高三数学上学期期中考试试卷
北京市第十五中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(含答案)
北京十五中高三年级数学期中考试试卷2024.11本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}23A x x =-≤≤，{1B x x =<-或}4x >，那么集合A B = （A ）A ．{}21x x -≤<-B ．{3x x ≤或≥4C ．{}24x x -≤<D ．{}13x x -≤≤2．在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（D ）A ．1i--B ．1i-+C ．1i-D ．1i +3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（A）A ．3()f x x =B ．2()f x x =C ．3()f x x=D ．()sin f x x=4．若0m n <<，则下列结论正确的是（B ）A ．22log log m n >B ．0.50.5log log m n>C ．1122m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22m n>5．若α是第二象限角，且1tan 2α=-，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（D ）A ．2B ．2-C ．5D ．5-6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2822a a +=-，11110S =-，则n S 取最小值时，n 的值为（C ）A ．14B ．15C ．15或16D ．167．已知单位向量,a b ，则“a b ⊥”是“任意R λ∈都有a b a b -λ=λ+r r r r ”的（C ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设函数()21cos cos 2f x x x x =--，则下列结论错误的是（D ）A ．()f x 的一个周期为πB ．()y f x =的图象关于直线4π3x =对称C ．将函数cos 2y x =的图象向左平移π6个单位可以得到函数()f x 的图象D ．()f x 在(π2,π)上单调递减9．在ABC V 中，2π3A =，D 为边BC 上一点，若AD AB ⊥，且1AD =，则ABC V 面积的最小值为（B ）AB C D 10．如图，曲线C 为函数5sin (0)2y x x π=≤≤的图象，甲粒子沿曲线C 从A 点向目的地B 点运动，乙粒子沿曲线C 从B 点向目的地A 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(,)m n ，乙粒子的坐标为(,)u v ，若记()n v f m -=，则下列说法中正确的是（B ）A ．()f m 在区间(,)2ππ上是增函数B ．()f m 恰有2个零点C ．()f m 的最小值为2-D ．()f m 的图象关于点5(,0)6π中心对称第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数()f x =的定义域为________．[2，﹢∞)12．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．(用数字作答)－16013．已知向量(,1),(1,2)a m b == ，且222||||||a b a b +=+，则m 的值为．－214．对于函数()ln21xf x x =-和()()ln ln 21g x x x =--，给出下列三个结论：①设()f x 的定义域为M ，()g x 的定义域为N ，则N 是M 的真子集.②函数()g x 的图像在1x =处的切线斜率为0.③函数()f x 的图像关于点1,ln24⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.其中所有正确结论的序号是.①③解析：对于①，由题意得，函数()f x 的定义域()10,0,212x M xx ∞∞⎧⎫⎛⎫==-⋃+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，函数()g x 的定义域12N x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.所以N 是M 的真子集，则①正确.对于②，()1221g x x x =--'，则在1x =处的切线斜率()1211121k g ='=-=--，则②错误.对于③只需验证：当1212x x +=时，()()()121212121212lnln ln 2ln22121421x x x x f x f x x x x x x x +=+==----++，则④正确.故答案为：①③.15．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，是中国古老的民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为1的圆形纸片，记为O ，在O 内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为1O ，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分(如图所示阴影部分)，记为一次裁剪操作，L ，重复上述裁剪操作n 次，最终得到该剪纸，则第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和.()202414π12⎛⎫--⎪⎝⎭解析：设n O 的半径为n R ，则122R =，1n O + 的半径为22n R ，即122n n R R +=，故121221222nn nn R R -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，n O 的面积为1ππ22nn S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又第n 次裁剪操作的正方形边长为12122n n R -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故第n 次裁剪操作裁剪掉的面积为1222221111ππ2222n n n n⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21π4π222n n n --=-=，所以第n 次裁剪操作后，裁剪掉的面积之和为()()211114π...4π12222n n ⎛⎫⎛⎫-+++=--⎪⎝⎭⎝⎭，所以第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为()202414π12⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：()202414π12⎛⎫-- ⎝⎭.三、解答题共5小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．已知函数()sin si πn 3f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）若π6x =是函数()(0)y f x ϕϕ=+>的一个零点，求ϕ的最小值.解：（Ⅰ）由函数π1()sin sin sin sin cos 322f x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭3πsin226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，……………3分所以函数()f x 的最小正周期为2πT =.……………5分由πππ2π2π262k x k -+≤+≤，k Z ∈，得2ππ2π2π33k x k -+≤≤+，k Z ∈，所以函数()f x 的单调增区间为2ππ[2,2π]33k k -++，k Z ∈.……………8分（Ⅱ）因为π6x =是函数()(0)f x ϕϕ+>的一个零点，ππ066ϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即πsin 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……………10分所以ππ3k ϕ+=，Z k ∈，即ππ3k ϕ=-+，Z k ∈，……………12分又因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为2π3.……………13分17．在ABC △中，6a =,1cos 3C =-，三角形面积为（Ⅰ）b 和c 的值；（Ⅱ）sin()A B -的值．解：（Ⅰ）在ABC △中，因为1cos 3C =-，所以(,)2C π∈π，22sin 3C =.……………2分因为1sin 2S ab C ==6a =，所以2b =.……………4分由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=，……………5分所以c =……………6分（Ⅱ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，可得62sin sin 223A B ==.…………7分所以sin 3A =，sin 9B =.……………9分因为,(0,2A B π∈，所以3cos 3A =，53cos 9B =.……………11分所以sin()sin cos cos sin A B A B A B-=-39399=⨯-⨯=.……………13分18．已知函数2()ln ,()e e x x f x x x g x ==-．（Ⅰ）求函数()f x 在区间[1,3]上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．解：（Ⅰ）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x =+'．……………2分所以()0f x '>在区间[1,3]恒成立，……………4分所以()f x 在区间[1,3]上单调递增，……………5分所以()f x 在区间[1,3]上的最小值为(1)0f =．……………7分（Ⅱ）因为()ln 1f x x =+'．所以当1(0,),'()0e x f x ∈<，()f x 单调递减；1(,),'()0ex f x ∈+∞>，()f x 单调递增……………9分所以，()f x 在1e x =时取得最小值11()e ef =-，可知1()ef m ≥-．……………10分由2()e e x x g x =-，可得1'()e x x g x -=．……………11分所以当(0,1),'()0,()x g x g x ∈>单调递增，当(1,),'()0,()x g x g x ∈+∞<单调递减．……………12分所以函数()(0)g x x >在1x =时取得最大值，又1(1)e g =-，可知1()eg n ≤-，……………13分所以对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．……………14分19．某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：男生818486868891女生728084889297（Ⅰ）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；（Ⅱ）从该校的高一学生中，随机抽取3人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀(90>分)的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中男生和女生成绩的方差分别记为21s ，22s ，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为23s ，试比较21s 、22s 、23s 的大小．(只需写出结论)解：（Ⅰ）设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件A ，由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有1166C C 36=种组合，其中男生成绩高于女生()()()()()()()81,72,81,80,84,72,84,80,86,72,86,80,86,84，()()()86,72,86,80,86,84，()()()()()88,72,88,80,88,84,91,72,91,80，()91,84，()91,88.所以事件A 有17种组合，因此()1736P A =；……………3分（Ⅱ）由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（90>分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为14.……………4分X 可取0,1,2,3，……………5分()3327Χ0464P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131327Χ1C 4464P ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()223319Χ2C 4464P ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()311Χ3464P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以随机变量X 的分布列……………10分数学期望2791483()0123646464644E X =+⨯+⨯+⨯.……………11分（Ⅲ）222312s s s <<.……………14分20．已知函数()()2e x f x x a x =--．（Ⅰ）当a =0时，求()f x 在x =0处的切线方程；（Ⅱ）当a =1时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()f x 有且仅有一个零点时，请直接写出a 的取值范围．解：（Ⅰ）当a =0时，()2e x f x x x =-，()00f =，……………1分因为()()1e 2x f x x x '=+-，……………2分所以()10f '=，……………3分所以()f x 在x =0处的切线方程为：y x=……………4分X0123P27642764964164（Ⅱ）当a =1时，()()21e x f x x x =--，所以()()()e 1e 2e 2e 2x x x x f x x x x x x =+--=-=-'，……………6分由()0f x '>，得0x <或ln 2x >，……………8分由()0f x '<，得0ln 2x <<，……………10分所以，()f x 的单调增区间为(),0∞-和(ln 2,)+∞，()f x 的单调减区间为(0,ln 2)．……………12分（Ⅲ）a R ∈．……………15分21.（本小题15分）已知项数为*(,2)N m m m ∈≥的数列{}n a 满足如下条件：①*(1,2,,)n a N n m ∈= ；②12m a a a <<< .若数列{}n b 满足*12()1m nn a a a a b N m +++-=∈- ，其中1,2,,n m = ，则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（Ⅰ）数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12m b b b >>> ；（Ⅲ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且11a =，2049m a =，求m 的最大值.解：（Ⅰ）解：数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.……………1分因为*41357979512b N ++++-==∉-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.……………3分（Ⅱ）证明：因为111n n n n a a b b m ++--=-，*11,n m n N≤≤-∈……………4分又因为12m a a a <<< ，所以有10n n a a +-<所以1101n n n n a a b b m ++--=<-……………6分所以12m b b b >>> 成立……………7分（Ⅲ）∀1≤i <j ≤m ，都有1j i i j a a b b m --=-，……………8分因为*i b N ∈，12m b b b >>> .所以*i j b b N -∈，所以*1j i i j a a b b N m --=∈-……………9分所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-……………11分又112211()()()m m m m m a a a a a a a ----=-+-++- (1)(1)(1)m m m ≥-+-++- =2(1)m -……………13分所以2(1)2048m -≤，所以46m ≤……………14分又*20481N m ∈-，所以33m ≤例如：6463n a n =-（133n ≤≤），满足题意，所以，m 的最大值是33.……………15分北京十五中高三年级数学期中考试试卷2024.11本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}23A x x =-≤≤，{1B x x =<-或}4x >，那么集合A B = （A ）A ．{}21x x -≤<-B ．{3x x ≤或≥4C ．{}24x x -≤<D ．{}13x x -≤≤2．在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（D ）A ．1i--B ．1i-+C ．1i-D ．1i +3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（A）A ．3()f x x =B ．2()f x x =C ．3()f x x=D ．()sin f x x=4．若0m n <<，则下列结论正确的是（B ）A ．22log log m n >B ．0.50.5log log m n>C ．1122m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22m n>5．若α是第二象限角，且1tan 2α=-，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（D ）A ．2B ．2-C ．5D ．5-6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2822a a +=-，11110S =-，则n S 取最小值时，n 的值为（C ）A ．14B ．15C ．15或16D ．167．已知单位向量,a b ，则“a b ⊥”是“任意R λ∈都有a b a b -λ=λ+r r r r ”的（C ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设函数()21cos cos 2f x x x x =--，则下列结论错误的是（D ）A ．()f x 的一个周期为πB ．()y f x =的图象关于直线4π3x =对称C ．将函数cos 2y x =的图象向左平移π6个单位可以得到函数()f x 的图象D ．()f x 在(π2,π)上单调递减9．在ABC V 中，2π3A =，D 为边BC 上一点，若AD AB ⊥，且1AD =，则ABC V 面积的最小值为（B ）AB C D 10．如图，曲线C 为函数5sin (0)2y x x π=≤≤的图象，甲粒子沿曲线C 从A 点向目的地B 点运动，乙粒子沿曲线C 从B 点向目的地A 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(,)m n ，乙粒子的坐标为(,)u v ，若记()n v f m -=，则下列说法中正确的是（B ）A ．()f m 在区间(,)2ππ上是增函数B ．()f m 恰有2个零点C ．()f m 的最小值为2-D ．()f m 的图象关于点5(,0)6π中心对称第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数()f x =的定义域为________．[2，﹢∞)12．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．(用数字作答)－16013．已知向量(,1),(1,2)a m b == ，且222||||||a b a b +=+，则m 的值为．－214．对于函数()ln21xf x x =-和()()ln ln 21g x x x =--，给出下列三个结论：①设()f x 的定义域为M ，()g x 的定义域为N ，则N 是M 的真子集.②函数()g x 的图像在1x =处的切线斜率为0.③函数()f x 的图像关于点1,ln24⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.其中所有正确结论的序号是.①③解析：对于①，由题意得，函数()f x 的定义域()10,0,212x M xx ∞∞⎧⎫⎛⎫==-⋃+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，函数()g x 的定义域12N x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.所以N 是M 的真子集，则①正确.对于②，()1221g x x x =--'，则在1x =处的切线斜率()1211121k g ='=-=--，则②错误.对于③只需验证：当1212x x +=时，()()()121212121212lnln ln 2ln22121421x x x x f x f x x x x x x x +=+==----++，则④正确.故答案为：①③.15．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，是中国古老的民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为1的圆形纸片，记为O ，在O 内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为1O ，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分(如图所示阴影部分)，记为一次裁剪操作，L ，重复上述裁剪操作n 次，最终得到该剪纸，则第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和.()202414π12⎛⎫--⎪⎝⎭解析：设n O 的半径为n R ，则122R =，1n O + 的半径为22n R ，即122n n R R +=，故121221222nn nn R R -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，n O 的面积为1ππ22nn S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又第n 次裁剪操作的正方形边长为12122n n R -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故第n 次裁剪操作裁剪掉的面积为1222221111ππ2222n n n n⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21π4π222n n n --=-=，所以第n 次裁剪操作后，裁剪掉的面积之和为()()211114π...4π12222n n ⎛⎫⎛⎫-+++=--⎪⎝⎭⎝⎭，所以第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为()202414π12⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：()202414π12⎛⎫-- ⎝⎭.三、解答题共5小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．已知函数()sin si πn 3f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）若π6x =是函数()(0)y f x ϕϕ=+>的一个零点，求ϕ的最小值.解：（Ⅰ）由函数π1()sin sin sin sin cos 322f x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭3πsin226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，……………3分所以函数()f x 的最小正周期为2πT =.……………5分由πππ2π2π262k x k -+≤+≤，k Z ∈，得2ππ2π2π33k x k -+≤≤+，k Z ∈，所以函数()f x 的单调增区间为2ππ[2,2π]33k k -++，k Z ∈.……………8分（Ⅱ）因为π6x =是函数()(0)f x ϕϕ+>的一个零点，ππ066ϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即πsin 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……………10分所以ππ3k ϕ+=，Z k ∈，即ππ3k ϕ=-+，Z k ∈，……………12分又因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为2π3.……………13分17．在ABC △中，6a =,1cos 3C =-，三角形面积为（Ⅰ）b 和c 的值；（Ⅱ）sin()A B -的值．解：（Ⅰ）在ABC △中，因为1cos 3C =-，所以(,)2C π∈π，22sin 3C =.……………2分因为1sin 2S ab C ==6a =，所以2b =.……………4分由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=，……………5分所以c =……………6分（Ⅱ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，可得62sin sin 223A B ==.…………7分所以sin 3A =，sin 9B =.……………9分因为,(0,2A B π∈，所以3cos 3A =，53cos 9B =.……………11分所以sin()sin cos cos sin A B A B A B-=-39399=⨯-⨯=.……………13分18．已知函数2()ln ,()e e x x f x x x g x ==-．（Ⅰ）求函数()f x 在区间[1,3]上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．解：（Ⅰ）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x =+'．……………2分所以()0f x '>在区间[1,3]恒成立，……………4分所以()f x 在区间[1,3]上单调递增，……………5分所以()f x 在区间[1,3]上的最小值为(1)0f =．……………7分（Ⅱ）因为()ln 1f x x =+'．所以当1(0,),'()0e x f x ∈<，()f x 单调递减；1(,),'()0ex f x ∈+∞>，()f x 单调递增……………9分所以，()f x 在1e x =时取得最小值11()e ef =-，可知1()ef m ≥-．……………10分由2()e e x x g x =-，可得1'()e x x g x -=．……………11分所以当(0,1),'()0,()x g x g x ∈>单调递增，当(1,),'()0,()x g x g x ∈+∞<单调递减．……………12分所以函数()(0)g x x >在1x =时取得最大值，又1(1)e g =-，可知1()eg n ≤-，……………13分所以对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．……………14分19．某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：男生818486868891女生728084889297（Ⅰ）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；（Ⅱ）从该校的高一学生中，随机抽取3人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀(90>分)的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中男生和女生成绩的方差分别记为21s ，22s ，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为23s ，试比较21s 、22s 、23s 的大小．(只需写出结论)解：（Ⅰ）设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件A ，由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有1166C C 36=种组合，其中男生成绩高于女生()()()()()()()81,72,81,80,84,72,84,80,86,72,86,80,86,84，()()()86,72,86,80,86,84，()()()()()88,72,88,80,88,84,91,72,91,80，()91,84，()91,88.所以事件A 有17种组合，因此()1736P A =；……………3分（Ⅱ）由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（90>分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为14.……………4分X 可取0,1,2,3，……………5分()3327Χ0464P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131327Χ1C 4464P ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()223319Χ2C 4464P ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()311Χ3464P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以随机变量X 的分布列……………10分数学期望2791483()0123646464644E X =+⨯+⨯+⨯.……………11分（Ⅲ）222312s s s <<.……………14分20．已知函数()()2e x f x x a x =--．（Ⅰ）当a =0时，求()f x 在x =0处的切线方程；（Ⅱ）当a =1时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()f x 有且仅有一个零点时，请直接写出a 的取值范围．解：（Ⅰ）当a =0时，()2e x f x x x =-，()00f =，……………1分因为()()1e 2x f x x x '=+-，……………2分所以()10f '=，……………3分所以()f x 在x =0处的切线方程为：y x=……………4分X0123P27642764964164（Ⅱ）当a =1时，()()21e x f x x x =--，所以()()()e 1e 2e 2e 2x x x x f x x x x x x =+--=-=-'，……………6分由()0f x '>，得0x <或ln 2x >，……………8分由()0f x '<，得0ln 2x <<，……………10分所以，()f x 的单调增区间为(),0∞-和(ln 2,)+∞，()f x 的单调减区间为(0,ln 2)．……………12分（Ⅲ）a R ∈．……………15分21.（本小题15分）已知项数为*(,2)N m m m ∈≥的数列{}n a 满足如下条件：①*(1,2,,)n a N n m ∈= ；②12m a a a <<< .若数列{}n b 满足*12()1m nn a a a a b N m +++-=∈- ，其中1,2,,n m = ，则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（Ⅰ）数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12m b b b >>> ；（Ⅲ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且11a =，2049m a =，求m 的最大值.解：（Ⅰ）解：数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.……………1分因为*41357979512b N ++++-==∉-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.……………3分（Ⅱ）证明：因为111n n n n a a b b m ++--=-，*11,n m n N≤≤-∈……………4分又因为12m a a a <<< ，所以有10n n a a +-<所以1101n n n n a a b b m ++--=<-……………6分所以12m b b b >>> 成立……………7分（Ⅲ）∀1≤i <j ≤m ，都有1j i i j a a b b m --=-，……………8分因为*i b N ∈，12m b b b >>> .所以*i j b b N -∈，所以*1j i i j a a b b N m --=∈-……………9分所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-……………11分又112211()()()m m m m m a a a a a a a ----=-+-++- (1)(1)(1)m m m ≥-+-++- =2(1)m -……………13分所以2(1)2048m -≤，所以46m ≤……………14分又*20481N m ∈-，所以33m ≤例如：6463n a n =-（133n ≤≤），满足题意，所以，m 的最大值是33.……………15分。
河北省唐山市玉田县2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题
河北省唐山市玉田县2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．若集合{}{}N 10,42,N A x x B x x n n =∈≤==-∈，则A B = （）A ．∅B ．{}2,6,10C ．{}2,2,6,10-D ．{}0,2,4,6,8,102．已知向量()0,1a =- ，()2,1b =r，若()a b a λ-⊥ ，则λ=（）A ．1-B ．1C ．13D ．13-3．若()f x 与()g x 均为定义在上的奇函数，则函数()()()h x f x g x =的部分图象可能为（）A ．B ．C ．D ．4．当0x >时，函数2221log 2xf x a x x -⎛⎫⎛⎫-=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，且(1)6f >，则a 的取值范围是（）A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(1,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞ 5．已知cos()2sin(),tan tan m αβαβαβ+=-=，则tan tan αβ-=（）A ．12m -B ．13m -C ．12m -D ．13m -6．设1z 的实部与虚部相等，且实部不为0，2z 的虚部是实部的2倍，且2z 在复平面内对应的点位于第三象限，则“1z 在复平面内对应的点位于第一象限”是“12z z 在复平面内对应的点位于第二象限”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数π3πsin 3cos 4,[,]22y x x x =-∈-的所有零点的和为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π8．已知12,,,log m nn m n a n b m c m <<<===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．c b a>>二、多选题9．若复数1z ，2z 是方程28170x x -+=的两个根，则（）A ．12z z -为纯虚数B ．1217z z =C．1z =D ．12z z =10．如图，在ABC V 中，3AB AC ==，2BC =，点,D G 分别边,AC BC 上，点,E F 均在边AB 上，设DG x =，矩形DEFG 的面积为S ，且S 关于x 的函数为()S x ，则（）A ．ABC V的面积为B ．()13S =C ．()S x 先增后减D ．()S x11．已知0x >，0y >，且不等式()()()2221140x x y y m m xy +++--≥恒成立，则（）A ．m的最小值为2-B ．m的最大值为2+C ．m的最小值为2-D ．m的最大值为2+三、填空题12．30308log 60log 22log 32-+=.13．将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30︒角的三角板()ABC 的长直角边与含45︒角的三角板()ACD 的斜边恰好重合.AC 与BD 相交于点O .若AC =则AO =.14．已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 满足1344AE AB AC =+，P 为平面ABCD 内一点，则()PA PD PE +⋅的最小值为．四、解答题15．已知函数()()πsin 302f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(1)求ϕ；(2)将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式与单调递增区间.16．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos 2b A ab B AB AC +=-⋅．(1)求A ；(2)若3a =，求ABC 面积的最大值．17．如图，某铁皮制成的无盖容器的上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，且圆锥与圆柱同底等高，圆柱与圆锥无铁皮的阻隔，已知圆锥的母线长为12分米.(1)忽略铁皮的厚度，求该容器的容积的最大值；(2)设铁皮的价格为每平方分米10元，当该容器的容积取得最大值（忽略铁皮的厚度）时，求需要的铁皮的总费用.18．已知函数()2e 122x x xf x a x =---．(1)当712a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若曲线()y f x =与23x y =-在()0,∞+上至少有一个交点，求a 的取值范围；(3)若a ∈Z ，1x ∀、()2,0x ∈-∞，且12x x >，()()1221f x f x x x <，求a 的最小值．19．设函数()f x 的定义域为D ，若x D ∀∈，(())f f x x =，则称()f x 为“循环函数”.(1)试问函数()()e 1,0ln 1,0xx f x x x -⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩是否为“循环函数”？说明你的理由.(2)已知函数3()42f x x =-，证明：存在常数C ，使得()()g x f x C =+为“循环函数”.(3)已知对任意,R x y ∈，函数()f x ，()g x 都满足22()()()3()34f x f y g x g y x y y ++=+--.①证明：()f x 为“循环函数”.②若(3)0f -=，证明：当1x >时，()32()ln g x x x >-.提示：设()32ln y x x =-，当x =时，0.35y ≈.。
2024届泰安市高三数学上学期期中考试卷附答案解析
2024届泰安市高三数学上学期期中考试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3A =，{}3,5B =，则{}2,,C x x a b a A b B ==+∈∈中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62．设:12,:21xp x q <<>，则p 是q 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3tan 42tan162tan 42︒︒︒-+︒的值为（）A B ．C D ．34．函数y ＝1＋x ＋2sin x x 的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R,2sin 2x +2cos 2x =122p :∃x 、y ∈R,sin(x-y)=sinx-siny3p :∀x ∈[]0,π=sinx 4p :sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是A ．1p ，4p B ．2p ，4p C ．1p ，3p D ．2p ，3p6．已知1a =，2e 2b=，1ln 55c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<7．已知函数()1f x -的图象关于()1,1-对称，()1f x +为偶函数，则下列函数是奇函数的是（）A ．()1y f x =-B ．()21y f x =+-C ．()41y f x =++D ．()31y f x =++8．在下列四组函数中，函数()f x 与()g x 的图象上存在关于x 轴对称的点的是（）A ．()2f x x =+，()g x =B ．()113x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1e xg x =+C ．()2f x x =-，()ln g x x =D ．()2xf x =，()lg g x x=二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．已知110a b <<，则下列结论正确的是（）A ．22a b >B ．22ac bc >C ．若0d c <<，则ad bc<D ．b aa b>10．已知函数()()πsin 0,||2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（）A ．()πsin 2cos 23A x x ωϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的一个对称中心为29π,06⎛⎫⎪⎝⎭C ．2π-是函数()f x 的一个周期D ．将函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度可得函数()f x 的图象11．设数列{}n a 的前n 项和为nS ，若()*4,N n n a S n n =+∈，则下列结论正确的是（）A ．{}1n a +是等比数列B ．{}n a 是单调递减数列C ．11143nn S n⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．221209n n a a -+≥-12．已知)(()e 2x f x x =+，()(2)ln g x x x =+，则下列结论正确的是（）A ．函数()g x 在(0,)+∞上存在极大值B ．()f x '为函数()f x 的导函数，若方程0()f x m -='有两个不同实根，则实数m 的取值范围是2(2e ,2)--C ．若对任意e x ≥，不等式2)2)ln ((()f ax f x x x ≤+恒成立，则实数a 的最大值为2e+D ．若12))0)(((f x g x n n ==>，则12ln (2)n x x +的最大值为1e三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在ABC中，若60,45,A B BC ∠=︒∠=︒=AC =14．已知α是第四象限角，且πsin 45α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.15．已知函数()()4sin 22cos f x x x a x a R =-+∈在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是.16．已知数列{}n a 满足()112n n n a a a n +-=+≥，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202201S =，201202S =，则203S =.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数()3213432f x x x ax =-+，R a ∈，()f x '是()f x 的导函数.(1)已知()0f x '<的解集为A ，集合{}16|B x x =≤<，若{}|15A B x x ⋂=≤<，求a 的值；(2)若()f x 在()2,+∞上存在单调减区间，求a 的取值范围.18．已知函数()π4cos sin 3f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(1)解不等式()1f x ≥；(2)设()π4cos 112g x f x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求()g x 在π5,π66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11S =且1120n n n a S S +++=，*n ∈N .(1)求n a ；(2)记12=nn S nn S b a =，求数列{}n b 的前n 项和.20．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos 2cos 2C A B =-.(1)若c =，求cos C ；(2)延长BC 至点D ，使得AD BD =，若2a =，求ACD 面积的最大值.21．某公司在年初购买了一批价值1000万元的设备，设备的价值在使用过程中逐年减少，前5年每年年底的价值比年初减少m 万元，从第6年开始，每年年底的价值为年初的80%，已知第7年年底的设备价值为608万元，设备运行一段时间后需要运行养护维修，前3年不需要养护，第4年的养护费为19万元，此后每年在上一年的基础上上升25%.(1)求第n 年年底设备价值的表达式；(2)当设备价值低于当年设备花费的养护费时，公司就于当年年底淘汰该批设备，问公司在第几年年底淘汰该批设备？（参考数据lg 20.301≈，lg 30.477≈）.22．已知函数()()ln f x x x t =+的导函数为()f x '，且曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为10x y ++=.(1)证明：当12x >-时，()0f x ¢>；(2)设()()()()321[]ln 4214142g x mx m x x m m x f ⎛⎫>⎪'⎝=+++++⎭-有两个极值点.()1212,x x x x <，过点()()11,x g x -和()()22,x g x 的直线的斜率为k ，证明：0k >.1．B【分析】利用集合中元素的互异性，对a ，b 的取值进行分类讨论即可.【详解】由题意，2x a b =+，当1,57a b x ==⇒=，当1,35a b x ==⇒=，当2,59a b x ==⇒=，当2,37a b x ==⇒=，当3,511a b x ==⇒=，当3,39a b x ==⇒=，由集合中元素满足互异性，所以{}5,7,9,11C =.故选：B 2．A【详解】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为A.考点：充分条件与必要条件.【方法点睛】判断p 是不是q 的充分（必要或者充要）条件，遵循充分必要条件的定义，当p 成立时，q也成立，就说p 是q 的充分条件，否则称为不充分条件；而当q 成立时，p 也成立则p 是q的必要条件，否则称为不必要条件；当p 能证明q 的同时q 也能证明p ，则p 是q的充分条件．3．C【分析】根据正切和差角公式即可求解.tan 42tan162tan 42tan 42tan18tan 42︒︒︒︒=︒+︒︒+-+︒()()tan 42tan 18421tan18tan 42︒︒︒︒︒︒++-)tan 421tan18tan 42︒-︒︒︒=,故选：C 4．D【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.【详解】当x ＝1时，y ＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A 、C ；当x→＋∞时，y→＋∞，排除B.故选：D.【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.5．A【详解】22,sin cos 1.22x x x R ∀∈+=故1p 是假命题；令5,,sin sin ,63x y x y ππ===但.2x y π+≠故4p是假命题.6．B【分析】根据题意，构造函数()ln 1f x x x =-+，0x >，即可判断,a b 的大小关系，然后,b c 作差，即可得到结果.【详解】因为2e 2b=，则ln 22b =，且ln 55c =，则ln 2ln 55ln 22ln 5ln 32ln 250251010b c ---=-==>，则b c >；构造函数()ln 1f x x x =-+，0x >，则()111xf x x x -'=-=，令()0f x ¢>，则01x <<，令()0f x '<，则1x >，所以当()0,1x ∈，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞，()f x 单调递减，则1x =时，()f x 有极大值，即最大值，所以()()10f x f <=，即0x >时，ln 1x x <-，且1a =-，ln 22b ==，则1<，所以b a <；即c b a <<.故选：B7．C【分析】利用函数的对称性和奇偶性逐项判断即可.【详解】因为函数()1f x -的图象关于()1,1-对称，所以()f x 关于()0,1-对称，即()()2f x f x +-=-①，因为()1f x +为偶函数，所以()()()()112f x f x f x f x +=-+⇒=-，则()()2f x f x -=+②，由①②得()()22f x f x ++=-，()()242f x f x +++=-，所以()()4f x f x =+，,4为()f x 周期，对于C ，令()()()411g x f x f x =++=+，则()()()()11(12)g x f x f x f x g x +=+-=--=-=--，则()g x 为奇函数，C 正确；对于A ，令()()1h x f x =-，则()()()134()()()4h x f x f x h x h x h x -=--=--=--⇒-+=-，所以()()1h x f x =-不为奇函数，A 错误；对于B ，令()()21m x f x =+-，则()()()()2132324()m x f x f x f x m x -=-+-=---=--+=--，即()()4m x m x +-=-，所以()()21m x f x =+-不为奇函数，B 错误；对于D ，令()()31x f x ϕ=++，则()()()()311131()x f x f x f x x ϕϕ-=-++=--+=++=所以()()31x f x ϕ=++不为奇函数，D 错误；故选C.8．D 【分析】函数()y f x =的图象关于x 轴对称的函数为()y f x =-，则函数()f x 与()g x 的图象上存在关于x轴对称，即函数()y f x =-与()y g x =的图象有交点，分别作出函数()y f x =-与()y g x =的图象，由图即可得解.【详解】对于A ，函数()2f x x =+的图象关于x 轴对称的函数为()2y f x x =-=--，如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以A 选项不符题意；对于B ，函数()113x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于x 轴对称的函数为()113x y f x +⎛⎫=⎝-⎪⎭=- ，如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以B 选项不符题意；对于C ，函数()2f x x =-的图象关于x 轴对称的函数为()2y f x x =-=，如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以C 选项不符题意；对于D ，函数()2xf x =的图象关于x 轴对称的函数为()2xf x y -=-=，如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象有交点，所以D 选项符合题意.故选：D.9．AC【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.【详解】由110a b <<可得0b a <<，对于A,由于0b a <<，所以22a b >，A 正确，对于B ，当0c =时，22ac bc =，故B 错误，对于C ，0d c <<，则0d c ->->，又0b a <<，所以ad bc ->-，故ad bc <，C 正确，对于D ，当4,2a b ==时，16,16b aa b ==，故D 错误，故选：AC10．BCD【分析】根据函数图象可得A 及函数的最小正周期，即可求出ω，再利用待定系数法求出ϕ，再根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】由图可知，35ππ3π2,46124A T ==-=，所以2ππT ω==，所以2ω=，故()()2sin 2f x x ϕ=+，又ππ2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ+=+，所以ππ,Zk k ϕ=+∈23，又π||2ϕ<，所以π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，因为29ππ2sin 0239π63f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的一个对称中心为29π,06⎛⎫⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为函数()f x 的最小正周期为π，所以2π-是函数()f x 的一个周期，故C 正确；对于D ，将函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度，得()πππ2sin 22sin 2463y x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.11．ACD【分析】构造法得1113a +=-、111()31n n a a -++=-判断A ，并可得1()13n n a =--，应用分组求和、等比数列前n 项和公式求n S ，根据221n n a a -+通项公式判断单调性判断B 、C 、D.【详解】由题设()()1111441413a S a a =+=+⇒=-，则1113a +=-，当2n ≥，则()141n n n a a a -=-+，则111()31n n a a -++=-，所以{}1n a +是首项、公比均为13-的等比数列，则11()3nn a +=-，故1()13n n a =--，则212418()1339a a =-<=--=->33128()1327a =--=-，故{}n a 不递减，211[1(]1111133()(()[()1]1333431()3n n n n S n n n -⋅--=-+-++--=-=⋅----- ，221221111()1(12[()1]339n n n n n a a --=--+-=-++-在*N n ∈上递增，所以221209n n a a -+≥-，综上，A 、C 、D 对，B 错.故选：ACD 12．BCD【分析】利用导数探讨()g x 的单调性判断A ；求出()f x '并利用导数探讨其性质，结合函数零点判断B ；利用函数()f x 的单调性脱去法则“f”，再利用()g x 的单调性求出最小值判断C ；由已知结合同构思想得12e x x =，再利用导数求出ln ()nn n ϕ=的最小值判断D.【详解】对于A ，2()1ln g x x x '=++，令2()1ln u x x x =++，则22212()x u x x x x -'=-+=，当2x >时，()0u x '>，函数()g x '递增，当02x <<时，()0u x '<，函数()g x '递减，于是()(2)2ln 20g x g ''≥=+>，因此()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(0,)+∞上无极值点，A 错误；对于B ，()e 2e (1)e 2x x x f x x x '=++=++，令()(1)e 2x t x x =++，则()e (1)e (2)e x x xt x x x '=++=+，当<2x -时，()0t x '<，函数()t x 递减，当2x >-时，()0t x '>，函数()t x 递增，则2min ()(2)2e t x t -=-=-，即2min ()2e f x -'=-，显然当1x <-时，恒有()2f x '<，方程0()f x m -='有两个不同实根，即直线y m =与函数()y f x '=的图象有两个交点，因此22e 2m --<<，B 正确；对于C ，由选项B 知，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，于是e x ∀≥，不等式22(((ln ()l 2))2)n f ax f x x x ax x x x ≤+⇔≤+，则有e x ∀≥，(2)ln a x x ≤+，由选项A 知，函数()(2)ln g x x x =+在[e,)+∞上单调递增，因此()(e)2e g x g ≥=+，即2e a ≤+，所以实数a 的最大值为2e +，C 正确；对于D ，若12))0)(((f x g x n n ==>，则1122(e 2)(2)ln x x x x n +=+=，即1122(e 2)ln e (2)ln x x x x n +=+=，由0n >，得120,1x x >>，由选项A 知，函数()(2)ln g x x x =+在(1,)+∞上单调递增，于是12e x x =，1>0x ，因此1121ln ln ln (2)(e 2)x n n n x x x n ==++，令ln ()n n n ϕ=，则21ln ()n n n ϕ-'=，当0e n <<时，()0n ϕ'>，函数)(n ϕ递增，当e n >时，()0n ϕ'<，函数)(n ϕ递减，从而max 1()(e)e n ϕϕ==，所以12ln (2)n x x +的最大值为1e ，D 正确.故选：BCD【点睛】结论点睛：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，（1）若[],x a b ∀∈，总有()f x k <成立，故()max f x k <；（2）若[],x a b ∀∈，总有()f x k >成立，故()min f x k >；（3）若[],x a b ∃∈，使得()f x k <成立，故()min f x k <；（4）若[],x a b ∃∈，使得()f x k >，故()max f x k>.13．【分析】由正弦定理求解．【详解】由sin sin AC BC B A =得sin sin BC B AC A ==故答案为：14．2-【分析】利用诱导公式与同角三角函数的基本关系进行求解即可.【详解】由题意，得ππππsin sin cos 44245ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即πcos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为α是第四象限角，即()3π2π+2π2π,Z 2k k k α<<+Î，所以()5ππ7π2π+2π,Z 444k k k α<-<+Î，则πsin 45α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πsin π4tan 2π4cos 4ααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，故答案为：-215．⎡⎣-【分析】求导()42cos 22sin f x x a x '=--，根据()f x 在(),-∞+∞上单调递增，由()0f x '≥在(),-∞+∞上恒成立求解.【详解】解：因为函数()()4sin 22cos f x x x a x a R =-+∈，所以()42cos 22sin f x x a x '=--，因为()f x 在(),-∞+∞上单调递增，所以()42cos 22sin 0f x x a x '=--≥在(),-∞+∞上恒成立，即22sin sin 10x a x -+≥在(),-∞+∞上恒成立，令[]sin 1,1t x =∈-，则()2210g t t at =-+≥在[]1,1-上恒成立，当14a ≤-时，()130g a -=+≥，无解；当14a ≥时，()130g a =-≥，无解；当114a -<<时，21048a a g ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，解得a -≤≤所以a的取值范围是⎡⎣-，故答案为；⎡⎣-16．100【分析】根据已知递推公式得出30n n a a ++=，360n n a a +++=，则6n n a a +=，由此可以求出60S =，根据202201S =，201202S =即可求得.【详解】由()112n n n a a a n +-=+≥，得12n n n a a a ++=+，则120n n a a -++=，所以30n n a a ++=，则360n n a a +++=，所以6n n a a +=，可知1425360,0,0a a a a a a +=+=+=，所以60S =，因为2016333=⨯+，所以2011992002012020S a a a ==+++，2022022011a S S =-=-，则199********a a a +=⇒=，所以200201201a a +=，又2002011992011a a a a =+=+所以2012012011201100a a a ++=⇒=，所以200203101101a a =⇒=-，203202203100S S a =+=.故答案为：10017．(1)52a =-(2)12a <【分析】（1）根据题意，将集合,A B 化简，再由交集的结果，列出方程，即可得到结果；（2）将问题转化为()0f x '<在()2,+∞上有解，结合二次函数的对称轴，即可得到结果.【详解】（1）()234f x x x a '=-+ ，{}2|340A x x x a ∴=-+<.{}|16B x x =≤< ，{}|15A B x x =≤< ，∴5为方程2340x x a -+=的根.410a ∴=-，52a ∴=-.（2）由题知()0f x '<在()2,+∞上有解，()234f x x x a '=-+ 的对称轴为322x =<，()f x '∴在()2,+∞上单调递增，()20f '∴<，12a ∴<.18．(1)()πππ,πZ 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)最小值为4-，最大值为5【分析】（1）由两角和的正弦公式和倍角公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质，解不等式；.（2）化简函数解析式，由定义域结合函数解析式求值域.【详解】（1）()ππ4cos sin cos cos sin 33f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 22cos sin x x x =+sin 22x x=π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴()1f x ≥即π1sin 232x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，ππ5π2π22π636k x k ∴+≤+≤+，Z k ∈，ππππ124k x k ∴-+≤≤+，Z k ∈.∴不等式()1f x ≥的解集为()πππ,πZ 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）()π2sin 24cos 12g x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2cos 24cos 1x x =+-24cos 4cos 3x x =+-.π5,π66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，cos x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，设cos x t =，则t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.令()y g x =，则221443442y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，∴当12t =-时，min 4y =-.当1t =时，max 5y =.∴()g x 在π5,π66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为4-，最大值为5.19．(1)()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=-⎨≥⎪--⎩(2)()611429n n -⋅+-【分析】（1）根据,n n a S 的关系可得1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，即可求解121n S n =-，进而可得n a ，（2）根据错位相减法即可求解.【详解】（1）1120n n n a S S +++= ，1120n n n n S S S S ++∴-+=，又0n S ≠1112n n S S +∴-=.∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2，首项为111S =的等差数列.121n n S ∴=-,即121n S n =-.当2n ≥时，()()122123n n n a S S n n --=-=--，111a S ==故()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=-⎨≥⎪--⎩.（2）1n =时，1111122S S b a ==2n ≥时，()()()12111222132422123n n S n n n n S n b n a n n ---===----.设{}n b 的前n 项和为n T ，则()1212434324n n T n -=--⨯+- ，()()1214244524324n n n T n n -=⨯-+---⨯+⋅ .()()121322444324n nn T n -∴-=--⋅+++--⋅ ()()14142223414n nn --=--⋅-⋅-2112433nn ⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭.()611429n n n T -⋅+=-∴（2n ≥）当1n =时，也符合，所以()611429n n T n -⋅+=-20．(1)20(2)4【分析】（1）利用二倍角公式、正弦定理边角互化、余弦定理分析运算即可得解.（2）利用余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积公式、基本不等式分析运算即可得解.【详解】（1）解：由题意，0a >，0b >，0c >，∵()222sin cos 2cos 212sin 12sin C A B A B =-=---222sin 2sin B A =-，∴22222c b a =-，∵=c ，∴2252b a =，2b a=∴222222532cos 220+-+-==a a a a b c C ab .（2）解：如上图，由（1）知22222c b a =-，∵2a =，∴2242=+c b ，∴在ABC 中，222cos 28c a b cB ac +-==，又知0πB <<，∴sin 8B =.∵AD BD =，∴在ABD △中，222cos 222AB BD AD ABc B BD AB BD BD +-===⋅，∴82=c cBD ，∴4=BD .∴11sin sin 22=-=⋅-⋅ ACD ABD ABC S S S BD BA B BC BA B2264642sin 488c c c B +-==≤=，当且仅当c =c =∴ACD 的面积最大值为4.21．(1)5100010,59500.8,6n n n n a n --≤⎧=⎨⋅≥⎩(2)公司应在第14年年底淘汰该批设备【分析】（1）根据等差数列等比数列的定义，即可根据首项和公差公比求解，（2）根据数列的单调性，结合对数运算即可求解.【详解】（1）设第n 年年底设备价值为n a 万元，*n ∈N ，因为前5年每年年底的价值比年初减少m 万元，所以当5n ≤时，{}n a 为等差数列，公差为m -，首项为1000m -，所以()()()1000110005n a m n m mn n =-+--=-≤.又因为从第6年开始每年年底的价值为年初的80%，所以当6n ≥时，{}n a 为等比数列，公比为0.8，首项为10005m -，所以()()5100050.86n n a m n -=-≥.因为7608a =，即()2100050.8608m -⨯=，解得10m =.综上，5100010,59500.8,6n n n n a n --≤⎧=⎨⋅≥⎩.（2）设第n 年养护费为n b 万元，*n ∈N ，由题意，3n ≤时0n b =，419b =，当4n ≥时，{}n b 成等比数列，公比为125% 1.25+=，4191.25n n b -=⨯.由（1）知，5n ≤时，{}n a 递减，55950a b =>，当6n ≥时，令n n a b ≥，即549500.8191.25n n --⨯≥⨯，整理得295504n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即54lg 502lg 229log50lg 5lg 413lg 2n --≤==--.解得13.26n ≤.∴公司应在第14年年底淘汰该批设备.22．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）点()()1,1f --在曲线和切线上，所以先求出点，然后代入()()ln f x x x t =+，计算出2t =，再对()()ln 2f x x x =+进行求二阶导数，分析在12x >-时的情况即可.（2）现根据()()ln 2f x x x =+的表达式化简()g x ，在对其求导，当导函数为零时，对应的方程在1,m⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭有两个不同实根1x ，2x ，结合二次方程根的分布化简，得到()()1222ln(21)221g x g x m m +=-+--的表达式，利用换元法，转化为：()()22ln 201p x x x x =+-<≤，分析()p x 的单调性讨论其正负即可.【详解】（1）由题知，()10f -=，()ln 10t ∴--=，2t ∴=.()()ln 2f x x x ∴=+，()()ln 22x f x x x '∴=+++，设()()()ln 222x h x x x x =++>-+，则()()212022h x x x '=+>++.()h x ∴单调递增，∴当12x >-时，()()131ln 0223f x h x h ⎛⎫'=>-=-> ⎪⎝⎭.（2）()()()()22ln 4412ln 22xg x x x mx x x ⎡⎤=+++-+-⎣⎦+()()()222ln 21ln 22x x mx x x ⎤⎡=++-+-⎣⎥⎦+()2ln 12x mx x =+-+，()()2412m g x mx x '∴=-++()()224412mx m mx x +-=++.由题知()0g x '=，即2440mx m +-=在1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭有两个不同实根12,x x 121212440044m m x x m x x m ⎧>⎪⎪->⎪∴⎨+=⎪⎪-=⎪⎩，即1212112044m x x m x x m ⎧<<⎪⎪+=⎨⎪-⎪=⎩()()()()1212121222ln 1ln 122x x g x g x mx mx x x ∴+=+-++-++()()()121221212121244ln 124x x x x m x x m x x x x x x ++⎡⎤=+++-⎣⎦+++24(1)2ln(21)2ln(21)22121m m m m m -=--=-+---，112m << ，0211m ∴<-<，设()()22ln 201p x x x x =+-<≤，则()2220p x x x '=-≤，()p x ∴单调递减，∴当()0,1x ∈时，()()10p x p >=，()22ln 212021m m ∴-+->-，即()()120g x g x +>，又12x x < ，()()12210g x g x k x x +∴=>-.【点睛】方法点睛：切线问题：可分为在某点的切线和过某点的切线两种；“在某点”时，此点即为切点，直接代入导数求出斜率，然后用点斜式即可书写切线方程；“过某点”时，此点不一定为切点，需要重新假设切点进行切线的计算.。
上海市吴淞中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷
上海市吴淞中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷一、填空题1．设全集{1,2,3,4,5},{1,3}U A ==，则A =.2．过点(3,2)倾斜角为π2的直线方程是.3．已知等差数列{}n a 的公差为1，n S 为其前n 项和，若36S a =，则2a ＝．4．已知角x 在第二象限，且4sin 25x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 2x =.5．4212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为.6．已知()()1,2,3,2a b ==- ，则a在b 上的数量投影为．7．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且0x <时，()21xf x =+，则()f x 的值域是.8．若直线3y x a =+与曲线ln 2y x x =+相切，则实数a 的值为.9．数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是10．已知函数()()πsin 20π3f x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，且()()()13f f αβαβ==≠，则αβ+=.11．已知函数()2231x x af x x x x a +<⎧=⎨--≥⎩，，，若对任意实数b ，总存在实数0x ，使得()0f x b =，则实数a 的取值范围是.12．在ABC V 中，8,5,5AB BC AC ===，P 为ABC V 内部一动点(含边界)，在空间中，若到点P 的距离不超过1的点的轨迹为L ，则几何体L 的体积等于.二、单选题13．若1-是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个虚数根，则（）A ．2b =，3c =B ．2b =，1c =-C ．2b =-，1c =-D ．2b =-，3c =14．已知a ∈R ，则“1a <”是“11a>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．设())f x x =ω+ϕ（其中π0,2ωϕ><），若点1(,0)3A 为函数()y f x =图像的对称中心，B ，C 是图像上相邻的最高点与最低点，且4BC =，则下列结论正确的是（）A ．函数()y f x =的图象对称轴方程为44,Z 3x k k =+∈；B ．函数π()3y f x =-的图像关于坐标原点对称；C ．函数()y f x =在区间(0,2)上是严格增函数；D ．若函数()y f x =在区间(0,)m 内有5个零点，则它在此区间内有且有2个极小值点．16．已知3()3f x x x =-，函数()y f x =的定义域为[],(,Z),()a b a b y f x ∈=的值域为[],a b 的子集，则这样的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．无数个三、解答题17．深入实施科教兴国战略是中华人民伟大复兴的必由之路．2020年第七次全国人口普查对6岁及以上人口的受教育程度进行统计（未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省的人口数据），我国31个省级行政区具有初中及以上文化程度人口比例情况经统计得到如下的频率分布直方图．(1)求具有初中及以上文化程度人口比例在区间[)0.75,0.85内的省级行政区有几个？(2)已知上海具有初中及以上文化程度人口比例是这组数据的第41百分位数，求该比例落在哪个区间内？18．设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，tan a b A =且B 为钝角.(1)若π12A =,2c =，求ABC V 的面积；(2)求sin sin A C +的取值范围.19．如图，AB 为圆O 的直径，点EF 在圆O 上，//AB EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在的平面互相垂直，已知2,1AB EF ==．(1)求证：平面DAF ⊥平面CBF ；(2)当AD 的长为何值时，二面角C EF B --的大小为60︒20．设0m >，椭圆22:13x y m mΓ+=与双曲线2222:C m x y m -=的离心率分别为12,e e (1)若121e e =，求m 的值；(2)当2e =时，过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为12,k k 的直线12,l l 分别交双曲线于点 ,P Q （ ,P Q 不同于右顶点），若121k k =-，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出该定值；(3)当1m =时，设点(0,2)T ，若对于直线:l y x b =+，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且9542TA TB <⋅< ，求实数b 的取值范围.21．定义在R 上的函数(),()y f x y g x ==，若()()()()1212f x f x g x g x -≥-对任意的12,x x ∈R 成立，则称函数()y g x =是函数()y f x =的“从属函数”．(1)若函数()y g x =是函数()y f x =的“从属函数”且()y f x =是偶函数，求证：()y g x =是偶函数；(2)若()e ,()x f x ax g x =+=1a ≥时，函数()y g x =是函数()y f x =的“从属函数”；(3)设定义在R 上的函数()y f x =与()y g x =，它们的图像各是一条连续的曲线，且函数()y g x =是函数()y f x =的“从属函数”．设α：“函数()y f x =在R 上是严格增函数或严格减函数”；β：“函数()y g x =在R 上为严格增函数或严格减函数”，试判断α是β的什么条件？请说明理由．。
海淀区2024-2025学年第一学期期中高三数学试题
海淀区2024—2025学年第一学期期中练习高三数学2024.11本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|01}A x x x =≤>或，{2,0,1,2}B =−，则AB =（A ）{2,2}−（B ）{2,1,2}− （C ）{2,0,2}−（D ）{2,0,1,2}−（2）若复数z 满足i 1i z ⋅=−，则z =（A ）1i −− （B ）1i −+ （C ）1i −（D ）1i +（3）若0a b <<，则下列不等式成立的是（A ）22a b < （B ）2a ab < （C ）b aa b> （D ）2b a a b +>（4）已知sin ()cos xf x x=，则π()4f '（A ）1 （B ）2 （C ）1−（D ）2−（5）下列不等式成立的是（A ）0.3log 0.21< （B ）0.20.31< （C ）0.2log 0.30<（D ）0.30.21>（6）若2,,()23,x x a f x x x a ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩为增函数，则a 的取值范围是（A ）[1,)+∞（B ）[3,)+∞（C ）[1,3]−（D ）(,1][3,)−∞−+∞（7）若向量(,1)x =a ，(1,)y =−b ，则下列等式中，有且仅有一组实数,x y 使其成立的是（A ）0⋅=a b （B ）||||2+=a b （C ）||||=a b （D ）||2+=a b（8）大面积绿化增加了地表的绿植覆盖，可以调节小环境气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图. 假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误．．的是（A ）由上图推测，甲地的绿化好于乙地（B ）当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （C ）当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （D ）当日比存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相等（9）设无穷等差数列的前项积为n T . 若10a <，则“n T 有最大值”是“公差0d ≥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）已知数列{}n a 满足1(1)n n n a ra a +=−（1,2,3,n =），1(0,1)a ∈，则（A ）当2r =时，存在n 使得1n a ≥ （B ）当3r =时，存在n 使得0n a <（C ）当3r =时，存在正整数N ，当n N >时，1n n a a +> （D ）当2r =时，存在正整数N ，当n N >时，112024n n a a +−<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市育才学校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷
北京市育才学校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合2{|320},{|1}A x x x B x x =-+<=≥,则A B = A ．(,2]-∞B ．(1,)+∞C ．(1,2)D ．[1,)+∞2．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A ．12y x =B ．3y x =C ．e x y =D ．lg y x=3．若0,0a b >>，且220a b +-=，则ab 的最大值为A ．1 2B ．1C ．2D ．44．函数()2sin y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（）A ．3π2sin 8y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．7π2sin 216x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5．在ABC V 中，“π4A >”是“sin 2A >”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()log a f x x =，()x g x b =，的图像都经过点1(,2)4，则ab 的值为A ．1B ．2C ．4D ．87．已知函数()f x 的部分对应值如表所示.数列{}n a 满足11a =，且对任意*n ∈N ，点()1,n n a a +都在函数()f x 的图象上，则2024a 的值为（）.x1234()f x 3124A ．1B ．2C ．3D ．48．已知向量()sin ,cos a θθ= ，()3,4b = ，若//a b ，则tan 2θ等于（）A ．247B ．67C ．2425-D ．247-9．在直角梯形ABCD 中，已知//BC AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4=AD ，若P 为CD的中点，则P ⋅P 的值为（）A ．5-B ．4-C ．4D ．510．已知集合{(,)()}M x y y f x ==∣，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”.给出下列4个集合：①1(,) M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭②{}(,)e 2x M x y y ==-∣③{(,)cos }M x y y x ==∣④{(,)ln }M x y y x ==∣其中所有“好集合”的序号是（）A ．②③B ．①②④C ．③④D ．①③④二、填空题11．41(2)x x+的展开式中的常数项为．12．若向量,a b 满足||1,||2a b == ，且,a b 的夹角为π3，则a b ⋅=，||a b +=.13．已知0a ≥，函数()2,xx af x x a⎧≤⎪=>若0a =，则()f x 的值域为；若方程()20f x -=恰有一个实根，则a 的取值范围是.14．已知数列{}n a 满足1n n a a +>，且其前n 项和n S 满足1n n S S +<，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式n a =.15．已知函数2cos ()1xf x x π=+，给出下列四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 有无数个零点；③()f x 的最小值为12-；④()f x 的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为.三、解答题16．已知等差数列{}n a 满足1241,10a a a =+=.(1)求{}n a 的通项公式;(2)若等比数列{}1122,0,0n b b a b a -=+=，求{}n b 的通项公式;17．已知函数32()1f x x ax bx =++-在1x =处有极值-1.(1)求实数a ，b 的值;(2)求函数()ln 2g x ax x =+的单调区间.18．在ABC V 中，sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求B ；(2)若5c =，___________.求a .从①7b =，②4C π=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X 为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.20．已知函数e ()xf x x=.(1)求函数()y f x =的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程；(2)当0x >时，求证：()f x x >；(3)讨论函数()y f x bx =-（b ∈R 且为常数）零点的个数.21．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z 拓展”.如数列1，2第1次“Z 拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z 拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a ，b ，c 经过第n 次“Z 拓展”后所得数列的项数记为Pn ，所有项的和记为Sn .（1）求P 1，P 2；（2）若Pn ≥2020，求n 的最小值；（3）是否存在实数a ，b ，c ，使得数列{Sn }为等比数列？若存在，求a ，b ，c 满足的条件；若不存在，说明理由.。
山东省济宁市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题（答案在最后）2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{P x y ==，{Q y y ==，则()R P Q =ð（）A.∅B.[)1,+∞C.(),0-∞ D.(],1-∞-2.若复数12i=-z （i 为虚数单位），则z =（）A.21i 55- B.21i 55+ C.33i 55- D.33i 55+3.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2--，则tan 2α=（）A.34B.43C.34-D.43-4.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()2024f x y f x f y +-+=⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（）A.()f x 是偶函数B.()f x 是奇函数C.()2024f x +是奇函数D.()2024f x +是偶函数5.向量()1,2a = ，()1,1b =- ，则a 在b上的投影向量是（）A.2-B.5-C.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D.12,55⎛⎫--⎪⎝⎭6.已知函数()21,11,11x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，则()()3f f =（）A.8B.34-C.109-D.127.已知πcos 5a =，πsin 4b =，3log 2c =，则（）A.b a c<< B.b c a<< C.c a b<< D.c b a<<8.如图，在ABC V中，AC =，AB =，90A ∠=︒，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ⋅的最大值是（）A.2B.4C.D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定形式是“x ∃∈R ，210x x ++≤”B.当()0,πx ∈时，4sin sin y x x=+的最小值为4C.tan 25tan 20tan 25tan 201︒+︒+︒︒=D.“ππ4k θ=±（k ∈Z ）”是“π4k θ=（k ∈Z ）”的必要不充分条件10.已知函数()cos f x x x =+，则（）A.函数()f x 在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π3D.若实数m 使得方程()f x m =在[]0,2π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1238π3x x x ++=11.设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()()214100n n a S -=-，*N n ∈且10a >，10n n a a -+≠（2n ≥），则下列选项正确的是（）A.223n a n =-B.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列C .当10n =时，n S 有最大值D.设12n n n n b a a a ++=，则当8n =或10n =时，数列{}n b 的前n 项和取最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，则a b +的最小值为______．13.已知函数()21ln 22xf x x ax =-+在区间()2,+∞上没有零点，则实数a 的取值范围是______．14.已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()(1)2g x f x =-+，则()g x 的对称中心为______；若12321()()()()n n a g g g g n n n n-=+++⋅⋅⋅+（*n ∈N ），则数列{}n a 的通项公式为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在ABC V 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c，)2cos cos cos b B a C c A =+．（1）求角B ；（2）过点A 作AD BC ∥，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD ，若AB =，2AC =，CD =，求AD 的长．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n a S =+，（*n ∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2log n n c a =，数列n n c a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若关于n 的不等式()()221n n n T n λ+-≤+恒成立，求实数λ的取值范围．17.已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩（1）请在网格纸中画出()f x 的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数()()2241,2012,022f x x x xg x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩在定义域内的0x ，若满足()00g x x =，则称0x 为函数()g x 的一阶不动点，简称不动点；若满足()()00g g x x =，则称0x 为函数()g x 的二阶不动点，简称稳定点.①求函数()g x 的不动点；②求函数()g x 的稳定点.18.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要24min．（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求t 为何值时高度差h 最大．（参考公式：sin sin 2cossin 22θϕθϕθϕ+--=，cos cos 2sin sin 22θϕϕθθϕ+--=）19.已知a ∈R ，函数()ln af x x x=+，()ln 2g x ax x =--.（1）当()f x 与()g x 都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；（2）若()()()12122f x f x x x ==≠，求证：12112x x a+>.2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】13+【13题答案】【答案】[)2,-+∞【14题答案】【答案】①.(1,2)②.42n a n =-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π6B =（2）1AD =或2．【16题答案】【答案】（1）2n n a =（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【17题答案】【答案】（1）作图见解析，单增区间为[]1,0-，()0,∞+，()f x 的单减区间为(],1-∞-（2）①23-；②32-，23-和1.【18题答案】【答案】（1）π5545cos12H t=-，[]0,24t∈．（2）π2π45cos123h t⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,24t∈；8mint=或20mint=【19题答案】【答案】（1）1（2）证明见解析。
北京市顺义一中2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(含答案)
顺义一中2024-2025学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一．选择题（本大题共10小题，共40分）1．设集合{}10A x x =−>，集合{}03B x x =<≤，则A B =（ ） A ．()1,3B ．(]1,3C ．()0,∞+D ．()1,+∞2．若复数z 满足(1)2i i z ，则z 的共轭复数=z （ ）A ．1i −B ．1i +C ．i −D ．1i −+3．如图所示，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则下列结论正确的是（ ） A ．123k k k >> B ．213k k k >> C ．231k k k <<D ．312k k k >>4．已知角α的终边经过点()3,4−，则()cos πα+=（ ）A ．45−B ．35 C ．35D ．455．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．3y x =B ．cos y x =C ．2x y =D ． 21lny x = 6．在ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =，则A ∠的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．5π6 D ．π3或2π37．设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC AB AC +>−”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若30m,10m AB BC AD ===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为5，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A ．100mB ．112mC ．117mD ．132m9．函数()sin2f x x =图象上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >满足6r s π−=，则下列结论成立的是（ ）A ．6f s π⎛⎫−= ⎪⎝⎭B ．162f s π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭C ．6f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭D ．162f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭10．已知函数()22,,x ax x af x x a x a ⎧−+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无数二．填空题（本大题共5小题，共25分） 11．函数2ln(12)y x x=−+的定义域是 . 12．首项为1的等比数列{}n a 中，14a ，22a ，3a 成等差数列，则公比q = .13．能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+，其中Z k ∈”为假．命题的一组α，β的值是 ．14．如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形ABCD 的边长为4，点P 在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅的取值范围为 .15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点M ，N 分别在线段1AD 和11B C 上． 给出下列四个结论：①MN 的最小值为2； ②四面体NMBC 的体积为43；③有且仅有一条直线MN 与1AD 垂直； ④存在点M ，N ，使MBN △为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分。
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高三上学期期中考试
数学试题（理）
满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合= （）A．B．（1，3）C．D．
2．平面向量的夹角为= （）A．B．C．4 D．12
3．已知的图象经过点（2，1），则的值域（）A．[9，81] B．[3，9] C．[1，9] D．
4．已知两个正数a、b的等差中项是5，则的等比中项的最大值为（）A．25 B．50 C．100 D．10
5．= （）
A．B．C．D．
6．当的最小值是（）A．4 B．C．2 D．
7．已知集合成立的一个充分不必要条件是，则实数m的取值范围是（）
A．B．C．D．
8．函数的图象在点x=5处的切线方程是等于（）
A．1 B．2 C．0 D．
9．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为（）A．B．C．D．
10．若则下列结论不正确的是（）
A．B．
C．D．
11．把一个函数的图象按向量平移后，得到的图象对应的函数解析式为，则原函数的解析式为（）
A．B．C． D．
12．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线，一种是平均价格曲线，（如f（2）=3表示开始交易后2小时的即时价格为3元，g（2）=4表示开始交易后两小时内所有成交股票的平均价格为4元）。
下面所给出的四个图像中，实线表示，虚线表示，其中可能正确的是（）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题每小题4分，共16分）
13．函数等于。
14．在等差数列中，其前n项和为Sn，若的值等于。
15．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么一个喝了少量酒后的驾驶员，至少要经过小时才能开车。
（精确到1小时）
16．给出以下四个命题：
①对任意两个向量；
②若是两个不共线的向量，且,则A、B、C 共线
③若的夹角为90°；
④若向量的夹角为60°。
以上命题中，错误命题的序号是。
三、解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17．（本小题满分12分）
已知三个集合；三个命题p：实数m为小于6的正整数，q：A是B成立的充分不必要条件，r：A是C成立的必要不充分条件；已知三个命题p、q、r都是真命题，求实数m的值。
18．（本小题人12分）
已知数列前n项和为Sn，且（1）求证：成等比数列
（2）求数列的通项公式。
19．（本题满分12分）
已知函数
（1）求函数最小正周期；
（2）求使函数取得最大值是x的集合；
（3）求的单调减区间。
20．（本题满分12分）
如图，在直三棱柱，ABC—A1B1C1中，
点D在棱B1C1上，且B1D：DC1=1：3
（1）证明：无论a为任何正数，均有
（2）当a为何值时，二面角B—A1D—B1为60°？
21．（本题满分12分）
已知数列是首项为1，公差为1的等差数列；
是公差为d的等差数列；是公差为d2的等差数列（）。
（I）若，求d；
（II）试写出a30关于d的关系式，并求出a30的取值范围；
（III）续写已知数列，使得的公差为d3的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列，提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
22．（本小题满分14分）
已知函数
（I）求证函数上单调递增；
（II）函数有三个零点，求t的值；
（III）对任意恒成立，求a的取值范围。
参考答案
一、CBCAB ACBBD BC
二、13．2 14．- 15．5 16．①②④
三、
17．解：命题p是真命题，即
①
…………2分
又
…………4分
由①②得m=1。
…………2分
18．解：（1）由①
得：当②
由①②两式相减可得：当
于是有：（为常数），
在
可得：，
由等比数列的定义知：是以3为首项，2为公比的等比数列。
…………6分（2）由（1）可得：
于是：
又是以2为首项，3为公差的等差数列，于是：
所以…………12分
19．解：（1）
（2）当取最大值时，
即
所求x的集合为
（3）
20．（1）证明：以A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz，如图。
则
（2）解：
设平面A1BD的法向量
故
又平面A1B1C1的法向量
又与二面角B—A1D—B1相等，即=60°，
二面角B—A1D—B1=60°。
21．解析：（1）……3分
（2）……5分
当时，……8分
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为dn的等差数列。
……10分
研究的问题可以是：试写出关于d的关系式，并求的取值范围。
……12分
研究结论可以是：由，
依次类推可得
当的取值范围为（10，+）等。
……14分
22．（1）（2分）
由于（4分）
故函数上单调递增。
（5分）
（II）令（6分）
的变化情况表如下：（8分）
—0 +
极小值
因为函数有三个零点，所以有三个根，
有因为当，
所以（11分）（III）由（II）可知在区间[-1，0]上单调递减，在区间[0，1]上单调递增。
所以（12分）
记（当x=1时取到等号）
所以
所以（13分）
于是
故对
（14分）。