一元二次方程(根与系数关系)
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
21.2.4 一元二次方程根与系数关系一、内容和内容解析1．内容一元二次方程根与系数的关系．2．内容解析一元二次方程的根与系数关系反映了一元二次方程的根与它的系数之间的一种确定关系．利用这一关系可以解决许多问题，同时它在高中数学的学习中有着更加广泛的应用．实际上，一元n 次方程的根与系数之间也有确定的数量关系，我们把它称之为韦达定理，一元二次方程的根与系数关系是韦达定理在n =2时的特例．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式x =，反映了方程的根的值是由系数a 、b 、c 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的12b x x a +=-，12c x x a⋅=是从另一方面更简洁地反映了一元二次方程的根与系数之间的联系．本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时的根与系数的关系．本节课为选学内容．基于以上分析，确定本课的教学重点：一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用．二、目标和目标解析1．目标（1）了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单应用．（2）在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般的认识方法．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能说出一元二次方程的根与系数关系，并能利用根与系数关系求出两根之和、两根之积．达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系．三、教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数关系是在学生已经学习了一元二次方程的解法的基础上，对一元二次方程根与系数之间的关系进行再探究．如果让学生思考一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根与系数之间有怎样的关系，学生会回答出求根公式x =，而不会想到两根之和、两根之积与系数之间的关系。
因此，先引导学生从特殊的一元二次方程得到两根之和、两根之积与系数之间关系的猜想，再推广到一般，探索一元二次方程根与系数关系．另外，在计算两根之积时，能否观察出式子中具有平方差公式的结构，并运用平方差公式正确进行计算，也是一部分学生的难点．本节课的教学难点是：发现一元二次方程根与系数关系的过程．四、教学过程设计1．复习一元二次方程一般形式及求根公式问题1 一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？师生活动：学生回顾一元二次方程的一般形式及求根公式．设计意图：复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生进一步明确求根公式是方程的根与系数之间的一种关系，为推导根与系数之间的关系作好准备．2．猜想二次项系数为1时的根与系数关系问题 2 方程()()120x x x x --=（1x ，2x 为已知数）的两根是什么？将方程化为20x px q ++=的形式，你能看出1x ，2x 与p ，q 之间的关系吗？师生活动：学生独立思考，得出方程两根为1x ，2x ，通过将()()120x x x x --=的左边展开，化为一般形式，得到方程()212120x x x x x x -++=．发现这个方程的二次项系数为1，一次项系数()12p x x =-+，常数项12q x x =．学生独立观察并讨论后，发现这两个方程的两根之和是12x x p +=-，两根之积是12x x q =．设计意图：通过教师引导和点拨，让学生在二次项系数为１的方程中发现一元二次方程根与系数关系．3．猜想、验证一元二次方程根与系数关系问题3 一元二次方程20ax bx c ++=中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？师生活动：学生独立思考后，教师追问：如何探究这两者之间的关系呢？（利用一元二次方程的一般形式和求根公式）学生独立完成证明过程，然后再全班交流。
(完整)一元二次方程根与系数的关系
12.4一元二次方程的根与系数的关系中考考点1．理解一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理）。
2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。
3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的两根为x1,x2，则x1+x2=—，x1·x2=。
2．以x1，x2为根的一元二次方程是（x—x1)(x-x2）=0，展开代入两根和与两根积,仍得到方程ax2+bx+c=0 （a≠0)。
3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时,那么x1+x2=—p，x1·x2=q.反之,以x1，x2为根的一元二次方程是：(x-x1）（x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程:x2+px+q=0。
4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（1)已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
（2)已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值.（3）已知一元二次方程，不解方程,可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2x2—3x+1=0的两根为x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。
[∵x1+x2=，x1·x2=，∴x12+x22=(x1+x2）2-2x1x2=（)2-2×=］（4）验根、求根、确定根的符号。
（5）已知两根,求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。
（6）已知两数和与积，求这两个数.（7）解特殊的方程或方程组。
考题评析1．(北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为（）（A）3，2 （B）—3，—2 （C）3，—2 (D）—3,2考点:一元二次方程的根与系数关系。
一元二次方程根与系数的关系
12.4 一元二次方程的根与系数的关系中考考点1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。
2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。
3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解1．若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根为x 1,x 2，则x 1+x 2=-，x 1·x 2=。
2．以x 1,x 2为根的一元二次方程是(x-x 1)(x-x 2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)。
3．对二次项系数为1的方程x 2+px+q=0的两根为x 1,x 2时，那么x 1+x 2=-p ，x 1·x 2=q 。
反之，以x 1,x 2为根的一元二次方程是：(x-x 1)(x-x 2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x 2+px+q=0。
4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。
（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2x 2-3x+1=0的两根为x 1,x 2，不解方程，求x 12+x 22的值。
[∵x 1+x 2=，x 1·x 2=，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=()2-2×=]（4）验根、求根、确定根的符号。
（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。
（6）已知两数和与积，求这两个数。
（7）解特殊的方程或方程组。
考题评析1．(市东城区)如果一元二次方程x 2+3x-2=0的两个根为x 1，x 2，那么x 1+x 2与x 1·x 2的值分别为（ ）（A ）3，2 （B ）-3，-2 （C ）3，-2 （D ）-3，2考点：一元二次方程的根与系数关系。
九年级数学一元二次方程根与系数的关系
根与系数关系1、一元二次方程根与系数关系的推导及应用；2、熟练应用根与系数的关系.结论：【知识梳理】1、 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 。
2、 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1）有两个实数根。
（2）有两个正实数根。
（3）有一个正数根和一个负数根。
（4）两个根都小于2。
答案：(1) 253k ≤;(2) 2503k ≤＜; (3) 0k ＜;(4) 无解。
变式训练1、已知关于x 的方程022=+-a ax x 。
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根； （2）a 取何值时，方程有两个正根；（3）a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大； （4）a 取何值时，方程到少有一根为零？ 答案：(1) 证240b ac -＞;(2) 0a ＞; (3) 0a ＜;(4) 0a = 知识点四：已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值．例4、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m 的值。
变式训练1、已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x （1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。
知识点五：综合运用例5、方程x 2-6x-k=1与x 2-kx-7=0有相同的根，求k 值及相同的根．例6、已知α、β是方程0522=-+x x 的两个实数根，则ααβα22++的值为_0__例7、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1＋ 5 。
答案：2240x x --=例8、已知两个数的和等于８，积等于7，求这两个数． 答案：1、7变式训练1．求一个一元二次方程使它的两个根是1、5． 答案：2650x x -+=2．已知αβ≠，则2370αα+-=，2370ββ+-=，试求11αβ+的值．答案：37。
公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点总结和重难点精析
公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点总结和重难点精析一、引言九年级数学中，一元二次方程是一个重要的知识点。
公式法解一元二次方程是求解一元二次方程的一种重要方法，而根与系数的关系也是这个知识点的重要组成部分。
掌握公式法解一元二次方程和根与系数的关系，对于提高学生解决数学问题的能力具有重要意义。
二、知识点总结1.一元二次方程的基本形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。
它的解是x= [-b ±√(b²-4ac)] / 2a。
2.根与系数的关系是指一元二次方程的两个根x1和x2与方程的系数a、b、c之间的相互关系。
根据一元二次方程的求根公式，两个根的和为-b/a，两个根的积为c/a。
三、重难点精析1.应用公式法解一元二次方程时，首先需要将方程化为一般形式，并确定a、b、c的值。
难点在于如何找到a、b、c的值，需要根据题目中的条件进行转化。
2.根与系数的关系是难点之一，需要理解两根之和与两根之积的意义。
在解题中，通常利用根与系数的关系来求方程中字母系数的值或用字母代数式表示方程的两个根。
四、练习题1.用公式法解下列一元二次方程：(1)x²-6x+9=0;(2)3x²+4x-7=0;(3)y²+2y-1=0;(4)2x²-5x+3=0;2.已知方程x²-7x+12=0的两个根是x1和x2.求下列各式的值：(1)(x1+1)(x2+1);(2)(x1-1)(x2-1)3.根据下列各组中根与系数的关系，求下列各式的值：(1)已知x1、x2是方程x²-5x+6=0的两个根，求x1²+x2²的值;(2)已知x1、x2是方程x²-7x+12=0的两个根，求x1³-x2³的值。
五、总结本文总结了九年级数学中公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点，包括了一元二次方程的基本形式、解法以及根与系数的关系等重要内容。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系一、目标认知学习目标1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；2．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求简单的关于根的对称式的值；3．能够利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个数是否是方程的根；4．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求出以两个已知数为根的一元二次方程．重点对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，以及在各类问题中的运用．难点一元二次方程的根与系数的关系的运用．二、知识要点梳理一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根是x1，x2，那么.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.三、规律方法指导解：法一：把x=2代入原方程，得22-6×2+m2-2m+5=0即m2-2m-3=0解得m1=3，m2=-1当m1=3，m2=-1时，原方程都化为x2-6x+8=0∴x1=2，x2=4∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1.法二：设方程的另一个根为x.则2.判别一元二次方程两根的符号.2.不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号情况.思路点拨：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△，但△只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察x1·x2或x1+x2的正负情况.解：∵△=32-4×2×(-7)=65＞0∴方程有两个不相等的实数根，设方程的两个根为x1，x2，∵∴原方程有两个异号的实数根.总结升华：判别根的符号，需要“根的判别式”，“根与系数的关系”结合起来进行确定.另外本题中x1·x2＜0，可判定根为一正一负，若x1·x2＞0，仍需考虑x1+x2的正负，从而判别是两个正根还是两个负根.举一反三：【变式1】当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数.思路点拨：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于零，根的判别式大于等于零.解：设方程的二根为x1，x2，且x1＞0，x2＞0，则有由△=[-2(m+1)]2-4m(m-1)≥0，解得：∵m≠0，∴m＞0或m＜0，∴上面不等式组化为：由⑴得m＞1；⑵不等式组无解.∴m ＞1∴当m＞1时，方程的两个根都是正数.总结升华：当二次项系数含有字母时，不要忘记a≠0的条件.【变式2】k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.思路点拨：两根“互为相反数”、“互为倒数”，“有一根为零，另一根不为零”等是对两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数，则x1=-x2，即x1+x2=0;互为倒数，则x1=，即x1·x2=1，但要注意考察判别式△≥0.解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=x1x2=（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，即x1+x2=，∴k=0，当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=16＞0∴当k=0时，方程两根互为相反数.（2）要使方程两根互为倒数，必须两根的积是1，即x1x2==1，解得k=4当k=4时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=-144＜0∴k为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根.（3）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，即x1x2==0，解得k=又当k=时，x1+x2=，当k=时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=＞0，∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零.总结升华：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，△=b2-4ac不得小于零.3.根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值.3.关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围.解：设方程两根分别为x1，x2，x1+x2=3，x1·x2=k+1∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2(k+1)＜5∴k＞1①又∵△=(-3)2-4(k+1)≥0∴k≤②由①②得：1＜k≤.总结升华：应用根的判别式，已知条件，构造不等式，用不等式组的思想，确定字母的取值范围.举一反三：【变式1】已知：方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值.思路点拨：本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m的方程，就可求得m的值.解：∵方程有两个实数根，∴△=[2(m-2)]2-4×1×(m2+4)≥0解这个不等式，得m≤0设方程两根为x1，x2，∴x1+x2=-2(m-2)x1·x2=m2+4∵x12+x22-x1x2=21∴(x1+x2)2-3x1x2=21∴[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21整理得：m2-16m-17=0解得：m1=17，m2=-1又∵m≤0，∴m=-1.总结升华：1.求出m1=17，m2=-1后，还要注意隐含条件m≤0，舍去不合题意的m=17.【变式2】设与是方程x2-7mx+4m2=0的两个实数根，且(-1)(-1)=3，求m的值．思路点拨：利用一元二次方程的根与系数的关系把等式(-1)(-1)=3转化为关于m的方程．解：由于与是方程x2-7mx+4m2=0的两个根，根据根与系数的关系，有所以，有(-1)(-1)=-()+1=4m2-7m+1=3．所以，得方程4m2-7m-2=0．解这个方程，或m=2．经检验，或m=2都能使判别式Δ=(7m)2-4×(4m2)=33m2＞0，所以，m=2都符合题意．总结升华：如果所求m的值使方程没有实数根，就是错误的结果，所以检验的步骤是十分必要的．讨论方程的实数根的问题，只有在判别式的值是非负数时才有意义，在解决问题时应注意这个重要的条件．4．求简单的关于根的对称式的值．在关于一元二次方程的根x1与x2的式子中，如果交换这两个字母的位置后式子不变(我们常把这种式子叫做对称式)，就可以通过恒等变形，转化为用x1+x2与x1x2表达的式子，从而可以利用根与系数的关系解决．如+，，(1+x 1)(1+x2)都是对称式，它们可以变形为用x1+x2与x1x2表达的式子，如(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2，+=(x 1+x2)2-2x1x2，……等等．4.如果与是方程2x2+4x+1=0的两个实数根，求的值．思路点拨：注意到交换与的位置时，代数式不变，所以代数式是关于与的对称式.解：∵Δ=b2-4ac=8＞0，∴方程有实根．∵∴举一反三：【变式1】已知与是方程3x2-x-2=0的两个实数根，求代数式的值．思路点拨：中的与的位置互换时，式子的形式不变，所以它们都是对称式，可以转化为含有与的式子，利用根与系数的关系简化计算．解：由于＞0，＜0，所以Δ＞0，方程一定有实根．于是==．把=与=-代入，得====总结升华：这是一个无理数系数的一元二次方程，如果分别求出根与的值，计算过程将冗长而烦琐，利用根与系数的关系就可以有效地达到简化计算过程的目的，读者如果用求根后代入的方法演算一遍，将会有深刻的体会．5．利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个已知数是否方程的根，能够求出以两个已知数为根的一元二次方程．事实上，我们有这样的定理：如果两个实数x1与x2使得x1+x2=-p，且x1x2=q，那么x1与x2是方程x2+px+q=0的两个根．证明如下：由于x1+x2=-p，x1x2=q，那么方程x2+px+q=0可以化为x2-(x1+x2)x+x1x2=0，x2-x1x-x2x+x1x2=0，x(x-x1)-x2(x-x1)=0，(x-x1)(x-x2)=0，∴x=x1或x=x2．这就是说，x1和x2是方程x2+px+q=0的两个根．5.判断下列方程后面括号内的两个数是不是方程的根：(1)x2-8x-20=0，(10，-2)；(2)6y2+19y+10=0，；(3)a2-2a+3=0，(+，-+)．解：(1) ∵10+(-2)=+8=-(-8)，10×(-2)=-20，∴10与-2是方程x2-8x-20=0的两个根；(2) ∵，，∴-与-是方程6y2+19y+10=0的两个根；(3) 虽然有(+)(-+)=+3，但是(+)+(-+)=+2≠-(-2)；所以+与-+不是方程a2+2a-3=0的根．6.(1)作一个以-与为根的一元二次方程；(2)作一个方程，使它的两个根分别是方程2x2+5x-8=0的两个根的倒数．思路点拨：作一元二次方程，只需利用根与系数的关系求出方程各项的系数．解：(1) 由于-+=-2+=-，-·=-=-4，所以所求方程是x2+x-4=0．(2) 设x1与x2是方程2x2+5x-8=0的两个根，所以，有x1+x2=，x1x2=-4．所以，．于是所求方程是x2-x-=0．也就是8x2-5x-2=0．。
一元二次方程根与系数的关系
黔西县第四中学 张榆
1）关于x的一元二次方程 （a≠0）根的判别式为： △＞0 方程有两个不相等的实数根 x △=0 方程有两个相等的实数根 △ ＜0 方程没有实数根 △ ≥0 方程有实数根
2
a x bx c 0
2
2）关于x的一元二次方程 则有：
a x bx c 0
1： 若关于x的方程 有实数根，求k的取值范围。
2： 已知方程 2 是 x1, x2 且 x12 x2 4 求k的值。 解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1×X2=k+2
x 2 kx k 2 的两个实数根 0
解得：k=4 或k=－2
∵ △= K2-4k-8 当k=4时， △＜0
{ x y 1
x y 2
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 的两根则: a 2 a 2 0 求得 a1 2, a2 1 ∴两数为2,－１
1：若关于的x一元二次方程
有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
2：若关于x的方程 有两个实数根，求k的取值范围。
试一试
图象上, 又在一次函数y
2 解:由已知得, n m
的
x 2
即
2
的图象上,
则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):
{n m 2
{
m· n=－2 m+n=－2
∴所求一元二次方程为:
x 2x 2 0
2： 已知两个数的和是1，积是-2，则 2和-1 。 这两个数是 解法(一):设两数分别为x,y则: ｘ＝－1 解得: x=2 {y=－1 { y=2 或
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
九年级数学一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2=，x 1·x 2=。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2=；x 1·x 2=；2111x x +；x 21+x 22=；(x 1+1)(x 2+1)=；｜x 1－x 2｜=。
3、若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m=。
4、已知方程5x 2+mx －10=0的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。
5、已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。
6、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m=。
7、关于x 的方程2x 2－3x+m=0，当时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。
8、若关于y 的一元二次方程y 2+my+n=0的两个实数根互为相反数，则A.m=0且n ≥0B.n=0且m ≥0C.m=0且n ≤0D.n=0且m ≤9、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?0362)2(,053)1(22=+-=--x x x10、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。
11、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。
12、(1)方程x 2－3x+m=0的一个根是2，则另一个根是。
(2)若关于y 的方程y 2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m ，n 应满足。
13、关于x 的方程x 2－ax －3=0有一个根是1，则a=，另一个根是。
14、以2，－3为根的一元二次方程是22+x －6=0 C.x 2－2－x －6=015、以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是2－2+2x －3=0C.3x 2－6x －2+6x －9=016、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是2+2x－2－2x+3=0 C.x22－2x－3=017、以－3，－2为根的一元二次方程为，18、在解方程x2+px+q=0时，小X看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。
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一元二次方程（根与系数关系专题测试）
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（）
A. 5
B. 10
C. 11
D. 13
2.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（）
A. ﹣7
B. 7
C. 3
D. ﹣3
3.一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x1、x2，则x1＋x2等于()
A. 5
B. 6
C. －5
D. －6
4.是方程的两根，
的值是（）
A. 2017
B. 2018
C. 2019
D. 2020
5.关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（）
A. -1
B. -4
C. -4或1
D. -1或4
6.关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（）
A. 两个正根
B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根
D. 无实数根
7.已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为2，则另一根为（）
A. ﹣4
B. ﹣2
C. 4
D. 2
8.已知，是一元二次方程的两个实数根且，则的值为（）.
A. 0或1
B. 0
C. 1
D. -1
9.若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（）
A. 10
B. 9
C. 7
D. 5
10.若a≠b，且则的值为（）
A. B. 1 C. .4 D. 3
二、填空题（共6题；共18分）
11.如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x1+x2=﹣，
x1x2= ，这就是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）．利用韦达定理解决下面问题：已知m与n是方程x2﹣5x﹣25=0的两根，则+ =________．
12.一元二次方程的两根为，则
________
13.已知是一元二次方程的两个实数根，则
的值是________．
14.一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是-3，另一个根是2，则这个方程是________。
15.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣＝0的两个实数
根，且x1﹣x2＝1，则m＝________．
16．关于x的一元二次方程x2＋kx＋k＋1＝0的两根分别为x1，x2，且x21＋x22＝1，则k的值为_______.
三、计算题（共1题；共12分）
17.解一元二次方程：
（1）(x+1)2－144=0 （2）x2－4x－32＝0
（3）x（x﹣5）=2（x﹣5）（4）
四、解答题（共7题；共60分）
18（8分）.已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边a=3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求
△ABC的周长
19（8分）.已知关于的一元二次方程
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）如果方程的一个根，求另一个根及的值.
20（8分）.已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求实数的值．
21（8分）.关于x的方程（k﹣1）x2﹣x+1=0有实根．
（1）求k 的取值范围；
（2）设x1、x2是方程的两个实数根，且满足（x1+1）（x2+1）=k﹣1，求实数k 的值．
22（8分）.已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根，满足，求k的值.
23（8分）.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+ k2-2=0.
（1）求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.
（2）设x1,x2是方程的根,且x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.
24（12分）已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m=0有两个实数根x1
，x2.
（1）求m的取值范围.
（2）若|x1|=|x2|，求m的值及方程的根.。