8.1 坐标系中的基本公式-教学设计
两点间的距离与线段中点坐标教案
【课题】8.1两点间的距离与线段中点坐标【学习目标】1、掌握平面内两点间的距离公式和中点公式2、能熟练应用平面内两点间距离公式和中点公式进行运算【学习重点】平面内两点的距离公式和中点公式的应用【学习难点】平面内两点的距离公式和中点公式的应用【课时安排】 2 课时【课堂过程】课前准备(预习46页一一48页，找出疑惑的地方)复习(如图)在数轴上有两点x i =巧公2=7，贝卩=新知1:两点间的距离公式平面直角坐标系中，已知两点P i(x i，yj , P2(X2,y2)，两点距离公式为P1P2I =1(X2 —X i)2 +M -y i)2说明(1)如果P1和P2两点在X轴上或在平行于X轴的直线上，两点距离是x2 -x1⑵如果P i和P2两点在y轴上或在平行于y轴的直线上，两点距离是目2一*试一试1:求平面上两点A(6,2) , B(5,3)间的距离|AB =试一试2:求下列两点间的距离:(1) A(—2,0), B(2,0) ⑵A(0,3), B (0,-7)(3) A(—2,3), B(2,4) ⑷ A( —5,9), B (8,6)试一试3:已知A(a ,3),点B在y轴上，点B的纵坐标为10, AB =12= 12,求a的值新知2：线段的中点公式点RXy)，P2(X2°2)之间所连线段的中点P坐标为% y2说明公式对于P i和P2两点在平面内任意位置都是成立的试一试3:求下列两点的中点坐标(1)A(-2,3), B(2,13 ) ⑵ A(-15,9), B(18 ,6)(二)典型例题: 已知三角形的顶点是，A (1,0), B (-2,1), C (0,3)，求此三角形两条中线CE和AD的长度(解题过程在书4 8页)【自我检测】1、平面直角坐标系中，已知两点，P1(X1,yJ , p2(X2,y2)两点距离公式为2、点P1(X1,y1), p2(X2,y2)之间所连线段的中点P坐标为巩固练习：1、已知下列两点，求AB及两点的中点坐标(1) A (8, 6), B (2, 1) (2) A (-2 , 4) B (-2 , -2 )3、已知A(-4 , 4) , B(8, 10)两点，求两点间的距离AB4、已知下列两点，求中点坐标：(1) A (5, 10), B (-3 , 0) (2) A (-3 , -1 ), B (5, 7)5、已知点A (-1 , -1 ), B (b, 5),且 | AB =10,求b 的值6、已知A在y轴上，B (4, -6 ),且两点间的距离|AB =5,求点A 的坐标7、已知A (a, -5 )，点B在y轴上，点B的纵坐标为10, AB=17 求a。
沪教版(上海)数学高二上册-8.1 向量的坐标 教案
向量的坐标【教学目标】向量是近代数学最重要的概念之一，它的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统，使得它成为数学、物理等学科中很多问题的重要工具，成为沟通“数”与“形”的桥梁，同时也为将来研究平面、空间图形做了知识和方法上的准备。
根据上述分析结合本节内容，教学大纲的要求，确定本节可的教学目标如下：掌握向量的坐标表示法,向量的加法、减法、数与向量的乘法等运算的坐标表示形式,理解定比分点公式，掌握中点公式,能应用向量的坐标表示法解决简单的实际问题.培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力.关注学生的学，使学生体验探索知识的乐趣.【教学的重点与难点】重点：向量运算的坐标表示难点：定比分点公式以及向量的综合应用【教学方法与手段】教学方法：关注学生的学，引导学生在学习过程中提出问题，自主探究，合作讨论解决问题教学手段：多媒体辅助教学，充分发挥其快捷、生动、形象的特点来提高课堂效率，提供学生学习的平台。
【教学讨论】在前面的向量学习过程中，曾在直角坐标系中给出向量始点与终点的坐标，启发学生思考向量的坐标如何表示呢？与始点、终点的坐标有何关系呢？（一）位置向量在直角坐标平面内，以原点为始点，点P为终点的向量OP，叫做点P的位置向量。
*特别的，当点P与原点O重合时，这时的位置向量就是零向量。
学生疑问一：以前学习的“普通”向量与位置向量到底有什么联系呢？为什么要提出位置向量的概念？点评：根据向量的可平移性，坐标平面内的任何一个向量都有唯一确定的位置向量与它相等。
即：任何向量都可以表示为起点为原点的向量。
（二）基本单位向量回忆：单位向量的定义1． 习惯上常把与X 轴正半轴同方向的单位向量记做i ，常把与Y 轴正半轴同方向的单位向量记做ji ，j 称为基本单位向量。
请同学们阅读教材第65页2~7行提问：若P （1，1）则OP ＝？ 若P （－3，4）则OP ＝？从而很快得出P （X ，Y ），OP ＝x i +y j通常把有序实数对（x,y ）叫做位置向量OP 的坐标。
8.1.2 线段的中点坐标 教案
8.1.2 线段的中点坐标教案陆艳丽教学目标：1、掌握中点坐标公式，会用它解决问题2、用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力3、通过创设问题情景和多媒体教学，让学生在参与中感受和体验数学美，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
教学重点:掌握线段中点的坐标公式并会运用教学难点：线段中点的坐标公式的理解课型：新授课教学方法：讲授法，启发式教学教具：三角板、多媒体课件一、1、复习引入：已知A（1，2）、B（3，4）、M（2，3），请在直角坐标系中描出这三点，并计算|AM|、|MB|、|AB|2、探究：从计算结果可知：|AM| |MB|结合图形：M是线段AB的点从坐标上看：总结：中点M的横坐标是两端点A、B的横坐标的平均值纵坐标是两端点A、B的纵坐标的平均值一般情况也有同样的结论吗？二、新知识：如图，在坐标平面内，线段的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M (x0，y0)，则：由于M为AB的中点，所以：于是：同样的有结论：三、强化训练1、练习：已知端点A、B坐标如下，求中点M坐标（1）A(3，1) B（5，3）（老师讲）（2）A(-5,1) B（1，2）（学生练）2、应用：例1 已知点S（0，2）、T（-6，-1），现将ST分成四等份，试求出各分点的坐标。
分析如图所示，首先求出线段ST的中点Q的坐标，然后再求SQ的中点P及QT的中点R的坐标。
解：因为Q为ST的中点所以由中点公式有，Q点的坐标为同理，线段SQ的中点线段TQ的中点例2 已知三角形ABC的三个顶点分别为点A（1,0）、B（-2,1）、C（0，3），试求BC边上的中线AD的长度。
解设BC的中点D的坐标为（x，y），则所以BC边上的中线AD的长度3、练：P48 2题四、小结五、作业：P48 1、3题。
8.1《坐标系中的基本公式》教案(1)
8.1.1 数轴上的距离公式与中点公式
【教学目标】
1. 理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，会表示数轴上某一点的坐标．
2. 掌握数轴上的距离公式和中点公式，并能用这两个公式解决有关问题．
3. 培养学生勇于发现、勇于探索的精神；培养学生合作交流等良好品质．
【教学重点】
数轴上的距离公式、中点公式．
【教学难点】
距离公式与中点公式的应用．
【教学方法】
这节课主要采用问题解决法和分组教学法．先从数轴入手，在使学生进一步明确了数与数轴上的点的一一对应关系后，给出数轴上点的坐标的定义及记法，在此基础上进一步学习数轴上距离公式及中点公式．本节教学中，始终要坚持数形结合的思想和方法，让学生积极大胆的猜想，在探索过程中发现和归纳两个公式，以此增强学生的参与意识，提高学生的学习兴趣．。
《平面直角坐标系中的基本公式》教案2新人教B版
《平面直角坐标系中的基本公式》教案2（新人教B版必修2）高一数学必修2 平面直角坐标系中的基本公式一、教学目标：1、了解两点间距离公式的推导过程；熟练掌握两点间的距离公式、中点公式；2、灵活运用两点间的距离公式和中点公式解题；3、培养学生的数学思维能力。
二、教材分析1．重点：熟记并能会运用两点间的距离公式、中点公式解简单的题目；2．难点：灵活运用两点间的距离公式和中点公式解几何综合题和对称问题．三、活动设计自主学习、归纳讲授、合作探究、分组讨论、检测反馈、总结反思．四、教学过程(一)自主学习：1. 自学"两点间的距离公式"的推导过程（课本68--69页）。
（5分钟完成）2. 准备回答下列问题：（1）公式对原点、坐标轴上的点都适应吗？（2）求两点间的距离有哪四步？（3）记忆公式有什么规律？（二）合作探究之一：两点间的距离公式思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？ |P1P2|=|x1-x2|思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？ |P1P2|=|y1-y2|思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为多少？思考4:在平面直角坐标系中，已知点A(x，y) ，原点O和点A的距离d(O,A)思考5:一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，利用上述方法求点A和B的距离由特殊得到一般的结论公式1：A（x1,y1）、B(x2,y2)两点间的距离，用d（A，B）表示为（三）题型分类举例与练习【例1】已知A（2、-4）、B（-2，3）. 求d（A，B）〖课堂检测1〗课本第71页练习A， 1.求两点间的距离（提问学生，回答结果）【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)=d(A,C)=d(C,B)=即|AC|=|BC|且三点不共线所以，三角形ABC为等腰三角形。
数学教学设计：8.1两点间距离公式与线段中点的坐标(配套高教版)
【课题】8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
【教学目标】
知识目标：
掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；
能力目标：
用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．
【教学重点】
两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用
【教学难点】
两点间的距离公式的理解
【教学设计】
两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．
例1是巩固性练习题．题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况．
例2是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（8.2），强化学生对公式的理解与运用．
例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出“解析法”，进行数学思维培养．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
212(
==
P P P P x
、N、P、Q、R各点的坐标．在平面直角坐标系内，描出下列各点：(1,1)
A、(3,4)
B ．并计算每两点之间的距离．
第1题图
为线段AB =AM MB 012⎧⎨-=-⎩y y y y
图8－2
【教师教学后记】。
《平面直角坐标系中的基本公式》教案1
《平面直角坐标系中的基本公式》教案教学目标1、能记住平面上两点间的距离公式和中点公式.2、熟练应用两点间距离公式的推导.3、领会从特殊到一般的过程来研究两点间的距离公式及中点坐标公式．教学重难点重点：通过坐标来探究两点间的距离，进一步体会数形结合的思想，学会推导两点间的距离公式．难点：把实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型；结合勾股定理，通过模型来解决两点间的距离公式和中点坐标公式．教学过程一、情景导入问题：在平面坐标系中，已知两点的坐标，我们来讨论如何计算这两点的距离.可能会有同学来问，既然知道两点的距离，取一把尺子量一下就可以了，由坐标计算两点的距离有何意义？二、交流展示1、回忆勾股定理公式.2、如何计算平面坐标系中两点的距离和推导出中点公式.三、合作探究探究一：两点间的距离公式1.两点A(x1，y1)，B(x2,y2)间的距离公式表示为d(A，B2.当AB平行于x轴时，d(A，B)=|x2－x1|；当AB平行于y轴时，d(A，B)=|y2－y1|；当B为原点时，d(A，B求两点距离的步骤已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：（1）给两点的坐标赋值：(x1，y1)，(x2，y2).（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△x=x2－x1，△y=y2－y1.（3）计算d22+.x y（4）给出两点的距离d .通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离探究二：坐标法坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.用坐标法证题的步骤（1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）； （2）设出未知坐标；（3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论.探究三：中点坐标公式已知A (x 1，y 1),B (x 2，y 2)两点，M (x ，y )是线段AB 的中点，则有121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ （1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略.（2）若已知点P (x ，y )，则点P 关于点M (x 0，y 0)对称的点坐标为P (2x 0－x ，2y 0－y ). （3）利用中点坐标可以求得△ABC （A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)）的重心坐标为12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩四、课堂小结重点掌握平面坐标系中两点之间的距离公式，用坐标法分析问题，熟练掌握应用中点坐标公式.五、巩固练习已知A (1，2)，B (－3，b )两点间的距离等于，则b = .六、布置作业课后练习2、3.。
中点公式距离公式
8.1.2 平面直角坐标系中的距离公式和中点公式【教学目标】1. 了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程．2. 掌握平面直角坐标系中的距离公式和中点公式，并能熟练应用这两个公式解决有关问题．【教学重点】平面直角坐标系中的距离公式、中点公式．【教学难点】距离公式与中点公式的应用．1. 距离公式探究如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．过A ，B 分别向x 轴、y 轴作垂线AA 1，AA 2和BB 1，BB 2，垂足分别为A 1，A 2，B 1，B 2，其中直线BB 1和AA 2相交于点C ．（1）以上四个垂足的坐标分别是多少？（2）AC 与A 1B 1关系如何？如何求A 1B 1？（3）BC 等于多少？（4）在直角三角形ABC 中，如何求AB ？（5）你能表示出AB 吗？【结论】两点的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB=()()221221y y x x -+-探究二例1 已知A (2，－4)，B (－2，3)，求AB ．解 因为x 1＝2，x 2＝－2，y 1＝－4，y 2＝3，所以AB ＝()()221221y y x x -+-＝(－4)2＋72＝65 ．x yB AC A 1 A 2 B 2 B 1O练习一求两点之间的距离：（1）A (6，2)，B (－2，5)；（2）C (2，－4)，D (7，2)．2. 中点公式探究三如图所示，若已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么怎么求它们的对称中心的坐标？设M (x ，y )是A ，B 的对称中心，即线段AB 的中点．过A ，B ，M 分别向x 轴，y 轴作垂线，AA 1，AA 2，BB 1，BB 2，MM 1，MM 2，垂足分别是A 1，A 2，B 1，B 2，M 1，M 2．教师提出要探究的问题，学生解答以下问题：（1）你能说出垂足A 1，A 2，B 1，B 2，M 1，M 2的坐标吗？（2）点M 是AB 中点吗？M 1是A 1，B 1的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？（3）M 2是A 2，B 2的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？（4）你能写出点M 的坐标吗？【结论】在平面直角坐标系内，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点M (x ，y )的坐标满足221x x x +=，221y y y +=例2 求证：任意一点P (x ，y )与点P '(－x ，－y )关于坐标原点成中心对称．证明 设P 与P '的对称中心为(x 0，y 0)，则x 0＝x +(－x )2 ＝0， y 0＝y +(－y )2＝0． 所以坐标原点为P 与P ′的对称中心．x yB AA 1 A 2B 2 B 1O M 1 M 2 M练习二求下列各点关于坐标原点的对称点：A (2，3)，B (－3，5)，C (－2，－4)，D (3，－5)．例3 已知坐标平面内的任意一点P (a ，b )，分别求它关于x 轴的对称点P ′，关于y 轴的对称点P ′′的坐标．（1）如果点P 与P ′关于x 轴对称，PP ′与x 轴垂直吗？P ′的横坐标是多少？（2）PP ′与x 轴的交点M 是线段PP ′的中点吗？M 点的纵坐标是多少？（3）你能求出P ′的纵坐标吗？怎么求的？（4）由以上分析，点P ′的坐标是多少？（5）你能求出P ′′的坐标吗？练习三求下列点关于x 轴和y 轴的对称点坐标：A (2，3)，B (－3，5)，C (－2，－4)，D (3，－5)．xyP (a ，b ) O P 'P '' ● ● ● M ●例4 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A (－3，0)，B (2，－2)，C (5，2)，求顶点D 的坐标．解 因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同．设点D 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x +22 ＝－3+52 ＝1 y －22 ＝0＋22 ＝1 解得 ⎩⎨⎧==40y x 所以顶点D 的坐标为(0，4)．练习四已知平行四边形ABCD 的三个顶点A (0，0)，B (2，－4)，C (6，2)，求顶点D 的坐标．【小结】1．直角坐标系中两点间的 ．2．直角坐标系中两点的 ．3．点的对称．。
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8.1.2 平面直角坐标系中的距离公式和中点公式
【教学目标】
1. 了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程．
2. 掌握平面直角坐标系中的距离公式和中点公式，并能熟练应用这两个公式解决有关问题．
3. 培养学生勇于发现、勇于探索的精神以及合作交流等良好品质．
【教学重点】
平面直角坐标系中的距离公式、中点公式．
【教学难点】
距离公式与中点公式的应用．
【教学方法】
这节课主要采用问题解决法和分组教学法．本节教学中，将平面（二维）的数量关系转化为轴（一维）上的数量关系是关键．先从复习上节内容入手，通过构建直角三角形，将两点间的距离转化为直角三角形的斜边长，从而利用勾股定理求出两点间的距离．最后讨论了平面直角坐标系中的中点公式．教学过程中，通过分组抢答的形式，充分调动学生的积极性．
8.1.1 数轴上的距离公式与中点公式
【教学目标】
1. 理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，会表示数轴上某一点的坐标．
2. 掌握数轴上的距离公式和中点公式，并能用这两个公式解决有关问题．
3. 培养学生勇于发现、勇于探索的精神；培养学生合作交流等良好品质．
【教学重点】
数轴上的距离公式、中点公式．
【教学难点】
距离公式与中点公式的应用．
【教学方法】
这节课主要采用问题解决法和分组教学法．先从数轴入手，在使学生进一步明确了数与数轴上的点的一一对应关系后，给出数轴上点的坐标的定义及记法，在此基础上进一步学习数轴上距离公式及中点公式．本节教学中，始终要坚持数形结合的思想和方法，让学生积极大胆的猜想，在探索过程中发现和归纳两个公式，以此增强学生的参与意识，提高学生的学习兴趣．。