中考一元二次方程的解法归纳总结
初三数学一元二次方程复习与总结江苏科技版
初三数学一元二次方程复习与总结某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程复习与总结学习目标：1. 加深理解一元二次方程的有关概念2. 熟练地应用不同的方法解方程3. 能应用方程的思想和方法解决实际问题4. 体会“降幂法”在解方程中的含义二. 重点、难点：重点：一元二次方程的解法与应用难点：一元二次方程的综合应用课堂教学（一）知识要点（1）本章知识结构（2）中考主要考点①利用一元二次方程的意义解决问题②用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形（换元法）③考查配方法（主要结合函数的顶点式来研究）④一元二次方程的解法⑤一元二次方程根的近似值⑥建立一元二次方程模型解决问题⑦利用根的判别式求方程中的字母系数的值⑧与一元二次方程相关的探索或说理题⑨与其他知识结合，综合解决问题【典型例题】例1. 写出两个一元二次方程，使每个方程都有一个根为0，并且二次项系数都为1 _____________________________________________________解：答案不唯一，例如：x2＝0x2－x＝0例2. 用换元法解方程x 2－2x ＋xx 272-＝8，若设x 2－2x ＝y ，则原方程化为关于y 的整数方程是（ ） A. y 2＋8y －7＝0 B. y 2－8y －7＝0 C. y 2＋8y ＋7＝0D. y 2－8y ＋7＝0解：D 。
换元法的实质是整体思想的应用。
例3. 用配方法解方程：x 2－4x －1＝0解：利用配方法解一元二次方程的一般步骤是移项，二次项系数化为1，两边同时加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式、利用平方的意义求解。
例4.判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）一个解x 的X 围是（ ） A. 3＜x ＜3.23 B. 3.23＜x ＜3.24 C. 3.24＜x ＜3.25 D. 3.25＜x解：一元二次方程根近似值是深层次地理解方程的重要概念，在实际应用中，作用很大。
中考数学专题复习 一元二次方程的解法及应用
解：x2＋2 5x－1＝0，
∵a＝1，b＝2 5，c＝－1，
∴Δ＝(2 5)2－4×1×(－1)＝24＞0.
∴x＝－2
5±2 2
6＝－
5±
6，
即 x1＝－ 5＋ 6，x2＝－ 5－ 6.
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一元二次方程根的判别式
3．(2020 攀枝花)若关于 x 的方程 x2－x－m＝0 没有实数根，则 m 的值
共握了 45 次手，求参加这次会议的有多少人？
解：设参加这次会议的有 x 人，则每人将与(x－1)人握手．
依题意可列方程：
12x(x－1)＝45
.
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命题精讲 解一元二次方程
1．(2020 泰安)将一元二次方程 x2－8x－5＝0 化成(x＋a)2＝b(a，b 为常
数)的形式，则 a，b 的值分别是( A )
∵Δ＝9＋4＝13，
∴x＝－3±2
13 .
∴x1＝－3＋2
13，x2＝－3－2
13 .
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三、一元二次方程根的判别式
Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； Δ＜0⇔方程无实数根； Δ≥0⇔方程有实数根.
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3．一元二次方程 x2＋2x－4＝0 的根的情况为( C ) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
方程的解
x＝－b±
b2－4ac 2a
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2.解一元二次方程： (1)解方程：(x－1)2＝4(直接开平方法)；
解：两边直接开平方，得 x－1＝±2. ∴x－1＝2 或 x－1＝－2. 解得 x1＝3，x2＝－1.
一元二次方程复习知识点梳理
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x＋4）中，不能随便约去x ＋4。
中考数学一元二次方程知识点总结
中考数学一元二次方程知识点总结知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±−=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程中考考点
一元二次方程中考考点
一、基本形式和定义
一元二次方程的基本形式是ax²+bx+c=0（a，b，c 是常数，且a≠0）。
一元二次方程的定义是指只有一个未知数，且未知数的最高次数为2 的整式方程。
二、解法
直接开平方法：对于形如ax²=b（a，b 是常数，a≠0）的方程，可以使用直接开平方法求解。
方程两边同时开平方，即可得到x 的值。
因式分解法：将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，则两因式中至少有一个为0 的规律，再进一步求解。
公式法：利用求根公式x=（-b±√（b²-4ac）/2a）求解。
求根公式是解决一元二次方程问题的核心，要熟练掌握。
三、根的判别式
根的判别式Δ=b²-4ac，它可以帮助我们判断方程的根的情况。
当Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ
<0 时，方程没有实数根。
四、应用
一元二次方程在中考中多以实际问题的形式出现，如距离、面积、商品定价等问题。
解决这类问题时，需要将实际问题转化为数学问题，再利用数学方法进行求解。
在解题过程中，要充分理解题意，找出等量关系，列出方程并求解。
用公式法一元二次方程的解法(3个知识点9种题型2个易错点3种中考考法)(解析版)-初中数学9年级上册
专题06用公式法一元二次方程的解法（3个知识点9种题型2个易错点3种中考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：求根公式知识点2：用公式法解一元二次方程（重点）知识点3：一元二次方程的判别式（重难点）【方法二】实例探索法题型1：不解方程判断方程根的情况题型2：用公式法解一元二次方程题型3：解系数中有字母的一元二次方程题型4：根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围题型5：利用一元二次方程根的情况讨论分式有无意义的问题题型6：新定义与一元二次方程综合题型7：一元二次方程与一次函数的综合题型8：用公式法解关于一元二次方程的实际应用题型9：利用根的判别式判断三角形的形状【方法三】差异对比法易错点1：根据一元二次方程根的情况，求方程中所含字母的值或取值范围时，忽略二次项系数不为0这一隐含条件易错点2：考虑问题不全面，误认为方程问题就是一元二次方程问题【方法四】仿真实战法考法1：用公式法解一元二次方程考法2：根据根的判别式判断方程根的情况考法3：由一元二次方程根的情况，求参数的值或取值范围【方法五】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：142b x a-+=，2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．知识点2：用公式法解一元二次方程（重点）用公式法解一元二次方程一般步骤1把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）；2确定a 、b 、c 的值；3求出24b ac -的值（或代数式）；4若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．知识点3：一元二次方程的判别式（重难点）1.根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆-．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆->时，方程有两个不相等的实数根；当2=40b ac ∆-=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆-<时，方程没有实数根．2.根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．【方法二】实例探索法题型1：不解方程判断方程根的情况1.不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x --=；（2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +-=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根；（4）方程有两不等实根．【解析】（1）4a =，5b =-，3c =-，24730b ac ∆=-=>，方程有两不等实根；（2）2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=-=-<，方程无实数根；（3）2a =，b =-3c =，240b ac ∆=-=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =-，24410b ac ∆=-=>，方程有两不等实根．2.当m 取何值时，关于x 的方程221(2)104x m x m +-+-=，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？【答案】（1）2m <；（2）2m =；（3）2m >．【解析】对此方程，1a =，2b m =-，2114c m =-，则()22214241484b ac m m m ⎛⎫∆=-=---=-+ ⎪⎝⎭，由此可知，（1）当480m ∆=-+>，即2m <时，方程有两个不相等的实数根；（2）当480m ∆=-+=，即2m =时，方程有两两个相等的实数根；（3）当480m ∆=-+<，即2m >时，方程无实数根．题型2：用公式法解一元二次方程3.用公式法解下列方程：（1）2270x x -+=；（2）211042x x -=．【答案】（1）27,021==x x ；（2）2,021==x x ．【解析】（1）0,7,2==-=c b a ，则4942=-ac b ，则477-±-=x ，∴27,021==x x ；（2）0,21,41=-==c b a ，则4142=-ac b ，则212121±=x ，∴2,021==x x ．4.用公式法解下列方程：（1）2320x x +-=；（2）25610x x -++=．【答案】（1）12x x ==；（2）1231431455x x -==，．【解析】（1）132a b c ===-，，，则1742=-ac b ，则2173±-=x ，∴123322x x -+-==，；（2）561a b c =-==，，，则5642=-ac b ，则101426-±-=x ，∴1231431455x x +-==．5.用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．【答案】（1）122222x x -+-==；（2）123322x x ==-，．【解析】（1）方程可化为：05422=-+x x ，245a b c ===-，，，则5642=-ac b ，则41424±-=x ，∴1221421422x x ---==，；（2）方程可化为：2490x -=，则123322x x ==-，．6.用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=．【答案】（1）12x x ==；（2）12122x x ==-，．【解析】（1）方程可化为2224130x x +-=，13,24,2-===c b a ，则68042=-ac b ，则4170224±-=x ，∴12121701217022x x -+--==，（2）两边同时乘以10，方程可化为02322=--x x ，2,3,2-=-==c b a ，则2542=-ac b ，则453±=x ，∴12122x x ==-，．7.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-．【答案】（1）1233x x ==；（2）12x x ==-．【解析】（1）1,66,9=-==c b a ，则18042=-ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12656533x x ==，；（2）22,34,2-===c b a ，则6442=-ac b ，则22834±-=x ，∴原方程的解为：12x x =+=-．题型3：解系数中有字母的一元二次方程8.用配方法解下列关于x 的方程：220ax x ++=（0a ≠）．【解析】220ax x ++=（0a ≠），则22-=+x ax ，整理得：ax a x 212-=+，配方可得：22248141221a a a a a x -=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，当81≤a 时，a a x 21811--=，a a x 21812---=，当81>a 时，方程无实数根．9.用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）2100.1a x a -=．【解析】（1）∵cb 42+=∆，∴当042≥+c b 时，2421c b b x ++=，2422cb b x +-=；当042<+c b 时，原方程无实数根；（2）原方程可化为：22100x a --=，∵2222400a b a ∆=+≥，∴原方程的解为：12x a =，22x =．题型4：根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围10．（2023•罗山县三模）若关于x 的方程x 2+2x ＝c 无实数根，则c 的值可以是（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1【解答】解：原方程可化为x 2+2x ﹣c ＝0，∵关于x 的方程x 2+2x ﹣c ＝0没有实数根，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣c ）＜0，解得：c ＜﹣1，∵﹣2＜﹣1，﹣1＝﹣1，0＞﹣1，1＞﹣1，∴k 只能为﹣2，故选：A ．13.已知关于x 的方程()21230m x mx m +++-=总有实数根，求m 的取值范围．【答案】32m ≥-．【解析】（1）当10m +=，即1m =-时，方程为一元一次方程240x --=，方程有实根；（2）当10m +≠，即1m ≠-时，方程为一元二次方程，其中1a m =+，2b m =，3c m =-，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=-=-+-=+≥，可解得32m ≥-且1m ≠-；综上所述，m 的取值范围为32m ≥-．∴方程220x x m -+=无解，∴440m ∆=-<，解得：1m >，题型6：新定义与一元二次方程综合15．（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a 、b 、c 、d 有[a ，b ]*[c ，d ]＝ac ﹣bd ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；（2）已知关于x 的方程[x ，2x ﹣1]*[mx +1，m ]＝0有两个实数根，求m 的取值范围．【解答】解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝﹣4×2﹣3×（﹣6）＝10；（2）根据题意得x （mx +1）﹣m （2x ﹣1）＝0，整理得mx 2+（1﹣2m ）x +m ＝0，∵关于x 的方程[x ，2x ﹣1]*[mx +1，m ]＝0有两个实数根，∴Δ＝（1﹣2m ）2﹣4m •m ≥0且m ≠0，解得m且m ≠0．．．．．【答案】B20.某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为了减少库存量，且在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？【答案】60元．【解析】设这种衬衫每件涨价x元．则根据题意可得：()()8000+x-x，500104050=-整理可得：0300402=+-x x ，解得：101=x ，302=x ．当101=x 时，50010400x -=；当302=x 时，50010200x -=．因为要减少库存量，所以售价应定为每件50+10=60元．【总结】本题中主要考查对减少库存的理解．题型9：利用根的判别式判断三角形的形状21．（2022•天津模拟）已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2﹣2bx ﹣a +c ＝0，其中a ，b ，c 为△ABC 的三边．（1）若x ＝1是方程的根，判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC 的形状，并说明理由．【解答】解：（1）把x ＝1代入方程得，a +c ﹣2b ﹣a +c ＝0，化简得c ＝b ，则该三角形△ABC 的形状为等腰三角形．（2）由题意可得方程有两个相等的实数根，则方程（a +c ）x 2﹣2bx ﹣a +c ＝0的判别式，Δ＝（﹣2b ）2﹣4a ×（a +c ）（﹣a +c ）＝0，4b 2﹣4×（c 2﹣a 2）＝0，化简可得b 2+a 2＝c 2，则该三角形△ABC 的形状为直角三角形．【方法三】差异对比法易错点1：根据一元二次方程根的情况，求方程中所含字母的值或取值范围时，忽略二次项系数不为0这一隐含条件【方法四】仿真实战法考法：用公式法解一元二次方程26．（2021•无锡）（解方程：2x（x﹣2）＝1；【分析】方程整理后，利用公式法求出解即可；【解答】解：方程整理得：2x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝16+8＝24＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝；27．（2020•无锡）解方程：x2+x﹣1＝0；【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式求方程的解；【解答】解：（1）∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；考法2：根据根的判别式判断方程根的情况28．（2023•河南）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．29．（2023•滨州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能判定【解答】解：由题意得，Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．30．（2023•广元）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝，∴b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，∴方程没有实数根．故选：C．31．（2023•内江）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x 的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根．故选：A．32．（2023•广安）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【解答】解：∵点P（a，c）在第四象限，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．故选：A．33．（2023•泸州）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．实数根的个数与实数a的取值有关【解答】解：∵Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣1）＝4a2﹣4a2+4＝4＞0．∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：C．考法3：由一元二次方程根的情况，求参数的值或取值范围34．（2023•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣9B．C．D．9【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0，解得m＝．故选：C．35．（2023•兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，∴b2﹣2（1+2c）＝b2﹣4c﹣2＝0﹣2＝﹣2．故选：A．36．（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，解得：m≤1且m≠0，故选：D．37．（2023•眉山）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．B．m＞3C．m≤3D．m＜3【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0，解得：m＜3．故选：D．38．（2023•辽宁）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，解得：k＜9，故答案为：k＜9．39．（2023•宁夏）方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2+4m＝0，解得m＝﹣4，即m的值为﹣4．故答案为：﹣4．40．（2023•泰安）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣a ＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣a ）＞0，解得a ＞﹣4．故答案为：a ＞﹣4．【方法五】成功评定法一、单选题1．用公式法解方程25680x x +-=时，a ，b ，c 的值分别为（）A ．5，6，8B ．5，6-，8-C ．5，6-，8D ．5，6，8-【答案】D【详解】解：方程化为一般式得25680x x +-=，所以568a b c ===-，，．2．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）关于x 的一元二次方程()23410a x x -+-=有实数根，则实数a 满足（）A ．1a ≥-且3a ≠B ．1a ≤-C ．1a >-且3a ≠D ．1a <-【答案】A【详解】解：∵方程()23410a x x -+-=是一元二次方程，∴30a -≠，∴3a ≠，∵关于x 的一元二次方程()23410a x x -+-=有实数根，∴()24430a ∆=+-≥∴440a -≥，∴1a ≥,∴实数a 的取值范围是1a ≥且3a ≠，3．一元二次方程220(0)x x c c ++=<根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】A二、填空题三、解答题(1)尺规作图：在图中分别作线段保留作图痕迹）(2)当2CE AE =时，求（1）中所作的线段【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴390AB BC B ==∠=︒，，设AE x =，则2CE x =，BE 在Rt EBC 中，由勾股定理得∴()222433x x =+-，∴2260x x +-=，解得71x =-或71x =--∴71AE =-，24．（2022秋·上海·八年级期末）如图，在点，点E 是边AC 上一个动点，作线段(1)当点E 与点C 重合时，求ME 的长；(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当MN 经过△ABC 一边中点时，请直接写出ME 的长．【答案】(1)2ME =(2)(26120y x x x =-+≤≤(3)3ME =或3ME =(1)连接MD ，∵AB =43，BC =2∵MN 垂直平分ED ∴ME =MD =y ，∵∠A =30︒∴MF =2x ，∴12CN BN BC ==(1)点B的坐标为，直线AB的表达式为．(2)点C在y轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点(3)当点C在y轴上移动时，点P也随之运动，探究点关系式表达出来；△AOB 为等边三角形，OA =2OB OA ∴==，1OD =，223BD OB OD ∴=-=，即()1,3B -.设直线AB 的解析式为：y mx =()(1)求点C 的坐标；(2)连接AD ，在直线CD 上是否存在点E ，使得2EAC DAC S S = ．若存在，求出点明理由；(3)如图2，已知()7.5,0G -，()1,0H ，过B 作BF x ∥轴且 3.5BF =；若点G 沿度运动，同时，F 点沿FB 方向以每秒1个单位长度运动经过t 秒的运动，G 接F H '、F G ''．问：F G ''能否平分FF H '∠？若能，请直接写出t 的值；若不能，请说明理由．（3）过点H 作HN FB ⊥∵BF x ∥轴FF G F G H ''''∴∠=∠∵F G ''平分FF H '∠∴FF G G F H''''∠=∠∴''''HG F HF G ∠=∠，∴G H F H''=()()()7.5,0,1,0,0,2G H B -- ()17.58.5GH ∴=--=8.52G H t'∴=-3.5BF = 3.5BF t'∴=-4.5F N t'∴=-2HN = ，∴()()2222F N HN HF HG +=='''()()2222 4.58.52t t ∴+-=-解得：12163,3t t ==（舍去）t ．∴能，3。
专题08 一元二次方程
备战中考系列第二篇方程与不等式专题08一元二次方程 解读考点考点归纳归纳 1：一元二次的有关概念 基础知识归纳： 1. 一元二次方程：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一般形式:ax 2+bx +c =0(其中a 、b 、c 为常数，a ≠0)，其中ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a 、b 分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有1个未知数；(3)所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a =0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x =﹣2是关于x 的一元二次方程225x ax a 02-+=的一个根，则a 的值为( ) A . 1或4 B . ﹣1或﹣4 C . ﹣1或4 D . 1或﹣4【答案】B【解析】【考点】一元二次方程的解和解一元二次方程．归纳 2：一元一次方程的解法基础知识归纳：一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根．2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．基本方法归纳：(1)若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;(2)若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;(3)若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解;(4)若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．注意问题归纳：用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．【例2】用配方法解关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0．【答案】【解析】应用配方法解一元二次方程，要把左边配成完全平方式，右边化为常数．【考点】解一元二次方程-配方法．归纳3：一元二次方程的根的判别式基础知识归纳：一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程20++=(a≠0)：ax bx c(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个的实数根；(3)b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．基本方法归纳：若只是判断方程解得情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．注意问题归纳：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．【例3】下列方程没有实数根的是( )A．x2＋4x＝10B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0D．(x－2)(x－3)＝12【答案】C【解析】A、方程变形为：x2+4x-10=0，△=42-4×1×(-10)=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A 选项不符合题意；B、△=82-4×3×(-3)=100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；C、△=(-2)2-4×1×3=-8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；D、方程变形为：x2-5x-6=0，△=52-4×1×(-6)=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．【考点】根的判别式．归纳4：根与系数的关系基础知识归纳：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝ba，x1x2＝ca．基本方法归纳：一元二次方程问题中，出现方程的解得和与积时常运用根与系数的关系．注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a≠0．【例4】若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则α2+β2=( )A. -8B. 32C. 16D. 40【答案】C【解析】【考点】根与系数的关系．归纳5：一元二次方程的应用基础知识归纳：1、一元二次方程的应用1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：(1)增长率等量关系:A.增长率＝×100%；B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n=b．(2)利润等量关系:A.利润＝售价-成本；B.利润率＝利润成本×100%．(3)面积问题3、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例5】如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草。
中考总复习数学第3节 一元二次方程及其应用
边的长是方程 x2－8x＋12＝0 的解，则这个三角形的周
长是 17 ．
3. (2020·无锡)解方程：x2＋x－1＝0.
解：x1＝－1＋2
5，x2＝－1－2
5 .
4. (2020·荆州)阅读下列“问题”与“提示”后，将 解方程的过程补充完整，求出 x 的值．
【问题】解方程：x2＋2x＋4 x2＋2x－5＝0. 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设 x2＋2x＝t(t≥0)，则有 x2＋2x＝t2， 原方程可化为：t2＋4t－5＝0. 【续解】
－4ac ＞ 0.即可得到关于 a 的不等式，从而求得 a 的 范围．(2)将 x＝1 代入方程 x2＋2x＋a－2＝0 得到 a
的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【自主作答】(1)b2－4ac＝22－4×1×(a－2)＝12－ 4a＞0，解得 a＜3.
(2)设方程的另一根为 x1，由解的定义及根与系数的 1＋2＋a－2＝0， a＝－1，
关系，得 1×x1＝a－2， 解得 x1＝－3，则 a 的值是 －1，该方程的另一根为－3.
类型3：一元二次方程的应用 ►例3沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产 企业在两年内的销售额从 20 万元增加到 80 万元．设这 两年的销售额的年平均增长率为 x，根据题意可列方程为 () A．20(1＋2x)＝80 B．2×20(1＋x)＝80 C．20(1＋x2)＝80 D．20(1＋x)2＝80
数学 中考总复习
第3节 一元二次方程及其应用
类型1：一元二次方程的解法 ►例1分别用两种不同的方法解下列一元二次方程： (1)x2＋6x＝1； (2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0.
分析：公式法是解一元二次方程通用的方法，在运
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中考复习10 一元二次方程的解法
知识考点：
理解一元二次方程的概念及根的意义，掌握一元二次方程的基本解法，重点是配方法和公式法，并能根据方程特点，熟练地解一元二次方程。
精典例题：
【例1】分别用公式法和配方法解方程：2322=-x x
分析：用公式法的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。
用配方法的关键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方。
用公式法解：
解：化方程为标准形式得：02322=--x x
∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2 ∴a ac b b x 242-±-=＝2
2)2(24)3()3(2⨯-⨯⨯--±--＝453± ∴1x ＝2，2x ＝2
1-。
用配方法解： 解：化二次项系数为1得：12
32=-x x 两边同时加上一次项系数一半的平方得：22221231212323⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+-x x 配方得：16
25)43(2=
-x 开方得：4
543±=-x 移项得：4
543±=x ∴1x ＝2，2x ＝21-。
【例2】选择适当的方法解下列方程：
（1）28)32(72=-x ； （2）039922
=--y y （3）x x 52122
=+； （4）02)12(3)12(2=++++x x
分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。
（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。
解：（1）∵28)32(72=-x
∴4)32(2=-x
232±=-x
232±=x
∴1x ＝
25，2x ＝21。
（2）∵039922=--y y
∴39922
=-y y 1399122+=+-y y
400)1(2
=-y
201±=-y
201±=y
∴1y ＝21，2y ＝－19。
（3）∵x x 52122=+ ∴015222=+-x x
∵a ＝2，b ＝52-，c ＝1 ∴a ac b b x 242-±-=＝22124)52()52(2⨯⨯⨯--±--＝43252± ∴1x ＝235+，2x ＝2
35-。
（4）∵02)12(3)12(2=++++x x
∴0]2)12[(]1)12[(=++⋅++x x
即0)32)(22(=++x x
022=+x 或032=+x
∴1x ＝－1，2x ＝23-。
【例3】已知06)()(22222=-+-+b a b a ，求22b a +的值。
分析：已知等式可以看作是以22b a +为未知数的一元二次方程，并注意22b a +的值应为非负数。
解：把22b a +看作一个整体，分解因式得：0]2)[(]3)[(2222=++⋅-+b a b a
∴03)(22=-+b a 或02)(22=++b a
∴22b a +＝3或22b a +＝－2
但是22b a +＝－2不符合题意，应舍去。
∴22b a +＝3
探索与创新：
【问题一】解关于x 的方程：02)1(2=+--a ax x a
分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当a ＝1时，是一元一次方程；当a ≠1时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有无实数解作进一步讨论。
解：（1）当a ＝1时，原方程可化为：02=+-a ax ，是一元一次方程，此时方程的根为2
1=x ； （2）当a ≠1时，原方程是一元二次方程。
∵判别式△＝)1(4)2(2---a a a ＝a 4
∴①当a ＜0时，原方程没有实数根；
②当a ＝0时，原方程有两个相等的实数根1x ＝2x ＝0；
③当a ＞0且a ≠1时，原方程有两个不相等的实数根21，x ＝1
-±a a a ； 【问题二】在一个50米长，30米宽的矩形荒地上，要设计一全花坛，并要使花坛所占的面积恰好为荒地面积的一半，试给出你的设计。
略解：设计方案各取所好，若按左图设计，则有：
30502
1)230)(250(⨯⨯=--x x 解得：1x ＝6.05，2x ＝56.95（舍去）
同学们可放开思路，大胆设计。
跟踪训练：
一、填空题：
1、方程x x 52=的根是 ；方程2)1(=+x x 的解是 。
2、设0)2)(1(=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x ＞2x ，则212x x -＝ 。
3、已知关于x 的方程04422=++k kx x 的一个根是－2，那么k ＝ 。
4、++x x 3
42 ＝2________)(+x 二、选择题： 1、用直接开平方法解方程8)3(2=-x ，得方程的根为（ ）
A 、323+=x
B 、223-=x
C 、2231+=x ，2232-=x
D 、3231+=x ，3232-=x
2、在实数范围内把222+
-+x x 分解因式得（ ） A 、2)1)(2(+
-+x x B 、2)1)(2(++-x x C 、)21)(2(-++
x x D 、)21)(2(+--x x 3、方程0232=+-x x 的实数根有（ ）个
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
4、若关于x 的方程5)12()15(2
22-+=-x k x k 有无穷多个解，则（ ）
A 、k ≠－3且k ≠5
B 、k ＝3或k ＝5
C 、k ＝5
D 、k 为任意实数
5、如果α是方程032=+-m x x 的一个根，α-是方程032=-+m x x 的一个根，那么α的值等于（ ）
A 、1或2
B 、0或－3
C 、－1或－2
D 、0或3 问题二图
三、解下列方程：
1、0252
=--x x ；
2、0)52(4)32(922=--+x x
3、061512
=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x ； 4、3)76(2)76(222=---x x x x
四、已知a 、b 是方程055332=-+-x x 的两个正根，c 是方程92=x 的正根，试判断以a 、b 、c 为边的三角形是否存在？并说明理由。
五、已知三角形的两边长分别是方程0232
=+-x x 的两根，第三边的长是方程03522=+-x x 的根，求这个三角形的周长。
六、已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程k k x k x 3)32(2
2+++- 02=+的两个实数根，第三边BC 的长是5。
（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；
（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长。
参考答案
一、填空题：
1、1x ＝0，2x ＝5；1x ＝－2，2x ＝1；
2、0；
3、k ＝4；
4、
94，3
2 二、选择题：CCACD
三、解下列方程： 1、1x ＝31-
，2x ＝2；2、1x ＝219-，2x ＝101；3、1x ＝2
3，2x ＝2 4、1x ＝23，2x ＝31-，3x ＝1，4x ＝6
1 四、不存在，因为c b a =+ 五、这个三角形的周长是2
9。
六、（1）2=k ；（2）3=k 时周长为14；4=k 时周长为16。