九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法举隅类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---⎡⎤=+=++=+++=⎣⎦ (12)1(1n p a q p p -=++++…211)11n n q qp a p p p--⎛⎫+=+⋅+ ⎪--⎝⎭。

思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1qp μ=-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n n q q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，即1111n n q qa a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭。

例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：方法1（递推法）：()123232(23)3222333n n n n a a a a ---⎡⎤=+=++=+++=⎣⎦……1223(122n -=++++ (211)332)12232112n n n --+⎛⎫+=+⋅+=- ⎪--⎝⎭。

方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-。

类型二：1()n n a a f n +=+思路1（递推法）：123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-=…111()n i a f n -==+∑。

思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑。

例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。

解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1)(1)(2)(1)]2ni n n n n n n =++-+-+==∑。

方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、212a a -=，将各式叠加并整理得12n n i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑。

类型三：1()n n a f n a +=⋅思路1（递推法）：123(1)(1)(2)(1)(2)(3)n n n n a f n a f n f n a f n f n f n a ---=-⋅=-⋅-⋅=-⋅-⋅-⋅=…(1)(2)(3)f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅。

思路2（叠乘法）：1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n af n a --=-、23(3)n n a f n a --=-、…、21(1)af a =，将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)n a f f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)n a f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅。

例3 已知11a =，111n n n a a n --=+，求n a 。

解：方法1（递推法）：1231121231111n n n n n n n n n n a a a a n n n n n n ---------==⋅=⋅⋅=+++-…2(1)n n =+。

方法2（叠乘法）：111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113a a =，将各式叠乘并整理得112311n a n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (21)43⋅⋅，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…21243(1)n n ⋅⋅=+。

类型四：11n n n a pa qa +-=+思路（特征根法）：为了方便，我们先假定1a m =、2a n =。

递推式对应的特征方程为2x px q =+，当特征方程有两个相等实根时， ()12n n p a cn d -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭(c 、d 为待定系数，可利用1a m =、2a n =求得)；当特征方程有两个不等实根时1x 、2x 时，1112n n n a ex fx --=+(e 、f 为待定系数，可利用1a m =、2a n =求得)；当特征方程的根为虚根时数列{}n a 的通项与上同理，此处暂不作讨论。

例4 已知12a =、23a =,116n n n a a a +-=-,求n a 。

解：递推式对应的特征方程为26x x =-+即260x x +-=，解得12x =、23x =-。

设1112n n n a ex fx --=+，而12a =、23a =，即2233e f e f +=⎧⎨-=⎩，解得9515e f ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11912(3)55n n na --=⋅+⋅-。

类型五：1n n n a pa rq +=+ （0p q ≠≠）思路（构造法）：11n n n a pa rq --=+，设11nn n n a a q q μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()11n n q p q rq λμλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而解得p q rp q λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩。

那么n n a r q p q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1a r q p q +-为首项，pq为公比的等比数列。

例5 已知11a =，112n n n a a --=-+，求n a 。

解：设1122n n n n a a μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()121122n n λμλ-=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1213λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，123n n a ⎧⎫∴-⎨⎬⎩⎭是以111236-=为首项，12为公比的等比数列，即11112362n n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，213n n a +∴=。

类型六：1()n n a pa f n +=+ （0p ≠且1p ≠）思路（转化法）：1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n n n n a a f n p p p ---=+，我们令n n na b p =，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。

例6 已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a 。

解：142n n n a a -=+，式子两边同时除以4n得111442nn n n n a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令4n n n a b =，则112n n n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依此类推有11212n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22312n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、…、22112b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，各式叠加得1212nnn i b b =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，即122111*********nnnnnn nn i i i b b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑1441422n nnn n n n a b ⎡⎤⎛⎫∴=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦。

类型七：1r n n a pa += （0n a >）思路（转化法）：对递推式两边取对数得1log log log m n m n m a r a p +=+，我们令log n m n b a =，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。

例7 已知110a =，21n n a a +=，求n a 。

解：对递推式21n n a a +=左右两边分别取对数得1lg 2lg n n a a +=，令lg n n a b =，则12n n b b +=，即数列{}n b 是以1lg101b ==为首项，2为公比的等比数列，即12n n b -=，因而得121010n n bn a -==。

思路（转化法）：对递推式两边取倒数得11n n npa d a c a ++=⋅，那么111n n d pa c a c +=⋅+，令1n nb a =，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。

例8 已知14a =，1221nn n a a a +⋅=+，求n a 。

解：对递推式左右两边取倒数得12112n n n a a a ++=即111112n n a a +=⋅+，令1n nb a =则1112n n b b +=+。

设()112n n b b μμ++=+，即2μ=-，∴数列{}2n b -是以17244-=-为首项、12为公比的等比数列，则1722n nb+-=-，即21272nn nb++-=，12227nn na++∴=-。

思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为ax bxcx d+=+即2()0cx d a x b+--=。

当特征方程有两个相等实根12x xδ==时，数列1naδ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭即12na dac⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪-⎩⎭为等差数列，我们可设11122n na d a da ac cλ+=+----（λ为待定系数，可利用1a、2a求得）；当特征方程有两个不等实根1x、2x时，数列12nna xa x⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是以1112a xa x--为首项的等比数列，我们可设1111212nnna x a xa x a xμ-⎛⎫--=⋅⎪--⎝⎭（μ为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列{}n a通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。

例9 已知112a=，11432nnnaaa--+=+（2n≥），求na。

解：当2n≥时，递推式对应的特征方程为432xxx+=+即2230x x--=，解得11x=-、23x=。

数列13nnaa⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1112212a xa x-==---为首项的等比数列，设()1113nnnaaμ-+=-⋅-，由112a=得22a=则3μ-=-，3μ∴=，即()11133nnnaa-+=-⋅-，从而13131nn na--=+，11,1231,231n nnnan-⎧=⎪⎪∴=⎨-⎪≥⎪+⎩。