题 目 ： 意 作一 个 四边 形 ， 将 其 四边 的 中点 依 次 连 接 起 任 并 来 ， 到 一 个 新 的 四边 形 ， 个 新 四边 形 的 形 状 有 什 么 特 征 ？ 得 这 请 证 明你 的结 论 ， 与 同伴 进 行 交 流 。 并 在 做 这 道 题 时 ， 请 学 生 画一 画 、 一 推 、 一 量 、 一 猜 我 推 量 猜
中点 四边 形 是 什 么 四 边形 ？ 思 路 点 拨 ：正 方 形 的对 角 线 既 相 等 又 六 、 学 要 关 注 学科 ， 要 关 注 学 生 教 更
Ｃ
评注 ： 该题 也可连 接Ｂ 通 过证Ｅ ／ Ｇ Ｆ ／ Ｈ， Ｄ， Ｆ／ Ｈ，Ｇ／ Ｅ 或证
Ｅ＝ Ｆ ＧＨ， Ｇ＝ Ｈ，均 可获 得 结 论 。 这 是 对 平 行 四边 形 的 定 义 Ｆ Ｅ
１
图１
图２
Ｂ
解 ： 图 １ 图２ 四边 形Ｅ Ｇ 是 平 行 四边 形 。证 明如 下 ： 如 、 ， Ｆ Ｈ 连 接 ＡＣ． 点Ｅ Ｆ ， 分别 是 边 Ａ Ｂ 的 中点 ， Ｂ， Ｃ
‘ ‘ ． ‘ ． ．
◇
。：
Ｅ ／Ａ ，Ｆ ￣ Ａ Ｆ／ Ｃ Ｅ ＝ Ｃ。
２
多边形内的点
多边形内的点多边形是几何学中的重要概念，它可以定义为由多个线段组成的封闭图形。
而在多边形内部，存在着许多有趣的数学现象。
首先，让我们来看一个简单的三角形。
在三角形内部，有一个特殊的点叫做重心。
重心是三角形内部所有三条中线的交点，它与三角形的三个顶点构成一个特殊的几何关系。
我们可以发现，重心到三角形的三个顶点的距离是相等的，这是一个有趣的性质。
接下来，我们来思考一个更复杂的多边形，比如四边形。
在四边形内部，存在一个特殊的点叫做重心。
它是四边形中所有对角线的交点。
同样地，重心到四边形的四个顶点的距离也是相等的。
这个性质可以用来构造一个平衡器，它可以用来平衡四个不同重量的物体。
除了重心，多边形内部还有一个重要的点叫做质心。
质心是多边形内部所有点的平均值，它在对称性和平衡性方面起着重要作用。
质心具有以下性质：对于任意一个多边形，质心到任意一条边的距离都是相等的。
这个性质可以用来构造一个平衡的力学系统，比如一个悬挂的物体。
另外一个有趣的点是内心。
内心是多边形内部所有角平分线的交点。
对于任意一个多边形，内心到所有边的距离都是相等的。
这个性质可以用来构造一个良好的角度测量系统。
最后一个点是外心。
外心是多边形内部所有边垂直平分线的交点。
对于任意一个多边形，外心到所有顶点的距离都是相等的。
这个性质可以用来构造一个精确的定位系统。
综上所述，多边形内部的点具有许多有趣的数学性质。
重心、质心、内心和外心都是多边形中重要的点，它们在几何学和物理学中起着重要作用。
通过研究和理解多边形内部的点，我们可以发现更多奇妙的数学现象。
这些现象不仅丰富了我们对几何学的认识，也对我们生活中的实际问题有着积极的影响。
四边形重心的定义
四边形重心的定义四边形的重心是四条边线的中点连线的交点。
对于四边形的重心（质心）求解。
质心的定义，Σmi*ri=r*Σmi。
这是对于离散型的质点；对于质量密度均匀的平面，那么就是二重积分∫∫ρ*dxdy*（x，y）=(xG,yG) *∫∫ρ*dxdy，所以，xG=∫∫x*dxdy/∫∫dxdy，yG=∫∫y*dxdy/∫∫dxdy。
先说昨天上一篇过重心G的直线不一定能均分两块面积的问题。
今天想通了，既然两个质量不相等的质点能有一个质心坐标，这就是说明，质心或过质心的直线未必能分成两部分质量相等。
质心坐标或矢量，是与各部分的质量权重因子有关的；只是当两部分面积或质量相等时，权重因子各为1/2,质心恰好是两者的中间位置。
对于一般的四边形，四个顶点不是轮换对称的，这与三角形不一样，所以不能用四点有一个质量为1的小球质点去等效质量均匀的薄木板。
也就是xG=1/4*(xA+xB+xC+xD)并不通用，只有对称图形，比如平行四边形才可以用。
我们得用基本的积分方法，作为简单举例，我们以45°角的平行四边形为例，一是积分简单，而是可以简单验证是不是对称中心就是重心。
设定坐标A（b，b），B(0,0),C(a,0),D(a+b,b)。
我们先用基本的积分方法求面积∫∫dxdy，这里分为3部分，一是y=x直线的积分，y区间是（0，x），x区间是（0，b）；二是矩形部分，y区间是（0，b），x区间是（b，a+b）；第三部分是要减去的y=x-a直线的积分，y区间（0，x-a），x区间（a，a+b）。
即，∫∫dxdy=1/2*b^2+ab-1/2*b^2=ab。
再计算∫∫xdxdy=1/3*b^3+b*1/2*[(a+b)^2-b^2]- ∫(x-a)xdx，中间过程有点复杂，最后化简结果是1/2*ab(a+b)。
这样，我们就能求得重心G的x坐标，xG=1/2*ab(a+b)/(ab)= 1/2*(a+b)。
再计算∫∫ydxdy=∫1/2*x^2*dx+1/2*b^2*a-∫1/2*(x-a)^2*dx=1/2*ab^2；所以，yG=1/2*ab^2/(ab)=1/2*b。
浅谈重心问题——四边形重心的重要性质
． ． ． ． — — ，． ． ． ． ． ． ． ． ． － ． ． ． ． ．． －
定 义 １任 意 四 边 形 Ａ Ａ Ａ 中， Ｇ１ ， Ｇ２ ， Ｇ３ ， Ｇ４ 分 别 为 △Ａ２ ＡＡ ，
心
可 ） ，
＾
＝ （
＋
） ， 由性质 １ 知：
Ａ ３ Ｇ ３ ， １ ＝ ÷ （ Ａ １ ， ＋ Ａ ２ ， ＋ ＇ ） 一 １ （ Ａ Ａ ２ ’ ＋ Ａ Ａ’ ＋ Ａ Ａ’ ）
｝ 。 Ｍ ） ， 一 Ｇ Ａ ２ （ 一 １ ； ， ｙ ２ 一 ｝ ｙ Ｉ ） ＇ 一 Ｇ Ａ ３ （ 一 １ 。 ｘ 一 ｝ ｙ Ｉ ） ＇ （ 一 １ 。 ｘ ”
性质 １ ： 设 四边 形 Ａ Ａ Ａ ， Ａ 的重 心 Ｇ， 则：
＝
＋ 石 ＋ 石 ＋
Ａ １ Ｇ １ ， １ ＝ ÷ （ Ａ ｌ Ａ ２ ’ ＋ Ａ ｌ Ａ ３ ’ ＋ Ａ １ ’ ） 一 １ （ Ａ ＇ ＋ Ａ Ａ’ ＋ Ａ Ａ’ ）
兰溪 ３ ２ １ ｌ ｏ ｏ）
【 中图分类 号】 Ｇ６ ３ ３ ． ６
【 文献标识 码】 Ａ
—
【 文章 编号】 ２ ０ ９ ５ — ３ ０ ８ ９ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ６ — ０ １ ４ ２ — ０ ２
— — —
众 所周 知 ． 三 角形 的 三条 中线共 点 ， 这 点把 三 角形 的每 一 条 １ ＧＧ １ ＝ 一 ÷ Ｇ Ａ ， ＝ １ ， ２ ， ３ ， ４ ， ） 则 ：ＧＧ １ ＋ Ｇ Ｇ ２ ＋ Ｇ Ｇ ３ ＋ ＧＧ ４ ＝ 一 ｝ 中线都 分成 ２ ： １的 两段 ． 且称 这 点 为三 角形的 重 心 。通 过 对重 心 的研 究 ． 我 们 可 以得 到 一 些 关于 三 角形 的 重要 性 质 ． 从 而更 加 清 ＧＡ１ ＋ ＧＡ ２ ＋ＧＡｚ ＋Ｇ ＝＝ ０ 楚 的认识 三 角形 ． 但 是 目前 对 于 － ￣ ￣Ｉ Ｎ 边 形 重 心 问 题 的 深 入 研 究 性质 ２ ： 四边 形对 边 中点连 线 必过 重 心 ， 即： 四边 形 的 重心 为 还是 比较 少的 ． 文献『 １ １ 中给 出 了一般 四 边 形重 心 的 定 义 ， 并给 出 四边 形对 边 中点连 线的 交点 ． 定理 １和 定理 ２ 本 文 对一 般 四 边形 重心 性 质进 行 深入 挖 掘 ． 得 证 明 ： 如 图 ４示 ， 设 Ｍ ， Ｎ， Ｐ， Ｈ 分 别 是 边 Ａ１ Ａ２ ， ， ＡＡ ， 到 一些 重要 性 质 ． 这 些 性质 与 三 角形 中的 性质 非 常 相似 ． 或 许 可 Ａ ， Ａ ３ 的 中点 ， Ｇ 为 四边 形 Ａ Ａ ２ Ａ ， Ａ ４ 的重心， 则： 西 ＝ （ ＋ 以帮助 我们 更加 清 楚地认 识 一般 四 边形 Βιβλιοθήκη ＋ ＋ ＋
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四边形重心的探索
四边形重心的探索是人教版八年级数学第十九章的一节内容，课文中论述了线段，三角形以及一些其他规则平面图形的重心确定方法，多边形重心一般用悬挂法确定其重心。
对于四边形，除此之外，还可用以下方法来确定其重心，方法如下：
如图1，在四边形ABCD 中，先连接它的一条对角线AD ，这个四边形被分成了两个三角形⊿ADC 和⊿ABC ，取AD 中点E ，DC 中点M ，BC 中点N ，连接AM, DE 相交于P, 连接AN,BE 相交于点Q ，连接PQ 相交于点F, 在PQ 上截取QO=PF, 则O 点为四边形ABCD 的重心。
图1
这样作图的依据是：因为M,E,N 都是中点，所以P 和Q 分别是⊿ADC 和⊿ABC 的重心。
，这时可将这两个三角形看作两个质点，如图2，则四边形ABCD 的重心必在PQ 的连
图2
线上，可将连线段视作杠杆，两个三角形的面积视为重量，那么支点就是四边,若O 点为四边形重心，则必有下式成立:：S ⊿ABC ×OQ=S ⊿ADC ×OP 。
因为P,Q 分别是两个三角形的重心，由重心性质可知32==AN AQ AM AP ,所以P Q ∥MN ，由三角形相似得NE QF ME PF =,所以NE
ME QF PF =,由中位线定理MN ∥BD,所以PQ ∥BD,设BD 和AC 相交于T ，所以PF:DT=QF:BT 即PF ：QF=DT ：BT=S ⊿ADC:S ⊿ABC,而S ⊿ADC:S ⊿ABC=OQ:OP,故只须PF:QF=OQ:OP 即可。
因为PF+QF=OQ+OP,所以PF=OQ,QF=OP. A
B C D
N M
E P
Q F ·O T
P
Q ·F
·O。