第五章_正态分布、常用统计分布和
第五章概率与正态分布
正态分布曲线的特点
• 钟形轴对称曲线，对称轴是随机变量的平均数
。
• 正态分布曲线的位置和形状分别由平均数
和标准差 决定。
• 平均数大小决定图形向左移或右移。 • 标准差大小决定图形的陡峭程度，即纵线的最大
值。
y
0 1
5 1
x
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
图5.3 平均数不等，标准差相等的正态分布示意图
标准正态分布表中各变量的含义
表 5.4 标准正态分布表中各变量的说明
Z 横轴坐标
原始变量（Xi）取值转换后的标准
分数（Zi）
Y 纵轴高度
某一点取值（Zi）所对应的概率密
度（相对频次，Yi）
P （0，Zi）两点间 取值界于区间（0，Zi）的概率
曲线下的面积
• 已知下列Z值，查表求P值。
– （1）Z＝-1与Z＝1之间的概率 – （2）Z＝-2与Z＝2之间的概率 – （3）Z＝-3与Z＝3之间的概率 – （4）Z＝-1.96与Z＝1.96之间的概率 – （5）Z＝-2.58与Z＝2.58之间的概率
• 经验概率 对多次重复相同或相似试验所得到的数据进行分 析，获得事件发生的相对频率，作为对此事件 发生概率的一个估计。
P(A) a,N NFra bibliotek事件的概率
• 先验概率 • 当试验满足:试验中各种可能结果（基本事件）是
有限的，并且每种结果发生的可能性是不变时， 则某事件发生的概率等于该事件包含的基本事件 数除以试验中可能发生的基本事件总件数之商。 • 设N代表可能发生的基本事件总数，K代表事件A 包含的基本事件数，则A事件发生的概率为：
– 例：某公共汽车停车点上乘客候车的时间记为 随机变量Y
社会统计学教学大纲
社会统计学教学大纲课程名称：社会统计学英文名称：social statistics课程编号：12600722j使用专业：社会工作专业总学时数：48学时总学分：3学分大纲撰写人：文法学院社工系马永方内容简介社会统计学是社会学主干课之一，与社会学调查研究方法结合起来，完整地介绍了当代社会调查研究的科学方法和资料处理技术。
社会统计学则侧重介绍资料的收集、整理、分析和推论的处理技术。
从事社会工作研究理论和实践的人都有必要掌握社会统计学这门有用的工具。
本课程共7章。
第一章导论，介绍社会统计学和相关概念，第二章统计资料的搜集，第三章统计资料的整理，第四章到第七章是统计分析。
第四章和第五章是描述统计，第六到第七章是统计推断，第六章概率论是统计推断的基础，统计推断有两个基本内容：假设检验第七章。
一、讲授的主要内容第一章社会学研究和统计分析（2学时）第一节社会学研究的科学性第二节社会调查资料的特点和统计学的运用第二章单变量统计描述分析第一节分布统计表统计图第二节集中趋势测量法第三节离散趋势测量法第三章概率（3学时）第一节基础概率第二节概率分布、均值和方差第四章二项分布及其他离散型随机变量的分布（3学时）第一节二点分布第二节排列与组合第三节二项分布第四节多项分布第五节超几何分布第六节泊松分布第五章正态分布、常用统计分布和极限定理（3学时）第一节什么是正态分布第二节标准正态分布第三节标准正态分布表的使用第四节常用统计分布第五节大数定理和中心极限定理第六章参数估计（4学时）第一节名词解释第二节参数的点估计第四节正态总体的区间估计第五节大样本区间估计第七章假设检验（4学时）第一节统计假设第二节统计检验的基本步骤一、建立假设二、求抽样分布三、选择显著性水平和否定域四、计算检验统计量五、判定第八章单总体假设检验（4学时）第一节大样本假设检验第二节小样本假设检验第九章二总体假设检验第一节引言第二节大样本二总体假设检验第三节小样本二总体假设检验第十章列联表（4学时）第一节什么是列联表第二节列联表的检验第三节列联强度第十一章等级相关（定序变量之间）（4学时）第一节斯皮尔曼等级相关系数第二节Gamma等级相关第三节其他等级相关系数第十二章回归与相关（6学时）第一节回归研究的对象第二节回归直线方程的建立与最小二乘法第三节回归方程的假定与检验第四节相关第五节用回归方程进行预测第十三章方差分析（3学时）第一节引言第二节一元方差分析第三节二元方差分析第四节多元方差分析第十四章非参数检验（4学时）第一节非参数检验第二节符号检验第三节符号秩检验第四节累计频次检验第十五章抽样（4学时）第一节引言第二节抽样调查方法第四节样本容量的确定二、参考书目1. 社会统计学，卢淑华，北京大学出版社，2005年第三版.2.社会统计学，张彦，高等教育出版社，2005年第一版.3.社会统计学导论，周德民、贺翠微，中南大学出版社，2004年第一版.教学大纲说明一、教学目的与课程性质任务本课程属于专业限选课，是社会工作专业课程体系的重要组成部分。
社会统计学 第五章 正态分布
n P ( A) N
（2）古典概率类型
在古典概率类型问题中，所有可能的试验结果是有 限的，即试验的基本事件数是有限的，并且，所有 这些基本事件都是等可能的。 若事件组 A1, A2 , A3 ,, An 满足下面三个条件，则称该事 件为等可能完备事件组。
（1）二项试验
一个二项实验是一个满足如下条件的实验:
实验由确定的试验数所组成; 每个试验只有两个可能的结果,通常称为”成功” 和”失败”; 任一试验的结果独立于任何其他试验结果; 在各次实验中,”成功”的概率和”失败”的概率 都是固定的常数,并且他们的和等于1。
（2）二项实验的概率
1 5 p , q 1 p , n 20, m 7. 6 6
因此,20次中恰好出现7次6点的概率为:
P
7 20
1 7 5 20 -7 C （ ） （ ） 6 6
7 20
二项实验的概率
如果单次试验中,事件成功与失败的概 1 率相等,即 p q 2 则上述二项实验 的概率公式可简化为:
C
m n
Pnm m!
例7：
一条航线上共有十个航空站，请问这条航 线上共有多少种不同的飞机票？ 有四栋大楼将分配给四个单位使用，分配 原则是每个单位只允许分配一栋，请问共 有多少种分配方案？
例8：
抛掷一枚骰子20次,则恰好出现7次“6 点”的概率. 解:这是一个二项实验,依题意,此时
例2：某年级共有学生100名，其中来自广东 省的有25名，来自广西省的有10名，问任抽 一名，来自两广的概率是多少？
医学统计学 常用概率分布-正态分布
N (123.02，4.792)
（2）身高在120~128者占该地8岁男孩总数的百分比；
解析：
58.65%
58.65%
120cm 128cm N (123.02，4.792)
-0.63 1.46 N (0，1)
（3）该地80%男孩的身高集中在哪个范围？
解析：
80%
10%
10%
10% Z1
80%
10% Z2
任意正态分布曲线 X~N(μ,σ2)
标准正态分布曲线 X~N(0,1)
采用定积分的办法，对函数式 (1) 或 (2) 定积分， 算得从 -∞ 到 x累计面积，从而推算出该区间事件发 生的概率值。 .
j(Z )
1 2
Z
e
Z
2
/ 2
dZ
图 6 正态分布(左)及标准正态曲线下(右)的累计面积
1.2 正态概率密度曲线下的面积 1.3 正态分布的应用
1.4 正态分布的判断
一、正态分布的概念
正态分布(normal distribution)
德莫佛最早发现了二项概率
的一个近似公式，这一公式被 认为是正态分布的首次露面。
德莫佛
正态分布在十九世纪前叶由
高斯加以推广，所以通常称为 高斯分布(Gauss distribution)。
单侧临界值：标准正态分布单侧尾部面积等于α 时所对应 的正侧变量值，记作Zα 。
若按左单侧算，则是 97.5% 参考值范围
按左单侧算，是 95% 参考值范围
举例2： 某地调查120名健康成年男性的第一秒肺通 气量得均数 X =4.2(L), 标准差S =0.7(L)，试据此估 计其第一秒肺通气量的95%参考值范围。 解析： 分布近似正态 1. 2. 仅过低为异常 3. 求下界值
第五章-正态分布、常用统计分布和极限定理
的面积， 然后根据1 0.125 0.875查附表4， 对应
Z 1.15,那么录取分数线
x X Z X 74 1.1511 86.65(分)
表5-2
例11：
0Z 图5-11
(1)求Z 1分数以上的概率是多少 ？
解：Z 1时， (Z) 0.34134, Z以上的概率为
（Z） Z
1
t2
e 2 dt
2
(Z 2 ) 图5-8 Z 2
(Z2 Z1)
图5-9Z1 Z 2
例4：已知服从标准正态分布 N(0，1)， 求P( 1.3) ? 解：因为() 1,() P( 1.3) P( 1.3) 所以( 1.3) 1 P( 1.3) 1 (1.3) 1 - 0.9032 0.0968
2
如果把u 0， 1代入(x)
1
e
(
xu)2
2 2
2
(x)
1
x2
e2
2
标准正态分布其实是一般正态分布的一个特 例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(μ，σ2)。
一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态 分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到μ点， 并且以σ为单位记分。
σ=1
0
图5-5
13.6%
13.6%
2.16% 0.11%
3 2 1 图05-6 1
2.16% 0.11%
23
三、标准分的实际意义
例1：甲、乙、丙3个同学《社会统计学》分数 都是80分，甲同学所在班平均成绩μ甲=80分， μ 乙=75分， μ丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、 丙3个同学在班上的成绩。
常见统计分布及其特点
常见统计分布及其特点统计分布是描述数据集合中数据分布情况的一种方法。
统计学中存在着很多常见的统计分布，每个分布都具有其独特的特点和应用领域。
以下是一些常见的统计分布及其特点的介绍。
1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最常见的分布之一，也被称为高斯分布。
它的特点是呈钟形曲线，对称分布，均值和标准差完全决定了其形状。
正态分布有广泛的应用，尤其在自然科学和社会科学中。
2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是指在一系列独立的试验中，每次试验只有两个可能的结果：成功或失败。
每次试验的成功概率由固定的参数p确定。
二项分布的特点是具有两个参数n和p，其中n为试验的次数，p为每次试验的成功概率。
二项分布在生物学、医学、工程等领域中经常被使用。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述单位时间内事件发生的次数的概率分布。
这个分布有一个参数λ，表示单位时间内事件的平均发生率。
泊松分布的特点是时间间隔内事件的数量是不确定的，但平均发生率λ是已知的。
泊松分布在物理学、生物学、通信技术等领域中被广泛应用。
4. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是指在一个有限的区间内，每个数出现的概率相等。
均匀分布的特点是概率密度函数在区间内是常数。
均匀分布在模拟、随机数生成等领域中经常被使用。
5. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布用于描述一个事件发生之间的时间间隔的概率分布。
指数分布的特点是具有一个参数λ，表示事件的平均发生率。
指数分布在可靠性工程、生物学、等领域中被广泛应用。
6. t分布（t Distribution）t分布是用于小样本情况下的假设检验和置信区间估计的重要分布。
与正态分布相比，t分布的尾部更厚，更适合于小样本情况的推断。
t分布在统计学中常用于处理样本容量较小的情况。
7. F分布（F Distribution）F分布是用于分组之间方差的比较的一种分布。
统计学常用分布
统计学常用分布一、引言在统计学中，分布是描述数据变化规律和概率的重要工具。
不同的数据类型和问题背景需要采用不同的分布来描述。
本篇文章将介绍统计学中常用的几种分布，包括正态分布、二项分布与泊松分布、指数分布与对数正态分布、卡方分布与t分布等。
二、正态分布正态分布是最常见的连续概率分布之一，它在自然现象、工程技术和社会科学等领域都有广泛的应用。
正态分布的曲线呈钟形，数据值集中在均值附近，随着远离均值，概率逐渐减小。
正态分布在统计学中具有重要地位，许多统计方法和模型都以正态分布为基础。
三、二项分布与泊松分布1.二项分布：二项分布是用来描述伯努利试验中的随机事件的概率分布，其中每次试验只有两种可能的结果，并且每次试验都是独立的。
二项分布适用于计数数据，尤其在生物实验和可靠性工程等领域有广泛应用。
2.泊松分布：泊松分布是二项分布在伯努利试验次数趋于无穷时的极限形式，常用于描述单位时间内随机事件的次数。
泊松分布在概率论和统计学中具有重要地位，广泛应用于保险、通信和生物医学等领域。
四、指数分布与对数正态分布1.指数分布：指数分布描述的是随机事件之间的独立间隔时间或者随机变量的概率分布。
指数分布常用于描述寿命测试和等待时间等问题，例如电话呼叫的间隔时间和电子元件的寿命等。
2.对数正态分布：对数正态分布在统计学中用于描述那些其自然对数呈正态分布的随机变量。
许多生物学、经济学和社会科学中的数据都服从对数正态分布，例如人的身高、体重以及股票价格等。
五、卡方分布与t分布1.卡方分布：卡方分布在统计学中主要用于描述离散型概率分布。
卡方分布是通过对两个独立的随机变量进行平方和运算得到的，常用于拟合检验和置信区间的计算。
2.t分布：t分布在统计学中广泛应用于样本数据的参数估计和假设检验。
相比于正态分布，t分布在数据量较小或参数偏离正态性时具有更好的稳定性。
t分布在金融、生物医学和可靠性工程等领域有广泛应用。
六、结论在统计学中，不同的数据类型和问题背景需要采用不同的分布来描述。
常见统计分布及其特点
常见统计分布及其特点常见的统计分布有：正态分布、均匀分布、二项分布、泊松分布、指数分布等。
1.正态分布：正态分布又称为高斯分布或钟形曲线分布，是最为常见的一种分布。
正态分布具有以下特点：-均值和中位数相等，分布的对称轴对称；-在均值处取得最大值，随着离均值的距离增大，分布的概率逐渐减小；-标准差决定了曲线的宽窄，标准差越大，曲线越宽；-68%的数据落在均值的一个标准差范围内，95%的数据落在均值的两个标准差范围内，99.7%的数据落在均值的三个标准差范围内。
2.均匀分布：均匀分布又称为矩形分布，是最简单的分布之一、均匀分布具有以下特点：-在一个有限的区间内，所有取值的概率相等；-分布曲线呈矩形，具有等宽；-在整个区间上积分等于13.二项分布：二项分布描述了在n次独立的重复实验中，成功的次数的分布情况。
二项分布具有以下特点：-每次实验只有两个可能的结果，成功或失败；-实验之间是独立的；-成功的概率和失败的概率保持不变；-成功的次数符合二项分布。
4.泊松分布：泊松分布描述了一个时间段或区域内随机事件发生的次数的分布情况。
泊松分布具有以下特点：-事件在一个固定时间段或区域内按独立的随机过程发生；-事件在一个极短时间段内发生的概率极低，即发生频率很低；-事件的平均发生次数相对较低。
5.指数分布：指数分布描述了连续发生独立随机事件的时间间隔的分布情况。
指数分布具有以下特点：-事件的发生时间间隔是独立的，事件间的时间间隔符合指数分布；-时间间隔的概率密度递减；-指数分布在实际应用中常用于描述等待时间、生命周期等。
这些统计分布常用于描述和分析随机事件的分布情况。
在实际应用中，我们可以根据样本数据的特点，选择合适的统计分布进行建模和分析。
在统计学中，概率分布函数可以帮助我们理解随机事件的分布规律，有助于对数据进行建模、预测和推断。
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如果在相同条件下对总体X进行n次重复的独立 观测，那么可以认为所获得的样本x1、x2…xn 是独立的，并且服从相同分布的随机变量。
如：当我们把一个长度为μ的物体测量了n次， 获得样本x1、x2…xn之后，要计算其算术平均 数作为μ的估计，其平均数就是对样本进行处 理后得到的一个统计量。样本均值、样本方差 是几个主要的统计量。
xn， 当它们的平均值
i 1
n
为一定的情况下 ， 实际
只有n 1个xi可以自由取值 ， 所以自由度为 n 1。
x2分布的特点
⑴随着自由度增加，图形渐趋对称；
⑵x2具有可加性。设ξ~x2(k1)、η~x2(k2)，且ξ与
η相互独立，则ξ+η= x2(k1+k2)，即
标准正态分布表是根据概率密度，用积分计算 Z取不同值时正态分布曲线下的面积。
有的从Z=-∞开始，Z逐渐增加，表中所列是某 个Z分数以下的累积概率；
有的从Z=0开始，Z逐渐变化，计算从Z=0到某 一定值之间的概率，因为正态分布对称，且对 称轴为μ=0，所以当Z<0与Z>0时相应的Z分数 概率值相等。
任意两点[Z1，Z2]之间的面积就是(Z2 Z1)
P(x x x x )
(x) lim
2
2
x0
x
分布密度曲线的特征：
1.正态分布曲线是单峰，有一个最高点； 2.分布曲线有一个对称轴x=μ； 3.分布曲线以横轴为渐近线。 中位值、中值、均值三者重叠。
正态分布的概率密度表达式为： (x)
1
e
(
xu)2 2 2
三大分布：x2分布、t分布和F分布
（一）x2分布
设随机变量 1、 2 n相互独立， 且都服从标准正态分布 ，
则它们的平方和 2
12
自由度为 k的 2
分布， 记作 2 (k)。
自由度即随机变量可以 自由取值的数目 ， 如有n个数x1、
n
xi
x2
2
1.曲线在x=μ处达到最高值，并且以x=μ对称。
μ1
μ2
图5-2
2.在μ不变的情况下，ơ越小，
图形越尖锐，反之则低阔。
μ3
Ơ=0.5
Ơ=1 Ơ=2
图5-3
参数μ和ơ代表的意义
E( ) x(x)dx u,即E( ) u(数学期望)
D( ) (x u)2(x)dx 2 ,即D( ) 2 (方差)
1
e
(
xu)2
2 2
2
(x)
1
x2
e2
2
标准正态分布其实是一般正态分布的一个特 例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(μ，σ2)。
一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态 分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到μ点， 并且以σ为单位记分。
σ=1
0
图5-5
（一）正态分布与标准正态分布的特点对比
2.P(u 2 u 2 ) (x)dx 0.9545 u 2
u 3
3.P(u 3 u 3 ) (x)dx 0.9973 u 3
P( ) (x)dx 1
34.13% 34.13%
(Z1) 图5-7 Z1
(Z 2 ) 图5-8 Z 2
(Z2 Z1)
图5-9Z1 Z 2
例4：已知服从标准正态分布 N(0，1)， 求P( 1.3) ?
解： 因为() 1,() P( 1.3) P( 1.3) 1 所以( 1.3) 1 P( 1.3) 1(1.3) 0.0968
T甲=0.25×10+50=52.5；T乙=0×10+50=50
标准分数的大小和正负可以反映某一个考生在全体 考分中所处的地位，如甲生英语分数为Z=-0.44之 上有67%的考生；乙生Z= 0.25之上有40.13%的考 生，通过每个考生在总体中的位置比较优劣，所以 称为相对分数。
三、标准正态分布表的使用
例9：某次测验分数是正态分 布， 其平均分X 72， 标准分 X 6,问在平均数上下多少分 中间包括95%的学生？
解： 将0.95 2 0.475作为正态曲线下平均数 以上的面积， 查附表4， 找与(Z ) 0.5 0.475 0.975所对应的Z 1.96, 根据Z X X 移项得， 平均数以上的分数是
例8：已知服从标准正态分布 ， 求满足P( ) 0.05 中的值。
解：P ( ) P( ) P( ) 2P( )
2[1()] 0.05
1() 0.05 ;() 1 0.05 0.975
2
2
1.96
0.5 0.34134 0.15866
那么Z 1以下的概率呢？
(Z) 0.5 0.34134 0.15866
(2)两个Z分数之间的概率
P(1 2) (2) (1) 0.47725 0.34134 0.13595 那么Z 1之间的概率呢？
P(1 1) (1) (1) 0.34134 0.34134 0.68268
当x u 时，Z x u u u 1,
当x u 时，Z x u u u 1
则有
u
P(u u ) (x)dx 0.6827 u 1
P(1 1) (Z )dZ 0.6827 1
P(3 3) (Z )dZ 0.9973 3
34.13%
34.13%
13.6%
13.6%
2.16% 0.11%
3 2 1 图05-6 1
2.16% 0.11%
23
（三）标准分的实际意义
例1：甲、乙、丙3个同学《社会统计学》分数都 是80分，甲同学所在班平均成绩μ甲=80分， μ乙 =75分， μ丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、 丙3个同学在班上的成绩。
首先将录取率 200/1600 0.125作为正态分布上端
的面积， 然后根据1 0.125 0.875查附表4， 对应
Z 1.15, 那么录取分数线
x X Z X 74 1.1511 86.65(分)
表5-2
0Z 图5-11
(1)求Z分数以上的概率是多少 ？
解：Z 1时， (Z) 0.34134, Z以上的概率为
正态曲线下每一小块面积就是随机变量 在该小
块取值xi 所出现的概率，曲线下的整个面积由无
数个小直方形拼成。
每小块面积
长 宽 (xi )xi
P( xi
xi 2
xi
xi ) 2
曲线下任意两点x1 x2的概率，就是对从 x1到 x2 的
所有小块面积进行累加，即
x2
成绩相等，但政治的平均分是70分，δ=20，而物理
的平均分是50分，δ=40。
总成绩甲
Zi
xi ui 70 70 60 50 0.25
i
20
40
总成绩乙
Zi
xi ui 60 70 70 50 0
i
20
40
为了使标准分Z值变成形式上的原始分数，一般将Z 值乘以10，加上50，就变成了T分数：T=10Z+50
1.标准正态曲线在Z=0处达到最高点； 2.标准正态曲线以Z=0为中心，双侧对称； 3.标准正态曲线从最高点向左右缓慢下降，并无
限延伸，但永不与基线相交； 4.平均数为0，标准差为1； 5.标准正态曲线从最高点向左右延伸时，正负1
个标准差内向下向内弯，从正负1个标准差开 始，向下向外弯。
（二）正态分布与标准正态分布面积 之间的对应关系
解：Z
甲
80 80 10
0；Z乙
80 75 10
0.5；Z丙
80 70 10
1
Z丙 Z乙 Z甲
例2：设甲、乙、丙三个学生所在班级的平均成
绩都为75分，σ甲=10分， σ乙=15分， σ丙=20分， 比较甲、乙、丙三个学生在班上的成绩。
解：Z
甲
80 75 10
0.5；Z乙
x u 2时，Z 2，x u 2时，Z 2
u 2
P(u 2 u 2 ) (x)dx 0.9545 u 2 2
P(2 2) (Z )dZ 0.9545 2
同理：
u 3
P(u 3 u 3 ) (x)dx 0.9973 u 3 3
13.6%
13.6%
2.16% 0.11%
u 3 u 2 u
2.16% 0.11%
图5-4 u u 2 u 3
二、标准正态分布
变量值标准化 Z x u
根据Z值所得到的分布就是标准正态分布，概率密度为
(Z)
1
z2
e2
2
如果把u 0， 1代入(x)
例5：已知服从标准正态分布 N(0,1)， 求P( 1.3) ?
解： 附表4中没有给出Z 0时的(Z )值， 但根据标准 正态图形以Z 0对称的原理， 我们知道 P( 1.3) P( 1.3) 1(1.3) 0.0968
例6：已知服从标准正态分布 N(0,1)， 求P(1.3 2.3) ?
P(x1 x2 ) (xi )xi i x1
当xi 0时，
P(x1 x2 ) x2 (x)dx x1