双曲线的渐近线
双曲线的渐近线和共轭双曲线
x2 y2 = 1 的共轭双曲线的顶点和焦点坐 1,求双曲线 求双曲线 9 4
标及渐近线和准线方程. 标及渐近线和准线方程. 2,求与椭圆 ,
x2 y2 有共同的焦点,且与椭圆相交, + = 1 有共同的焦点,且与椭圆相交 27 36
一个交点的纵坐标为4的双曲线方程. 一个交点的纵坐标为 的双曲线方程. 的双曲线方程
椭圆
标准方程
双曲线
x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0) =1(a>0,
X=-a
x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) y B2
A1 F1 0 A2
y
B2
几何 图形 范围 对称性 顶点
X=a
F2
B1
x
F1
A
1
0
A2 F 2
B1
x
|x |≤a ,|y |≤ b
中心对称, 中心对称,轴对称 A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b) (0-
y
B2
A1
O
B1
2
2
b A2 a
x
解释说明: 解释说明: (1)渐近线是双曲线特有的几何性质,它决定着双曲线 (1)渐近线是双曲线特有的几何性质, 渐近线是双曲线特有的几何性质 开口的开阔程度. 开口的开阔程度. (2)两条渐近线的交点是双曲线的中心. (2)两条渐近线的交点是双曲线的中心. 两条渐近线的交点是双曲线的中心 (3)以四条直线x=± 和y=± 或 ± 和 ± ) (3)以四条直线x=±a和y=±b(或x=±b和y=±a)围成 以四条直线x= 的矩形的对角线所在直线就是渐近线. 的矩形的对角线所在直线就是渐近线. (4)两条渐近线相交所成的角叫夹角(含双曲线的部 两条渐近线相交所成的角叫夹角( 两条渐近线相交所成的角叫夹角 y ):2种求解方式 种求解方式. 分): 种求解方式.
双曲线的渐近线与渐变点的几何应用解析
双曲线的渐近线与渐变点的几何应用解析双曲线作为一种常见的数学曲线，具有许多重要的几何特性。
其中，渐近线和渐变点是双曲线的两个重要概念，其在几何应用中也具有重要的作用。
本文将对双曲线的渐近线和渐变点进行详细解析，并探讨其在几何应用中的应用。
一、双曲线的基本知识双曲线是由平面上满足一定关系的点构成的曲线。
它的数学表示可以是通过一个焦点F和一条直线d来定义，其中距离焦点F和直线d的距离之差是一个常数。
双曲线可用以下方程表示：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1这里a和b是双曲线的参数，决定了曲线的形状和大小。
当a>b时，双曲线的主轴与x轴平行，而当a<b时，主轴与y轴平行。
二、双曲线的渐近线渐近线是指曲线在无限远处趋近的一条直线。
对于双曲线来说，它有两条渐近线，分别与曲线的两个分支无限接近。
我们来具体分析一下双曲线的渐近线。
1. 直线y = (b/a)x 是双曲线的渐近线。
如果我们考虑另一个方程(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = -1，可以发现这个方程与双曲线的两个分支的边界部分相交。
这是因为它们共享一条边界线，即直线y = (b/a)x。
而当我们将这个方程变换为(x^2/a^2) -(y^2/b^2) = 1时，右边的正号确定了双曲线的一条分支。
当我们观察双曲线的图像时，会发现直线y = (b/a)x在无限远处与双曲线的分支趋近于重合。
因此，直线y = (b/a)x是双曲线的一条渐近线。
2. 直线y = -(b/a)x 是双曲线的另一条渐近线。
同理，我们可以通过考虑方程(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = -1来得到双曲线的另一个分支的边界线。
这时，双曲线的方程应变为(x^2/a^2) -(y^2/b^2) = 1，而右边的正号决定了双曲线的另一条分支。
观察双曲线的图像时，会发现直线y = -(b/a)x在无限远处与双曲线的分支趋近于重合。
因此，直线y = -(b/a)x是双曲线的另一条渐近线。
高中双曲线渐近线方程
高中双曲线的渐近线方程可以通过以下步骤推导出来：
首先，双曲线的一般方程可以表示为：
a2x2−b2y2=1
其中，a和b是双曲线的半轴长。
为了找到渐近线的方程，我们可以将双曲线方程改写为：
y2=a2b2x2−b2
然后，我们取x的值趋于无穷大（即x→∞），这样y的值也会趋于无穷大（即y→∞）。
在这种情况下，方程中的常数项−b2可以忽略不计，因为与x2和y2相比，它的影响可以忽略不计。
因此，我们可以得到：
y2≈a2b2x2
进一步开方，得到：
y≈±abx
这就是双曲线的渐近线方程。
它表示当x趋于无穷大时，双曲线将趋近于这两条直线。
注意，这里的渐近线方程是近似的，只在x趋于无穷大时成立。
在有限范围内，双曲线与渐近线之间会有一定的差距。
1。
双曲线切线与渐近线面积结论推导
双曲线切线与渐近线面积结论推导
双曲线的渐近线方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上），或令双曲线标准方程x/a-y/b=1中的1为零，即得渐近线方程。
方程x/a-y/b=1(a＞0,b＞0)
c＝a＋b
焦点坐标（-c,0）,(c,0)
渐近线方程：y=±bx/a
方程 y/a-x/b=1(a＞0,b＞0)
c＝a＋b
焦点坐标（0,c）,(0,-c)
渐近线方程：y=±ax/b
几何性质
1.双曲线 x/a-y/b =1的直观几何性质
(1)范围：|x|≥a,y∈r.
(2)对称性：双曲线的'对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.
(3)顶点：两个顶点a1(-a,0),a2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c=a+b.与椭圆不同.
方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上）
或令双曲线标准方程x/a-y/b=1中的1为零即得渐近线方程.
(5)距心率e>1，随着e的减小，双曲线张口逐渐显得宽广.
(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±b/a*x,离心率e=c/a=√2
(7)共轭双曲线：方程 x/a-y/b=1与x/a-y/b=-1 则表示的双曲线共轭，存有共同的渐近线和成正比的焦距，但须要著重方程的表达形式.。
双曲线的渐近线公式
双曲线的渐近线公式
1通径长度
椭圆、双曲线的通径长均为|ab|=2b^2/a
(其中a就是长轴或实轴的1/2,b就是长轴或虚轴的1/2,不论椭圆或双曲线的焦点在
x轴还是y轴都存有这个结论）
抛物线的通径长为|ab|=4p
（其中p为抛物线焦准距的1/2）
过焦点的弦中，通径是最短的
这个结论只对椭圆和抛物线适用于,对双曲线须另外探讨
如果双曲线的离心率e\ue根号2,则过焦点的弦以实轴为最短,即最短的焦点弦为2a
如果双曲线的距心率e=根号2,则通在径与实轴等短,它们都就是最短的焦点弦
如果双曲线的离心率0a\ue0时,
|mn|=2ab^2(k^2+1)/[(bk)^2+a^2]
2双曲线的定义
定义1：平面内，至两个定点的距离之高的绝对值为常数（大于这两个定点间的距离）的点的轨迹称作双曲线。
定点叫做双曲线的焦点
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双
曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线
定义3：一平面封盖一圆锥面，当横截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个
圆锥都平行时，交线称作双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
双曲线的渐近线方程与像解析
双曲线的渐近线方程与像解析双曲线是数学中的一种曲线形状，具有对称性和渐近线的特点。
在研究双曲线时，渐近线方程和像解析是重要的内容。
本文将介绍双曲线的渐近线方程和像解析的相关知识。
一、双曲线的定义和基本特性双曲线可以通过以下方程定义：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1 （1）其中 a 和 b 是实数且 a > 0，b > 0。
双曲线的图像是两个分离的曲线分支，中心对称于原点 O(0,0)。
双曲线的两个焦点 F1 和 F2 到原点的距离之差等于常数 2a。
双曲线的渐近线是指曲线在无穷远处的趋势线。
根据双曲线的定义，当 x 趋向于正无穷或负无穷时，y 趋向于 ±b/a×x。
因此，双曲线的渐近线方程可以表示为：y = ±b/a×x （2）这里的 ±表示曲线类型的不同分支。
二、双曲线的像解析像解析是指通过一些特定的几何变换，将双曲线的方程化简为简单的标准形式。
对于双曲线，一种常见的像解析方法是通过旋转坐标轴来消去平方项的交叉项。
给定双曲线的方程（1），可以通过以下步骤进行像解析：1. 令x = x'cosθ + y'sinθ，y = -x'sinθ + y'cosθ，其中θ 是旋转角度。
2. 将（1）中的 x 和 y 用 x' 和 y' 的表达式替换。
3. 通过旋转角度θ 的选择，可以使交叉项消失。
4. 结果会得到一个简化的双曲线方程。
通过这种像解析的方法，我们可以将双曲线方程转化为形如下述标准形式：x'^2 / a'^2 - y'^2 / b'^2 = 1 （3）标准形式中，双曲线的焦点在原点上，参数 a' 和 b' 是与原方程中的a 和b 相关的参数。
三、渐近线方程的应用渐近线方程在研究双曲线的性质和应用时起到重要的作用。
通过渐近线方程，我们可以判断双曲线的趋势和与坐标轴的交点。
双曲线的渐近线(微视频用)
渐近线定义为如果曲线上的一点沿着趋于无穷远 时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此条直线为 曲线的渐近线。双曲线渐近线方程，是一种几何图形 的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的 一些数据的处理。
信息技术的应用
用《几何画板》画双曲线 ，在位于第一象限的 x y 曲线上画一点M，测量点的横坐标以及它到 3 2 1 直线的距离d.沿曲线向右上角拖动点M,观察xm与d的大 小关系，你发现了什么？
2 2 2
x2 y2 在方程 2 2 1中，如果a b，那么双曲线的 a b 2 2 2 方程为x y a , 它的实轴和虚轴长都等于2a .
实轴和虚轴等长的双曲 a , y a围 成 正 方 形 ， 渐 近 线方程为y x,它们互相垂直，并且平分双曲线实轴 和 虚 轴 所 成 的 角.
对于双曲线 得双曲线渐近线方程 b y x 即 a
x2 y 2 1(a 0, b 0) a 2 b2
，把方程右边的1换成0， x y x y 0, 0 a b a b ，故
2 2 2 2
知道渐近线方程如何求双曲线？
根据双曲线渐近线方程的过程，来求双曲线方程， 两边直接平方作差，然后“=”右边直接设为 即可，最后代入其它条件求出解析式。 b y x a 例如：若双曲线的渐近线方程是 ，则双曲线 a y x b 方程可设为 ，然后在代入其它条件。
x2 y2 1 9 4
动态演示.gsp
x2 y2 b 对于双曲线 2 2 1，直线y x叫做双曲线的渐近线. a b a
y2 x2 对于双曲线 2 2 1，渐近线方程是什么呢？ a b
注：渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双
双曲线的渐近线又叫极限切线或假性切线
(一)2222:1y xa bΓ−=為左右型的雙曲線,中心為(0,0)試証:02222=−by a x 即1:00x y bL bx ay y x a b a−=⇔−=⇔= 與2:00x y bL bx ay y x a b a−+=⇔+=⇔=為雙曲線的兩條漸近線1:pf 用課本方法令00(,)P x y 在雙曲線上面,則必2200221x y a b −=成立又220022222222001x y abb x a y a b −=⇒−=22222200||b x a y a b ⇒−=⇒220000||||bx ay bx ay a b −+=2222a b a b ⇒=+ 即221222(,)(,)a b d P L d P L a b =+i (常數)又當P 點在雙曲線Γ上且在第一象限向右上方延伸時,則2(,)d P L 一定越來越大所以2222211(,)(,)0a b d P L a b d P L •+=•→所以1L 為雙曲線在第一象限的漸近線NOTE：此種證法為課本的證明方法,可說是不清不楚。
2:pf 在第一象限時,鉛直線x=α(a α≥)一定與雙曲線及直線by x a=均有一個交點 (1)鉛直線x α=與b y x a =的交點坐標為1(,)(,)b P P y aααα=(2)鉛直線x α=與12222=−by a x 的交點坐標為2(((,)Q Q Q y ααα==由1b y a α==2y =⇒11221y y y y >⇔> (第一象限時雙曲線在直線by x a=之下方)(b a PQ α==(),f a αα=≥則必(),f a αα≥為漸減函數,,其函數值由b 減少到0+3:pf (Q x ,,(,)bx P x a其中x a ≥則必Q 點在P 點的下方且(Q x 為雙曲線2222:1y x a bΓ−=在第一象限上的動點又:0ba L y x bx ay =⇔−=則必(,)d Q L x ===(),h x x a =≥則必(),h x x a ≥減少到0+note:至於第二,三,四象限,利用雙曲線本身及兩漸近線均對稱於x 軸,y 軸,便一目了然矣。
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双曲线的渐近线
【教学目标】
1.知识教学点：使学生理解并掌握双曲线的渐近线的导出和论证，以及双曲线的渐近线的作用•
1
2.能力训练点：在与初中所学的y 的图象的类比中获得双曲线的渐近线的特点，从而
x
培养学生分析、归纳、推理等能力.
3.学科渗透点：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质（渐近线）的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解.
【教材分析】
1.教学重、难点：双曲线的渐近线的导出和论证.
1
（解决办法：引导学生类比初中所学的y —的图象的特点，然后逐一证明）
x
2.教学疑点：双曲线的渐近线的发现和证明.
（解决办法：通过类比以及几何画板猜测）
【教学程序】
1.新课引入
课前播放“悲伤双曲线”的音乐。
我们前面已经学习了双曲线，你对双曲线有哪些了解呢？
（标准方程、中心、顶点、对称轴、离心率、准线等）
1
那么你对这条双曲线：y —（的图像）又有哪些了解呢？
x
你能找出它的中心吗？顶点呢？（双曲线和对称轴的交点），从而引出对称轴。
我们发现这条双曲线的对称轴并不是x、y轴，但是x、y轴又和这条双曲线的关系很密切，
你能说说它们的关系吗？（1）无交点；（2）逐渐接近一>无限接近。
（板书）从而引出课题“双曲线的渐近线”。
（板书）
2.新课讲解
【探索1】我们通常研究的双曲线的焦点都在坐标轴上（以焦点在x轴上的双曲线为例），
1
所以我们可以将y 的图像绕原点顺时针旋转45度，得到焦点在x轴上的双曲线。
x
这说明焦点在x轴上的双曲线也有渐近线。
那么，一般的双曲线的渐近线在哪里呢？大家猜猜看。
（停顿）
能否根据其特征（无交点、逐渐接近- > 无限接近）找到它呢？（按特征的顺序依次研究）—、、x2 y2
【探索2】你能找到和双曲线— 2 1（a 0,b 0）的图象没有交点的直线吗？（y轴等
a b
过原点的部分直线）
2 2
【探索3】那么这么多和双曲线—占1（a 0, b 0）的图象没有交点的直线中，到底哪
a b
一条是和其逐渐接近并且无穷远处无限接近的呢？
（通过几何画板进行猜测）
先取a= 1,改变b的取值，比较直线的斜率和a, b的关系，
再取a = 2,改变b 的取值，比较直线的斜率和 a , b 的关系。
引导学生发现该直线的斜率 k -。
a
【探索4】几何画板的猜测不能代替证明，那么如何证明上述猜想的结果呢？
（学生可能说出几种不同的方案，取一种方案在几何画板上进行演示，然后证明） 我们不妨先以具体实例证明，并根据对称性取第一象限证明。
设双曲线的方程为 2
x
~2 a 2
b
1
，
（1 ）证明直线y
b
x 2
x 与双曲线— 2
1无父点，易证; a a
b
（2 ）证明逐渐趋近— ＞无限接近。
2 2
设M （x,y ）是双曲线 笃 每 1上的第一象限的一点， N （x, y ）是直线上与M 有相同横坐标
a b
【探索5】我们回到课前引入的问题。
我们能不能求出旋转后的双曲线的标准方程呢？ 由旋转前后的不变性，可求出 a .2，再由b 1，可求得：b . 2 ,
a
2 2
所以双曲线的标准方程为：
——1。
2 2
我们把实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线。
3 •例题讲解
2 2
例1 :求双曲线—£
4 9
（由学生到黑板前板演，并提问是如何画出草图的（先画渐近线） 的（描点），继续追问描的哪个点，从而引出矩形框的讲解）
的点，贝V |MN | y
-(x ,x a
a 2
)
ab ~2
2
x \ x a
从而x 增大直至趋于正无穷大时, |MN|逐渐减小直至趋于 即：点M 向无穷远处运动时,
M 点就无限接近于直线
0 ；
b x 。
a
2
x 综上，双曲线冷
a
2
y
1的渐近线方程为
b 2
根据对称性，其他象限类似。
我们称直线y
— x 为双曲线—2 y ? a a b 1(a 0,b 0）的渐近线。
1的渐近线方程，并画出双曲线的草图。
，追问渐近线是如何画出
2 2
【变】求双曲线工—1的渐近线方程。
9 4
(学生可能出现两种答案，此时在几何画板上进行验证，并得出焦点在
y 轴上的双曲线
y 2 x 2
a
2 — 1(a 0,b 0)的渐近线方程y x )
a b
b
3
由于例1和变式的结果都是y
x ，进而引出下面的追问
1。
2
3
【追问1】以直线y
— x 为渐近线的双曲线方程，你还能写出几个吗？
2
2
(如 —
4
y 3
2等，进而可以总结：以直线 y
—x 为渐近线的双曲线方程可以统一表 9 2
2
示为一
4
y 2 (
0))。
(可以用几何画板演示结果)
9
【追问2】上述方程中 0,若 0，表示的是什么呢?
4 •课堂小结(略) 【教学反思】 1. 本节课的教学设计初衷是以学生的认知水平、
认知习惯为出发点，逐步寻找最近发展区, 从而
使学生能够顺利的接受并理解双曲线的渐近线；
2. 关于双曲线的渐近线的证明一直是本节课的矛盾点，若证明，则较难突破这一难点，若 不证明，则不符合学生猜测后证明的思想；
3. 对于双曲线的渐近线的应用则不是本节课的重点，因而淡化处理。
(恰好为双曲线的渐近线方程，进而总结：双曲线
a 2
b 2
1(a 0,b 0)的渐近线方程
2
为—
2 a
x 2
了
1(a 0
，
b
0)的渐近线方程为
2
y 2 a。