人教版高中数学必修一《对数与对数运算》之《对数》导学案

2.2.1对数与对数运算第1课时对数[学习目标] 1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质.2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程.知识点一对数的概念一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.知识点二常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N.(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把log e N记为ln N.知识点三对数与指数的关系当a＞0，且a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N.知识点四对数的基本性质(1)负数和零没有对数.(2)log a1＝0(a＞0，且a≠1).(3)log a a＝1(a＞0，且a≠1).思考(1)lg 10，lg 100，lg 0.01，ln 1，ln e分别等于多少？(2)为什么对数式x＝log a N中规定底数a>0且a≠1?(3)为什么负数和零没有对数？答(1)lg 10＝1，lg 100＝2，lg 0.01＝－2，ln 1＝0，ln e＝1.(2)由于对数式x＝log a N中的a来自于指数式a x＝N中的a，所以当规定了a x＝N中的a>0，且a≠1时，对数式x＝log a N中的a也受到相同的限制.(3)由于a x ＝N >0，所以x ＝log a N 中的N >0，或者说负数和零没有对数.题型一 指数式与对数式的互化例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.(1)54＝625；(2)log 216＝4；(3)10－2＝0.01； (4)5log 125＝6.解 (1)由54＝625，得log 5625＝4.(2)由log 216＝4，得24＝16.(3)由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2.(4)由5log 125＝6，得(5)6＝125.反思与感悟 1.对数式与指数式关系图：对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变换而来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值N ，而对数值b 是指数式中的幂指数.2.并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N .跟踪训练1 下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A.e 0＝1与ln 1＝0B.831＝2与log 82＝13C.log 24＝2与421＝2D.log 33＝1与31＝3答案 C解析 由指对互化的关系：a x ＝N ⇔x ＝log a N 可知A 、B 、D 都正确；C 中log 24＝2⇔22＝4. 题型二 利用对数基本性质求值例2 求下列各式的值：(1)log 33；(2)log 51；(3)3log 213；(4)log 2164；(5)lg 1＋lg 10＋10lg 5；(6)ln e ＋ln 1＋e ln 3.解 (1)log 33＝1.(2)log 51＝0.(3)3log 213＝21. (4)log 2164＝log 21(12)－6＝－6. (5)lg 1＋lg 10＋10lg 5＝0＋1＋5＝6.(6)ln e ＋ln 1＋e ln 3＝1＋0＋3＝4.反思与感悟 1.常见的公式log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0且a ≠1).2.求log a N 的值，只需将N 写成a b 的形式再利用公式log a a b ＝b 去解.跟踪训练2 求值：(1)31log 429；(2)51log 25+. 解 (1)31log 429＝(32)31log 42＝3log 43＝4. (2)51log 25+＝5·5log 25＝5×2＝10.题型三 利用对数基本性质解方程例3 求下列各式中的x 的值.(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34； (3)log 2(log 5x )＝0；(4)log 3(lg x )＝1.解 (1)由log 8x ＝－23得x ＝823-＝(23)23-＝2－2， 故x ＝14. (2)由log x 27＝34得x 34＝27，即x 34＝33， 故x ＝(33)34＝34＝81.(3)由log 2(log 5x )＝0得log 5x ＝20＝1，故x ＝51＝5.(4)由log 3(lg x )＝1得lg x ＝3，故x ＝103＝1 000.反思与感悟 应熟练进行指数与对数间的相互转化，在解题过程中，看到对数就应想到它的指数形式，看到指数就应想到它的对数形式.(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.跟踪训练3 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x 值.(1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得221＝x ，∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25.∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5.(3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x ＝5或x ＝－5.忽视对数的真数大于0致误例4 方程lg(－2x －1)＝lg(x 2－9)的根为( )A.2或－4B.－4C.2D.－2或4错解 由已知得－2x －1＝x 2－9，即x 2＋2x －8＝0，解得x ＝－4或x ＝2.故选A.正解 前同错解得x ＝－4或x ＝2.经检验，x ＝2时，－2x －1<0，x 2－9<0，与对数的真数大于0矛盾，故x ＝2舍去.所以原方程的根为x ＝－4，故选B.纠错心得 在求解对数有关问题时一定要注意对数式有意义的条件：真数大于0，底数大于0且不等于1.跟踪训练4 解方程log 3(x －1)＝log 3x ＋5.解 由题意得x －1＝x ＋5，∴(x －1)2＝x ＋5，即x 2－3x －4＝0.解得x ＝－1或x ＝4.经检验，x ＝－1不合题意，故舍去；x ＝4是原方程的解.∴原方程的解是x ＝4.1.2x ＝3化为对数式是( )A.x ＝log 32B.x ＝log 23C.2＝log 3xD.2＝log x 3 答案 B解析 ∵2x ＝3，∴x ＝log 23.2.若log 3x ＝3，则x 等于( )A.1B.3C.9D.27答案 D解析 ∵log 3x ＝3，∴x ＝33＝27.3.化简：0.7log 80.7等于( ) A.2 2 B.8 C.18 D.2 答案 B4.已知log 2x ＝2，则x21-＝________. 答案 12解析 ∵log 2x ＝2，∴x ＝4，∴x 21-＝421-＝1214＝12. 5.若lg(ln x)＝0，则x ＝________.答案 e解析 ∵ln x ＝1，∴x ＝e.1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a N a ＝N .2.在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.3.指数式与对数式的互化一、选择题1.2－3＝18化为对数式为( )A.log 812＝－3B.log 81(－3)＝2 C.log 218＝－3 D.log 2(－3)＝18答案 C解析 根据对数的定义知选C. 2.有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④答案 C解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，故③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e ，故④错误.3.若log 3(log 2x )＝1，则x 21-等于( )A.13B.123C.122D.133答案 C解析 ∵log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8，则x 21-＝18＝122. 4.方程3log 2x ＝14的解是( ) A.x ＝19 B.x ＝33 C.x ＝ 3 D.x ＝9 答案 A解析 ∵2log 3x ＝14＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19. 5.已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m＋n 等于( )A.5B.7C.10D.12答案 D解析 ∵a m ＝2，a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝12.6.若log x 7y ＝z ，则( )A.y 7＝x zB.y ＝x 7zC.y ＝7x zD.y ＝z 7x答案 B 解析 由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，∴(7y )7＝(x z )7，则y ＝x 7z .二、填空题7.ln 1＋1)log 1)＝________. 答案 1解析 ln 1＋1)log 1)＝0＋1＝1.8.方程9x －6·3x －7＝0的解是________. 答案 x ＝log 37解析 设3x ＝t (t ＞0)，则原方程可化为t 2－6t －7＝0，解得t ＝7或t ＝－1(舍去)，∴t ＝7，即3x ＝7.∴x ＝log 37.9.若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. 答案 －3解析 由题意知1－x ＝(1＋x )2，解得x ＝0，或x ＝－3.验证知，当x ＝0时，log (1－x )(1＋x )2无意义， 当x ＝0时不合题意，应舍去.所以x ＝－3.10.若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则2100b a -的值为________. 答案 43解析 ∵a ＝lg 2，∴10a ＝2.∵b ＝lg 3，∴10b ＝3. ∴2100ba -＝(10a )210b ＝43. 三、解答题11.求下列各式中的x 的值.(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23； (3)log x (3＋22)＝－2；(4)log 5(log 2x )＝0；(5)x ＝log 2719. 解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9. (2)由log 2x ＝－23，得223-＝x ， ∴x ＝1322＝322. (3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2，即x ＝(3＋22)21-＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1.∴x ＝21＝2.(5)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－2， ∴x ＝－23. 12.(1)若f (10x )＝x ，求f (3)的值；(2)计算233log 335log 92＋＋－.解 (1)令t ＝10x ，则x ＝lg t ，∴f (t )＝lg t ，即f (x )＝lg x ，∴f (3)＝lg 3.(2)233log 335log 92＋＋－＝23·2log 32＋35log 933＝23×3＋359＝24＋27＝51. 13.已知log 2(log 21(log 2x ))＝log 3(log 31(log 3y ))＝log 5(log 51(log 5z ))＝0，试比较x ，y ，z 的大小.解 由log 2(log 21(log 2x ))＝0得，log 21(log 2x )＝1，log 2x ＝12，即x ＝221； 由log 3(log 31(log 3y ))＝0得，log 31(log 3y )＝1，log 3y ＝13，即y ＝331；由log 5(log 51(log 5z ))＝0得， log 51(log 5z )＝1，log 5z ＝15，即z ＝551. ∵y ＝331＝362＝961，x ＝221＝263＝861，∴y >x ， 又∵x ＝221＝2105＝32101，z ＝551＝5102＝25101， ∴x >z ，故y >x >z .。