秒杀题型 双曲线的渐近线(双曲线)(详细解析版)
2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题18 解析几何中的双曲线问题(解析版)
专题18 解析几何中的双曲线问题【高考真题】1．(2022·北京) 已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为y =，则m =__________． 1．答案 3- 解析 对于双曲线221x y m +=，所以0m <，即双曲线的标准方程为221x y m-=-，则1a =，b =，又双曲线221x ym +=的渐近线方程为y =，所以a b =，=解得3m =-；故答案为3-．2．(2022·全国甲理) 若双曲线2221(0)x y m m -=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．2．答案解析 双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离1d ==，解得m =或m =． 3．(2022·全国甲文) 记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________． 3．答案 2（满足1e <≤） 解析 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为by x a=±, 结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”，所以c e a ===1e >，所以1e <≤2（满足1e <≤4．(2022·全国乙理) 双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为( )A B ．32 C D4．答案 C 解析 依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，所以1OG NF ⊥， 因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，sin a c β=，cos bcβ=，在21F F N 中，()()12sin sin sin F F N παβαβ∠=--=+4334sin cos cos sin 555b a a bc c cαβαβ+=+=⨯+⨯=，由正弦定理得211225sin sin sin 2NF NF c c F F N αβ===∠，所以112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c ++=∠=⨯=，2555sin 222c c a a NF c β==⨯=，又12345422222a b a b aNF NF a +--=-==，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ==．故选C ．5．(2022·浙江)已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4ba的直线交双曲线于点 ()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．5．答案 解析 过F 且斜率为4b a 的直线:()4b AB y x c a =+，渐近线2:b l y x a =，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a=，所以离心率e =． 【知识总结】1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹． (2)符号表示：||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数)(0<2a <|F 1F 2|)．(3)焦点：两个定点F 1，F 2． (4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F 1F 2|． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质F (－c ，0)，F (c ，0)F (0，－c )，F (0，c )【题型突破】题型一 双曲线的标准方程1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝11．答案 B 解析 由y ＝52x 可得b a ＝52，①．由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a 2＋ b 2＝9，②．由①②可得a 2＝4，b 2＝5．所以C 的方程为x 24－y 25＝1．故选B ．2．(2016·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝12．答案 A 解析 依题意得b a ＝12，①，又a 2＋b 2＝c 2＝5，②，联立①②得a ＝2，b ＝1．∴所求双曲线 的方程为x 24－y 2＝1．3．(2018·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝13．答案 C 解析 因为双曲线的离心率为2，所以ca ＝2，c ＝2a ，b ＝3a ，不妨令A (2a,3a )，B (2a ，－3a )， 双曲线其中一条渐近线方程为y ＝3x ，所以d 1＝|23a －3a |(3)2＋(－1)2＝23a －3a 2，d 2＝|23a ＋3a |(3)2＋(－1)2＝23a ＋3a 2；依题意得：23a －3a 2＋23a ＋3a 2＝6，解得：a ＝3，b ＝3，所以双曲线方程为：x 23－y 29＝1．4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝14．答案 D 解析 根据题意画出草图如图所示⎝⎛ 不妨设点A⎭⎫在渐近线y ＝ba x 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2．又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a x 上，∴b a ＝tan 60°＝3．又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1，故选D5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1 C ．x 24－y 24＝1 D ．x 24－y 212＝15．答案 D 解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D ． 6．已知双曲线E 的中心为原点，(3, 0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中 点为(12, 15)N --，则E 的方程式为( )A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=6．答案 B 解析 设双曲线方程为22222222221, x y b x a y a b a b-=-=即，1122(,),(,)A x y B x y ，由221b x -221a y =2222222222, a b b x a y a b -=得，2212121212()()()0()y y b x x a y y x x -+-+=-，1215AB PN N k k =又中点（-，-）,，212b ∴-+222150, 45a b a ==即，22+9b a =，所以224, =5a b =．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A ．x 26－y 25＝1B ．x 28－y 212＝1C ．x 28－y 24＝1D ．x 24－y 26＝17．答案 Ｄ 解析 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c ，0)，可得A ⎝⎛⎭⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得 49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109，所以b 2a 2＝32，①．又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋2b 2＝16，②．由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D ．8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ．若△FOM的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A ．x 2－4y 25＝1 B ．x 22－2y 25＝1 C ．x 24－y 25＝1 D ．x 216－y 220＝1 8．答案 C 解析 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取双曲线的一条渐近线为y ＝ba x ，可得F 到渐近线y ＝b a x 的距离d ＝bca 2＋b2＝b ，在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得12ab ＝5，联立⎩⎨⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，所以双曲线的方程为x 24－y25＝1．故选C ．9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐 标为－23，则此双曲线的方程是( )．A ．x 23－y 24＝1B ．x 24－y 23＝1C ．x 25－y 22＝1D ．x 22－y 25＝19．答案 D 解析：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 27－a 2＝1．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得x 2a 2－(x －1)27－a 2＝1，(7－a 2)x 2－a 2(x －1)2＝a 2(7－a 2)，整理得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0．又MN 中点的横坐标为－23，故x 0＝x 1＋x 22＝－2a 22(7－2a 2)＝－23，即3a 2＝2(7－2a 2)，所以a 2＝2，故所求双曲线方程为x 22－y 25＝1．10．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的离心率为3，左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，|F 2Q |＝2，则双曲线的方程为( ) A ．x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D ．x 23－y 2＝110．答案 B 解析 ∵∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，∴|PF 1|＝|P Q|，P ，F 2，Q 三点共线，而|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|P Q|－|PF 2|＝2a ，即|F 2Q|＝2＝2a ，解得a ＝1．又e ＝c a ＝3，∴c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝2，∴双曲线的方程为x 2－y 22＝1．故选B ． 题型二 双曲线中的求值11．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( ) A ．32 B ．3 C ．23 D ．411．答案 B 解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x ．设两渐近线的夹角为2α，则有tan α ＝13＝33，所以α＝30°．所以∠MON ＝2α＝60°．又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝3．则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan60°＝3．故选B ．12．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324 B ．322C ．22D ．3212．答案 A 解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324．故选A ． 13．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交Γ于B ，C 两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为2，则( )A ．θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2B ．θ＝π2C ．θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，πD ．θ＝3π413．答案 B 解析 ∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a ，∴b 2＝c 2－a 2＝a 2，∴双曲线方程可变形为x 2－y 2＝a 2.设B (x 0，y 0)，由对称性可知C (－x 0，y 0)，∵点B (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 20－y 20＝a 2．∵A (a ,0)，∴AB →＝(x 0－a ，y 0)，AC →＝(－x 0－a ，y 0)，∴AB →·AC →＝(x 0－a )·(－x 0－a )＋y 20＝a 2－x 20＋y 20＝0，∴AB →⊥AC →，即θ＝π2．故选B ．14．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________． 14．答案 34 解析 化双曲线的方程为x 22－y 22＝1，则a ＝b ＝2，c ＝2，因为|PF 1|＝2|PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，解得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝(22)2＋(42)2－162×22×42＝34．15．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ．若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是________．15．答案 714 解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由e ＝ca＝2知，c ＝2a ，又c 2＝a 2＋b 2，故b ＝3a ，所以A (0，3a )，C (0，－3a )，B (－a ，0)，F (－2a ，0)，则BA →＝(a ，3a )，CF →＝(－2a ，3a )，结合题图可知，cos ∠BDF ＝cos ＜BA →，CF →＞＝BA →·CF →|BA →|·|CF →|＝－2a 2＋3a 22a ·7a ＝714．16．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．4316．答案 D 解析 法一：由已知可得点P 的位置如图所示，且直线AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4＋2，x 22－y 2＝1，消去y 得(1－2k 2)x 2＋(16k 2－8k )x －32k 2＋32k －10＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－16k 2＋8k1－2k 2，x 1x 2＝－32k 2＋32k －101－2k 2，因为P (4,2)为AB 的中点，所以－16k 2＋8k 1－2k 2＝8，解得k ＝1，满足Δ＞0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，所以|AB |＝1＋12×82－4×10＝43，故选D ．法二：由已知可得点P 的位置如法一中图所示，且直线AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－2y 21－2＝0，x 22－2y 22－2＝0，所以(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，因为P (4,2)为AB 的中点，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，所以AB 的方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x 22－y 2＝1，消去y 得x 2－8x ＋10＝0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，所以|AB |＝1＋12×82－4×10＝43，故选D ．17．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．4317．答案 D 解析 易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y －2＝k (x －4)，代入双曲线C ：x 22－y 2＝1，整理得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0，设此方程两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝8k (2k －1)2k 2－1，又P (4，2)为AB 的中点，所以8k (2k －1)2k 2－1＝8，解得k ＝1，当k ＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的Δ＞0，所求直线AB 的方程为y －2＝x －4化成一般式为x －y －2＝0，x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·82－40＝43．故选D ．18．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为()A ．1B ．3C ．5D ．1218．答案 A 解析 在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2．不妨设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1．故选A ．19．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( )A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2 19．答案 B 解析 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝ca＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ，∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14．又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154，∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2．20．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．－220．答案 B 解析 由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|·cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2．故选B ．题型三 双曲线的离心率21．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．3或233D ．233或221．答案 D 解析 秒杀 ∵两条渐近线的夹角为60°，∴一条渐近线的倾斜角为30°，斜率为33．∴e ＝1＋k 2＝233．或一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为3．∴e ＝1＋k 2＝2．故选D ．通法 ∵两条渐近线的夹角为60°，且两条渐近线关于坐标轴对称，∴b a ＝tan 30°＝33或ba ＝tan 60°＝3．由b a ＝33，得b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝13，∴e ＝233(舍负)；由b a ＝3，得b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3，∴e ＝2(舍负)．故选D ．22．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40° C.1sin 50° D.1cos 50°22．答案 D 解析 秒杀 由题意可得－ba ＝tan 130°，所以e ＝1＋b 2a 2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos 130°|＝1cos 50°．故选D ．23．(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．23．答案 2 解析 秒杀 由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点．又∵O 为F 1F 2的中点，∴OA ∥BF 2．又F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°．∴OF 2＝OB ，∴∠OBF 2＝∠OF 2B ．又∵∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ，∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2，∴△OBF 2为等边三角形．∴一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为3．∴e ＝1＋k 2＝2．通法一：由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点．又∵O 为F 1F 2的中点，∴OA ∥BF 2．又F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°．∴OF 2＝OB ，∴∠OBF 2＝∠OF 2B ．又∵∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ，∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2，∴△OBF 2为等边三角形．如图所示，不妨设B 为⎝⎛⎭⎫c 2，－32c ．∵点B 在直线y＝－b a x 上，∴b a ＝3，∴离心率e ＝ca＝2．通法二：∵F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°．在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c ．如图，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝ba ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c ，0)．又∵F 1A →＝AB →，∴A 为F 1B 的中点．∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝b c －a ，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝2．24．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ．2B ．32C ．3D ．224．答案 A 解析 秒杀 作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝2．故选A ．通法 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a ．又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|．由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca ＝2．故选A ．25．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线y ＝ba x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．5D ．625．答案 C 解析 秒杀 由已知△F 1PF 2是直角三角形，∠F 2PF 1＝90°，sin ∠PF 1F 2＝b c ，∠PF 2F 1＝ac，∴e ＝c a ＝sin90°|sin ∠PF 1F 2＋sin ∠PF 2F 1|＝1|b c －a c|．即b a＝2，所以e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5．故选C ．通法 如图，直线PF 2的方程为y ＝－a b (x －c )，设直线PF 2与直线y ＝ba x 的交点为N ，易知N ⎝⎛⎭⎫a 2c ，abc ．又线段PF 2的中点为N ，所以P ⎝⎛⎭⎫2a 2－c 2c ，2ab c ．因为点P 在双曲线C 上，所以(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2b 2c 2b 2＝1，即5a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝5．故选C ．26．已知O 为坐标原点，点A ，B 在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，且关于坐标原点O 对称．若双曲线C 上与点A ，B 横坐标不相同的任意一点P 满足k P A ·k PB ＝3，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2 B ．4 C ．10 D ．10 26．答案 A 解析 秒杀 ∵k 1·k 2＝e 2－1．∴3＝e 2－1．∴e ＝2．故选A ．通法 设A (x 1，y 1)，P (x 0，y 0)(|x 0|≠|x 1|)，则B (－x 1，－y 1)，则k P A ·k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21．因为点P ，A 在双曲线C 上，所以b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2，两式相减可得y 20－y 21x 20－x 21＝b 2a 2，故b 2a 2＝3，于是b 2＝3a 2．又因为c 2＝a 2＋b 2，所以双曲线C 的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2．故选A ．27．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过点P (3，6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12，15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．32C ．355D ．5227．答案 B 解析 秒杀 由题意得，k 0·k ＝e 2－1．∴e ＝32．故选B ．通法 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 的中点为N (12,15)，则x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2，则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2，由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，所以4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54，双曲线的离心率e ＝ca ＝ 1＋b 2a 2＝32，所以双曲线C 的离心率为32．故选B ．28．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF →＝3FB →，则该双曲线的离心率为( ) A ．52 B ．62 C ．233D ．3 28．答案 A 解析 秒杀 由题可知，|31||cos ||31|e θ-=+，即1||2c b a c ⋅=，即12b a =所以e＝52，故选B ．通法 由题意得直线l 的方程为x ＝ba y ＋c ，不妨取a ＝1，则x ＝by ＋c ，且b 2＝c 2－1．将x ＝by ＋c 代入x 2－y 2b 2＝1，(b ＞0)，得(b 4－1)y 2＋2b 3cy ＋b 4＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2b 3cb 4－1，y 1y 2＝b 4b 4－1．由AF →＝3FB →，得y 1＝－3y 2，所以⎩⎨⎧－2y 2＝－2b 3cb 4－1－3y 22＝b 4b 4－1，得3b 2c 2＝1－b 4，解得b 2＝14，所以c ＝b 2＋1＝54＝52，故该双曲线的离心率为e ＝c a ＝52，故选A ．29．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过双曲线Γ的右焦点F ，且倾斜角为π2的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若∠AOB ＝∠OAB ，则双曲线Γ的离心率为( ) A ．3＋72 B ．11＋332 C ．3＋396 D ．1＋17429．答案 C 解析 由题意可知AB 是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB ＝∠OAB ，可知△AOB 为等边三角形，所以tan ∠AOF ＝b 2a c ＝33，整理得b 2＝33ac ，由c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋33ac ，两边同时除以a 2，得e 2－33e －1＝0，解得e ＝3＋396．故选C ． 30．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且FN →＝3FM →，若OM ⊥FN ，则C 的离心率为( )A ．2B ．7C ．3D ．1030．答案 B 解析 设双曲线的右焦点为F ′，取MN 的中点P ，连接F ′P ，F ′M ，F ′N ，如图所示，由FN →＝3FM →，可知|MF |＝|MP |＝|NP |．又O 为FF ′的中点，可知OM ∥PF ′．∵OM ⊥FN ，∴PF ′⊥FN ．∴PF ′为线段MN 的垂直平分线．∴|NF ′|＝|MF ′|．设|MF |＝t ，由双曲线定义可知|NF ′|＝3t －2a ，|MF ′|＝2a ＋t ，则3t －2a ＝2a ＋t ，解得t ＝2a ．在Rt △MF ′P 中，|PF ′|＝|MF ′|2－|MP |2＝16a 2－4a 2＝23a ，∴|OM |＝12|PF ′|＝3a ．在Rt △MFO 中，|MF |2＋|OM |2＝|OF |2，∴4a 2＋3a 2＝c 2⇒e ＝7．故选B ． 题型四 双曲线的渐近线31．(2018·全国Ⅰ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 31．答案 A 解析 法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，故选A ．法二：由e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A ．32．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO 交双曲线C 左支于点M ，直线PF 2交双曲线C 右支于点N ，若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±22x 32．答案 A 解析 由题意得，|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，由于P ，M 关于原点对称，F 1，F 2关于原点对称，∴线段PM ，F 1F 2互相平分，四边形PF 1MF 2为平行四边形，PF 1∥MF 2，∵∠MF 2N ＝60°，∴∠F 1PF 2＝60°，由余弦定理可得4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos60°，∴c ＝3a ，∴b ＝c 2－a 2＝2a ．∴ba ＝2，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ．故选A ．33．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (1，0)作x 轴的垂线，与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为83，则双曲线的渐近线方程为________．33．答案 y ＝±22x 解析 由题意得|AB |＝2b 2a ，∵S △AOB ＝83，∴12×2b 2a ×1＝83，∴b 2a ＝83①，又a 2＋b 2＝1②，由①②得a ＝13，b ＝223，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±22x .34．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的右顶点A 和右焦点F 到一条渐近线的距离之比为1∶2，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±3x34．答案 A 解析 由双曲线方程可得渐近线为：y ＝±b a x ，A (a,0)，F (c,0)，则点A 到渐近线距离d 1＝|ab |a 2＋b2＝ab c ，点F 到渐近线距离d 2＝|bc |a 2＋b 2＝bc c ＝b ，∴d 1∶d 2＝ab c ∶b ＝a ∶c ＝1∶2，即c ＝2a ，则ba ＝c 2－a 2a ＝aa ＝1，∴双曲线渐近线方程为y ＝±x ．故选A ．35．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，F 为其一个焦点，若F 关于l 1的对称点在l 2上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x35．答案 B 解析 不妨取F (c ，0)，l 1：bx －ay ＝0，设其对称点F ′(m ，n )在l 2：bx ＋ay ＝0，由对称性可得⎩⎨⎧b ·m ＋c 2－a ·n 2＝0n m －c ·ba ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a 2－b 2a 2＋b2cn ＝2abca 2＋b2，点F ′(m ，n )在l 2：bx ＋ay ＝0，则a 2－b 2a 2＋b 2·bc ＋2a 2bca 2＋b2＝0，整理可得b 2a 2＝3，∴b a ＝3，双曲线的渐近线方程为：y ＝±bax ＝±3x .故选B.36．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±22x D ．y ＝±2x36．答案 D 解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ．又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6．由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ．37．已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±6x D ．y ＝±66x 37．答案 D 解析 根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∵△ABF 2为等边三角形，∴|BF 2|＝|AB |，∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ，又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×⎝⎛⎭⎫－12＝28a 2，亦即c 2＝7a 2，则b ＝c 2－a 2＝6a 2＝6a ，由此可得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±66x ．38．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝038．答案 A 解析 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，即2x ±y ＝0． 题型五 双曲线中的最值与范围39．P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( ) A ．1 B ．2＋155 C ．4＋155D ．22＋1 39．答案 D 解析 如图所示，设双曲线右焦点为F 2，则|PF 1|＋|PQ |＝2a ＋|PF 2|＋|PQ |，即当|PQ |＋|PF 2|最小时，|PF 1|＋|PQ |取最小值，由图知当F 2，P ，Q 三点共线时|PQ |＋|PF 2|取得最小值，即F 2到直线l 的距离d ＝1，故所求最值为2a ＋1＝22＋1．故选D ．40．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线上在第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( )A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋317 40．答案 B 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝233，c ＝7，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，c 2＝7，则双曲线C 的方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，又点P 在第一象限，则|PF ′|＋|P A |的最小值为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10． 41．过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线， 切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．1941．答案 B 解析 由题意可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)，因此|PM |2－|PN |2＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13．故选B ． 42．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上 的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4B ．5C ．6D ．742．答案 C 解析 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4，0)，半径为r 2＝1．设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2．又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5．又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6．故选C ．43．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．43．答案 [3＋23，＋∞) 解析 由题意，得22＝a 2＋1，即a ＝3，设P (x ，y )，x ≥3，FP →＝(x ＋2， y )，则OP →·FP →＝(x ＋2)x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43⎝⎛⎭⎫x ＋342－74，因为x ≥3，所以OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．44．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，如果|PF 1|＝t |PF 2|(t ∈(1，3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．44．答案 (0，3] 解析 由双曲线的定义及题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝t |PF 2|，解得⎩⎨⎧|PF 1|＝2att －1，|PF 2|＝2a t －1.又|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2at t －1＋2a t －1≥2c ，整理得e ＝c a ≤t ＋1t －1＝1＋2t －1，∵1<t ≤3，∴1＋2t －1≥2，∴1<e ≤2．又b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1，∴0<b 2a 2≤3，故0<ba ≤3．∴双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是(0，3]．45．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是________．45．答案 ⎣⎡⎦⎤－1516，－34 解析 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝⎛⎭⎫1＋n 2b 2．又F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则PF 1→＝(－1－m ，－n )，PF 2→＝(1－m ，－n )，PF 1→·PF 2→＝n 2＋m 2－1＝n 2＋a 2⎝⎛⎭⎫1＋n 2b 2－1＝n 2⎝⎛⎭⎫1＋a 2b 2＋a 2－1≥a 2－1，当且仅当n ＝0时取等号，所以PF 1→·PF 2→的最小值为a 2－1．由2≤1a ≤4，得14≤a ≤12，故－1516≤a 2－1≤－34，即PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1516，－34．。
双曲线渐近线方程记忆诀窍
双曲线渐近线方程记忆诀窍
双曲线是高中数学中的重要内容，其中双曲线渐近线方程更是考试中的热点难点。
为了帮助大家更好地掌握双曲线渐近线方程，下面分享一些记忆诀窍。
1. 双曲线渐近线方程的一般形式是 y=±a/x，其中 a 为常数。
2. 当双曲线的开口朝左右方向时，其渐近线方程为 y=0，即 x 轴为渐近线。
3. 当双曲线的开口朝上下方向时，其渐近线方程为 x=0，即 y 轴为渐近线。
4. 当双曲线的开口朝左右或上下方向时，其渐近线方程为 y=x 或 y=-x，即双曲线两支的交点为原点，而且两支的对称轴分别为 y=x 和 y=-x。
5. 当双曲线的离心率 e>1 时，其渐近线方程为 y=±ex，其中 e 为离心率。
6. 当双曲线的离心率 e<1 时，其渐近线方程为 y=±a/x，其中a=√(1-e)。
以上是双曲线渐近线方程的记忆诀窍，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这个知识点。
同时也要注意多做练习，熟练掌握渐近线方程的应用技巧。
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高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
历年高三数学高考考点之双曲线的渐近线和离心率必会题型及答案
历年高三数学高考考点之<双曲线的渐近线和离心率>必会题型及答案体验高考1.过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.433 B.23C.6D.4 3答案 D解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x ，y A )，(x ，y B )，将x ＝c ＝2代入渐近线方程y ＝±3x 得到y A ，y B ，进而求|AB |.由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.2.已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b4＋b 2，即第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b 4＋b2，故8×4b4＋b2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.3.已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A.m ＞n 且e 1e 2＞1B.m ＞n 且e 1e 2＜1C.m ＜n 且e 1e 2＞1D.m ＜n 且e 1e 2＜1答案 A解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. 4.已知点P 和Q 横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C 1和C 2，若C 1的渐近线为y ＝±3x ，则C 2的渐近线方程为____________.答案 y ＝±32x 解析 设点P 和Q 的坐标为(x ，y )，(x 0，y 0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝2y 0，又因为C 1的渐近线方程为y ＝±3x ，故设C 1的方程为3x 2－y 2＝λ， 把点坐标代入，可得3x 20－4y 20＝λ， 令λ＝0⇒3x ±2y ＝0， 即为曲线C 2的渐近线方程， 则y ＝±32x .5.已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.答案33解析 直接求解双曲线的渐近线并比较系数.双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a >0，所以1a ＝3，所以a ＝33.高考必会题型题型一 双曲线的渐近线问题例1 (1)已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( ) A.－2327B.－32C.－932 D.－233答案 B解析 双曲线ax 2＋by 2＝1的渐近线方程可表示为ax 2＋by2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，ax 2＋by 2＝0得(a ＋b )x 2－2bx ＋b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2ba ＋b， y 1＋y 2＝2aa ＋b，所以原点和线段AB 中点的直线的斜率k ＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝a b ＝－32， 故选B.(2)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点).①求双曲线C 的方程；②过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值.解 ①设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1， 直线OB 的方程为y ＝－1ax ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B (c 2，－c2a ).又直线OA 的方程为y ＝1ax ，则A (c ，ca )，k AB ＝c a －(－c 2a )c －c 2＝3a.又因为AB ⊥OB ，所以3a ·(－1a)＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.②由①知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0. 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M (2，2x 0－33y 0)；直线l 与直线x ＝32的交点为N (32，32x 0－33y 0).则|MF |2|NF |2＝(2x 0－3)2(3y 0)214＋(32x 0－3)2(3y 0)2＝(2x 0－3)29y 204＋94(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)23y 20＋3(x 0－2)2.因为P (x 0，y 0)是C 上一点， 则x 203－y 20＝1， 代入上式得|MF |2|NF |2＝43·(2x 0－3)2x 20－3＋3(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)24x 20－12x 0＋9＝43， 即所求定值为|MF ||NF |＝23＝233.点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y ＝±b a x ⇔x a ±y b ＝0⇔x 2a 2－y 2b 2＝0，所以可以把标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.(2)已知双曲线渐近线方程：y ＝b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，求出λ即得双曲线方程.变式训练1 已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为154，则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0B.2x ±y ＝0C.x ±2y ＝0D.2x ±y ＝0 答案 C解析 由已知，得e 1＝1－(b a)2，e 2＝1＋(b a)2，所以e 1e 2＝1－(b a)4＝154，解得b a ＝±12， 所以C 2的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±12x ，即x ±2y ＝0，故选C. 题型二 双曲线的离心率问题例2 (1)点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( ) A.2B.3C.5D. 6(2)(2016·课标全国甲)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin F 2＝13，则E 的离心率为( )A.2B.32C.3D.2答案 (1)C (2)A解析 (1)双曲线的渐近线方程为：y ＝b ax ， 由题意可求得点A (p 2，p )代入渐近线得b a ＝pp2＝2，∴(b a )2＝4，∴c 2－a 2a2＝4， ∴e 2＝5，∴e ＝5，故选C.(2)离心率e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin Msin F 1－sin F 2＝2231－13＝ 2.故选A.点评 在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e ＝ca是一个比值，故只需根据条件得到关于a 、b 、c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形求e ，并且需注意e >1.同时注意双曲线方程中x ，y 的范围问题.变式训练2 (2016·上海)双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点.(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且(F 1A →＋F 1B →)·AB →＝0，求l 的斜率. 解 (1)由已知F 1(－b 2＋1，0)，F 2(b 2＋1，0)， 取x ＝b 2＋1，得y ＝b 2， |F 1F 2|＝3|F 2A |，∵|F 1F 2|＝2b 2＋1，|F 2A |＝b 2， ∴2b 2＋1＝3b 2，即3b 4－4b 2－4＝(3b 2＋2)(b 2－2)＝0， ∴b ＝2，∴渐近线方程为y ＝±2x . (2)若b ＝3，则双曲线方程为x 2－y 23＝1，∴F 1(－2，0)，F 2(2，0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则F 1A →＝(x 1＋2，y 1)，F 1B →＝(x 2＋2，y 2)，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴F 1A →＋F 1B →＝(x 1＋x 2＋4，y 1＋y 2)，(F 1A →＋F 1B →)·AB →＝x 22－x 21＋4(x 2－x 1)＋y 22－y 21＝0，(*) ∵x 21－y 213＝x 22－y 223＝1，∴y 22－y 21＝3(x 22－x 21)，∴代入(*)式，可得4(x 22－x 21)＋4(x 2－x 1)＝0， 直线l 的斜率存在，故x 1≠x 2， ∴x 1＋x 2＝－1.设直线l 为y ＝k (x －2)，代入3x 2－y 2＝3， 得(3－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋3)＝0， ∴3－k 2≠0，且Δ＝16k 4＋4(3－k 2)(4k 2＋3)＝36(k 2＋1)>0， x 1＋x 2＝－4k 23－k 2＝－1，∴k 2＝35，∴k ＝±155， ∴直线l 的斜率为±155. 题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题例3 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若∠PAQ ＝60°，且OQ →＝3OP →，则双曲线C 的离心率为( ) A.74B.73C.72D.7 答案 C解析 如图所示，设∠AOQ ＝α，∴tan α＝b a ⇒cos α＝a c ，sin α＝b c，∴|OH |＝a ·cos α＝a 2c ，|AH |＝a ·sin α＝abc，又∵OQ →＝3OP →，∴|OP |＝|PH |＝|HQ |＝a 22c，∴|AH |＝3|PH |⇒ab c ＝3·a 22c⇒2b ＝3a ，∴e ＝1＋(b a)2＝72. 故选C.点评 解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.变式训练3 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为( )A.2或233B.6或233C.2或3D.3或 6答案 A解析 由题意可知，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的倾斜角为30°或60°，则k ＝b a ＝3或33， 则e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2或233. 高考题型精练1.已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233答案 A解析 由双曲线方程可求出F 1，F 2的坐标，再求出向量MF 1→，MF 2→，然后利用向量的数量积公式求解.由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0). ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 2.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的离心率为( )A.5B.52C.5或52D.2 答案 A解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由题意可得b a＝2，即有b ＝2a .c ＝a 2＋b 2＝5a ，可得e ＝c a＝5，故选A.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A.43B.53C.2D.73 答案 B解析 由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ① 又|PF 1|＝4|PF 2|，②联立①②解得|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值， 当cos ∠F 1PF 2＝－1时，解得e ＝53，即e 的最大值为53，故选B.4.双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2，若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，则双曲线的离心率是( ) A.3＋52 B.5＋12 C.5－12 D.3－52答案 B解析 由题意，得直线F 1B 1的方程是bx －cy ＋bc ＝0， 因为圆与直线相切，所以点O 到直线F 1B 1的距离等于半径，即bc b 2＋(－c )2＝a ，又b 2＝c 2－a 2，得c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，e 4－3e 2＋1＝0，e 2＝3＋52，e ＝1＋52，故选B. 5.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M ，O ，N 将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A.3B.2C.3D. 2 答案 B解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)， 因为它们共焦点，所以它们的半焦距均为c ， 所以椭圆与双曲线的离心率分别为e 1＝c a ，e 2＝c m， 由点M ，O ，N 将椭圆长轴四等分可知m ＝a －m ，即2m ＝a ，所以e 2e 1＝c m c a＝am＝2，故选B.6.若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A.焦距相等B.半实轴长相等C.半虚轴长相等D.离心率相等答案 A解析 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线.双曲线x 225－y 29－k＝1的半实轴长为5，半虚轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y29＝1的半实轴长为25－k ，半虚轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等.故选A.7.已知F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 是双曲线C 的中心，直线y ＝mx是双曲线C 的一条渐近线，以线段OF 为边作正三角形AOF ，若点A 在双曲线C 上，则m ＝________. 答案 3＋2 3解析 因为直线y ＝mx 是双曲线C 的一条渐近线，所以m ＝b 2a2，又A 在双曲线C 上，三角形AOF 是正三角形，所以A (12c ，32c )，(12c )2a 2－(32c )2b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2，化为a 2＋b 24a 2－3(a 2＋b 2)4b2＝1， 14＋14m －34－34m＝1， 因为m >0，可解得m ＝3＋2 3.8.设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________. 答案324解析 设P (x ，b3ax )，则由题意，知c ＝|x |，因为PF 1垂直于x 轴，则由双曲线的通径公式知|b 3a x |＝b 2a ，即b 3a c ＝b 2a ，所以b ＝c3.又由a 2＝c 2－b 2，得a 2＝89c 2，所以e ＝c a ＝324.9.(2016·山东)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.答案 2解析 由已知得|AB |＝2b2a，|BC |＝2c ，∴2×2b2a＝3×2c ，又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍去).10.已知A (1，2)，B (－1，2)，动点P 满足AP →⊥BP →，若双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________. 答案 (1，2)解析 根据条件AP →⊥BP →，可得P 点的轨迹方程x 2＋(y －2)2＝1，求出双曲线的渐近线方程y ＝b ax ，运用圆心到直线的距离大于半径，得到3a 2>b 2， 再由b 2＝c 2－a 2， 得出离心率e ＝c a<2，又双曲线离心率e >1，所以1<e <2.11.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点F 1关于渐近线的对称点恰好在以F 2为圆心，|OF 2|(O 为坐标原点)为半径的圆上，则该双曲线的离心率为______. 答案 2解析 设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 设一条渐近线方程为y ＝－b ax ， 则F 1到渐近线的距离为bca 2＋b2＝b ，设F 1关于渐近线的对称点为M ，F 1M 与渐近线交于点A ，所以|MF 1|＝2b ， A 为F 1M 的中点，又O 是F 1F 2的中点，所以OA ∥F 2M ，∠F 1MF 2是直角， 由勾股定理得：4c 2＝c 2＋4b 2， 化简得e ＝2.12.已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1.(1)求与双曲线C 1有相同焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A 、B 两点，当OA →·OB →＝3时，求实数m 的值.解 (1)∵双曲线C 1：x 2－y 24＝1，∴焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵双曲线C 2与双曲线C 1有相同焦点，且过点P (4，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，16a 2－3b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)双曲线C 1的两条渐近线为y ＝2x ，y ＝－2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x ＋m 可得x ＝m ，y ＝2m ，∴A (m ，2m )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，y ＝x ＋m 可得x ＝－13m ，y ＝23m ，∴B (－13m ，23m )，∴OA →·OB →＝－13m 2＋43m 2＝m 2，∵OA →·OB →＝3，∴m 2＝3，∴m ＝± 3.。
双曲线高考6大常考基础题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第20讲双曲线高考6大常考基础题型总结【考点分析】考点二：双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为22b a．考点三：双曲线常考性质结论①双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b ；顶点到两条渐近线的距离为常数ab c;②双曲线上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222a b c；考点四：双曲线焦点三角形面积为2tan2b θ（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）【题型目录】题型一：利用双曲线定义解题题型二：求双曲线的标准方程题型三：双曲线焦点三角形面积题型四：双曲线的渐近线有关题型题型五：双曲线的离心率问题题型六：双曲线的最值问题【典型例题】题型一：利用双曲线定义解题【例1】已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，0y +=，若点M在双曲线C 上，且15MF =，则2MF =（）A ．9B ．1C ．1或9D ．1或7【例2】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=【例3】已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为．【答案】121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+= 【例4】已知曲线C 的方程为221mx ny +=，下列说法正确的是（）A ．若0mn >，则曲线C 为椭圆B ．若0mn <，则曲线C 为双曲线C ．若曲线C 为焦点在x 轴的椭圆，则0m n >>1n【题型专练】1.设双曲线221169x y -=的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆2216x y +=相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN MO -=（）A ．12B ．1C ．32D ．22.已知F 1、F 2分别为双曲线C :29x -227y =1的左、右焦点，点A 为C 上一点，点M 的坐标为(2，0)，AM为∠F 1AF 2的角平分线．则|AF 2|=.3.方程132m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A ．23m -<<B ．20m -<<C ．2m <-或3m >D ．32m -<<题型二：求双曲线的标准方程【例1】与椭圆22:11612y x C +=共焦点且过点(的双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122y x -=D ．2213y x -=【答案】C 【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得a 的值，再由b =b 的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆C 的焦点坐标为()0,2±，设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，由双曲线的定义可得2a =-=，a ∴2c = ，b ∴=因此，双曲线的方程为22122y x -=.故选：C.【例2】已知圆22:(4)16M x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点(4,0)A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=【例3】已知双曲线H ：219x y a -=（0a >），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形ABCD 的面积为4a ，则双曲线的方程为（）A ．22199x y -=B ．221189x y -=C ．221279x y -=D ．221369x y -=【例4】已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线C 的右支上，12MF MF ⊥，若1MF 与C 的一条渐近线l 垂直，垂足为N ，且12NF ON -=，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2212016x y -=B ．221204x y -=C ．221416x y -=D ．221420x y -=，【题型专练】1．已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在y ，则双曲线的标准方程是（）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212xy -=D ．2212y x -=2．已知双曲线C 的焦点为1F ，)2F ，点P 在双曲线C 上，满足112PF F F ⊥，14PF =，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．22132x y -=D ．22123x y -=3．已知圆M ：()2224x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点()2,0A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=4.已知双曲线方程为222x y k -=，焦距为6，则k 的值为________.故答案为：±6.5．（2022·重庆·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F ，左右顶点为1A ，2A ，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，设12PA A α∠=，21PA A β∠=，当直线l 绕着2F 转动时，下列量保持不变的是（）A ．1PQA △的周长B ．1PF Q 的周长与2PQ之差C ．tan tan αβD ．tan tan αβ⋅【答案】BD 【解析】【分析】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，可判断A ，根据双曲线定义求解可判断B ，设(),P x y ，则tan ,tan y y a xx aαα==-+-根据商与积的值可判断CD ．【详解】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，故A 不正确；1PF Q 的周长为1122442PF QF PQ a PF QF PQ a PQ++=+++=+所以1PF Q 的周长与2PQ之差为4a ，故B 正确；设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-，由tan tan a xa xαβ-=+不是常量，故C 不正确；由22222222221tan tan x b y y a y b a x a x a x a x aαβ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅==-+---为常量，故D 正确；故选：BD题型三：双曲线焦点三角形面积【例1】设双曲线2222:1(00)x y C a b a b，-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F．P 是C 上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：ca=c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥ ，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ，又∵5==ace ，∴1=a ．解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ．【例2】已知1F ，2F 是双曲线C ：()2210,0436x y a b -=>>的左、右焦点，M ，N 是C 上关于原点对称的两点，且12MN F F =，则四边形12MF NF 的面积是______．，即可求得四边形【题型专练】1．已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22144x y -=的左、右焦点，P 是C 上一点，且位于第一象限，120PF PF ⋅= ，则（）A ．PB ．12PF =C ．12PF F △的周长为4D ．12PF F △的面积为42.设1F ，2F 是双曲线2:13C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则△12PF F 的面积为（）A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵121||1||2OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ．题型四：双曲线的渐近线有关题型焦点在x 轴上的渐近线为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-±=02222b y a x x a b y 焦点在y 轴上的渐近线为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-±=02222b x a y x b a y 若双曲线的方程为122=+ny mx ，要求渐近线只需令022=+ny mx ，解出即可即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
双曲线渐近线方程推导总结
双曲线渐近线方程推导总结双曲线是一条具有特殊形状的曲线，它有着独特的渐近线。
本文将对双曲线的渐近线方程进行推导并进行总结。
双曲线的定义双曲线是一个平面上的几何形状，其定义可以用以下方程表示：$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $，其中 $ a $ 和 $ b $ 分别是双曲线的参数。
双曲线的渐近线双曲线具有两条渐近线，一条是水平的渐近线，另一条是垂直的渐近线。
它们分别与双曲线的两个极限值轨迹相切。
水平渐近线方程推导对于双曲线 $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $，当 $ x $ 趋向于正无穷大时，可得到 $ y $ 的极限值为正无穷大。
同理，当$ x $ 趋向于负无穷大时，$ y $ 的极限值为负无穷大。
因此，当 $ y $ 趋向于正无穷大时，$ \frac{x^2}{a^2} $ 的值将无穷接近于 $ \frac{y^2}{b^2} + 1 $，即 $ \frac{x^2}{a^2} \approx \frac{y^2}{b^2} + 1 $。
进一步简化可得 $ \frac{x^2}{a^2} \approx \frac{y^2}{b^2} $。
通过取平方根可得 $ \frac{x}{a} \approx \pm \frac{y}{b} $，即$ y \approx \pm \frac{b}{a} x $。
因此，双曲线的水平渐近线方程为 $ y = \pm \frac{b}{a} x $。
垂直渐近线方程推导对于双曲线 $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $，当 $ y $ 趋向于正无穷大时，可得到 $ x $ 的极限值为正无穷大。
同理，当$ y $ 趋向于负无穷大时，$ x $ 的极限值为负无穷大。
因此，当 $ x $ 趋向于正无穷大时，$ \frac{y^2}{b^2} $ 的值将无穷接近于 $ \frac{x^2}{a^2} - 1 $，即 $ \frac{y^2}{b^2} \approx\frac{x^2}{a^2} - 1 $。
高中高考考点难点常见题型(带答案解析)双曲线(解析版)
(a+m)2 +(b+m)2 (a+m)2
所以,当a>b时,e1<e2;
当a<b时,e1>e2.
简单 已测：3518次 正确率：92.9%
22
6.
设双曲线 x2 a2
−
y2 b2
=
1(a>0, b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于
B, C两点,过B, C分别作AC, AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于
=1
D. x2 4
−
y2 3
=1
考点：双曲线的标准方程的求解、双曲线的渐近线问题
知识点：双曲线的标准方程、双曲线的渐近线
答案：D
解析：由题意可得
b a
=
3 2
,
c
=
7,又c2
=
7 = a2+b2,解得a2
= 4, b2
=
3,故双曲线的方程为
x2 4
−
y2 3
=
1.
一般 已测：1871次 正确率：76.7%
,所以 ,则由题意知 ,即 ,所 (
b2 a
)2
=
(c
−
a)∣F D∣
∣F D∣
=
a2
b4 (c−a)
a2
b4 (c−a)
<a+
a2 + b2
a2
b4 (c−a)
<a
+
c
以b4<a2(c
−
a)(a
+
c),即b4
<a2
(c2 −a2
,即) b4<a2b2
高考数学冲刺专题3.8 双曲线的综合问题(新高考)(解析版)
专题3.8 双曲线的综合问题与双曲线有关的解答题的求解策略：（1）熟知双曲线的渐近线、双曲线的方程及双曲线的性质是求解此类问题的关键； （2）对于双曲线中的定值、定点问题，属于难题，一般解法是设直线、联立方程组、根与系数关系、结合已知条件化简即可得出答案．【预测题1】已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F （3，0），左、右顶点分别为M ，N ，点P 是E 在第一象限上的任意一点，且满足k PM •k PN ＝8． （1）求双曲线E 的方程；（2）若直线PN 与双曲线E 的渐近线在第四象限的交点为A ，且△P AF 的面积不小于，求直线PN 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）x 228y-=1．（2）0＜k ≤ 【解析】（1）设P （x 0，y 0），则k PM 00y x a =+，k PN 00y x a=-，所以k PM •k PN 20220y x a==-8，即20y =8x 02﹣8a 2， 又P （x 0，y 0）是双曲线上的点，所以220022x y a b -=1，即y 0222b a =x 02﹣b 2，所以22b a=8，又双曲线的右焦点为（3，0），所以a 2+b 2＝9．所以a 2＝1，b 2＝8，所以双曲线的方程为x 228y -=1．（2）由（1）可知N （1，0），双曲线的过第四象限的渐近线方程为y ＝﹣x ，设直线PN 的方程为x ＝my +1，则直线PN 的斜率为k 1m=，显然m ＞0．联立方程组1x my y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，可得yA =联立方程组22118x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得y P 21618m m =-， 所以S △P AF 122=⨯⨯（y P ﹣y A）21618m m=+=-令2818m m+≥-，解得m 24≥，所以01m≤＜0＜k ≤【名师点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题． 【预测题2】郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合．双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似．双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线､反射式天文望远镜利用了其光学性质等等．（1）已知A ，B 是在直线l 两侧且到直线l 距离不相等的两点，P 为直线l 上一点．试探究当点P 的位置满足什么条件时，||PA PB -取最大值；（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称．证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点．【答案】（1）当P 的位置使得l 为APB ∠的平分线时，||PA PB -取最大值；（2）证明见解析．【解析】（1）不妨设A 点到直线l 的距离比B 点到直线l 的距离大，作点A 关于直线l 的对称点A '．当A '，B ，P 三点共线，即l 为APB ∠的平分线时， 有PA PB PA PB A B ''-=-=，当A '，B ，P 三点不共线，即l 不是APB ∠的平分线时，取这样的点P '， 则A '，B ，P '能构成一个三角形，故P A P B P A P B A B ''''''-=-＜(两边之差小于第三边)，因此，当且仅当P 的位置使得l 为APB ∠的平分线时，||PA PB -取最大值．（2）不妨设双曲线的焦点在x 轴上，实半轴长为a ，虚半轴长为b ，左右焦点分别为1F ，2F ，入射光线1l 从2F 出射，入射点Q ，反射光线2l ， 双曲线在Q 点处的切线3l ，3l 在Q 点处的垂线4l ，由光的反射定律，1l ，2l 关于4l 对称，故1l ，2l 关于3l 对称， 要证：反射光线2l 过点1F ，只要证：3l 是12FQF ∠的角平分线，定义双曲线焦点所在区域为双曲线的内部，渐近线所在区域为双曲线的外部，由双曲线的定义，12||2FQ F Q a -=，双曲线上任意一点满足方程为22221x y a b-=， 若12||2FQ F Q a ''->，Q '满足不等式22221x y a b->，即Q '与焦点同在双曲线内部； 若12||2FQ F Q a ''''-<，Q ''满足不等式22221x y a b-<，即Q ''在双曲线外部． 故：对于双曲线内部的任意一点Q '，有12||2FQ F Q a ''-＞， 对于双曲线外部的任意一点Q ''，有12||2FQ F Q a ''''-＜， 又3l 是双曲线在Q 点处的切线，故在3l 上有且仅有一点Q 使得12||2FQ F Q a -=， 3l 上其他点Q '''均有12||2FQ F Q a ''''''-＜， 故Q 是3l 上唯一使得12||FQ F Q -取最大值的点， 又1F ，2F 到直线3l 距离不相等，根据（1）中结论，可知3l 是12FQF ∠的角平分线， 故反射光线2l 过点1F ，命题得证．【名师点睛】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左右焦点分别为1F ，2F ，则有：若(,)Q x y 为双曲线上任意一点，则12||2FQ F Q a -=，且22221x ya b-=；若(,)Q x y 为双曲线内部任意一点，则12||2FQ F Q a ->，且22221x ya b->； 若(,)Q x y 为双曲线外部任意一点，则12||2FQ F Q a -<，且22221x ya b-<．【预测题3】已知双曲线的中心在原点，1F 、2F 倍，双曲线过点(4,．（1）求双曲线的标准方程；（2）若点(3,)M m 在双曲线上，求证：点M 在以12F F 为直径的圆上；（3）在（2）的条件下，若直线2MF 交双曲线于另一点N ，求1F MN △的面积．【答案】（1）22166x y -=；（2）证明见解析；（3）12+． 【解析】（1）设双曲线标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>双曲线焦距为2c ，实轴长为2a ，则2c =，即c =2222b c a a ∴=-= ∴双曲线方程为222x y a -=代入(得216106a =-= ∴双曲线的标准方程为22166x y-=（2）由（1）知()1F -，()2F()3,M m 在双曲线上 296m ∴-=，即23m =()13,MF m ∴=--，()223,MF m =-()()2123391230MF MF m ∴⋅=-⨯+=-+= 12MF MF ∴⊥M ∴在以12F F 为直径的圆上（3）由（2）知(M或(3,当(M 时，直线2MF方程为)(()323y x x =-=--即((26y x =-++代入双曲线方程整理可得(26260y y --+=MN ∴)2==-1F MN ∴∆的面积为)(12122122S F F =⋅=+=+由双曲线对称性可知，当(3,M 时，1F MN ∆面积与(M 时一致1F MN ∴∆的面积12S =+【名师点睛】本题考查双曲线几何性质、直线与双曲线知识的综合应用问题，涉及到双曲线方程的求解、与双曲线焦点弦有关的三角形面积的求解问题，属于常考题型．【预测题4】已知坐标原点为O ，双曲线()2222C :10,0x y a b a b-=>>的焦点到其渐近线的． （1）求双曲线的方程；（2）设过双曲线上动点()00,P x y 的直线0012y yx x -=分别交双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，求AOB 的外心M 的轨迹方程．【答案】（1）2212y x -=；（2）22924x y -=． 【解析】（1）由已知可得2c e a ====b == 即21a =，22b =，所以双曲线的方程为2212y x -=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，且由已知得22012y x -=，渐近线方程为y =，联立0012y y x x y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得1002x =11y =；联立0012y y x x y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得2002x =，所以22y =；法一：设AOB 的外心(),M x y ，则由MA MO MB ==得()()()()2222221122x x y x y x x y -+=+=-++即211113322xx x x x =⇒+=——①，同理222223322xx x x x =⇒=——②，①②两式相乘得2212924x y x x -=，因为12220112x x yx ===-所以AOB 的外心M 的轨迹方程为22924x y -=； 法二：设AOB 的外心(),M x y ，线段OA的中垂线方程为11222y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 线段OB的中垂线方程为22222y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立1122222222y x y x y x y x ⎧⎛⎫-=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎫⎪-=-⎪⎪⎝⎭⎩，解得())121234x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为12022000022222x x x x y x +===-，1202200000222x xyx-===-即())120012033242343384x x x x x xy yy x x y⎧⎧=+==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==-=⎪⎪⎩⎩，代入22012yx-=得2248199x y-=，所以AOB的外心M的轨迹方程为22924x y-=.【名师点睛】解答本题第二问的关键是通过三角形的外心对应的几何特点即外心到三角形的三个顶点的距离相等，由此通过坐标的化简运算得到对应的轨迹方程．此外，三角形任意两边中垂线的交点也是三角形的外心，也可借由此结论完成解答．【预测题5】过双曲线2222:1(0,0)x ya ba bΓ-=>>左焦点1F的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为2F．（1）若三角形2ABF可以是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；（2）若存在直线l，使得22AF BF⊥，求Γ离心率的取值范围．【答案】（1）2212yx-=；（2e1<≤+．【解析】（1）依题意得12AF=，24AF=，12F F=2122a AF AF=-=，1a=122==c F Fc=2222b c a=-=此时Γ的方程为2212yx-=；（2）设l的方程为x my c=-，与22221x ya b-=联立，得()22222420b m a y b cmy b--+=设()11,A x y，()22,B x y，则2122222b cmy yb m a+=-，412222by yb m a=-，由22AF BF⊥220F A F B ⋅=，()()12120x c x c y y --+=，()()()()24222222212122201440my c my c y y m b m c b c b m a --+=⇒+-+-=()()()2222422222224414114a c m b a c m a c c a b⇒+=⇒+=≥⇒≥- 所以44224260e 6e 10c a a c +-≤⇒-+≤， 因为e 1>，所以21e 322<≤+ 所以1e 12<≤+又A 、B 在左支且l 过1F ，所以120y y <，42222222222424011b a a c a m m b m a b b b<⇒<⇒+=<+- 所以222224e 5a b c a <=-⇒> 5e 12<≤+．【名师点睛】本题考查求双曲线的标准方程，考查直线与双曲线相交问题．解题方法是设()11,A x y ，()22,B x y ，设l 的方程为x my c =-，直线方程代入双曲线方程应用根与系数关系得1212,y y y y +，条件22AF BF ⊥转化为220F A F B ⋅=，化简后代入根与系数关系的结论可得,,a c m 关系式，然后结合不等式的性质得出离心率的不等式，求得其范围．【预测题6】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为32，过双曲线C 的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为N ，且FON (O 为坐标原点)5 （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若P ，Q 是双曲线C 上的两点，且P ，Q 关于原点对称，M 是双曲线上异于P ，Q 的点．若直线MP 和直线MQ 的斜率均存在，则MP MQ k k ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22145x y -=；（2）是定值，定值为54．【解析】（1）双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=， 所以点(),0F cbcb c==． 所以FON的面积为111||||222NF ON ba ⋅=⋅=⋅=即ab =因为双曲线C的离心率为32c a ====，所以2254b a =，即2b a =．代人ab =，解得2a =，所以b =故双曲线C 的标准方程为22145x y -=．（2）MP MQ k k ⋅是定值，理由如下：设()11,P x y ，()00,M x y ，则()11,Q x y --，2201x x ≠，所以22002211145145x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减并整理得2201220154y y x x -=- 所以220101012201010154MP MQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==-+-． 所以MP MQ k k ⋅是定值，且该定值为54． 【名师点睛】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【预测题7】已知双曲线C 过点(，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过原点，点P 是曲线C 上任一点，直线PM ，PN 的斜率都存在，记为PM k 、PN k ，试探究PM PN k k ⋅的值是否与点P 及直线l 有关，并证明你的结论；（3）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点Q 坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）2214x y -=；（2）14PM PN k k ⋅=，PM PN k k ⋅的值与点P 及直线l 无关，证明见解析；（3）存在，23,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭， 3164QM QN ⋅=-，理由见解析【解析】（1）因为渐近线方程为12y x =±． 所以可设双曲线为224x y λ-=，将点(代入2244λ-=，解得=1λ所以双曲线C 的方程为2214x y -=（2）直线l 过原点，由双曲线的对称性知道，点M 、N 关于原点对称． 设点(),M m n ，(,)P x y ，则点(),N m n --代入2214x y -=，有2244m n =+，2244x y =+所以PM y n k x m -=-，PN y nk x m+=+． 2222=PM PNy n y n y n k k x m x m x m-+-⋅=⋅-+- 将2244m n =+，2244x y =+代入得22221444PM PNy n k k y n -⋅==-．所以14PM PN k k ⋅=，PM PN k k ⋅的值与点P 及直线l 无关． （3）由题意知直线l 斜率存在，故设直线为()1y k x =- ， 点()11,M x y 、()22,N x y 、(),0Q t ，由()22114x y y k x ⎧⎪⎨-==-⎪⎩，得 ()2222148440k x k x k -+--= ，2140k ->且>0∆ ， 22121222844=,=4141k k x x x x k k ++--， 又()11,QM x t y =-，()22,QN x t y =-，所以()()()()()()1212121211QM QN x t x t y y x t x t k x k x ⋅=--+=--+--()()()()22221212=1k x x t k x x t k +-++++ ()()()22222222448=14141k k k t k t k k k ++-+++--()22227844=41t t k t k -++-- ，令227844=41t t t -+--解得238t =，此时3164QM QN ⋅=-. 【预测题8】已知A 、B 是双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的两个顶点，点P 是双曲线上异于A 、B 的一点，O 为坐标原点，射线OP 交椭圆2C ：22221x y a b+=于点Q ，设直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k ．（1）若双曲线1C 的渐近线方程是12y x =±，且过点1)2，求1C 的方程； （2）在（1）的条件下，如果12158k k +=，求△ABQ 的面积；（3）试问：1234k k k k +++是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）2214x y -=；（2）1617；（3）定值为0．【解析】（1）双曲线1C 的渐近线方程是12y x =±设双曲线方程为224x y λ-=，将点1)2代入方程，解得1λ=1C 的方程为2214x y -=．（2）设00(,)P x y ，00001220002152248y y x y k k x x x +=+==+-- ， 220014x y -=，化简得到：00415x y = 根据对称性不妨设11(,)Q x y 在第一象限，Q 在OP 上，则11415x y =，代入方程2214x y +=得到1817y = ，1816421717ABQ S ∆=⨯⨯= ； （3）设00(,)P x y ，11(,)Q x y ，000011111234222200110122y y x y y y x y k k k k x a x a x a x a x a x a+++=+++=++-+---， 2200221x y a b -=，2211221x y a b+=， 22200001111222222201010122222()x y b x x x y b x x b x a x a a y a y a y y +=-=---，,,O P Q 三点共线20011201012()0y x y x b x x a y y ⇒=⇒-= ，12340k k k k +++=，【名师点睛】本题考查了双曲线和椭圆的知识，计算量大，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力．【预测题9】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一动点P ，左、右焦点分别为12,F F ，且2(2,0)F ，定直线3:,2l x PM l =⊥，点M 在直线l上，且满足2||||PM PF = （1）求双曲线的标准方程；（2）若直线0l 的斜率1k =，且0l 过双曲线右焦点与双曲线右支交于,A B 两点，求1ABF 的外接圆方程．【答案】（1）2213x y -=；（2）221316258832x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】（1）由题意，知2||PF PM =，设点(,)P x y3=，所以22243(2)32x y x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得222444433x x y x x -++=-+，整理得2213x y +=， 即双曲线的标准方程为2213x y -=．（2）由题意，知直线0:2l y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程，得22213y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得2212150x x -+=， 故126x x +=， 12152x x =，而12124y y x x +=+-， 所以AB 中点为(3,1)M ，而1ABF 外接圆圆心在AB 的垂直平分线1l 上，则1:4l y x =-+，又由焦点弦长公式，可知12|||AB x x =-==设圆心00,x y 满足()()()002222200004312y x x y x y =-+⎧⎪⎨-+-+=++⎪⎩，解得001831.8x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以半径R ==故外接圆方程为221316258832x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【名师点睛】（1）设动点坐标，根据线段的比例关系，结合两点距离公式列方程，整理即可得双曲线的标准方程；（2）由直线与双曲线的位置关系，应用弦长公式求弦长；由三角形外接圆圆心的性质，结合弦长、弦心距、半径间的几何关系，求圆心坐标及半径，进而写出圆的方程．【预测题10】已知等轴双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)经过点，12)．（1）求双曲线C 的标准方程； （2）已知点B (0，1)．①过原点且斜率为k 的直线与双曲线C 交于E ，F 两点，求∠EBF 最小时k 的值； ②点A 是C 上一定点，过点B 的动直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，AP AQ k k +为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值．【答案】（1）221x y -=；（2）①0k =；②),Aλ=或者(),A λ=．【解析】（1）由题意a b =，且2251441a b -=解得1a b ==， 所以双曲线C 的标准方程为221.x y -= （2）①由对称性可设()(),,,E x y F x y --，且1≥x ，则()()22,1,11BE BF x y x y x y ⋅=-⋅---=--+，因为E 点在双曲线C 上，所以221x y -=，所以221y x =-，所以()2210BE BF x⋅=-≤，当1x =时，0,BE BF EBF ∠⋅=为直角， 当1x >吋，0,BE BF EBF ∠⋅<为钝角． 因此，EBF ∠最小时，1,0x k ==． ②设(),,A m n 过点B 的动直线为 1.y tx =+设()()1122,,,,P x y Q x y 联立2211x y y tx ⎧-=⎨=+⎩得()221220t x tx ---=，所以()22212212210Δ48102 121t t t t x x t x x t ⎧-≠⎪=+->⎪⎪-⎨+=-⎪-⎪⎪=--⎩，由210t -≠且Δ0>，解得22t <且21t ≠，AP AQ k k λ+=，即1212,y n y n x m x m λ--+=--即121211tx n tx nx m x mλ+-+-+=--， 化简得()()()2121221220t x x mt n m x x m mn m λλλ-+-+-++-+-=， 所以()()222222122011t t mt n m m mn m t tλλλ--+-+-+-+-=--， 化简得()()2222212220m mn t m n t m mn m λλλλ-+--+-+-=，由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立，所以2220102220m mn m n m mn m λλλλ⎧-=⎪--=⎨⎪-+-=⎩如果0,m =那么1,n =-此时()0,1A -不在双曲线C 上，舍去．因此0,m ≠从而22,m n =代入21m n =+解得1,n m ==此时()A 在双曲线C 上．综上，),A λ=或者(),A λ=．【名师点睛】本题考查直线与双曲线位置关系之定值问题，属于较难题，关键在于将直线与双曲线的方程联立，得出根与系数的关系，继而将目标条件转化到曲线上的点的坐标上去．。
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秒杀题型一：由双曲线的方程求渐近线:
秒杀思路： 已知双曲线方程求渐近线方程: ;
若焦点在x轴上，渐近线为 ；
若焦点在y轴上，渐近线为 。
1.(高考题)双曲线 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
【解析】：选C。
2.(2013年新课标全国卷 4)已知双曲线 : ( )的离心率为 ,则 的渐近线方程为( )
12.(2018年新课标全国卷I11)已知双曲线 , 为坐标原点, 为 的右焦点,过 的直线
与 的两条渐近线的交点分别为 .若 为直角三角形,则 = ( )
A. B.3C. D.4
【解析】：渐近线方程为 ，∵ 为直角三角形，假设 ， ,
∴ ，∴ ，选B。
13.(2018年新课标全国卷 11)设 是双曲线 的左，右焦点， 是坐标原
A. B. C. D.
【解析】：由上题，选C。
7.(2009年新课标全国卷4)双曲线 - =1的焦点到渐近线的距离为( )
A. B.2 C. D.1
【解析】：由秒杀公式得 ，选A。
8.(2014年新课标全国卷I4)已知 是双曲线 : 的一个焦点,则点 到 的一条渐近线的距离为( )
A. B.3 C. D.
【解析】：由秒杀公式得 ，选A。
9.(高考题)已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线
的距离等于( )
A. B. C.3 D.5
【解析】：抛物线与双曲线的焦点为 ，则b= ，所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ，选
A。
10.(2018年江苏卷)在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 ，则其离心率的值是．
秒杀思路： 。
〖母题1〗求与双曲线 有公共的渐近线,且经过点A 的双曲线的方程.
【解析】：设双曲线方程为： ，代入点A得 ，双曲线方程为： 。
1.(高考题)设双曲线 经过点 ,且与 具有相同渐近线,则 的方程为；渐近线方程
为.
【解析】：设双曲线方程为： ，代入点 得 =-3，双曲线的方程为： ，渐近线方程为 。
点.过 作 的一条渐近线的垂线,垂足为 .若 ,则 的离心率为( )
A. B.2C. D.
【解析】： , ，又.(2016年北京卷)双曲线 的渐近线为正方形 的边 所在的直线，点 为该双曲线的焦点.若正方形 的边长为2,则 =.
【解析】： ， ，即 ，而 ， 。
A. B. C. D.
【解析】：由 ，得 ，选C。
3.(高考题)若双曲线 的离心率为 ,则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【解析】：由 ，得 ，选B。
〖母题2〗已知双曲线的对称轴为坐标轴,一条渐近线为 ,则双曲线的离心率为( )
A.5或 B. 或 C. 或 D.5或
【解析】：若焦点在x轴上，则有 ， ；若焦点在y轴上，则有 ， ；选B。
线的右焦点为圆 的圆心,则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
【解析】：c=3，r=b=2， a= ，选A。
5.(2007年新课标全国卷13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为．
【解析】：由相似成比例可得： 。或由上面的秒杀公式直接得到答案。
6.(高考题)双曲线 的顶点到其渐近线的距离等于( )
4.(2018年新课标全国卷II5)双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
( )
A. B. C. D.
【解析】：(秒杀方法)设 ，则 ，选A。
5.(高考题)已知 ,椭圆 的方程为 ,双曲线 的方程为 , 与 的离心率之积为 ,则 的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【解析】： ，得 ，选A。
秒杀题型二：有共同渐近线双曲线方程的设法：
秒杀题型四：双曲线的焦点到渐近线的距离：
秒杀思路：双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 。
秒杀公式：焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率。
1.(高考题)已知双曲线 : ,以 的右焦点为圆心且与 的渐近线相切的圆的半径是( )
A. B. C. D.
【解析】：以 的右焦点为圆心且与 的浙近线相切的圆的半径等于右焦点到渐近线的距离，即等于 ，选D。
2.(高考题)双曲线 的渐近线与圆 相切,则 = ( )
A. B.2 C.3 D.6
【解析】：因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以r=b= ，选A。
3.(高考题)以双曲线 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程( )
A. B.
C. D.
【解析】：因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以r=b= ，选A。
4.(高考题)已知双曲线 的两条渐近线均和圆 : 相切,且双曲
【解析】： ，设 ，所以离心率为2。
11.(2018年天津卷)已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点.设 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
【解析】：秒杀方法：由梯形中位线知,焦点到此渐近线的距离为3，即 ，选C。
秒杀题型三：已知渐近线方程设双曲线方程：
秒杀思路： 。
1.(2015年新课标全国卷II)已知双曲线过点 ,且渐近线方程为 ,则该双曲线的标准方程为．．
【解析】：设双曲线方程为： ，将点 代入得 ，所以双曲线方程为 。
2.(高考题)若双曲线的渐近线方程为 ,它的一个焦点是 ,则双曲线的方程是.
【解析】：设双曲线方程为： ，因为焦点在x轴上，化简为 ， 得 ，双曲线方程为： 。