华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学-试卷
华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考
数 学 2021.02
本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B 铅笔填涂相关信息。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。
第一部分 选择题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{}02M x x =∈≤≤R ，{}
11N x x =∈-< N =（**） A ．{}01x x ≤≤ B ．{}01x x ≤< C ．{}12x x <≤ D ．{} 12x x -<≤ 2．复数2021 i 3i z =+在复平面内对应的点位于（**） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．已知直线l ，m 和平面α，且l α⊥，则l m ⊥是m α的（**）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要 4．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据(单位：千克)全部介于45至70之间．将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从[)55,60， [)60,65， []65,70这三个区间中随机抽取6名学生， 再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间 [)55,60的概率是（**） A ． 8 15 B ． 920 C ． 35 D ． 910 第4题图 5．已知,a b 是两个夹角为 π 3 的单位向量，则kb a -的最小值为（**） A ． 14 B ．12 C ．3 4 D ．32 6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离() () 2 2 2212L R h R R h R = +-+ +- 22112222Rh h Rh h =+++（如图） ，其中1h 为雷达天线架设高度，2h 为探测目标高度，R 为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等 因素，R 等效取8490km ，故R 远大于12,h h ．假设某探测目标高度为25m ，为保护航母的安全，须在直视距离390km 外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为．． （**） （参考数据：28.49 4.12?≈） A ．6400m B ．7200m C ．8100m D ． 10000m 7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点P 是抛物线C 上位于第一象限内的一点， M 为线段PF 的中点，MQ 垂直y 轴于点Q ，若直线QF 的倾斜角为α，π (,π)2 α∈，则直 线PF 的倾斜角为（**） A ．α B ．2α C ．πα- D ． 2πα- 8．已知点,,A B C 是函数π2sin(),03y x ωω=+>的图象和函数π 2sin(),0 6 y x ωω=->图象的连续三个交点，若ABC ?是锐角三角形，则ω的取值范围为（**） A ．π (,)2 +∞ B ．π(,)4 +∞ C ．π(0,)2 D ． π(0,)4 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对得5分，对而不全得2分，只要有一项选错，即得0分． 9．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 满足()()2f x f x +=， ()()2f x f x -=，且[]0,1x ∈时，()21f x x =+，则下列说法中，正确的是（**） A ．2是()f x 的周期 B ．1x =-不是()f x 图象的对称轴 C ．()2021=2f D ．方程()1 2 =f x x 只有4个实根 第6题图 10．已知实数0,0, 1a b a b >>+=，则下列说法中，正确的是（**） A ． 11 4a b +≤ B ． 22a b +≥C ．22log log 1a b ?≤ D ．存在,a b ，使得直线1ax by +=与圆224x y +=相切 11．点C ，D 是平面α内的两个定点，=2CD ，点A B ，在平面α的同一侧，且 2=4AC BC =．若,AC BC 与平面α所成的角分别为 5ππ ,124 ，则下列关于四面体ABCD 的说法中，正确的是（**） A ．点A 在空间中的运动轨迹是一个圆 B ．AB C ?面积的最小值为2 C ．四面体ABC D 体积的最大值为D ．当四面体ABCD 的体积达最大时，其外接球的表面积为20π 12．已知函数sin cos ()e e x x f x =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（**） A. ()f x 在π(0,)2 是增函数 B. π ()4 f x + 是奇函数 C. ()f x 在(0,π)上有两个极值点 D. 设()()f x g x x = ，则满足1 (π)(π)44 n n g g +>的正整数n 的最小值是2 第二部分 非选择题 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对 根据上表可得回归方程???y bx a =+ ，根据最小二乘法计算可得?=7b ，则当投入10万元 广告费时，销售额的预报值为__**___万元． 14．24 2 1(2)x x + -的展开式中，2x 的系数是__**___． 15．已知双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为1F ，P 为双曲线上一点，1PF 与双曲 线C 的渐近线平行，且1PO F O =，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的离心率=e __**___． 16．已知数列{}n a 的前n 项和24 33 = n n S a n +-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__**__， 则1 n n a a +的最大值为__**___． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知正项数列{}n a 满足11a =，11,(2)n n n n a a a a n ---=≥，等比数列{}n b 满足： 2123,a b b b =-=8a ． （1）证明数列1n a ?? ? ??? 是等差数列，并求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）设121 1 n n n n b b b T a a a -=+++ ，求n T ． 18．（本小题满分12分） 已知函数()π sin(),(,0)6 f x A x A ωω=+>只能同时满足以下三个条件中的两个． ① 函数()f x 的最大值是2； ② 函数()f x 的图象可由函数()2 2cos 2sin cos sin 2222 x x x x f x =+-左右平移得到； ③ 函数()f x 的对称中心与()f x 的对称轴之间的最短距离是 π 4 ； （1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数()y f x =的单调递增区间； （2）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足()1f B =， 点D 为BC 的中点，且AD b ，求sin sin BAC C ∠的值． 19． （本小题满分12分） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分别为AC 、11A C 的中点，1122PA PC ==，1111A B B C =123PB ==，114A C =. （1）求证：PO ⊥平面111A B C ； （2）求二面角111B PA C --的余弦值． 第19题图 20．（本小题满分12分） 某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料． 现有如下两种抽样检验方案： 方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收． 方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验．若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收． 假设拟购进的这批原料，合格率为p （01p <<），并用p 作为原料中每件产品是合格品的概率．若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担． （1）若2 = 3 p ，记方案二中所需的检验费用为随机变量X ，求X 的分布列； （2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率．如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？ 并说明理由． 21．（本小题满分12分） 已知离心率为12 2 2:2 (0)C y px p =>有 相同的焦点F ，且抛物线经过点(1,2)P ，O 是坐标原点． （1）求椭圆和抛物线的标准方程； （2）已知直线l ：x ty m =+与抛物线交于A,B 两点，与椭圆交于C,D 两点，若ΔABP 的内切圆圆心始终在直线PF 上，求ΔOCD 面积的最大值． 22．（本小题满分12分） 已知函数2 ()(1)(1)ln , 22 x f x a x a x a =--+->． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若()(1)f m f =且1m ≠，证明：(1,)x m ?∈，(1)ln 1a x x ->-； （3）记方程2 43ln 42 x x x -+=-的三个实根为123,,x x x ， 若1x <2x <3x ，证明：32x x -<． 华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考 数 学 参 考 答 案 一、单项选择题：1-4：BABB 5-8: DCDA 第8题提示：将π)3y x ω= +变形为π )6 y x ω=-，然后研究图象即可. 二、多项选择题：9、AC 10、BC 11、ABD 12、ABD 第10题C 选项解析：2222log log log log (1)a b a a ?=?- 令222 ln ln(1) ()log log (1),01(ln 2) = x x f x x x x ?-=?-<<， 因为()(1)f x f x =-，故()f x 关于12x = 对称，故只需研究10,2x ?? ∈ ??? 的情况即可. 2 (1)ln(1)ln ()(ln 2)(1) x x x x f x x x ---'= -. 令()(1)ln(1)ln g x x x x x =---， 则2 ()ln()2g x x x '=---. 易知()g x '在102?? ??? ，上单调递减. 因为2 2 1( )ln(1)20g e e '=--+>，1()2ln 2202g '=-<，所以存在0211,2x e ??∈ ??? ，使得0()0g x '=，且()00,x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，012x x ?? ∈ ??? ，时，()0g x '<，() g x 单调递减. 因为0x →时，()0g x →，且1()02 g =，故102x ???∈ ??? ，，()0g x ≥. 所以当10,2x ??∈ ??? 时，()0f x '≥，()f x 单调递增， 所以1 ()()12f x f ≤=. 第12题提示：sin cos ()e cos e sin x x f x x x '=+，显然π 2 x =不是极值点. 当ππ(0,)(,π)22 x ∈时，π ) cos 4 ()e cos tan )x x f x x x -'=+. 绘制函数π ) 4 y=tan x x --与的草图可知，此时()0f x '=仅有一个根0x ， 且 0π π2 x <<. 故C 选项错误. 由上述分析可知0(0,)x x ∈时，函数()f x 单调递增，0(,π)x x ∈时，函数()f x 单调递减. 当1n =时，ππ()0, ()e 142f f ==-，显然ππ() ()42 g g <. 当2n =时，π3π ()e 1, ()e 24 f f =-=- () ()f x g x x = 的几何意义为点(,())x f x 与坐标原点连线的斜率. 因为 33π π=422 ?，故只需比较3π3π() ()224f f 与的大小即可. 3π3π3 1 () ()=(e 1)e 1.5 1.7(e )02242 e f f ---->?-->. 故D 正确. 三、填空题： 13、85 14、56- 15 16、(2)1n -+； 75 - 17．解：（1）∵{}n a 各项为正，且11,(2)n n n n a a a a n ---=≥，∴ 1 11 1,(2)n n n a a --=≥. ∴1n a ??? ? ?? 是公差1d =，首项1 1 =1a 的等差数列. ………………2分 ∴ 1n n a =，则1 n a n =. ………………3分 设等比数列{}n b 的公比为q ，则2123111 , ()28 b b b b q q = -=-=. 故2 1= 4q q -，解得1=2q . 故1 112n n n b b q -==. ………………5分 （2）12 231 1121 = (2222) n n n n n b b b n n n T a a a ---= +++ ++++. ① 21121 2= (222) n n n n T n ---+ +++. ② ………………6分 ②—①：2311 1111 (2) 2222n n n T n -=- +++++（）. ………………8分 11(1) 12211212 n n n n -=-=-+-. ………………10分 18．解：（1）函数()f x 只能同时满足①③ . ………………2分 由①知=2A ，由③知 12ππ 444 T ω=?=,则2ω=. 故()π 2sin(2)6 f x x =+. ………………4分 由πππ2π22π+262k x k - ≤+≤,Z k ∈解得ππ ππ+36 k x k -≤≤，Z k ∈. 所以()y f x =的单调递增区间为ππππ+36k k ? ?-??? ?，，Z k ∈. ………………6分 （2）()π1 1sin(2)62f B B =?+=. ∵ππ13π(0,π)2(,)666B B ∈?+∈. ∴π5ππ 2= =.663 B B +， ………………8分 （此处若未结合角B 的范围，直接写出B 的值，扣1分.） 法一：作线段CD 的中点E ,因为AD AC ，故AE CD ． 因为πcos =3BE AB ， 即312==423a a c c ?. ………………10分 由正弦定理知 sin 2 ==.sin 3 BAC a C c ∠ ………………12分 法二：分别在,ABD ABC ??中对角B 运用余弦定理，可得边长a,c 的关系，略. 19．（1）证明：连接1OB . ∵11PA PC =, O 为11A C 的中点, ∴11.PO AC ⊥ ∵1114,22 AC PA ==, ∴22112PO PA OA =-=. ………2分 ∵1111A B B C =, O 为11A C 的中点, ∴111.OB A C ⊥ ∵111 23,2A B AO ==, ∴22111122OB A B OA =-=. ………4分 22211123,=PB PB OB OP =+故, 1PO OB ∴⊥. ∵1111 1,.PO AC AC OB O ⊥= ∴PO ⊥平面111A B C . ………6分 （2）以O 为坐标原点，11OB OC OP ，，所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则1(22,0,0)B , 1(0,2,0)A -, (0,0,2)P . 则11(22,2,0)A B =, 1(0,2,2)A P =. ………7分 设平面11PA B 的法向量1(,,)n x y z =， 则11111022202200n A B x y y z n A P ???=+=?? ???+=?=? ???. 令12, 2.x y z ==-=，则则1(1,2,2)n =-. ………9分 易证1OB ⊥平面11PA C ,故取平面11PA C 的法向量2(1,0,0)n =. ………10分 z y x 121212 5cos ,n n n n n n ?<>= = ? 因为二面角111B PA C --的平面角θ为锐角，所以cos θ= ………12分 20．解：（1）X 可能的取值为50,100． ………………1分 4 15 1280(X 100)33243P C ??==??= ???,(X 50)P ==80163 1243243 -= , ………………3分 故X 的分布列为: ………………4分 （2）方案一通过检验的概率为101 99110(1)(109)P p C p p p p =+-=-. ………………6分 方案二通过检验的概率为514554 25(1)15(1)P p C p p p p p p ??=+-?=+-?? ………………8分 544 12(109)15(1)P P p p p p p ??-=----??，其中01p <<. 令4454()(109)15(1)45p 1f p p p p p p =----=-+-， 则433()202020(1)0f p p p p p '=-+=->. ………………10分 故()f p 在(0,1)p ∈上单调递增，()(1)0f p f <=.故12.P P < 原料供应商更希望该工厂的质检部门采取方案二，因为原料通过检验的概率更高． ………………12分 21．解：（1）由题：422p p =? =，故抛物线2C 的方程为24y x =．………………1分 抛物线2C 的焦点为(1,0)F ，故221a b -=. 又因为椭圆离心率为 12 ，即11 2a =.解得=2, a b ∴椭圆1C 的方程为 ………………3分 （2）因为ΔABP 的内切圆圆心始终在直线PF 上，即PF 平分APB ∠. 设直线, PA PB 的斜率分别为12,k k ．因为PF 垂直于x 轴，故12=0.k k + ………………4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则 121222 =011 y y x x --+--. ∵221122=4=4y x y x ，， ∴ 1244 =022 y y +++，即12=4y y +-. ………………5分 ∴121212 4 1AB y y k x x y y -= ==--+，即=1t -. ………………6分 将直线x y m =-+与2 4y x =联立，可得2 440y m y +-=， 由题16(1=)0m ?+>，故 1.m >- ………………7分 将直线x y m =-+联立，可得22637120y my m -+-=， 由题2 48(7)0=m ->?，故 ………………8分 设3344(,),(,)C x y D x y ，则234346312 , .77 m m y y y y -+== 则CD = ………………9分 坐标原点O 到直线l 的距离为d = ， 故ΔOCD 的面积1 2S CD d =?= =.………………10分 ∵1m -<<，∴207m ≤<． 故当27 =2 m 时，max 72S = ………………12分 22．解：（1）1(1)(1) ()a x x a f x x a x x ---+'=-+= ，0x > ……………1分 ∵ 2a > ∴11a -> ∴()0f x '>? 1x a >-或01x <<，()0f x ' ∴()f x 的单调递增区间为(0,1),(1,)a -+∞，单调递减区间为(1,1)a -. ……………3分 （2）令()ln 1h x x x =-+，则1()x h x x -'= . ()001h x x '>?<<. 故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减. 故()(1)0h x h ≤=，即ln 1x x ≤-. ……………4分 欲证：(1,)x m ?∈，(1)ln 1a x x ->-，即证：(1,)x m ?∈，1 1ln x a x --> . 令1 (), 1ln x g x x m x -= <<，则2 1ln 1()(ln )x x g x x -+'=. 因为ln 1x x ≤-，故1 ln 10x x -+ ≥.所以()0g x '>，()g x 在(1,)m 上单调递增. ∴1()()ln m g x g m m -<=. 故欲证(1,)x m ?∈，11ln x a x -->，只需证1 1ln m a m -->. ……………6分 ∵()(1)f m f =， ∴21(1)(1)ln 22m a m a m --+-=，即2 (1)(1)(1ln )2 m a m m -=--- 因为ln 1m m <-，故1ln 0m m -->. 故等价于证明：1 ln 2 1 m m m ->+. ……………7分 令2(1)()ln ,11x H x x x x -=->+，则2 2(1)()0(1)x H x x x -'= >+，()H x 在(1,)+∞上单调递增. 故()(1)=0H x H >．即2(1) ln 1x x x -> +. 从而结论得证. ……………8分 （3）法一：令4a =，则2 ()4(1)3ln .2 x f x x x =--+ 由（1）可知，()f x 在(0,1),(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减. 由题易知.242114( )20e 2e e f =--<，17 (1)0(3)3ln3022 f f =>=-<，， 故101x <<<23x <<3x .因为21(e )2f >，故存在1m '>，使得1 ()(1)=2 f m f '=，由（2）可 知(1,)x m '?∈，3ln 1x x >-，故(1,)x m '?∈，22 ()4(1)1=3 3.22 x x f x x x x >--+--+ ……………10分 令2 ()=332 x F x x -+，则(1,)x m '?∈，()().f x F x > 易知()F x 在(,3)-∞上单调递减，在(3,)+∞上单调递增. 记()F x 的两个零点为,p q ，易知13p q m '<<<<. 故2()()()f p F p f x >=，3()()()f q F q f x >= 因为()f x 在(1,3)上单调递减，在(3,)+∞上单调递增. 所以2p x <，3q x > ，所以32x x q p -<- ……………12分 法二：（切线放缩）略解. 令4a =，则2()4(1)3ln .2 x f x x x =--+ 研究函数()f x 在点(2,(2))A f 处的切线11:3ln 212 x l y =-+-以及在点(4,(4))B f 处的切线 223:6ln 274x l y = +-,然后证明当1x >时，()3ln 212x f x ≥-+-以及3()6ln 274 x f x ≥+-. 切线1l 与x 轴的交点为(6ln 22, 0)-；切线2l 与x 轴的交点为28 (8ln 2, 0)3 -， 故322834 8ln 2(6ln 22)14ln 2 1.633x x -<---=-≈<