机械振动与波
机械振动与机械波的复习提要
3、干涉加强和减弱的条件： 相长干涉的条件：
20 10） 2 （
r2 r1
2k
k 0 ,1,2 ,3 ,...
A Amax A1 A2
相消干涉的条件：
I I max I1 I 2 2 I1 I 2
2 ( r2 r1 ) ( 2k 1 )
同方向、同频率谐振动的合振动仍然是简谐振动, 同.
分析
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 20 10 )
若两分振动同相：
20 10 2k
k 0 ,1,2 ,
A A1 A2
若两分振动反相:
两分振动相互加强
20 10 ( 2k 1 )
体积元内媒质质点的弹性势能为
dE p
1 x A2 2 sin2 [ ( t ) 0 ]dV 2 u
体积元内媒质质点的总能量为：
dE dE k dE p A2 2 sin2 [ ( t
说明
x ) 0 ]dV u
1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等 而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。 2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。
cos t cos(
2
)t
)t
随t 缓变
随t 快变
合振动可看作振幅缓变的简谐振动
机械波的复习提要
一、基本概念 1、机械波：机械振动在弹性煤质中的传播称为机械波。 形成机械波必须有波源（振动物体）和弹性媒质。 2、横波和纵波： 质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波叫做横波。 两者相互平行的波叫纵波。 各种复杂的波都可以分成横波和纵波来分别处理。 3、平面波和球面波： 波面为平面的波称为平面波。 点波源的波面是球面，叫做球面波。 4、波长λ：同一波线上相位相差为2π的两相邻质点之间的距离，即 即一个完整波形的长度。它反映波在空间上的周期性。 5、波的周期T：一个完整波形通过波线上某点所需要的时间。它反映波在 时间上的周期性。波的周期与传播媒质各质点的振动周期相同。
61 第十三章 第2讲 机械波
波形的隐含 而其余信息均处于隐含状态。这样，波形就有多种情况，形成波动
性形成多解 问题的多解性。
2．解决波的多解问题的一般思路
规律方法
求解波的图像与振动图像综合问题的技巧
【针对训练】 1．【波的图像与振动图像的综合】 (2021·辽宁高考)一列沿x轴负方向传播的简谐横波，t＝2 s时的波形如图 (a)所示，x＝2 m处质点的振动图像如图(b)所示，则波速可能是
√A．15 m/s
B．25 m/s
C．35 m/s
D．45 m/s
3．【由两个时刻的波的图像判定质点的振动图像】 (多选)(2021·山东等级考)一列简谐横波沿x轴传播，如图所示，实线为t1 ＝2 s时的波形图，虚线为t2＝5 s时的波形图。以下关于平衡位置在O处 质点的振动图像，可能正确的是
√ √
AC [机械波的传播方向不确定，所以需要考虑机械波传播方向的不确定
2．波的传播方向与质点振动方向的互判
沿波的传播方向，“上坡”时质点向下 “上下坡”法
振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧”法
波形图上某点表示传播方向和振动方 向的箭头在图线同侧
“微平移”法
将波形沿传播方向进行微小的平移， 再由对应同一x坐标的两波形曲线上的 点来判断质点振动方向
【典例精析】 考向 1 波的形成及波速公式的应用 例 1 (2022·北京高考)在如图所示的 xOy 坐标系中，一条弹性绳沿 x 轴放 置，图中小黑点代表绳上的质点，相邻质点的间距为 a。t＝0 时，x＝0 处 的质点 P0 开始沿 y 轴做周期为 T、振幅为 A 的简谐运动。t＝34 T 时的波形 如图所示。下列说法正确的是
机械振动和机械波
机械振动和机械波一、[知识结构]二、[重点知识回顾]〔一〕机械振动的应用1. 掌握简谐振动中各物理量的周期性变化特点和变化关系。
〔1〕简谐振动的动力学特征是F kx=-，振动中，物体所受的回复力〔或加速度〕方向始终与位移方向相反，且总是指向平衡位置，大小与位移大小成正比，k为回复力与位移的比例常数〔不一定是弹簧的劲度系数〕。
〔2〕从运动学角度看，简谐振动是一种周期性运动，相关物理量也随时间作周期性变化，其中位移、速度、加速度、回复力都为矢量，随时间作周期性变化；而动能和势能为标量，变化周期为T2。
〔3〕简谐振动的速度大小与位移〔加速度〕大小变化规律总相反，速度变大时位移〔加速度〕变小，速度变小时位移〔加速度〕变大，速度最大时位移〔加速度〕为零；速度的方向与位移方向有时相同，有时相反，因此简谐振动要么做加速度变大的减速运动，要么做加速度变小的加速运动。
2. 正确认识单摆的周期公式〔1〕单摆在最大摆角θ<︒5时，其周期只与摆长和重力加速度有关。
〔2〕实际应用：不同环境下的单摆，如放在加速运动的升降机中，或将单摆放在匀强电场中，需将单摆周期公式：T L g=2π中的g 换成视重加速度g '，视重加速度等于摆锤相对悬点静止时，悬线拉力与摆锤质量的比值。
3. 机械振动的应用——受迫振动和共振现象的分析〔1〕物体在周期性的外力〔策动力〕作用下的振动叫做受迫振动，受迫振动的频率在振动稳定后总是等于外界策动力的频率，与物体的固有频率无关。
〔2〕在受迫振动中，策动力的频率与物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象叫共振，声音的共振现象叫做共鸣。
〔二〕机械波中的应用问题1. 理解机械波的形成及其概念。
〔1〕机械波产生的必要条件是：<1>有振动的波源；<2>有传播振动的媒质。
〔2〕机械波的特点：后一质点重复前一质点的运动，各质点的周期、频率及起振方向都与波源相同。
〔3〕机械波运动的特点：机械波是一种运动形式的传播，振动的能量被传递，但参与振动的质点仍在原平衡位置附近振动并没有随波迁移。
机械振动和机械波知识点总结(最新整理)
机械振动和机械波一、知识结构二、重点知识回顾1机械振动（一）机械振动物体（质点）在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动，物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。
回复力是以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力。
产生振动的必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。
b、阻力足够小。
（二）简谐振动1. 定义：物体在跟位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。
简谐振动是最简单，最基本的振动。
研究简谐振动物体的位置，常常建立以中心位置（平衡位置）为原点的坐标系，把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。
因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比，方向跟位移相反的回复力作用下的振动，即F=－k x，其中“－”号表示力方向跟位移方向相反。
2. 简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。
3. 简谐振动是一种机械运动，有关机械运动的概念和规律都适用，简谐振动的特点在于它是一种周期性运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能（重力势能和弹性势能）都随时间做周期性变化。
（三）描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。
1. 振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A ”表示，它是标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒。
2. 周期和频率，周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。
振动的周期T 跟频率f 之间是倒数关系，即T=1/f 。
振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量，简谐振动的周期和频率是由振动物体本身性质决定的，与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。
（四）单摆：摆角小于5°的单摆是典型的简谐振动。
(完整版)机械振动和机械波知识点总结
机械振动考点一简谐运动的描述与规律1. 机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动，简称振动。
回复力是指振动物体所受的总是指向平衡位置的合外力。
回复力是产生振动的条件，它使物体总是在平衡位置附近振动。
它属于效果力，其效果是使物体再次回到平衡位置。
回复力可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
平衡位置是指物体所受回复力为零的位置！2. 简谐运动: 物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动。
简谐运动属于最简单、最基本的振动形式，其振动过程关于平衡位置对称，是一种周期性的往复运动。
例如弹簧振子、单摆。
注: (1)描述简谐运动的物理量①位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，是矢量．②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，它表示振动的强弱．③周期T 和频率f：物体完成一次全振动所需的时间叫做周期，而频率则等于单位时间内完成全振动的次数．它们是表示振动快慢的物理量，二者互为倒数关系：T＝1/f.(2) 简谐运动的表达式①动力学表达式：F ＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反．②运动学表达式：x＝Asin (ωt＋φ)，其中A 代表振幅，ω＝2πf 表示简谐运动的快慢，(ωt＋φ)代表简谐运动的相位，φ叫做初相．(可借助于做匀速圆周运动质点在水平方向的投影理解)(3) 简谐运动的运动规律回复力、加速度增大速度、动能减小①变化规律：位移增大时机械能守恒势能增大振幅、周期、频率保持不变注意：这里所说的周期、频率为固有周期与固有频率，由振动系统本身构造决定。
振幅是反映振动强弱的物理量，也是反映振动系统所具备能量多少的物理量。
②对称规律：I 、做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系，另外速度的大小、动能具有对称性，速度的方向可能相同或相反.II 、振动物体来回通过相同的两点间的时间相等，如t BC＝t CB；振动物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如t BC＝t B′C′，③运动的周期性特征：相隔T 或nT 的两个时刻振动物体处于同一位置且振动状态相同. 注意：做简谐运动的物体在一个周期内的路程大小一定为4A，半个周期内路程大小一定为2A ，四分之一个周期内路程大小不一定为 A 。
高中物理选修知识点机械振动与机械波解析
机械振动与机械波简谐振动一、学习目标1.了解什么是机械振动、简谐运动2.正确理解简谐运动图象的物理含义，知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线。
二、知识点说明1.弹簧振子(简谐振子)：(1)平衡位置：小球偏离原来静止的位置；(2)弹簧振子：小球在平衡位置附近的往复运动，是一种机械运动，这样的系统叫做弹簧振子。
(3)特点：一个不考虑摩擦阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子的大小和形状的理想化的物理模型。
2.弹簧振子的位移—时间图像弹簧振子的s—t图像是一条正弦曲线，如图所示。
3.简谐运动及其图像。
(1)简谐运动：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
(2)应用：心电图仪、地震仪中绘制地震曲线装置等。
三、典型例题例1：简谐运动属于下列哪种运动()A．匀速运动? ?B．匀变速运动C．非匀变速运动? ?D．机械振动解析：以弹簧振子为例，振子是在平衡位置附近做往复运动，并且平衡位置处合力为零，加速度为零，速度最大．从平衡位置向最大位移处运动的过程中，由F＝－kx可知，振子的受力是变化的，因此加速度也是变化的。
故A、B错，C正确。
简谐运动是最简单的、最基本的机械振动，D正确。
答案：CD简谐运动的描述一、学习目标1．知道简谐运动的振幅、周期和频率的含义。
2．知道振动物体的固有周期和固有频率，并正确理解与振幅无关。
二、知识点说明1.描述简谐振动的物理量，如图所示：(1)振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，。
(2)全振动：振子向右通过O点时开始计时，运动到A，然后向左回到O，又继续向左达到，之后又回到O，这样一个完整的振动过程称为一次全振动。
(3)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，符号T表示，单位是秒(s)。
(4)频率：单位时间内完成全振动的次数，符号用f表示，且有，单位是赫兹(Hz)，。
(5)周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，振动越快。
机械振动和机械波
3．振幅、周期和频率：振动的最大特点是往 复性或者说是周期性。因此振动物体在空间 的运动有一定的范围，用振幅A来描述；在 时间上则用周期T来描述完成一次全振动所 须的时间。
振动减弱点始终减弱。振动加强点的特点是两
列波在该质点引起的位移和速度始终同方向，
而不是看某一时刻的位移大小；振动减弱点则
相反。
3．波的衍射：明显衍射的条件是障碍物或小 孔的尺寸小于波长或与波长相差不多。
4．波的图象：
（1）物理意义：描述某一时刻介质中所有质 点偏离平衡位置的位移情况。以质点偏离 平衡位置的位移为纵坐标，以各质点的平 衡位置为横坐标。
k
（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数， 即简谐运动的判定式F= -kx中的比例系数， 对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简 谐运动它就不再是弹簧的劲度了），与振幅 无关。
4．受迫振动和共振：
（1）受迫振动：物体在驱动力（既周期性外 力）作用下的振动叫受迫振动。
①物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率， 与物体的固有频率无关。
（1）振幅A是描述振动强弱的物理量。（一 定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振 动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改 变的）
（2）周期T是描述振动快慢的物理量。（频 率f=1/T 也是描述振动快慢的物理量）周期 由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。
任何简谐运动都有共同的周期公式： T 2 m
（3）周期T：即质点的振动周期；由波源决 定，即波源的振动周期。
（4）常用结论：
①波在一个周期内传播的距离恰好为波长。 由此： v=λ/T=λf；λ=vT.
机械振动与机械波
1.机械振动：物体或物体的一部分在平衡位置附近周期性的往复运动，简称振动。
平衡位置：原来静止时的位置，或者振动方向上合力为零的位置。
一个完整的振动过程称为一次全振动。
2.简谐运动：质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，平衡位置两侧对称点各物理量大小相等，x 、F 回、a 方向相反，v 方向相同或相反，x 、v 、a 正弦或余弦周期性变化，系统的机械能守恒、振幅A 不变．x ＝Asin(ωt ＋φ)，(ωt ＋φ)代表简谐运动的相位，φ叫做初相，相位差：两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值，相位超前或落后Δφ。
回复力：使物体返回到平衡位置的力，总是指向平衡位置，属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，F 回＝－kx 。
弹簧振子单摆(1)弹簧质量可忽略 (2)无摩擦等阻力 (3)在弹簧弹性限度内 (1)摆线为不可伸缩的轻细线(2)无空气阻力 (3)最大摆角很小（＜弹簧的弹力 摆球重力沿圆弧切线方向的分力弹簧原长处 最低点T =2π√m T ＝2π√l 3. 振幅随时间逐渐减小的振动叫阻尼振动。
受迫振动：系统在周期性的外力(驱动力)作用下的振动，频率等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关．驱动力：作用在振动物体上的周期性外力，驱动力的频率与物体的固有频率相差越小，受迫振动的振幅越大。
共振：驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大的现象，振幅最大，驱动力的频率等于系统的固有频率．4.机械振动（波源）在介质中传播，形成了机械波。
质点不随波迁移只在平衡位置附近振动，起振方向和振源相同，传播的是振动形式（波在向前平移）、能量、信息。
振源停止振动，波长各质点的振动频率都是相同的，都等于波源的振动频率．波速v＝λT ＝λf由介质的性质决定，与机械波的频率无关．图像是正弦曲线叫简谐波，横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移，图像表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移．5.反射：波传播到两种介质的分界面时，一部分返回来继续传播的现象。
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一、基本概念
1、振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
2、周期：振动物体完成一次完整振动所需要的时间。
3、频率：单位时间内振动物体完成完整振动的次数
4、相位：表示谐振动状态的最重要的物理量
5、波长：振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离 是一个波长
6、波速：单位时间某种一定的振动状态(或振动相位)
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7
机械振动与机械波习题课
典型例题
1、一木板在水平面上作简谐振动,振幅是 12cm,在距平衡位置6cm处速度是24m/s。 如果一小物块置于振动木板上,由于静磨擦力 的作用,小物块和木板一起运动(振动频率不 变),当木板运动到最大位移处时,物块正好开始 在木板上滑动,问物块与木板之间的静摩擦系 数μ为多少?
m h
A k
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机械振动与机械波习题课
解：
m作加速直线运动
物理过程 m与A作完全非弹性碰撞
2m作简谐振动
（1）机械能守恒 v 2gh
（2）动量守恒 V v 1 2gh 22
（3）证明：
确定坐标及坐标原点
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机械振动与机械波习题课
2m A
ok
d2x 2m gk(xx0)2md2t
所传播的距离称为波速
7、平均能量密度：能量密度的平均值。 精选课件
1 2
A22
1
机械振动与机械波习题课
8、平均能流密度：能流密度的平均值。 I u
二、基本规律
1、简谐振动的动力学方程
d2x2x0
d2t
d220
d2t
2、简谐振动的运动方程
xAco st() 0cost ()
3、由初始条件确定 A
x
k 2
k 0 ,1 , A ma x 2 A
(2 k 1 ) 4
k 0 ,1 .2 A m in 0
波腹 波节
'
u u
vo vs
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6
机械振动与机械波习题课 三、基本题型
1、已知运动方程求相应物理量。 2、会证明简谐振动的方法，并求出谐振动的周期。 3、已知一些条件给出谐振动的运动方程。 4、已知波动方程求相应物理量。 5、已知一些条件给出波动方程。 6、能解决波的干涉问题。
NB fB
A
B
d2x 2g
x0 dt2 d
x
T 2 d 0.9s 2g
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12
机械振动与机械波习题课
3、一倔强系数为k的轻弹簧，其上端与一质量为m的平 板A相连，且板静止。今有一质量也为m的物体自距A 为h高处自由落下，与A发生完全非弹性碰撞。试证明 碰撞后系统作简谐振动并给出该振动的振动方程。
4、假想沿地球的南北极直径开凿一条贯通地球的隧 道,且将地球当作一密度ρ=5.5g/cm3的均匀球体。 (1)若不计阻力,试证明一物体由地面落入此隧道后作 简谐振动； (2)求此物体由地球表面落至地心的时间。 (万有引力常数G=6.67×10-11N.m.kg-2)
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动
y A co (ts u x [ ) ] A co t s 2 ( x )
uT
与
1A22 Iu
2
波波
2 1 2 ( r 2 r 1 ) ( 2 2 k k 1 )
k 0 , 1 ,2 , 加 A 强 A 1 A 2 k 0 , 1 ,2 , 减 A 弱 A 1 A 2
k0,1,2 加 强 k0,1,2 减 弱
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4
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8、驻波：
振幅、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上 沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象.
x
(k 2k 2 1 )k 40 ,1 k, 0,1.2 A mA a m x2 in A 0
波腹 波节
g
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10
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2、已知：d=10cm，=0.25，
（1）求证：此振动为简谐振动； （2）求出该振动的振动周期。
d
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解：力矩平衡NAd=Mg(d/2-x)
NBd=Mg(d/2&#- 2Mgx/d=Ma
y NA
fA O Mg
y A co (t su x [ ) ] A co 2 (T s t [ x ) ]
7、波的干涉：频率相同、振动方向相同、初位相差恒定。
2 1 2 (r2 r1) (2 2 k k 1 )k k 0 0 ,1 ,1 ,2 ,2 , , 加 减强 弱
r1r2 (k2k1)2
证明：（1）由万有引力定律（马文蔚 万有引力场）
FGM m M 4r3
r2
3
F=ma得： d2r 4Gr0
dt2 3
（2） T2 2/ 4G
9、多普勒效应：
'
u u
vo vs
v o 观察者向波源运动 + ，远离 .
v
s
波源向观察者运动
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，远离 + .
5
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d2x 2x 0
d t2
xAco st( ) 旋转矢量法
2
T
1
T
A x 0 2v0 2 2
ta n v x 0 0( )
振
振动
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2co2s ( 1 ) tg A A 1 1c so i ns 1 1 A A2 2s cio n 2 s2
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2
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A
x02
v02
2
tan v0 x0
4、简谐振动的能量
EEk
EP
1kA2 2
5、同方向、同频率简谐振动的合成：
A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s (1)
tgA1sin1A2sin2 A1cos1A2cos2
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6、一维简谐波的波动方程：
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8
机械振动与机械波习题课
解： xA cost ()
v A si n t ()
在 x6cm ,v2c 4m /s有：
解以上二式 得4
3
aA2cost,M在最大位移处
aA2
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机械振动与机械波习题课
若 m A2稍稍大 m， 于 g 则 m开始
在 M 上滑 ,取 动 :
mgmA 2
A2 0.0653
其中： 2mgk x0
k
x
d2x 2m dt2
d2x dt2
2
x
0
x
k 2m
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机械振动与机械波习题课
2m A
ok
t0,x0m k g,v0
2gh 2
利用初始条件：
Amg1kh,tg1 kh
k mg
mg
xmg1khcosk(ttg1 kh)
k mg 2m
mg
x
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