常见的由递推式求通项公式方法
由递推公式求通项公式的三种方法
由递推公式求通项公式的三种方法递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式求通项公式的几种方法．1．累加法[典例1] 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11 [解析] 由已知得b n ＝2n －8，a n ＋1－a n ＝2n －8，所以a 2－a 1＝－6，a 3－a 2＝－4，…，a 8－a 7＝6，由累加法得a 8－a 1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a 8＝a 1＝3.[答案] B[题后悟道]对形如a n ＋1＝a n ＋f (n )(f (n )是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法，巧妙求出a n －a 1与n 的关系式．2．累乘法[典例2] 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．[解] (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3， 解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋1 2. 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋1 2.[题后悟道]对形如a n ＋1＝a n f (n )(f (n )是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法，巧妙求出a n a 1与n 的关系式．3．构造新数列[典例3] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；则a n ＝________.[解析] ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.[答案] 2×3n －1－1[题后悟道]对于形如“a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)”的递推公式求通项公式，可用迭代法或构造等比数列法．上面是三种常见的由递推公式求通项公式的题型和对应解法，从这些题型及解法中可以发现，很多题型及方法都是相通的，如果能够真正理解其内在的联系及区别，也就真正做到了举一反三、触类旁通，使自己的学习游刃有余，真正成为学习的主人．。
求数列通项公式的11种方法
求数列通项公式的11种方法方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用）不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
常见递推数列通项的九种求解方法
常见递推数列通项的九种求解方法(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。
是一类考查思维能力的好题。
要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。
类型一：1()n na a f n +=+（()f n 可以求和）−−−−→解决方法累加法 例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。
解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： ∴211n a a n -=- 2n a n ∴=评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。
【类型一专项练习题】1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。
2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。
3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。
4、已知}{n a 中，n n n a a a 2,311+==+，求n a 。
5、已知112a =,112nn n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.6、 已知数列{}n a 满足11,a =()1132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a7、若数列的递推公式为1*113,23()n n n a a a n N ++==-⋅∈，则求这个数列的通项公式 8、 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
九类常见递推数列求通项公式方法
九类常见递推数列求通项公式方法递推数列通项求解方法类型一：an1panq（p1）思路1（递推法）：anpan1qp(pan2q)qpppan3qqq……pn1a1q(1pp2…pn2qqn1。
)a1pp11p思路2（构造法）：设an1pan，即p1q得qp1，数列an是以a1为首项、p为公比的等比数列，则anqn1qana1pp11pqn1a1p，即p1p1q例1已知数列an满足an2an13且a11，求数列an的通项公式。
解：方法1（递推法）：an2an132(2an23)3222an3333……2n13(122…22n23n13n1)1223。
2112方法2（构造法）：设an12an，即3，数列an3是以a134n1n1n1为首项、2为公比的等比数列，则an3422，即an23。
类型二：an1an思路1（递推法）：f(n)anan1f(n1)an2f(n2)f(n1)an3f(n3)f(n2)f(n1)…a1f(n)。
i1n1思路2（叠加法）：anan1f(n1)，依次类推有：an1an2f(n2)、n1an2an3f(n3)、…、a2a1f(1)，将各式叠加并整理得ana1i1f(n)，即n1ana1i1f(n)。
例2已知a11，anan1n，求an。
解：方法1（递推法）：anan1nan2(n1)nan3(n2)(n1)nn……a1[23…(n2)(n1)n]i1nn(n1)2。
方法2（叠加法）：anan1n，依次类推有：an1an2n1、an2an3n2、…、nnna2a12，将各式叠加并整理得ana1i2n，ana1i2ni1nn(n1)2。
类型三：an1f(n)an思路1（递推法）：anf(n1)an1f(n1)f(n2)an2f(n1)f(n2)f(n3)an3…f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。
anan1a2a1an1an2ana1思路2（叠乘法）：f(n1)，依次类推有：f(n2)、an2an3f(n3)、…、f(1)，将各式叠乘并整理得f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)，即anf(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。
已知递推公式求通项公式
`式已知递推公式求通项公].p)i (a [p a p)i (p a pa p)(pa pa p 1p 2n )i (a a 1p .)()(pa a p p1q a }p1q a {p1q a p p1q a p 1q 1p q a 1p q pa a 11n 1i i11n n 1n 1i 1i 1nn 1n nn 1n 1n 1n 1n 1i 1n n 1n 1n n 1n 1n 1n ∑∑∑-=--=+++++-=++++=+=+=≠≥+==+=-+-+-+=-+-≠=+=f f n f f n f n f ，从而利用叠加法易得，，变形为，则两边同时除以若；，，则显然若不是常数，其中为公比的等差数列为首项，是以显然）（，变为，则两边同加上若为公差的等差数列；为首项，，则显然是以若）常见形式：（p x a x a qx a x a x x p p x a 1x a 1x x x x 0b x a -d cx dcx b ax x dca b aa a )2(2n 1n 21n 11n 211n 11n 21212n n 1n 通项公式求解，然后再利用等比数列可以用待定系数法求解，其中则有若通项公式求解，然后再利用等差数列可以用待定系数法求解，其中则有若，，令此方程的两个根为）（，即，令典型例子：不动点法--=--≠+-=-==-+++=++=++++用待定系数法求得、，，则其通项公式为若用待定系数法求得、，）（则其通项公式若，，令此方程两根为，特征方程为性递推式的好方法特征根法是专用来求线特征根法B A Bx Axa x x B A x Bn A a ,x x x x q px x qa pa a .)3(n2n1n 21n1n 21212n 1n 2n +=≠+==+=+=++.4然后用数学归纳法去证的规律猜出一个结果，简单说就是根据前几项）数学归纳法（公式，马上迎刃而解！，只需联系正切二倍角看起来似乎摸不着头脑：东西，看看下面的例子三角函数是个很奇妙的）联系三角函数（2nn 1n a1a 2a 5-=+递推新值的过程。
由递推关系式求通项公式类型大全
由递推关系式求通项公式类型大全
递推关系式是用来描述一组数列的递推规律的方程，通常形如an=f(an-1)。
求通项公式是指对于这组数列，求出所有项的公式。
下面是一些常见的递推关系式及其对应的通项公式：
1.an=an-1+c，其中c为常数。
通项公式为：
a1+c(n-1)
2.an=an-1*r，其中r为常数。
通项公式为：
ar^(n-1)
3.an=an-1+an-2，通项公式为：
a1*((1+√5)/2)^(n-1)-a2*((1-√5)/2)^(n-1)
4.an=an-1*an-2，通项公式为：
a1^(n-1)*a2^(n-2)
5.an=an-1+n，通项公式为：
n(n+1)/2
6.an=an-1*n，通项公式为：
n!
7.an=an-1+2^n，通项公式为：
2^n-1
8.an=an-1*(-1)^n，通项公式为：
(-1)^n
注意：上述通项公式均是在满足递推关系式的条件下得出的。
如果递推关系式不合法或者不存在，则无法得出通项公式。
由递推公式求通项的几种常见方法
由递推公式求通项的几种常见方法作者：王玉君来源：《成才之路》2011年第13期递推公式是表示数列的一种方法。
由于它比较抽象，是数列这章的难点，也是重点。
而其中渗透的整体思维、化归、分类讨论思想，都是数学中的重要内容。
一、叠加法人教版的等差数列通项公式的导出，为我们提供了一种方法，称之为叠加法。
推导如下：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d……an-an-1=d(n≥2)，这样就可把n-1个式子相加，得到an- a1=(n-1)，所以an= a1+(n-1)d，当n=1时也适合上式。
由此就导出等差数列通项公式。
只要递推公式满足an+1- an=f（n），都可以用此方法。
例如：已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+()n,求通项an.解：由题意，an+1-an=()n，所以a2-a1=，a3-a2=()2……，an-an-1=()n-1(n≥2)，把这n-1个式子相加，有an-a1=+()2+……()n-1(n≥2)，对右侧求和，整理得an-a1=，所以an=2-()n-1.当n=1时显然也适合上式。
二、叠乘法叠乘法的灵感，来自等比数列通项公式的推导。
过程如下：=q,=q,=q......=q(n≥2)，这样可把n-1个式子相乘，得到=qn-1(n≥2)。
显然，当n=1时也适合，所以an=a1qn-1.例如：已知数列{an}满足a1=2,an+1=2n·an,求通项公式an.解：由题意，an≠0，=2n，所以，=2,=22,=23......=2n-1(n≥2)，把n-1个式子相乘，得到=2·22·23……2n-1=2(1+2+3+……+n-1)=2，所以an=2·2=2 (n≥2)，显然，当n=1时也适合。
所以an=2.只要是满足=f(n)式子，都适合用叠乘法求通项公式。
三、可构造成形式为{an+x}的等比数列，求通项公式an在数列这章，我们只学了等差、等比数列的相应公式，对于其他类型的数列，可借助等差或等比数列公式求出。
(完整版)求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=L L两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
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类型 2
an1 f (n)an
an1 f (n) ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an
解法：把原递推公式转化为 例:已知数列 an 满足 a1 解：由条件知 之，即
2 n a n ，求 an 。 ， a n 1 3 n 1
an1 n ，分别令 n 1,2,3, , (n 1) ，代入上式得 (n 1) 个等式累乘 an n 1
4
a a1 a2 n ... n . a2 a3 an1 2
ak 2k 1 1 1 1 1 1 1 1 k 1 k . k , k 1, 2,..., n, k 1 k ak 1 2 1 2 2(2 1) 2 3.2 2 2 2 3 2
将以上 k 个式子相加，得
3 1 a 2 k 1 a1 (3 32 3k ) [( 1) (1) 2 (1) k ] (3k 1) [( 1) k 1] 2 2
1
将 a1 1 代入，得
a 2 k 1 a2k
2
a1 1,
类型 3
a a a2 a n! 1, 3 3, 4 4, , n n ，将以上 n 个式子相乘，得 an (n 2) 2 a1 a2 a3 an1
。 an1 pan q （其中 p，q 均为常数， ( pq( p 1) 0) ）
bn1 an1 3 2. bn an 3
所 以 bn 是 以 b1 4 为 首 项 ， 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 则 bn 4 2n1 2n1 , 所 以
an 2n1 3 .
变式:（2006，重庆,文,14） 在数列 an 中，若 a1 1, an1 2an 3(n 1) ，则该数列的通项 an _______________ （key: an 2 n1 3 ） 变式:（2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分） 已知数列 an 满足 a1 1, an1 2an 1(n N * ). （I）求数列 an 的通项公式； （II）若数列{bn}滿足 4 1 4 2 4 n （Ⅲ）证明：
解法（待定系数法） ：把原递推公式转化为： an1 t p(an t ) ，其中 t 换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列 an 中， a1 1 ， an1 2an 3 ，求 an .
q ，再利用 1 p
解：设递推公式 an1 2an 3 可以转化为 an1 t 2(an t ) 即 an1 2an t t 3 . 故递推公式为 an1 3 2(an 3) ,令 bn an 3 ， 则 b1 a1 3 4 ,且
b 1 b 1 b 1
(an 1)bn (n N * ), 证明：数列{bn}是等差数列；
a n 1 a1 a2 n ... n (n N * ). 2 3 a2 a3 an 1 2
（I）解： an1 2an 1(n N * ),
an1 1 2(an 1),
1 k 1 1 3 (1) k 1 ， 2 2 1 1 a 2 k 1 (1) k 3k (1) k 1 。 2 2
1 n 1 1 n2 1 2 3 (1) 1(n为奇数) 2 2 经检验 a1 1 也适合， a n n n 1 3 2 1 (1) 2 1(n为偶数) 2 2
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（2）假设当 n k (k 2) 时， bk 2 (k 1)d , 那么
k 2 k 2 bk [2 (k 1)d ] 2 [(k 1) 1]d . k 1 k 1 k 1 k 1 这就是说，当 n k 1 时，等式也成立 bk 1
又 a1 解： a n
3(n 1) 1 3(n 2) 1 3 2 1 3 1 a1 3(n 1) 2 3(n 2) 2 3 2 2 3 2
3n 4 3n 7 5 2 6 3 3n 1 3n 4 8 5 3n 1 。
an 1 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的等比数列
an 1 2n.
即
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bn2 bn1 bn1 bn (n N * ),
bn 是等差数列
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变式:（2004，全国 I，个理 22．本小题满分 14 分） 已知数列 {an } 中a1 1，且 a2k=a2k－1+(－1)K, （I）求 a3, a5； （II）求{ an}的通项公式. 解： a2k a2k 1 (1) k ， a2k 1 a2k 3k a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,…….
②－①，得 2(bn1 1) (n 1)bn1 nbn , 即 (n 1)bn1 nbn 2 0,
① ②
nbn2 (n 1)bn1 2 0.
③－④，得 即
nbn2 2nbn1 nbn 0,
bn2 2bn1 bn 0,
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ak 2k 1 2k 1 1 k 1 , k 1, 2,..., n, （III）证明： 1 ak 1 2 1 2(2k ) 2 2
*
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bn1 bn d ,bn 是等差数列
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an 2n 1(n N * ).
3
（II）证法一： 4 1 4 2 ...4 n
k 1 k 1
k 1
(an 1)kn .
4( k1 k2 ...kn )n 2nkn .
2[(b1 b2 ... bn ) n] nbn , 2[(b1 b2 ... bn bn1 ) (n 1)] (n 1)bn1.
a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ... n ( 2 ... n ) (1 n ) , a2 a3 an1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3
a n 1 a a n 1 2 ... n (n N * ). 2 3 a2 a3 an1 2
变式:递推式： an1 pan f n 。解法：只需构造数列 bn ，消去 f n 带来的差异． 类型 4 。 an1 pan q n （其中 p ， q 均为常数， ( pq( p 1)(q 1) 0) ） （或
1 1 ， a n 1 a n 2 ，求 an 。 2 n n
解：由条件知： a n 1 a n
1 1 1 1 n n n(n 1) n n 1
2
分 别 令 n 1,2,3, , (n 1) ， 代 入 上 式 得 (n 1) 个 等 式 累 加 之 ， 即
a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n 1 1 n n n a1 a2 a3 an1 2 3 4 a1 n
2 2 ， a n 3 3n 3n 1 a n (n 1) ，求 an 。 例:已知 a1 3 ， a n 1 3n 2
证法二：同证法一，得
(n 1)bn1 nbn 2 0
令 n 1, 得 b1 2. 设 b2 2 d (d R), 下面用数学归纳法证明 （1）当 n 1, 2 时，等式成立
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bn 2 (n 1)d .
高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下， 就是对数列通项公式的求解。 特别是在一些综合性比较强 的数列问题中， 数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。 本文总结出几种求解 数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型 1
an 1 an f (n)
解法：把原递推公式转化为 an1 an f (n) ，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列 an 满足 a1
a2k 1 a2k 3k a2k 1 (1) k 3k ，即 a2k 1 a2k 1 3k (1) k a3 a1 3 (1) ，
a5 a3 32 (1) 2
…… ……
a2k 1 a2k 1 3k (1) k
(a2 a1 ) (a3 a2 ) (a4 a3 ) (an an1 )
1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 n 1 n 1 所以 a n a1 1 n 1 1 1 3 1 a1 ， a n 1 2 2 n 2 n
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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