高三理科数学上学期期中考试试卷及答案

河南省实验中学高三年级—上期期中考试 数学（理）(时间:120分钟,满分:150分) 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将所选答案填在答题卷上.1．若复数()1a ia R i +∈+是纯虚数，则实数a 的值为A ．1-B ． 1C ．2-D ．22．设集合S = {0 , 1 , 2 , 3 } , T = { x | | x –3 | ≤2}，则S ∩T = A ．{0 , 1, 2 , 3 } B ．{1 , 2 , 3 } C ．{0 ,1 }D ．{1}3．在等比数列{an}中，若321a a a = 2 ,432a a a = 16，则公比q =A ．21B ．2C ．22D ．84．定义集合M 与N 的新运算：M+N=M x x ∈|{或N x ∈且}N M x ⋂∉，则(M+N)+N 等于 A ．MB ．NC ．N M ⋂D ．N M ⋃5．若()x f 是Ｒ上的增函数，且()(),22,41=-=-f f 设Ｐ＝(){}31|<++t x f x ,Ｑ＝(){}4|-<x f x ．若“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件，则实数ｔ的取 值范围是Ａ．ｔ≤－１ Ｂ．ｔ＞－１ Ｃ．ｔ≥３ Ｄ．ｔ＞３6．设函数()20)f x x =≥,则其反函数1()f x -的图象是7．已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=π，且当)2,2(ππ-∈x 时，x x x f +=sin )(，设)3(),2(),1(f c f b f a ===，则A.c b a <<B.a c b <<C. a b c <<D.b a c << 8．随机变量ξ服从标准正态分布)1,0(N ，025.0)96.1(=-Φ，则=<)96.1|(|ξPC.A.B.D.A ．025.0B ．050.0C ．950.0D ．975.09．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为221y x =+，值域为{3,19}的“孪生函数”共有 A ．15个 B ．12个 C ．9个 D ．8个10．函数=y sin -x cos x 与函数=y sin +x cos x 的图象关于Ａ.x 轴对称 Ｂ.y 轴对称 Ｃ.直线2π=x 对称 Ｄ.直线4π=x 对称11．方程θθcos 2sin =在［０，)2π上的根的个数为A ．０B ．1C ．２D ．４12．已知)()(x 、g x f 都是定义在R 上的函数, g(x)≠0,)()()()(''x g x f x g x f <, )()(x g a x f x=，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，在有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭( n=1,2,…,10）中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于1615的概率是A ．51B ．52C ．54D ．53第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=)0()0(11)(2x •••••x a x ••xxx f ，要使函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，则a 的值为14．已知l 是曲线x x y +=331的切线中倾斜角最小的切线，则l 的方程为 ．15．已知命题P ：关于x 的不等式ax x >-+-20082006恒成立；命题Q ：关于x 的函数()ax y a -=2log 在[0,1]上是减函数．若Ｐ或Ｑ为真命题，Ｐ且Ｑ为假命题，则实数a 取值范围是 ．16．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即 {}x m =．在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，21]；②函数)(x f y =的图像关于直线2k x =（k ∈Z ）对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④ 函数()y f x =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数；则其中真命题是__ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）函数)0(21cos )cos sin 3()(>-+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π4.（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别是c b a ,,,且满足C b B c a cos cos )2(=-,求角B 的值，并求函数)(A f 的取值范围．18．（本小题满分12分） 设数列}{n a 的前n 项和为nS ，已知11,2(1)(1,2,3,).n n a S na n n n ==--=（Ⅰ）求证：数列}{n a 为等差数列，并分别写出na 和nS 关于n 的表达式；（Ⅱ）求12231111lim n n n a a a a a a →∞-⎛⎫+++⎪⎝⎭．19．（本小题满分12分）已知袋中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是31．现从中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． （Ⅰ）求恰好摸5次停止的概率；（Ⅱ）记5次之内摸到红球的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望． 20．（本小题满分12分）设R a ∈，函数ea ax e x f x)(1(2)(2++=-为自然对数的底数）．（Ⅰ）判断)(x f 的单调性；（Ⅱ）若]2,1[1)(2∈>x e x f 在上恒成立，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列}{n a ，)2(1>=a a a ，)1(221-=+n nn a a a 其中*n ∈N .（I ）证明 ：2>n a ；（Ⅱ）设2-=n n n a a b ，①证明 ：21nn b b =+；②若数列}{n c 满足nn b c lg =，求数列}{n c 的前n 项和nS .22 ．(本小题满分12分)设函数x ax xx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数．（Ⅰ）求正实数a 的取值范围；（Ⅱ）设1,0a b >>，求证：.ln 1b ba b b a b a +<+<+参考答案 一.选择题ＡＢＢＡＤ ＣＤＣＣC ＣＤ 二.填空题13. 2114.ｙ＝ｘ 15. 1≤a 16. ①②③三.解答题17. 解：（Ⅰ）)62sin()0(21cos )cos sin 3()(πωωωωω+=>-+=x x x x x f π4=T ,41=∴ω )621sin()(π+=∴x x f)](324,344[Z k k k ∈+-∴ππππ单调增区间为 5分(Ⅱ)C b B c a cos cos )2(=- , C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2=-A CB B A sin )sin(cos sin 2=+=321cos π=∴=∴B B)621sin()(π+=A A f2626πππ<+<∴A )1,21()(∈∴A f 10分18. 解：（Ⅰ）当n ≥2时，)1(4)1(11----=-=--n a n na S S a n n n n n ，得14(2,3,4,)n n a a n --==.∴数列}{n a 是以11a =为首项，4为公差的等差数列.∴.34-=n a n211()22n n S a a n n n=+=-. 6分（Ⅱ）lim n →∞12231111n n a a a a a a -⎛⎫+++⎪⎝⎭=()()1111lim 155********n n n →∞⎛⎫++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯--⎝⎭=111111111lim ()()()()415599134743n n n →∞⎛⎫-+-+-++- ⎪--⎝⎭=11lim 1443n n →∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭=41. 12分 19. 解：（Ⅰ）由题意知前4次中有两次摸到了红球，第5次摸到的也是红球，所以概率为：8183132312224=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C4分（Ⅱ）随机变量ξ的聚会为0 , 1 , 2 , 3 .其中，当ξ= 3时，又分三种情况，则()24332311055=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯==C P ξ()24380311311415=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==C P ξ320π<<A()243803113123225=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛*==C P ξ ()8117313113131311313113132242230333=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C C C P ξ随机变量ξ的分布列是10分ξ的数学期望为：E ξ=24332× 0 + 24380× 1 +24380× 2 + 8117× 3 =8113112分20．解：（1）由已知)2(21)1(21)(2ax e a ax e x f x x ⋅+++-='-- ),12(212--+-=-a ax ax e x2分令.12)(2--+-=a ax ax x g ①当)(,0)(,01)(,0x f x f x g a ∴<'∴<-==时在R 上为减函数.②当,04)(440)(,022<-=+-=∆=>a a a a x g a 的判别地 )(0)(,0)(x f x f x g ∴<'<∴即在R 上为减函数. 4分③当0<a 时，由,0122>--+-a ax ax 得,1111a x ax -+>--<或由,0122<--+-a ax ax 得,1111a x a-+<<--),(),,()(+∞---+-∞∴a aa a a a x f 在上为增函数；),()(a aa a a a x f ---+在上为减函数 6分（2）①当]2,1[)(,0在时x f a ≥上为减函数..511215.215)2()(222min >>++==∴a e e a e a f x f 得由 10分 ②当2221215)2(,0e e a f a <+=<时21)(e x f >∴在[1，2]上不恒成立，∴a 的取值范围是).,51(+∞ 12分21.解：（I ）运用数学归纳法证明如下：①当1=n 时，由条件知21>=a a ，故命题成立；②假设当*()n k k =∈N 时，有 2>k a 成立 那么当1+=k n 时，0)1(2)2(2)1(22221>--=--=-+k k k k k a a a a a 故命题成立综上所述，命题2>n a 对于任意的正整数n 都成立. 4分（II ）①22222111442)1(2)1(22nn n n n n n nn n n b a a a a a a a a a b =+-=---=-=+++ 8分②n nn n c b b c 2lg lg 211===++ 且02lg1≠-=a ac∴数列}{n c 是以2lg1-=a ac 为首项，以2为公比的等比数列.2lg)12(--=∴a aS n n . 12分22. 解：（Ⅰ）01)(2'≥-=ax ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立，x a 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立．又11≤x ， 1≥∴a 为所求． 4分（Ⅱ）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>b ba b a ，一方面，由（Ⅰ）知x ax xx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数，0)1()(=>+∴f b b a f ， 0ln 1>+++⋅+-∴b b a b b a a b ba ．即b a b b a +>+1ln． 8分另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G ，)1(0111)('>>-=-=x x x x x G ，∴)(x G 在),1(+∞上是增函数，又01)1(>=G ．∴当1>x 时，0)1()(>>G x G ，∴x x ln >， 即b b a bb a +>+ln． 综上所述，1ln a b a ba b b b ++<<+． 12分。