递推数列求通项公式
数列的递推公式和通项公式
数列的递推公式和通项公式数列是数学中的一种常见概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的递推公式和通项公式是数列的两种重要表示方式，它们可以帮助我们更好地理解和计算数列。
一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项或多项来推导出后一项的公式。
一般来说，递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种。
1.1 线性递推公式线性递推公式是指数列中的每一项都可以通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。
一般可以用如下的形式表示：an = a(n-1) * r + b。
其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第(n-1)项，r和b 为常数。
例如，如果数列的前两项分别为a1和a2，且每一项都等于前一项乘以2再加上1，则该数列的递推公式为：an = a(n-1) * 2 + 1。
利用这个递推公式，我们可以轻松求解数列中的任意一项。
1.2 非线性递推公式非线性递推公式是指数列中的每一项不能通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。
非线性递推公式的形式较为多样，常见的有多项式递推和递归递推等。
以多项式递推为例，假设数列的前两项分别为a1和a2，而后续项满足如下规律：an = an-1^2 + an-2^2。
在这种情况下，我们无法仅仅通过前一项或多项来计算后一项。
此时，我们需要借助递归或其他更复杂的方法来求解数列中的每一项。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置n来计算该位置上的数值。
通项公式可以直接给出数列前n项的数值，而不需要通过递推关系一步步推导。
通项公式也常被称为数列的一般项公式。
2.1 等差数列的通项公式等差数列是最常见的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差。
例如，如果一个等差数列的首项为3，公差为2，则它的通项公式为an = 3 + (n-1)2。
通过这个通项公式，我们可以轻松计算出等差数列中的任何一项。
数列的递推公式与通项公式
一 、 察 法 ： 据 前 若 干项 观 察 结 果 ( 不完 全 归 纳 法 ) 观 根
例1. 数列{an }的前5项依次为下列数, 试写出 数列的一个通项公式. (1)3, 5, 9, 17, 33, …… 3 1 1 3 1 (2) − , , − , , − , …… 2 2 4 20 10 n−1 n (1)an − an−1 = 2 ⇒ an = 2 + 1 3 3 3 3 3 (2) − , , − , , − ,… 2 2× 3 3× 4 4× 5 5× 6 n 3 × (−1) ⇒ an = n(n + 1)
、 用 a n n 二 利 Sn求 n :分 =1与 ≥2两 情 讨 ， 种 况 论 案 否 写 分 的 式 答 是 要 成 段 形 . 2 列 的 n 和 S 分 满 下 条 ， 例 . 数 {an} 前 项 为 n且 别 足 列 件 n=1 求 列 通 公 an (1)a = 3 数 的 项 式 n 2 6n − 5 n ≥ 2 (1)Sn =3n −2n+2 n 8 n=1 (2)Sn =5 +3 (2)an = n −1 4× 5 n≥ 2 2 (3)a1 =1 2Sn =2anSn −an， ≥2 n ， an +1 2 (4)an >0 Sn =( ， ) 2 n=1 −2 (3) − = 2 ⇒ Sn = ⇒ an = n≥ 2 Sn Sn − 1 2n − 1 (2n − 1)(2n − 3) (4)an = an−1 + 2 ⇒ an = 2n − 1
数列递推公式的九种方法
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，nn a a n n 11-=-逐项相乘得：na a n 11=，即n a =n 1.三、换元法例3已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b 31()31(9131(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
数列递推公式求通项公式
数列递推公式求通项公式为了求得数列的通项公式，我们首先需要了解数列以及递推公式的概念。
数列是指按照一定规律排列的一列数的集合。
其中，每一项都有一个相对于上一项或前几项的关系，这种关系可以通过递推公式来表示。
递推公式是指通过前一项或前几项的值来计算后一项的公式。
数列中的每一项都可以通过递推公式计算得到。
例如，斐波那契数列的递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F0=0，F1=1现在我们来具体考虑如何求解数列的通项公式。
在数学中，数列的通项公式也被称为递推函数或递归式。
通项公式可以用来计算任意项的值，无需通过前一项或前几项的值进行递推。
求解数列的通项公式通常有两种方法：直接法和差分法。
一、直接法：直接法是指通过观察数列中每一项的特点，推导出关于项数n的表达式，从而得到数列的通项公式。
首先，我们需要观察数列的前几项，找出其中的规律。
这可能包括数列中的算术或几何性质，如递增或递减、等差或等比等。
通过找到这些规律，我们可以猜测出数列的通项公式的形式。
然后，我们可以通过利用已知的数值或已有的数学定理和公式，来验证我们所猜测的通项公式是否正确。
例如，我们可以代入已知的数值来计算通项公式中给定的项数对应的数值，如果和数列中的实际值相符，则我们的猜测通项公式的形式是正确的。
最后，我们需要证明我们求得的通项公式是正确的。
这可以通过数学归纳法来完成。
我们首先验证当n=1时，通项公式的正确性。
然后，我们假设当n=k时，通项公式是正确的，即第k项的值能够通过通项公式来计算得到。
最后，我们利用递推公式和已知条件来验证当n=k+1时，通项公式也是正确的。
通过证明，我们可以确定求得的通项公式是正确的。
二、差分法：差分法是指通过计算数列中相邻两项的差值（或者更高阶的差值），找出差值之间的规律，从而得到数列的通项公式。
对于一个数列，我们可以计算相邻两项的差值（如一阶差分）、差值的差值（如二阶差分）等。
然后我们观察这些差值之间的关系，可能发现它们之间也形成了一个数列，我们再次计算这个数列的差值。
由递推公式求通项公式五类型
由递推公式求通项公式类型一 累加相消法（“)(1n f a a n n +=+型”）例1.设数列{}n a 满足),3,2,1(12,111 =++==+n n a a a n n 求{}n a 的通项公式 解：由（1）),3,2,1(121 =+=-+n n a a n n 可知，;11212+⨯=-a a ;12223+⨯=-a a ;1)1(2;1+-⨯=--n a a n n上述等式累加可得，21)1())1(21(2n a n n a a n n =⇒-+-+++⨯=-类型二 累乘相消法（“)(1n f a a n n ⋅=+型”）例2.设数列{}n a 满足),3,2,1(2,111 =⋅==+n a a a n n n ，求{}n a 的通项公式 解：由（2）),3,2,1(21 =⋅=+n a a n n n 可知，212=a a ；2232=a a ；3342=a a112--=n n n a a 上述等式累乘可得，2)1(132122222--=⇒⋅⋅=n n n n n a a a类型三 倒数法 CBa Aa a n nn +=型数列（C B A ,,为非零常数）例3.设数列{}n a 满足),3,2,1(12,111 =+==+n a a a a n nn 求{}n a 的通项公式 解：211211+=+=+nn n n a a a a ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以35为首项，公差为2的等差数列，即351=n a +2（n －1）=316-n ∴a n =163-n 类型四 构建新数列（ 待定系数法） （1）q a p a n n +⋅=+1型例4.设数列{}n a 满足),3,2,1(12,111 =+==+n a a a n n ，求{}n a 的通项公式 解 ：设)(21x a x a n n +=++，即x a a n n +=+21与递推式比较，可得1=x ，所以递推式转化为)1(211+=++n n a a 则可构造新数列，令1+=n n a b ，有⎩⎨⎧===+=+),3,2,1(221111 n b b a b n n ),3,2,1(122 =-=⇒=⇒n a b n n n n （2）a n +1 = p a n + f （n ）型例5.已知数列{a n }中，a 1=1，且a n =a n －1+3n －1，求{a n }的通项公式．解：设a n +p ·3n =a n －1+p ·3n －1则a n =a n －1－2p ·3n －1，与a n =a n －1+3n －1比较可知p =－21． 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-23n n a 是常数列，且a 1－23=－21．所以23n n a -=－21，即a n =213-n ．(3) 11-++=n n n qa pa a 型(其中p ,q 为常数)例6. 已知数列{}n a 满足06512=+-++n n n a a a ，且5,121==a a ,且满足,求n a .解：令)(112n n n n xa a y xa a -=-+++,即0)(12=++-++n n n xya a y x a ,与已知06512=+-++n n n a a a 比较，则有⎩⎨⎧==+65xy y x ,故⎩⎨⎧==32y x 或⎩⎨⎧==23y x 下面我们取其中一组⎩⎨⎧==32y x 来运算，即有)2(32112n n n n a a a a -=-+++,则数列{}n n a a 21-+是以3212=-a a 为首项，3为公比的等比数列，故n n n n a a 333211=⋅=--+,即n n n a a 321+=+,利用类型（2）的方法，可得n n n a 23-=.类型五 取对数 r n n pa a =+1(其中p ,r 为常数)型例6. 设正项数列{}n a 满足11=a ，212-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式. 解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 122+=+-n n a a ，设1log 2+=n an b ，则12-=n n b b ，{}n b 是以2为公比的等比数列，11log 121=+=b 11221--=⨯=n n n b ，1221log -=+n a n，12log12-=-n a n ，∴1212--=n n a。
已知递推公式求通项公式
`式已知递推公式求通项公].p)i (a [p a p)i (p a pa p)(pa pa p 1p 2n )i (a a 1p .)()(pa a p p1q a }p1q a {p1q a p p1q a p 1q 1p q a 1p q pa a 11n 1i i11n n 1n 1i 1i 1nn 1n nn 1n 1n 1n 1n 1i 1n n 1n 1n n 1n 1n 1n ∑∑∑-=--=+++++-=++++=+=+=≠≥+==+=-+-+-+=-+-≠=+=f f n f f n f n f ，从而利用叠加法易得，，变形为，则两边同时除以若；，，则显然若不是常数，其中为公比的等差数列为首项，是以显然）（，变为，则两边同加上若为公差的等差数列；为首项，，则显然是以若）常见形式：（p x a x a qx a x a x x p p x a 1x a 1x x x x 0b x a -d cx dcx b ax x dca b aa a )2(2n 1n 21n 11n 211n 11n 21212n n 1n 通项公式求解，然后再利用等比数列可以用待定系数法求解，其中则有若通项公式求解，然后再利用等差数列可以用待定系数法求解，其中则有若，，令此方程的两个根为）（，即，令典型例子：不动点法--=--≠+-=-==-+++=++=++++用待定系数法求得、，，则其通项公式为若用待定系数法求得、，）（则其通项公式若，，令此方程两根为，特征方程为性递推式的好方法特征根法是专用来求线特征根法B A Bx Axa x x B A x Bn A a ,x x x x q px x qa pa a .)3(n2n1n 21n1n 21212n 1n 2n +=≠+==+=+=++.4然后用数学归纳法去证的规律猜出一个结果，简单说就是根据前几项）数学归纳法（公式，马上迎刃而解！，只需联系正切二倍角看起来似乎摸不着头脑：东西，看看下面的例子三角函数是个很奇妙的）联系三角函数（2nn 1n a1a 2a 5-=+递推新值的过程。
数列通项的七种方法
数列通项的七种方法一、递推公式法递推公式法是一种常见的求解数列通项的方法。
通过观察数列中相邻两项的关系，可以找到递推公式，从而求得数列的通项。
例如，我们考虑一个等差数列，已知首项为a，公差为d。
根据等差数列的性质，我们可以得到递推公式an = an-1 + d。
其中，an 表示数列的第n项，an-1表示数列的第n-1项。
利用递推公式，我们可以通过已知的首项和公差，依次求得数列的每一项。
这种方法简单直观，适用于求解各种类型的数列。
二、通项公式法通项公式法是一种通过数学公式来表示数列通项的方法。
对于某些特殊的数列，可以通过观察数列中的规律，建立通项公式，从而直接求得数列的任意项。
例如，斐波那契数列就可以通过通项公式来表示。
斐波那契数列的通项公式为Fn = (1/sqrt(5)) * (((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)。
其中，Fn表示数列的第n项。
通项公式法适用于某些特殊的数列，可以直接求得数列的任意项，省去了逐项求解的步骤，提高了求解效率。
三、递归关系法递归关系法是一种通过递归关系来求解数列通项的方法。
通过观察数列中相邻两项的关系，可以建立递归关系式，从而求得数列的通项。
例如，斐波那契数列就可以通过递归关系来表示。
斐波那契数列的递归关系式为Fn = Fn-1 + Fn-2。
其中，Fn表示数列的第n项，Fn-1表示数列的第n-1项，Fn-2表示数列的第n-2项。
利用递归关系，我们可以通过已知的前两项，依次求得数列的每一项。
递归关系法适用于一些特殊的数列，可以通过递归的方式来求解。
四、等差数列通项公式对于等差数列，我们可以通过等差数列的通项公式来求解数列的任意项。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差。
利用等差数列的通项公式，我们可以直接求解数列的任意项，无需逐项计算，提高了求解效率。
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练习例2、7：已知数列an的递推公式，求 an.
(3)aa1n1
2, an an
0. 2anan1
练例习13、、设{an}的首项为1的正项数列，且
n
1a
2 n1
nan2
an1an
0n
1,2,3,.....
求它的通项公式。
练例习42、．在正数数列{an}中， a1 1，
Sn
1 2
(an
1 an
) ，求
an
。
练习例59、：已知数列an的前n项和为Sn，a1 1,
Sn1 4an 2, n N *.
(1)若bn an1 2an ,求证：bn为等比数列；
(2)设cn
an 2n
, 求证：cn 为等差数列；
(3)求S n .
练习6例、4、设数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，
例 在数列{an }中,已知a1 1,当n 2时, 有an an1 2n 1(n 2), 求数列 的通项公式.
累加法
已知aa1n an1 f n，求an.
a2 a1 f 2,
aa34
a2 a3
f f
3, 4,
an a1
f 2 f 3 f n an
an an1 f n
例 已知数列{an }中,若a1 1, an1 2an
3(n 1),求数列{an }的通项公式.
练例习3、：数列an 中，a1
1，an1
3an
1，求a
．
n
类型5 an1 pan f (n)( p 0, p 1)
求
法
:
待
定
系
数
法
或
化为an1 pn1
an pn
f (n) pn1
后累加法求解.
练习例75、、An、Bn分别为an 、bn 的前n项和，an
4Bn 12 An 13n，求bn．
2n 3 2
类型68、形如an1 f (an ) 归纳法
例8、已知数列an 中，a1 2，an1 求数列an 的通项公式．
2
1 an
，
然后用数学归纳法证明 归纳--猜测--论证
类型9 其它类型
an1 an 3
(2)写出a1 2，q 3的等比数列的递推公式 ；
a1 2 an1 3an
(3)已知a1 3，an an1 4(n 2)，求an；
an 3 (4)已知a1
an 2
(n 1) (4) (21，)na1n
3
7 4n 1 3 an1 (n
2)，求an．
类型1 定义法
已知Sn，求an .
an
S1 Sn
(n Sn1
1) (n
2)
例2、已知数列an的前n项和Sn，求an
1)Sn 2n2 3n
2)Sn n2 1
例 已知数列{an }满足Sn an 2n 1, 其中Sn是{an }的前n项和,求{an }的 通项公式.
练例习61、、已知Sn为数列an 的前n项和，且Sn 2 2an， 求数列an 的通项公式．
练例习5：已知数列an的递推公式，求 an.
1）a1
2, an
an1
1 2
n, n
2
2）a1 1, an1 an 2n
类型3 an1 an f (n)
求法：迭代法、累乘法 例 在数列{an }中,已知a1 1,有nan1 (n 1)an (n N , n 2),求数列{an } 的通项公式.
例1、已知数列an的递推公式，求an
1)a1 3, an1 an 2 等差数列
2)a1
2,
an1
1 3
an
等比数列
练例习1、：数列an 中，an
0，a11 an1
3
2
1 ，求an． an
例2、数列an
中，aa1n1
6 1
2(an
1)，求an．
类型2 an1 an f (n)
求法：迭代法、累加法
类型6
an1
pan qan
r
(
p, q,
r均不为零)
求法 : 倒数法,若p r,则化为等差数列求
通项;若p r,则化为类型3求通项.
例
已知数列{an }中, a1
1,
Sn
Sn1 2Sn1
1
,
求{an }的通项公式.
类型7 Sn f (an )
求法: 利用n
2时, an
Sn
S
化为
n1
{an }或{Sn }的递推关系求解.
求法：按题中指明方向求解.
例 设数列{an }满足a1 1, a2 2, an
1 3
(an1
2an2
)(n
3,4,)
(1)求证 : 数列{an1 an }是等比数列；
(2)求数列{an }的通项公式an .
练习例18、：已知数列an满足a1 1, a2 3
an2 2an1 an 4，求an.
例 在数列{an }中a1 1, an1 2an 2n
(n N ),求数列{an }的通项公式.
练习1：已知数列{an},a1=2,an+1=an+3n+2,求an,
练习2: 已知数列{an}满足a1=1, an 3n1 an1 n 2
（1）求a2,a3 ,a4
1 2, an1 3n an
累乘法
a2
a1
f
2,
已知aa1 n an1
f
n，求an.
a3
a2
f
3,
a4 a3
f 4,
an a1
f 2 f 3 f n an
an
an1
f
n
类型4 an1 pan q( p 0, p 1)
求法: 构造法（待定系数法）.
令an1 p(an ), 其中为待定系数, 化为等比数列{an }求通项.
常见递推数列通项公式的求法
复习等差(等比)数列的递推公式
1、等差数列的递推公式：an an1 d (n 2) a1 a an1 an d a1 a
2、等比数列的递推公式：aa1n
an1q(n a
2)
aa1n1
a
an
q
课前练习
(1)写a出1 a21 2，d 3的等差数列的递推公式 ；
练例习42：、已知正数数列an
的前n项和为S
，
n
an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，
求an .
练习例33、：已知数列an的前n项和为Sn，an 0,
an
6Sn , n an 3
N *.求Sn.
练习4、已知各项均为正数的数列{an }的前 n项和Sn满足S1 1,且6Sn (an 1) (an 2), n N ,求{an }的通项公式.
满足关系3tSn 2t 3 Sn1 3tt 0, n 2, n N
（1） 求证：数列{an}是等比数列；
（2）设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn},