若双曲线的渐近线方程为
高二数学双曲线知识点及经典例题分析
9.已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，
则双曲线的方程为
（A） （B） （C） （D）
10．已知 是双曲线 （ ）的一个焦点，则 ．
11．已知双曲线过点 ，且渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程为．
12．已知双曲线E： – =1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
2.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点．
（I）若动点 满足 （其中 为坐标原点），求点 的轨迹方程；
（II）在 轴上是否存在定点 ，使 · 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（A） （B） （C） （D）
3．已知双曲线 ： 的离心率 ，且其右焦点 ，则双曲线 的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．若双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上，且 ，则 等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．已知 ， 为双曲线 的左，右顶点，点 在 上，△ 为等腰三角形，且顶角为 ，则 的离心率为（ ）
3.已知双曲线C的方程为 ，离心率 ，顶点到渐近线的距离为 。
（1）求双曲线C的方程；
（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 ，求 面积的取值范围
双曲线专题练习题
1．下列双曲线中，渐近线方程为 的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．已知双曲线 （ ， ）的一个焦点为 ，且双曲线的渐近线与圆 相切，则双曲线的方程为（ ）
双曲线十大经典结论
双曲线十大经典结论双曲线是高中数学中的一种常见函数，它具有许多重要的性质和结论。
下面介绍双曲线的十大经典结论，帮助读者更好地理解和应用双曲线函数。
1. 双曲线的定义双曲线是由平面上离两点距离之差与常数2a的比构成的点的集合。
通常表示为y²/a² - x²/b² = 1或x²/a² - y²/b² = 1。
其中，a,b分别为双曲线的焦距。
2. 双曲线的中心对称性双曲线是关于两个焦点的联线的中垂线对称的。
也就是说，双曲线上的任意一点都关于两个焦点的联线的中垂线对称。
3. 双曲线的渐近线双曲线的两条渐近线分别与x轴和y轴成45°的夹角，并且它们趋近于相交于双曲线的中心点。
4. 双曲线的拐点在双曲线上，x轴和y轴的交点处是曲线的拐点。
这些点被称为双曲线的顶点。
5. 双曲线的对称轴双曲线有两条对称轴：一条垂直于x轴，穿过双曲线的中心点；另一条垂直于y轴，在x轴上方和下方各穿过一点。
6. 双曲线的面积公式双曲线y²/a² - x²/b² = 1在x轴上的两个交点为x=-a和x=a，因此曲线所围成的面积为S = 2ab。
7. 双曲线的弦长公式双曲线上的两点之间的弦长为2a*ln((y1+y2)/2)。
其中，y1和y2为两点在y轴上的投影。
8. 双曲线的渐近线方程双曲线的两条渐近线的方程分别为y = x/a和y = -x/a。
9. 双曲线的反函数双曲线函数y = a*cosh(x/a)有反函数x = a*ln(y + sqrt(y² -a²))，其中cosh为双曲余弦函数。
10. 双曲线的应用双曲线广泛应用于物理、天文、工程、经济、金融等领域。
例如，电磁波在介质中的传播规律可以用双曲线函数表示；货币增长模型中的通货膨胀可以用双曲线函数描述。
双曲线经典知识点总结-双曲线知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一:双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线。
这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距。
注意:1. 双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件:，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值",常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（)，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支;3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点）；4．若常数满足约束条件:,则动点轨迹不存在；5．若常数,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二:双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时,双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时,双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程;2．在双曲线的两种标准方程中，都有;3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时,焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为,；当的系数为正时，焦点在轴上,双曲线的焦点坐标为，。
知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线(a＞0，b＞0)的简单几何性质（1)对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0）,把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心.(2)范围:双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤—a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a,0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
双曲线渐近线方程
双曲线渐近线方程百科名片双曲线渐近线方程双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。
双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。
渐近线特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。
根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近线方程当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x双曲线的简单几何性质1.双曲线x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2 (7)共轭双曲线：方程- ＝1与- ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.注重：1.与双曲线- ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为- ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为- ＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆，b2＜λ＜a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c 的距离之比等于常数e＝c/a (c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.3.焦半径( - ＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线- ＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0 a,｜pF2｜＝ex0-a;P在左支上时，则｜PF1｜=ex1+a ｜PF2｜＝ex1-a.本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.双曲线的渐近线教案教学目的(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．教学过程一、揭示课题师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？生(众)：能画出来．师：能画得比较精确点吗？(学生默然．)其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．(板书课题：双曲线的渐近线．)二、讲述定义师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况．设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则考察一下y变化的范围：因为x2－a2＜x2，所以这个不等式意味着什么？(稍停，学生思考．)平面区域．之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．为此，我们考虑下列问题：经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y＝±b，以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．下面，我们来证明这个事实．双曲线在第一象限内的方程可写成设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则设|MQ|是点M到直线的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线叫做双曲线的渐近线．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双手画出比较精确的双曲线．[提出问题，解决问题，善始善终．]三、初步练习(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：(1) 4x2－y2＝4；(2) 4x2－y2＝－4．2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：求双曲线方程并画出双曲线．(练习毕，由学生回答，教师总结．)解题的主要步骤：第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]四、建立法则师：仔细分析一下上述练习的结果：双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．(启发学生讨论、归纳．)生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．生戊：应该说二次项系数成比例．师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程？把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，b2x2－a2y2＝0，即bx±ay＝0；b2y2－a2x2＝0，即by±ax＝0．所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有一般性吗？也就是说对任意双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0？回答是肯定的．分情况证明一下：C＞0，A2x2－B2y2＝C，故渐近线方程为也可以化成Ax±By＝0，即A2x2－B2y2＝0．其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程是什么？可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：(1)双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是A2x2－B2y2＝0；(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是A2x2－B2y2＝C(C≠0的待定常数)．现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为x2－4y2＝C．∴双曲线方程为x2－4y2＝4．∴双曲线方程为x2－4y2＝－4．[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]五、巩固应用师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．由双曲线求渐近线：由渐近线求双曲线：二是直接运用法则．练习2的解法如下：六、布置作业课本练习；略．教案说明(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认为这些做法都是比较自然的．(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法．本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．。
双曲线渐近线的方程
双曲线渐近线的方程一、双曲线渐近线1. 什么是双曲线渐近线双曲线渐近线是一条曲线, 它可用来表示一组数据值或者某一个变数随另一个变数变化的趋势。
它是一种渐近方程，当两个变数之间具有紧密联系时，双曲线渐近线将两个变数进行最好的拟合。
换言之，当改变一个变量时会引起另一个变量的变化，双曲线渐近线可以表示两个变的变化关系。
2. 双曲线渐近线的构成双曲线渐近线由两条曲线构成，一条是向右上方弯曲的曲线，另一条是向左下方弯曲的曲线。
曲线上的每一点都有它自己的坐标（x,y），可以用坐标（x,y）来表示双曲线渐近线的方程。
3. 双曲线渐近线的方程双曲线渐近线的渐近方程为： y=ax^2+bx+c，其中，a、b、c是双曲线渐近线上的绝对值，可以根据实际情况得出。
两条曲线的拟合情况不相同，当a为负数时，曲线向右上方弯曲；当a为正数时，曲线向右下方弯曲。
4. 双曲线渐近线的用途双曲线渐近线可以在数学，统计学，经济学等方面都有着广泛的应用，可用来描述两个变量之间内在的联系，反映出一组数据背后的趋势。
双曲线渐近线也可以帮助我们有效地分析和预测数据趋势。
二、练习根据以下数据点（0,3），（6，-11），（12，-21），（18，-31），（24，-41）学生可以试着用双曲线拟合求取渐近线的方程：解：设双曲线渐近线的方程为：y=ax^2+bx+c则拟合数据点的代入方程可以得：3=a*0^2+b*0+c-11=a*6^2+b*6+c-21=a*12^2+b*12+c-31=a*18^2+b*18+c-41=a*24^2+b*24+c化简可得：a=-0.375b=3.75c=3故双曲线渐近线的渐近方程为： y=-0.375x^2+3.75x+3。
秒杀题型 双曲线的渐近线(双曲线)(详细解析版)
秒杀题型一：由双曲线的方程求渐近线:
秒杀思路： 已知双曲线方程求渐近线方程: ;
若焦点在x轴上，渐近线为 ；
若焦点在y轴上，渐近线为 。
1.(高考题)双曲线 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
【解析】：选C。
2.(2013年新课标全国卷 4)已知双曲线 : ( )的离心率为 ,则 的渐近线方程为( )
12.(2018年新课标全国卷I11)已知双曲线 , 为坐标原点, 为 的右焦点,过 的直线
与 的两条渐近线的交点分别为 .若 为直角三角形,则 = ( )
A. B.3C. D.4
【解析】：渐近线方程为 ，∵ 为直角三角形，假设 ， ,
∴ ，∴ ，选B。
13.(2018年新课标全国卷 11)设 是双曲线 的左，右焦点， 是坐标原
A. B. C. D.
【解析】：由上题，选C。
7.(2009年新课标全国卷4)双曲线 - =1的焦点到渐近线的距离为( )
A. B.2 C. D.1
【解析】：由秒杀公式得 ，选A。
8.(2014年新课标全国卷I4)已知 是双曲线 : 的一个焦点,则点 到 的一条渐近线的距离为( )
A. B.3 C. D.
【解析】：由秒杀公式得 ，选A。
9.(高考题)已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线
的距离等于( )
A. B. C.3 D.5
【解析】：抛物线与双曲线的焦点为 ，则b= ，所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ，选
A。
10.(2018年江苏卷)在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 ，则其离心率的值是．
秒杀思路： 。
数学高考双曲线渐近线小题秒杀(名校讲义,绝对精品)
2
，
ON
3,
∴ MON ，∴ MN 3 ，选 B。 3
13.(2018
年新课标全国卷
III11)设
F1
，F2
是双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0) 的左，右焦点， O 是坐标原
点.过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P .若 PF1 6 OP ,则 C 的离心率为 (
1.(高考题)双曲线 x2 y2 1 的渐近线方程是 (
)
49
A. y 2 x 3
B. y 4 x 9
C. y 3 x 2
D. y 9 x 4
【解析】：选 C。
2.(2013
年新课标全国卷
I4)已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1( a
0,b 0 )的离心率为
5 ,则 C 的渐近线方程为 2
a
a
2
a2
秒杀题型二：有共同渐近线双曲线方程的设法：
秒杀思路：
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
。
〖母题 1〗求与双曲线 x2 y2 1有公共的渐近线,且经过点 A 3, 2 3 的双曲线的方程. 9 16
【解析】：设双曲线方程为： x2 y2 ，代入点 A 得 1 ，双曲线方程为： 4x2 y2 1。
a
b
2
4.(2018
年新课标全国卷
II5)双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为
(
)
A. y 2x
B. y 3x
双曲线渐近线方程
双曲线渐近线方程百科名片双曲线渐近线方程双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。
双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。
渐近线特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。
根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近线方程当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x双曲线的简单几何性质1.双曲线x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2(7)共轭双曲线：方程- ＝1与- ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.注重：1.与双曲线- ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为- ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为- ＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆，b2＜λ＜a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c 的距离之比等于常数e＝c/a (c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.3.焦半径( - ＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线- ＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0 a,｜pF2｜＝ex0-a;P在左支上时，则｜PF1｜=ex1+a ｜PF2｜＝ex1-a.本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.双曲线的渐近线教案教学目的(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．教学过程一、揭示课题师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？生(众)：能画出来．师：能画得比较精确点吗？(学生默然．)其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x 轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．(板书课题：双曲线的渐近线．)二、讲述定义师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况．设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则考察一下y变化的范围：因为x2－a2＜x2，所以这个不等式意味着什么？(稍停，学生思考．)平面区域．之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．为此，我们考虑下列问题：经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y ＝±b，以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．下面，我们来证明这个事实．双曲线在第一象限内的方程可写成设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则设|MQ|是点M到直线的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线叫做双曲线的渐近线．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双手画出比较精确的双曲线．[提出问题，解决问题，善始善终．]三、初步练习(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：(1) 4x2－y2＝4；(2) 4x2－y2＝－4．2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：求双曲线方程并画出双曲线．(练习毕，由学生回答，教师总结．)解题的主要步骤：第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]四、建立法则师：仔细分析一下上述练习的结果：双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．(启发学生讨论、归纳．)生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．生戊：应该说二次项系数成比例．师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程？把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，b2x2－a2y2＝0，即bx±ay＝0；b2y2－a2x2＝0，即by±ax＝0．所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有一般性吗？也就是说对任意双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0？回答是肯定的．分情况证明一下：C＞0，A2x2－B2y2＝C，故渐近线方程为也可以化成Ax±By＝0，即A2x2－B2y2＝0．其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程是什么？可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：(1)双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是A2x2－B2y2＝0；(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是A2x2－B2y2＝C(C≠0的待定常数)．现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为x2－4y2＝C．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝4．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝－4．[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]五、巩固应用师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．由双曲线求渐近线：由渐近线求双曲线：二是直接运用法则．练习2的解法如下：六、布置作业课本练习；略．教案说明(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认为这些做法都是比较自然的．(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法．本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．。
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1、已知双曲线方程是22
1205
x y -=，那么它的焦距是____________ 2、若方程22
125x y k k
-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是____________ 3、已知双曲线的焦点分别为(0,2)-、(0,2)，且经过点(3,2)P -，则双曲线的标准方程是__________
4、双曲线22
1169
x y -=上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(5,0)-的距离为____________ 5、双曲线2233x y -=的渐近线方程是____________
6、若双曲线的渐近线方程为32
y x =±，则其离心率为 。
7、设12,F F 为双曲线2
214
x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足01290F PF ∠=，则12F PF ∆的面积是___________________
8、焦距为10，54
e =
的双曲线的标准方程_____________。
9、如果双曲线经过点P ，渐近线的方程为13y x =±，则此双曲线的方程为____________-
10、根据下列条件，求双曲线的标准方程。
(1)与双曲线22
1164
x y -=有公共焦点，且过点；（2）
经过点(P -和点(Q -
11、求以椭圆221169x y +=的两顶点为焦点，以椭圆22
1169
x y +=的焦点为顶点的双曲线方程。
12、已知53
e =的双曲线与椭圆2214015y x +=有相同焦点，求双曲线的方程。