初一数学平方差公式专题提高训练
(完整版)平方差公式练习题
【题型一】利用平方差公式计算
1．位置变化：（1）
（2）
符号变化：（3）
（4）
系数变化：（5）
（6）
指数变化：（7）
（8）
2．增项变化
（1）
（2）
（3）
（4）
3．增因式变化
（1）
（2）
【题型二】利用平方差公式判断正误
4．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型三】运用平方差公式进行一些数的简便运算例
A． B． C． D．
5．解方程： ．
6．若 ，求 的值．
二．提搞部分
【典型例题】
例1．用平方差公式计算：
（1） （2） （3）
例2. 用简便方法计算（1） （2）
例3.计算
思考:化简 （其中a≠1）
例4.已知 ，求:（1） ; (2)
例5.计算：502×498 1.01×0.99 30.8×29.2 25.5×24.5
三、解答题
1.计算：(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
2.试求: 的个位数字。
3.解方程
4.设 为自然数且满足 ,则 的值为多少?
一．填空题
1．若 则x+y=2. =
3． =4．
二、选择题
1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（）
A． B． C． D．
2．在下列各式中，运算结果是 的是（）
A． B． C． D．
2．对于任意整数n,能够整除代数式 的整数是（）
A．4 B．3 C．5 D．2
3．若正整数x,y满足 ,则这样的正整数对 的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
平方差公式练习题精选(含答案)
平方差公式练习题精选(含答案)平方差公式是一种用于计算两个数的平方差的公式，可以用于简化计算。
下面给出了一些例子：1.(m+2)(m-2) = m^2 - 42.(1+3a)(1-3a) = 1 - 9a^23.(x+5y)(x-5y) = x^2 - 25y^24.(y+3z)(y-3z) = y^2 - 9z^2利用平方差公式，可以简化计算，例如：1.(5+6x)(5-6x) = 25 - 36x^22.(x-2y)(x+2y) = x^2 - 4y^23.(-m+n)(-m-n) = m^2 - n^2有些多项式的乘法可以用平方差公式计算，例如：7.B。
(－a+b)(a－b)有些计算中存在错误，例如：8.②（2a2－b）（2a2+b）=4a4-b2完全平方公式是一种用于计算两个数的平方和的公式，可以用于简化计算。
下面给出了一些例子：1.(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^22.(-2m+5n)^2 = 4m^2 - 20mn + 25n^23.(2a+5b)^2 = 4a^2 + 20ab + 25b^24.(4p-2q)^2 = 16p^2 - 16pq + 4q^2利用完全平方公式，可以简化计算，例如：1.(x-y^2)^2 = x^2 - 2xy^2 + y^42.(1.2m-3n)^2 = 1.44m^2 - 7.2mn + 9n^23.(-a+5b)^2 = a^2 - 10ab + 25b^24.(-x-y)^2 = x^2 + 2xy + y^2最后，我们可以用完全平方公式计算一些复杂的表达式，例如：14.(a+2)(a^2+4)(a^4+16)(a-2) = (a^6 - 4a^5 - 24a^4 - 64a^3+ 16a^2 + 128a + 128)完全平方公式还可以用于解方程，例如：9.x+y = -310.4x^2 - y^211.(3x^2+2y^2)^2 = 9x^4 - 4y^412.(a+b)^2 - (a-b+1)^2 = 4ab - 2a + 2b13.31.下列运算中，正确的是（）A．（a+3）（a-3）=a2-9B．（3b+2）（3b-2）=9b2-4C．（3m-2n）（-2n-3m）=-12mnD．（x+2）（x-3）=x2-x-62.在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）C．（-a+b）（a-b）3.对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（）B．64.若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（）D．-105.9.8×10.2=100.366.a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab7.（x-y+z）（x+y+z）=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz8.（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc9.（x+3）2-（x-3）2=12x+1810.1) 4a2-9b22) p4-q23) x2-4xy+4y24) 4x2+4xy+y211.1) 4a4-b22) 4xy(x+y)12.剩余的空地面积为(m-2n)2-n2(m-2n)2-n2，验证了平方差公式：(a-b)(a+b)=a2-b2.13.如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k 的值为（）D．±214.已知a+=3，则a2+2，则a+的值是（）B．715.若 $a-b=2$，$a-c=1$，则 $(2a-b-c)^2+(c-a)^2$ 的值为（）答案：B。
初一数学平方差公式专题提高训练
①10.3×9．７
②（2m＋ｎ﹣p)（2ｍ﹣n＋p）
7.（20１４春•黄冈月考)对于算式2（３＋1）（3２＋1）(３４+1）（３8+1）（31６＋1)（3３2+１)＋1．
(１)不用计算器,计算它的结果;
（２）求出它的末位数字．
8．（2013秋•无为县期末)计算下列各题：
27.小明在计算3（4＋1）（42＋1）时，把３写成4﹣１后,得3（４+１）(42+1)=（4﹣１）(4+１）(42+１)=(42﹣1)（42+１)=44﹣1，仿照上式方法计算:(2+1）（22＋1)（２4+1）(28＋1）…（2２５6+1）﹣2５12的值．
28．用平方差公式速算:30 ×29 .
2９.简便计算:2０１3２﹣2０１2×２01４﹣9992.
4．(2０1４春•江山市校级期中）如图,将左图中的阴影部分裁剪下来,重新拼成一个如右图的长方形.
（1)根据两个图中阴影部分的面积相等,可以得到一个数学公式，这个公式的名称叫.
（2）根据你在(1)中得到的公式计算下列算式:（1﹣ )(1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ )…(1﹣ )(1﹣ ).
5.(2０14春•宝安区校级月考）观察下列式子．
（2）用简便方法计算：9×1１×101×１0001．
12．(20１０秋•涵江区期末）计算:100２﹣9９2+9８2﹣97２+…＋22﹣12.
13．（2010春•南岸区期末）运用整式乘法公式计算:
(１）1001×9９９＋1；
（2）20102﹣2011×2009．
14．(201０春•濮阳校级月考)应用乘法公式进行计算:200６×２０08﹣20072．
平方差公式专题练习50题有答案
平方差公式专项练习50题（有答案）知识点：(a+b)(a-b)=a2-b2两数和与这两数差的积,等于它们的平方差特点:具有完全相同的两项具有互为相反数的两项使用注意的问题：1、是否符合平方差公式使用的特点2、判断公式中的“a”和“b”是一个数还是一个代数式3、对“式”平方时要把全部平方，切忌出现漏乘系数的错误，如（a+2b）（a-2b）不要计算成a2-2b24、最好先把能用平方差的式子变形为（a+b）（a-b）的形式，再利用公式进行计算。
专项练习：1．9.8×10.22.（x-y+z）（x+y+z）3.（12x+3）2-（12x-3）24.（2a-3b）（2a+3b）5.（-p2+q）（-p2-q）6.（-1+3x）（-1-3x）7.(x+3) (x2+9) (x-3)8.(x+2y-1)(x+1-2y)9.（x-4）（4+x ）10．（a+b+1)（a+b-1）11.（8m+6n ）（8m-6n ）12． （4a -3b ）（-4a -3b ）13． （a+b)（a-b ）（a ²+b ²）14．．15．．16．．17.．，则18. 1.01×0.9919.20.21.22.23.23.24.25.26.27.28.29.30.（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）=（4a2-b2）（4a2+b2）31.（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．32. 2023×191333.（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．34.（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；35.（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－4016 3236. 2009×2007－20082．37.22007200720082006-⨯．38.22007 200820061⨯+．39．解不等式（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）．40.x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3），41．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？42.先化简，再求值，其中43.解方程：．44.计算：45.求值：46．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（•1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a－b）（a+b）=_______．②（a－b）（a2+ab+b2）=______．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．47（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m，n和数字4．48.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1所示，然后拼成一个平行四边形，如图2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下．49．你能求出的值吗？50．观察下列各式：根据前面的规律，你能求出的值吗？平方差公式50题专项练习答案： 1．9.8×10.2=（10-0.2）（10+0.2）=10-0.2=100-0.04=99.96．2.（x-y+z ）（x+y+z ）=x 2+z 2-y 2+2xz3.（12x+3）2-（12x -3）2=（12x+3+12x -3）[12x+3-（12x -3）]=x ·6=6x ．4.（2a-3b ）（2a+3b ）= 4a 2-9b 2；5.（-p 2+q ）（-p 2-q ）=（-p 2）2-q 2=p 4-q 26.（-1+3x ）（-1-3x ）=1-9x ²7.(x+3) (x 2+9) (x-3) =x 4-818.(x+2y-1)(x+1-2y)= x ²-4y ²+4y-19.（x-4）（4+x ）=x ²-1610．（a+b+1)（a+b-1）=（a+b ）²-1=a ²+2ab+b ²-111.（8m+6n ）（8m-6n ）=64m ²-36n ²12． （4a -3b ）（-4a -3b ）=13． （a+b)（a-b ）（a ²+b ²）=．14．． 15．． 答： 16．． 答： 17.．，则18.1.01×0.99=0.9999 19.= 20.= 21.=22.= 23. =8096 23. =24. =125. =26. =27. =28. =29. =．30.（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）=（4a2-b2）（4a2+b2）=（4a2）2-（b2）2=16a4-b4．31.（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．=[x+（y-z）][x-（y-z）]-[x+（y+z）][x-（y+z）]=x2-（y-z）2-[x2-（y+z）2]=x2-（y-z）2-x2+（y+z）2=（y+z）2-（y-z）2=（y+z+y-z）[y+z-（y-z）]=2y·2z=4yz．32. 2023×1913=（20+23）×（20－23）=202－（23）2=400－49=39959．33.（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）=（a－2）（a+2）（a2+4）·（a4+16）=（a2－4）（a2+4）（a4+16）=（a4－16）（a4+16）=a8－162=a8－256．34. 解：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1=（2－1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1=（22－1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1=（24－1）（24+1）…（22n+1）+1=…=[（22n）2－1]+1=24n－1+1=24n；35.（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－4016 32=12（3－1）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632=12（32－1）（32+1）·（34+1）…（32008+1）－401632=…=12（34－1）（34+1）…（32008+1）－401632=…=12（34016－1）－401632=401632－12－401632=－12．36. 2009×2007－20082=（2008+1）×（2008－1）－20082=20082－1－20082=－1．37.22007200720082006-⨯=220072007(20071)(20071)-+⨯-=2220072007(20071)--=2007．38.22007200820061⨯+=22007(20071)(20071)1+⨯-+=222007200711-+=2220072007=1．39．解不等式（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）．（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4），（3x）2+2×3x·（-4）+（-4）2>（3x）2-42，9x2-24x+16>9x2-16，-24x>-32．x<43．40.x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3），x2+2x+4x2－1=5x2+15，x2+4x2－5x2+2x=15+1，2x=16，x=8．41．解：（2a+3）（2a－3）=（2a）2－32=4a2－9（平方米）．42. 原式=43.解方程：．百度文库- 让每个人平等地提升自我44.计算： =5050．45.求值： =46.（1）1－x n+1（2）①－63；②2n+1－2；③x100－1（3）①a2－b2②a3－b3③a4－b4点拨：（1），（3）题根据观察到的规律正确填写即可；（2）题①中利用观察到的规律可知，原式=1－26=1－64=－63；②中原式=2（1+2+22+…+2n－1）=－2（1－2）（1+2+22+…+2n－1）=－2（1－2n）=－2+2·2n=2n+1－2；③中原式=－（1－x）（1+x+x2+…+x97+x98+x99）=－（1－x100）=x100－1．47．解：（m+2n）（m－2n）=m2－4n2．点拨：本题答案不唯一，只要符合要求即可．48.解：题图1中的阴影部分（四个等腰梯形）的面积为a2－b2，题图2•中的阴影部分（平行四边形）的底为（a+b），这个底上的高为（a－b），故它的面积为（a+b）（a－b），•由此可验证：（a+b）（a－b）=a2－b 2．图1 图249．解; 提示：可以乘以再除以．50．解：=11。
平方差公式练习题及答案
平方差公式练习题及答案平方差公式练习题及答案平方差公式是数学中常见的一个公式，用于求解两个数的平方差。
它的形式如下：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2在解决数学问题中，掌握平方差公式是非常重要的。
下面将给出一些平方差公式的练习题及答案，帮助读者更好地理解和掌握这个公式。
练习题一：计算下列式子的值：1. (5 + 3)(5 - 3)2. (12 + 7)(12 - 7)3. (9 + 4)(9 - 4)4. (15 + 6)(15 - 6)5. (8 + 2)(8 - 2)答案一：1. (5 + 3)(5 - 3) = 8 * 2 = 162. (12 + 7)(12 - 7) = 19 * 5 = 953. (9 + 4)(9 - 4) = 13 * 5 = 654. (15 + 6)(15 - 6) = 21 * 9 = 1895. (8 + 2)(8 - 2) = 10 * 6 = 60练习题二：根据已知条件，应用平方差公式求解下列问题：1. 若a = 5，b = 3，求(a + b)(a - b)的值。
2. 若a = 10，b = 6，求(a + b)(a - b)的值。
3. 若a = 8，b = 2，求(a + b)(a - b)的值。
4. 若a = 15，b = 9，求(a + b)(a - b)的值。
5. 若a = 20，b = 12，求(a + b)(a - b)的值。
答案二：1. (a + b)(a - b) = (5 + 3)(5 - 3) = 8 * 2 = 162. (a + b)(a - b) = (10 + 6)(10 - 6) = 16 * 4 = 643. (a + b)(a - b) = (8 + 2)(8 - 2) = 10 * 6 = 604. (a + b)(a - b) = (15 + 9)(15 - 9) = 24 * 6 = 1445. (a + b)(a - b) = (20 + 12)(20 - 12) = 32 * 8 = 256通过以上练习题，我们可以看到平方差公式的应用是非常简单直观的。
湘教版数学七年级下册_《平方差公式》提高训练
《平方差公式》提高训练一、选择题1．如图，从边长为（a+2）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的小正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的周长为（）A．（4a+4）cm B．（4a+6）cm C．（4a+8）cm D．（8a+4）cm 2．若（2﹣x）（2+x）（4+x2）=16﹣x n，则n的值等于（）A．6B．4C．3D．23．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1的值是（）A．1024B．28+1C．216+1D．2164．若（x+1）（x﹣1）（x2+1）（x4+1）=x n﹣1，则n等于（）A．16B．8C．6D．45．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a+b）=a2+abC．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2二、填空题6．计算：（3a﹣b）（﹣3a﹣b）=．7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式．8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是．9．已知2a+b=2，2a﹣b=﹣4，则4a2﹣b2=．10．已知m+n=2019，m﹣n=，则m2﹣n2的值为．三、解答题11．计算：（a+1）（a﹣1）（a2﹣2）12．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个小长方形．拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新长方形．（1）用含m和n的代数式表示拼成的新长方形的周长；（2）根据两个图形的面积关系，得到一个数学公式，请你写出这个数学公式．13．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1；……（1）猜想（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=．运用上述规律，试求：（2）219+218+217+…+23+22+2+1．（3）52018+52017+52016+…+53+52+5+1．14．计算：（1）12502﹣1248×1252（用公式计算）（2）（﹣1）8×（0.2）5×（0.6）6×（﹣5）4 15．观察后填空①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（1）填空：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=．（2）请利用上面的结论计算①（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1②若x3+x2+x+1=0，求x2016的值．《平方差公式》提高训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，从边长为（a+2）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的小正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的周长为（）A．（4a+4）cm B．（4a+6）cm C．（4a+8）cm D．（8a+4）cm 【分析】先根据图形求出长方形的长和宽，再求出周长即可．【解答】解：长方形的宽为（a+2）﹣（a﹣1）=3cm，长为（a+2）+（a﹣1）=（2a+1）cm，所以长方形的周长为2（2a+1+3）=（4a+8）cm．故选：C．【点评】本题考查了平方差公式的应用，能正确根据图形表示出采访中的长和宽是解此题的关键．2．若（2﹣x）（2+x）（4+x2）=16﹣x n，则n的值等于（）A．6B．4C．3D．2【分析】把等号左边利用平方差公式进行计算，再根据x的指数相等求解．【解答】解：（2﹣x）（2+x）（4+x2）=（4﹣x2）（4+x2）=16﹣x4，∵（2﹣x）（2+x）（4+x2）=16﹣x n，∴16﹣x4=16﹣x n，则n=4，故选：B．【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．3．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1的值是（）A．1024B．28+1C．216+1D．216【分析】原式前面配上（2﹣1）这个因数，再依次利用平方差公式计算可得．【解答】解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1=（28﹣1）（28+1）+1=216﹣1+1=216，故选：D．【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．4．若（x+1）（x﹣1）（x2+1）（x4+1）=x n﹣1，则n等于（）A．16B．8C．6D．4【分析】根据平方差公式计算（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，（x2﹣1）（x2+1）=x4﹣1，（x4﹣1）（x4+1）=x8﹣1，即可得到答案．【解答】解：（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，（x2﹣1）（x2+1）=x4﹣1，（x4﹣1）（x4+1）=x8﹣1=x n﹣1，即n=8，故选：B．【点评】本题考查平方差公式，正确掌握平方差公式是解题的关键．5．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a+b）=a2+abC．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2【分析】根据面积相等，列出关系式即可．【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选：D．【点评】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，能根据根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键．二、填空题6．计算：（3a﹣b）（﹣3a﹣b）=﹣9a2+b2．【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．依此即可求解．【解答】解：（3a﹣b）（﹣3a﹣b）=﹣9a2+b2．故答案为：﹣9a2+b2．【点评】考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是解决问题的关键．8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是2693．【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），因为m，n是正整数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．【解答】解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）2﹣k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2﹣（k﹣1）2（k=2，3，…）．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），其中x，y为正整数，当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x﹣y）被4整除，而4k+2不被4整除；当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x﹣y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x，y使得x2﹣y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．因为2017=（1+3×672），4×（672+1）=2692，所以2693是第2018个“智慧数”，故答案为：2693．【点评】本题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．9．已知2a+b=2，2a﹣b=﹣4，则4a2﹣b2=﹣8．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：当2a+b=2，2a﹣b=﹣4时，原式=（2a+b）（2a﹣b）=﹣8故答案为：﹣8【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．10．已知m+n=2019，m﹣n=，则m2﹣n2的值为2018．【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：∵m+n=2019，m﹣n=，∴m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=2019×=2018．故答案为：2018．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．三、解答题11．计算：（a+1）（a﹣1）（a2﹣2）【分析】直接利用平方差公式以及多项式乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式=（a2﹣1）（a2﹣2）=a4﹣a2﹣2a2+2=a4﹣3a2+2．【点评】此题主要考查了整式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．12．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个小长方形．拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新长方形．（1）用含m和n的代数式表示拼成的新长方形的周长；（2）根据两个图形的面积关系，得到一个数学公式，请你写出这个数学公式．【分析】（1）根据题意和矩形的性质列出代数式解答即可．（2）根据阴影部分的面积相等，即可得到平方差公式．【解答】解：（1）新长方形的周长=2[（m+n）+（m﹣n）]=4m．（2）由题意：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）．【点评】本题考查平方差公式、长方形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法解决实际问题．13．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1；……（1）猜想（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=x n+1﹣1．运用上述规律，试求：（2）219+218+217+…+23+22+2+1．（3）52018+52017+52016+…+53+52+5+1．【分析】（1）根据已知算式得出的规律求出即可；（2）先变形，再根据已知算式得出的规律求出即可；（3）先变形，再根据已知算式得出的规律求出即可．【解答】解：（1）（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=x n+1﹣1，故答案为：x n+1﹣1；（2）219+218+217+…+23+22+2+1=（2﹣1）×（219+218+217+…+23+22+2+1）=220﹣1；（3）52018+52017+52016+…+53+52+5+1=（5﹣1）×（52018+52017+52016+…+53+52+5+1）×=（52019﹣1）．【点评】本题考查了平方差公式、数字的变化类、多项式乘以多项式等知识点，能灵活运用规律进行计算是解此题的关键．14．计算：（1）12502﹣1248×1252（用公式计算）（2）（﹣1）8×（0.2）5×（0.6）6×（﹣5）4【分析】（1）先利用平方差公式的计算1248×1252，再计算即可；（2）根据积的乘方的逆用，直接计算即可．【解答】解：（1）12502﹣1248×1252=12502﹣（1250﹣2）×（1250+2）=12502﹣（12502﹣22）=12502﹣12502+22=4；（2）（）8×（0.2）5×（0.6）6×（﹣5）4=（）8×（）5×（）6×54=（）2×=．【点评】本题主要考查平方差公式及积的乘方，解决此类计算题熟记公式是关键．15．观察后填空①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（1）填空：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100﹣1．（2）请利用上面的结论计算①（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1②若x3+x2+x+1=0，求x2016的值．【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案．（2）①根据（x﹣1）（x50+x49+……+x+1）=x51﹣1，令x=﹣2代入即可求出答案．②根据条件可求出x4=1，从而可求出答案．【解答】解：（1）由题意给出的规律可知：x100﹣1（2）①由给出的规律可知：（x﹣1）（x50+x49+……+x+1）=x51﹣1∴令x=﹣2，∴（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1=，②∵x3+x2+x+1=0，∴（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1=0，∴x4=1，∴x2016=（x4）504=1【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是根据题意找出规律，本题属于中等题型．。
初一数学平方差公式专题提高训练资料讲解
初一数学平方差公式专题提高训练1. ( 2015春?莱芜校级期中)怎样简便就怎样计算： (1) 1232 - 124 X122(2) (2a+b ) (4a 2+b 2) (2a - b )2. ( 2015秋？宁津县校级月考)探索题： (x - 1) (x+1) =x 2 - 1 (X - 1) (x 2+x+1 ) =x 3 - 1 (X - 1 ) ( X 3+x 2+1 ) =X 4 - 1 (x - 1) (x +x +x +x+1) =x - 1(1) 根据以上规律，求(x - 1) ( x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+1) (2) 判断22013+22012+ --+22+2+1的值的个位数是几？ 3. ( 2014春?东海县校级期末)乘法公式的探究及应用(1) ____________________________________________ 如图1,可以求出阴影部分的面积是 _____________________________________________________ (写成两数平方差的形式)； (2) __________________________________________________________________ 如图2,若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是 _______________________________ (写成多 项式乘法的形式)；(3) ______________________________________________________ 比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式 _________________________________________ ; (4)运用你所得到的公式，计算： (a+b - 2c ) (a - b+2c ).ElI4. (2014春？江山市校级期中)如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图 的长方形.(1)根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式 ____________ ，这个公式的名称叫 _____________ .)(1丄)(2)根据你在(1)中得到的公式计算下列算式：(1-122)(1-5. ( 2014春？宝安区校级月考)观察下列式子.2 2① 3 - 1 = (3+1) (3 - 1) =8;②5s- 32= (5+3) (5 - 3) =16 ;2 2③7 - 5 = (7+5) (7 - 5) =24;④9s- 72= ( 9+7) (9 - 7) =32 .(1 )求212- 192= ___________ .(2)猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是，并给予证明.6. ( 2014春？汕尾校级月考)看图解答(1 )通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，(2)运用你所得到的公式，计算下题： ① 10.3>9.7② (2m+n - p ) (2m - n+p )7. ( 2014春？黄冈月考)对于算式 2 (3+1) (1) 不用计算器，计算它的结果； (2) 求出它的末位数字.& ( 2013秋？无为县期末)计算下列各题：(1) 填空：(x - 1) (x+1 ) = _____________可以得到乘法公式为(32+1 ) (34+1 ) (38+1 ) ( 316+1 ) (332+1 ) +1 •2.(x - 1) (x +x+1 )=• ( X - 1)(2) 根据前面各式的规律，填空： (x - 1) (x n +x n (3) 根据这一规律，计算1+2+22+23+ ••+298+299.9. ( 2013秋?安岳县期末)乘法公式的探究及应用：1+x n -2+ ••+x 2+x+1 )= (写成平方差的形式)囲1 (2) 若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是(写成多项式相乘的形式).(3) 比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式： 2 (1+=) (1 (4 )应用所得的公式计算:1 + )+121410. ( 2012 春？阜阳期末)计算：(2x - y ) (4x 2+y 2) (2x+y )11. (2011春？泰州期中)通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算 带来的方便、快捷.相信通过下面材料的学习、 探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦.例：用简便方法计算 195 >205.解：195X205=(200 - 5) (200+5) =2002 - 52 =39975(1 )例题求解过程中，第 ②步变形是利用 ____________ (填乘法公式的名称). (2) 用简便方法计算： 9 X11XI01XI0001 . 12. (2010 秋？涵江区期末)计算：1002 - 992+982 - 972+・・+22 - 12. 13. (2010春？南岸区期末)运用整式乘法公式计算： (1) 1001X 999+1 ;(2 ) 20102 - 2011X 2009.214.(2010春？濮阳校级月考)应用乘法公式进行计算： 2006X 2008- 2007 .15.(2010春?成都校级期末) (寺1-2)(寺叶2) +3+不)(-葢- 3)2 216. (2009春？青羊区校级期中)已知， (a - b ) (a+b ) =a - b ,求 (1) (2- 1) (2+1) = ____________ ； (2) (2+1) (22+1) = ____________ ; (3)求(2+1) (22+1 ) (24+1) (28+1) (232+1 )的值;(2 3 430(4) 求(2+1) (2 +1) (2 +1) (2 +1)…(2 +1) +7 的个位数字. 17. (2009春？甘州区校级期中)(x - 2y ) (2y+x )24. 利用平方差公式计算: (1) (3x - 5) (3x+5);(2) (- 2a- b ) (b - 2a );26. 计算:(1) (- ab- 2) (ab+2) (2) (x+2 ) (x - 2) (x 2+4)2 227. 小明在计算 3 (4+1) (4 +1 )时，把 3 写成 4 - 1 后，得 3 (4+1) ( 4+1) = (4 - 1) (4+1)(3) (- 7m+8n ) (- 8n — 7m );a 218. (2000?内蒙古)计算:12346 2 - 12346X123472 219. 已知 a+b=8，且 a - b =48，求 a - 3b 的值. 20. 计算：(3x - 5y 2) (- 3x - 5y 2). 21. 若 x 2- y 2=5, (x+y ) 2=4，求 x - y 的值. 22. (a - b ) (a+b ) ( a +b )23. 如图，在边长为 a 的正方形的一角是一个边长为2 2a -b = (a+b ) (a - b ).b 的正方形，请用这个图形验证公式:(42+1 ) = (42- 1) (42+1) =44- 1，仿照上式方法计算：(2+1 ) (22+1 ) (24+1 ) (28+1 )… (2256+1 ) - 2512的值.28. 用平方差公式速算：3A>293 329. 简便计算：20132- 2012 >014 - 9992.30. (2006 秋？简阳市期末)观察下列式子：32- 12=8, 52- 32=16, 72- 52=24, 9 - 72=32 ,… 根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律.初一数学平方差公式专题提高训练参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1. ( 2015春?莱芜校级期中)怎样简便就怎样计算：2(1)1232- 124 X122(2)(2a+b) (4a2+b2) (2a- b)【分析】(1)首先把124分成123+1，把122分成123 - 1,然后根据平方差公式计算即可.(2)根据乘法交换律和平方差公式，求出算式(2a+b) ( 4a2+b2) (2a- b)的值是多少即可.2. ( 2015秋？宁津县校级月考)探索题：(x - 1) (x+1) =x2- 1(X - 1) (x2+x+1 ) =x3- 1(X - 1 ) ( X3+x2+1 ) =X4- 1(X - 1) (x4+x3+x2+x+1) =X5- 1(1)根据以上规律，求(X- 1) ( x6+x5+x4+x3+x2+1)(2)判断22013+22012+ --+22+2+1的值的个位数是几？【分析】(1)根据题干所给出的例子可知(X - 1) (x6+x5+x4+x3+x2+1) =x7- 1 ；(2 )给等式乘以(2 - 1)从而可知22013+22012+ - +22+2+1=2 2014- 1 ,然后找出2n的尾数规律从而得到答案.3. ( 2014春?东海县校级期末)乘法公式的探究及应用(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是a2- b2(写成两数平方差的形式)；(2 )如图2,若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是(a- b ) (a+b) (写成多项式乘法的形式)；(3)比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式(a+b ) (a- b ) =a2- b2;(4)运用你所得到的公式，计算：(a+b- 2c ) (a- b+2c ).【分析】(1)中的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a2- b2;(2 )中的长方形，宽为a- b，长为a+b，面积=长＞宽=(a+b ) (a- b);(3 )中的答案可以由(1)、(2)得到，(a+b ) (a- b ) =a2- b2.(4 )先变式，再根据平方差公式计算.4(2014春？江山市校级期中)如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形.(1 )根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式a2- b2=(a+b)(a- b)这个公式的名称叫平方差公式 .(2)根据你在(1)中得到的公式计算下列算式：(1-丄)(1-丄)(1-2) (1-丄)-_ M(1 -丄)(1 -^^).9921002【分析】(1 )利用面积公式：大正方形的面积-小正方形的面积=阴影面积；利用矩形公式即可求解；利用面积相等列出等式即可；是平方差公式.(2)利用平方差公式简便计算.5. ( 2014春?宝安区校级月考)观察下列式子.2 2① 3 - 1 = (3+1) (3 - 1) =8;②52- 32= (5+3) (5 - 3) =16 ;2 2③7 - 5 = (7+5) (7 - 5) =24;④92- 72= ( 9+7) (9 - 7) =32 .(1 )求212- 192= 80 .(2)猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是这两个数和的2倍，并给予证明.【分析】(1)将212- 192写成(21 + 19) (21 - 19)利用平方差公式计算即可；(2)根据题目提供的规律进行证明后即可得到结论.6. ( 2014春？汕尾校级月考)看图解答(1 )通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为(a+b) (a- b) =a2 -b2.(2)运用你所得到的公式，计算下题：①10.3>9.7②(2m+n - p) (2m - n+p)【分析】(1)左图的阴影部分面积=边长为a的正方形的面积-边长为b的正方形的面积，右两图的阴影部分面积=长为(a+b),宽为(a- b)的矩形的面积，根据两图中阴影部分面积相等列式即可；(2)① 先将103 >97变形为(100+3) (100- 3),再利用平方差公式计算；② 先将② (2m+n - p ) (2m - n+p )化为[2m+ (n - p ) ][2m -(n - p )]再利用平方差公式 计算即可.24816327. ( 2014 春？黄冈月考)对于算式 2 (3+1) ( 3 +1) ( 3 +1) (3 +1) ( 3 +1) ( 3 +1 ) +1 . (1) 不用计算器，计算它的结果； (2) 求出它的末位数字.【分析】(1)将2转化为(3 - 1),与(3+1)配成平方差公式，其结果为(32 - 1),与(32+1) 又配成平方差公式，依此类推，可得结果.(2)根据31=3, 32=9, 33=27, 3, 4=81 , 35=243发现四次一循环，利用这一规律即可确定 答案. (2)根据前面各式的规律，填空： (x - 1) (x n +x ° 1+x ° 2+••+x 2+x+1 ) = x °+1- 1 (3)根据这一规律，计算 1+2+22+23+ ••+298+299.【分析】(1)原式各项利用平方差公式及多项式乘以多项式法则计算即可得到结果; (2) 归纳总结得到一般性规律即可得到结果； (3) 根据规律计算即可.9. ( 2013秋?安岳县期末)乘法公式的探究及应用： (1)如图1所示，阴影部分的面积是a 2-b 2 (写成平方差的形式)(2)若将图1中的阴影部分剪下来， 拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是 (a+b )(a - b )(写成多项式相乘的形式).(3)比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：(a+b ) (a - b ) =a 2- b 2(4 )应用所得的公式计算： 2 (1+丄)(1丄)(1^-) (1^r ).冈 国 因 回 2塑【分析】(1)根据面积的和差，可得答案； (2)根据矩形的面积公式，可得答案； (3 )根据图形割补法，面积不变，可得答案； (4) 根据平方差公式计算即可.10. (2012 春？阜阳期末)计算：(2x - y ) (4x 2+y 2) (2x+y ) 【分析】先交换位置，再根据平方差公式进行计算即可.11. （2011春？泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算 带来的方便、快捷.相信通过下面材料的学习、 探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦.例：用简便方法计算 195 >205. 解：195X205=（200 - 5） （200+5）① 2 2=200 - 5 ②=39975（1 ）例题求解过程中，第 ②步变形是利用& ( 2013秋?无为县期末)计算下列各题: (1)填空：(x - 1) (x+1) = x 2- 1 . 2(X - 1) (x +x+1 )= x 3- 1 . ( x - 1) (x 3+x 2+x+1 )平方差公式（填乘法公式的名称）.（2）用简便方法计算：9 >1X101 X10001.【分析】（1 ）因为这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以利用平方差公式；（2）首先将原式变形为：（10- 1）（10+1）（100+1 ）（10000+1）,再利用平方差公式依次计算即可求得答案.2 2 2 2 2 212. （2010秋？涵江区期末）计算：100 - 99 +98 - 97 +・・+2 - 1 .【分析】把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取-1 ,然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果.13. （2010春？南岸区期末）运用整式乘法公式计算：（1）1001X999+1 ;（2 ）20102- 2011X2009.【分析】（1）把所求式子中1001变形为（1000+1 ）和999变形为（1000 - 1）,得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值；（2）把所求式子中的2001变形为（2000+1） , 2009变形为（2000- 1）,得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值.214. （2010春？濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：2006X2008- 2007 .【分析】根据式子得特点转化成（2007 - 1）（2007+1 ）- 20072，用平方差公式展开即可求出答案.15. （2010春?成都校级期末）（寺1-2）诘計2）+ （-3+盂）（-葢-3）【分析】利用平方差公式即可求得（"x - 2）（一 x+2 ）与（-3+x）（- x - 3）的值，再求和12 2即可.2 216. (2009春？青羊区校级期中)已知，(a- b) (a+b) =a2- b2，求(1)(2- 1) (2+1) =J ；(2) (2+1) (22+1 )=」5 ;(3)求(2+1) (22+1 ) (24+1) (28+1) (232+1 )的值；(4)求(2+1) (22+1 ) (23+1) (24+1) (230+1) +7 的个位数字.【分析】(1)根据平方差公式求出即可；(2)添加上2- 1=1，根据平方差公式求出即可；(3)添加上(2- 1),重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；(4)求出(2+1) (22+1 )、(2+1 ) ( 22+1) ( 23+1 )、(2+1) (22+1 ) (23+1) (2°+1 )、…、(2+1) (22+1 ) (23+1 ) (24+1 ) •••(2 +1)的结果，根据结果得出规律(结果的个位数字是5),即可求出答案.17. (2009春？甘州区校级期中)(x - 2y) (2y+x)【分析】根据平方差公式(a+b) ( a- b) =a2- b2进行计算即可.18. (2000?内蒙古)计算：—12346 s- 12346X12347【分析】分析直接计算繁，仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12345,12346,12347 , 然后利用平方差公式进行计算.2 219. 已知a+b=8，且a - b =48，求a- 3b 的值.【分析】根据平方差公式把a2- b2=48化为(a+b) (a- b) =48，根据题意求出a、b的值，代入计算即可.20. 计算：(3x - 5y2) (- 3x - 5y2).【分析】本题是平方差公式的应用，- 5y2是相同的项，互为相反项是3x与5y2，对照平方差公式计算.2 2 221 .若x - y =5, (x+y) =4，求x - y 的值.【分析】把(x+y )=4两边开平方得到x+y= ±,然后根据平方差公式把x2- y2=5变形为(x+y ) (x - y) =5,再代入计算整理即可求解.2 222. (a- b) (a+b) ( a +b )【分析】直接利用平方差公式计算即可.23. 如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式:2 2a -b = (a+b) (a- b).【分析】禾U用正方形的面积减去小正方形的面积，即为所剩部分的面积.24. 利用平方差公式计算：(1)(3x - 5) (3x+5);(2)(- 2a- b) (b - 2a);(3)(- 7m+8n) (- 8n-7m);(4)(x- 2) (x+2 ) (x2+4).【分析】(1)直接利用平方差公式进行计算即可；(2 )直接利用平方差公式进行计算即可；(3 )直接利用平方差公式进行计算即可；(4 )两次运用平方差公式进行计算即可；25 .计算：(a -丄)(a^—■) ( a -丄a+丄)(a ) 3 3 3 9 9【分析】 首先利用立方和与立方差公式进行计算，最后再利用平方差公式计算.26. 计算:(1) (- ab- 2) (ab+2)(2) (x+2 ) (x - 2) (X 3 4+4)【分析】(1)先提取符号，然后利用完全平方公式计算即可；(2)利用平方差公式先计算(X +2) (X -2),然后再次利用平方差公式计算即可.2 227. 小明在计算 3 (4+1) (4 +1 )时，把 3 写成 4 - 1 后，得 3 (4+1) ( 4 +1) = (4 - 1) (4+1) (42+1 ) = (42 - 1) (42+1) =45 6 7 - 1，仿照上式方法计算：(2+1 ) (22+1 ) (24+1 ) (28+1 )… (2256+1 ) - 2512 的值.【分析】所求算式前面乘(2 - 1)，然后依据平方差公式计算即可.【分析】把原式化为平方差的形式，然后根据平方差公式( 29. 简便计算：20132- 2012 >2014 - 9992.【分析】首先将原式变形为 20132-( 2013 - 1) (2013+1 ) -( 1000- 1) 2后，展开合并即 可得出结论.3 2 2 2 2 2 2 230. (2006 秋？简阳市期末)观察下列式子：3 - 1 =8, 5 - 3 =16, 7 - 5 =24, 9 - 7 =32 , 根据以上式子的特点，试用含有 n 的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律.【分析】从式子的左边分析，2个连续奇数的平方，大奇数的平方减去小奇数的平方；从等 式右边知道变化数 n 是自然数，8是不变数.a+b ) (a - b ) =a 2- b 2计算即可.28.用平方差公式速算:。
(七年级)初一平方差公式专项练习试题第1卷_附答案_北师大,人教版等通用版本
35．设a1=32﹣12，a2=52﹣32，……，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，（n为正整数）
（1）试说明an是8的倍数；
（2）若△ABC的三条边长分别为ak、ak+1、ak+2（k为正整数）
①求k的取值范围．
②是否存在这样的k，使得△ABC的周长为一个完全平方数，若存在，试举出一例，若不存在，说明理由．
40．计算： … 的值．
41．化简．
(1)( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；
(2)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．
42．计算．
(1)(0.25 x - )(0.25 x +0.25)；
(2)(x-2 y)(-2y- x)-(3x+4 y)(-3 x +4 y)；
17．(m+n+p+q) (m-n-p-q)＝（__________）2-（__________）2．
18．计算： _______________.
19．计算： _____________.
20．若 ，则 的值为__________.
21．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）．
A．（x+1）（x-1）B．（a+b）（-a-b）C．（-x-2）（x-2）D．（b+a）（a-b）
9．已知 ，则a2－b2－2b的值为
A．4B．3C．1D．0
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初一数学平方差公式专题提高训练1．（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）2．（2015秋•宁津县校级月考）探索题：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1（1）根据以上规律，求（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）（2）判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几？3．（2014春•东海县校级期末）乘法公式的探究及应用（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式；（4）运用你所得到的公式，计算：（a+b﹣2c）（a﹣b+2c）．4．（2014春•江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形．（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式，这个公式的名称叫．（2）根据你在（1）中得到的公式计算下列算式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．5．（2014春•宝安区校级月考）观察下列式子．①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8；②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24；④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32．（1）求212﹣192=．（2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是，并给予证明．6．（2014春•汕尾校级月考）看图解答（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为．（2）运用你所得到的公式，计算下题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）7．（2014春•黄冈月考）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）不用计算器，计算它的结果；（2）求出它的末位数字．8．（2013秋•无为县期末）计算下列各题：（1）填空：（x﹣1）（x+1）=．（x﹣1）（x2+x+1）=．（x﹣1）（x3+x2+x+1）=．…（2）根据前面各式的规律，填空：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）=．（3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299．9．（2013秋•安岳县期末）乘法公式的探究及应用：（1）如图1所示，阴影部分的面积是（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是（写成多项式相乘的形式）．（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：．（4）应用所得的公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．10．（2012春•阜阳期末）计算：（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y）11．（2011春•泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205．解：195×205=（200﹣5）（200+5）①=2002﹣52②=39975（1）例题求解过程中，第②步变形是利用（填乘法公式的名称）．（2）用简便方法计算：9×11×101×10001．12．（2010秋•涵江区期末）计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．13．（2010春•南岸区期末）运用整式乘法公式计算：（1）1001×999+1；（2）20102﹣2011×2009．14．（2010春•濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：2006×2008﹣20072．15．（2010春•成都校级期末）16．（2009春•青羊区校级期中）已知，（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，求（1）（2﹣1）（2+1）=；（2）（2+1）（22+1）=；（3）求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的值；（4）求（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）+7的个位数字．17．（2009春•甘州区校级期中）（x﹣2y）（2y+x）18．（2000•内蒙古）计算：19．已知a+b=8，且a2﹣b2=48，求a﹣3b的值．20．计算：（3x﹣5y2）（﹣3x﹣5y2）．21．若x2﹣y2=5，（x+y）2=4，求x﹣y的值．22．（a﹣b）（a+b）（a2+b2）23．如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．24．利用平方差公式计算：（1）（3x﹣5）（3x+5）；（2）（﹣2a﹣b）（b﹣2a）；（3）（﹣7m+8n）（﹣8n﹣7m）；（4）（x﹣2）（x+2）（x2+4）．25．计算：（a﹣）（a+）（a2﹣a+）（a2+a+）26．计算：（1）（﹣ab﹣2）（ab+2）（2）（x+2）（x﹣2）（x2+4）27．小明在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，得3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=44﹣1，仿照上式方法计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2256+1）﹣2512的值．28．用平方差公式速算：30×29．29．简便计算：20132﹣2012×2014﹣9992．30．（2006秋•简阳市期末）观察下列式子：32﹣12=8，52﹣32=16，72﹣52=24，92﹣72=32，…根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律．初一数学平方差公式专题提高训练参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）【分析】（1）首先把124分成123+1，把122分成123﹣1，然后根据平方差公式计算即可．（2）根据乘法交换律和平方差公式，求出算式（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）的值是多少即可．2．（2015秋•宁津县校级月考）探索题：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1（1）根据以上规律，求（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）（2）判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几？【分析】（1）根据题干所给出的例子可知（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）=x7﹣1；（2）给等式乘以（2﹣1）从而可知22013+22012+…+22+2+1=22014﹣1，然后找出2n的尾数规律从而得到答案．3．（2014春•东海县校级期末）乘法公式的探究及应用（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是（a﹣b）（a+b）（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（4）运用你所得到的公式，计算：（a+b﹣2c）（a﹣b+2c）．【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（4）先变式，再根据平方差公式计算．4．（2014春•江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形．（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），这个公式的名称叫平方差公式．（2）根据你在（1）中得到的公式计算下列算式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【分析】（1）利用面积公式：大正方形的面积﹣小正方形的面积=阴影面积；利用矩形公式即可求解；利用面积相等列出等式即可；是平方差公式．（2）利用平方差公式简便计算．5．（2014春•宝安区校级月考）观察下列式子．①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8；②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24；④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32．（1）求212﹣192=80．（2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是这两个数和的2倍，并给予证明．【分析】（1）将212﹣192写成（21+19）（21﹣19）利用平方差公式计算即可；（2）根据题目提供的规律进行证明后即可得到结论．6．（2014春•汕尾校级月考）看图解答（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（2）运用你所得到的公式，计算下题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）【分析】（1）左图的阴影部分面积=边长为a的正方形的面积﹣边长为b的正方形的面积，右两图的阴影部分面积=长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形的面积，根据两图中阴影部分面积相等列式即可；（2）①先将103×97变形为（100+3）（100﹣3），再利用平方差公式计算；②先将②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）化为[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]再利用平方差公式计算即可．7．（2014春•黄冈月考）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）不用计算器，计算它的结果；（2）求出它的末位数字．【分析】（1）将2转化为（3﹣1），与（3+1）配成平方差公式，其结果为（32﹣1），与（32+1）又配成平方差公式，依此类推，可得结果．（2）根据31=3，32=9，33=27，3，4=81，35=243发现四次一循环，利用这一规律即可确定答案．8．（2013秋•无为县期末）计算下列各题：（1）填空：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1．（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1．（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1．…（2）根据前面各式的规律，填空：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）=x n+1﹣1．（3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299．【分析】（1）原式各项利用平方差公式及多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；（2）归纳总结得到一般性规律即可得到结果；（3）根据规律计算即可．9．（2013秋•安岳县期末）乘法公式的探究及应用：（1）如图1所示，阴影部分的面积是a2﹣b2（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式相乘的形式）．（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（4）应用所得的公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．【分析】（1）根据面积的和差，可得答案；（2）根据矩形的面积公式，可得答案；（3）根据图形割补法，面积不变，可得答案；（4）根据平方差公式计算即可．10．（2012春•阜阳期末）计算：（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y）【分析】先交换位置，再根据平方差公式进行计算即可．11．（2011春•泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205．解：195×205=（200﹣5）（200+5）①=2002﹣52②=39975（1）例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式（填乘法公式的名称）．（2）用简便方法计算：9×11×101×10001．【分析】（1）因为这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以利用平方差公式；（2）首先将原式变形为：（10﹣1）（10+1）（100+1）（10000+1），再利用平方差公式依次计算即可求得答案．12．（2010秋•涵江区期末）计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．【分析】把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取﹣1，然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果．13．（2010春•南岸区期末）运用整式乘法公式计算：（1）1001×999+1；（2）20102﹣2011×2009．【分析】（1）把所求式子中1001变形为（1000+1）和999变形为（1000﹣1），得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值；（2）把所求式子中的2001变形为（2000+1），2009变形为（2000﹣1），得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值．14．（2010春•濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：2006×2008﹣20072．【分析】根据式子得特点转化成（2007﹣1）（2007+1）﹣20072，用平方差公式展开即可求出答案．15．（2010春•成都校级期末）【分析】利用平方差公式即可求得（x﹣2）（x+2）与（﹣3+x）（﹣x﹣3）的值，再求和即可．16．（2009春•青羊区校级期中）已知，（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，求（1）（2﹣1）（2+1）=3；（2）（2+1）（22+1）=15；（3）求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的值；（4）求（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）+7的个位数字．【分析】（1）根据平方差公式求出即可；（2）添加上2﹣1=1，根据平方差公式求出即可；（3）添加上（2﹣1），重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；（4）求出（2+1）（22+1）、（2+1）（22+1）（23+1）、（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）、…、（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）的结果，根据结果得出规律（结果的个位数字是5），即可求出答案．17．（2009春•甘州区校级期中）（x﹣2y）（2y+x）【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2进行计算即可．18．（2000•内蒙古）计算：【分析】分析直接计算繁，仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，然后利用平方差公式进行计算．19．已知a+b=8，且a2﹣b2=48，求a﹣3b的值．【分析】根据平方差公式把a2﹣b2=48化为（a+b）（a﹣b）=48，根据题意求出a、b的值，代入计算即可．20．计算：（3x﹣5y2）（﹣3x﹣5y2）．【分析】本题是平方差公式的应用，﹣5y2是相同的项，互为相反项是3x与5y2，对照平方差公式计算．21．若x2﹣y2=5，（x+y）2=4，求x﹣y的值．【分析】把（x+y）2=4两边开平方得到x+y=±2，然后根据平方差公式把x2﹣y2=5变形为（x+y）（x﹣y）=5，再代入计算整理即可求解．22．（a﹣b）（a+b）（a2+b2）【分析】直接利用平方差公式计算即可．23．如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【分析】利用正方形的面积减去小正方形的面积，即为所剩部分的面积．24．利用平方差公式计算：（1）（3x﹣5）（3x+5）；（2）（﹣2a﹣b）（b﹣2a）；（3）（﹣7m+8n）（﹣8n﹣7m）；（4）（x﹣2）（x+2）（x2+4）．【分析】（1）直接利用平方差公式进行计算即可；（2）直接利用平方差公式进行计算即可；（3）直接利用平方差公式进行计算即可；（4）两次运用平方差公式进行计算即可；25．计算：（a﹣）（a+）（a2﹣a+）（a2+a+）【分析】首先利用立方和与立方差公式进行计算，最后再利用平方差公式计算．26．计算：（1）（﹣ab﹣2）（ab+2）（2）（x+2）（x﹣2）（x2+4）【分析】（1）先提取符号，然后利用完全平方公式计算即可；（2）利用平方差公式先计算（x+2）（x﹣2），然后再次利用平方差公式计算即可．27．小明在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，得3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=44﹣1，仿照上式方法计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2256+1）﹣2512的值．【分析】所求算式前面乘（2﹣1），然后依据平方差公式计算即可．28．用平方差公式速算：30×29．【分析】把原式化为平方差的形式，然后根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2计算即可．29．简便计算：20132﹣2012×2014﹣9992．【分析】首先将原式变形为20132﹣（2013﹣1）（2013+1）﹣（1000﹣1）2后，展开合并即可得出结论．30．（2006秋•简阳市期末）观察下列式子：32﹣12=8，52﹣32=16，72﹣52=24，92﹣72=32，…根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律．【分析】从式子的左边分析，2个连续奇数的平方，大奇数的平方减去小奇数的平方；从等式右边知道变化数n是自然数，8是不变数．。