华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学-试卷

华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数 学 2021.02本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B 铅笔填涂相关信息。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

第一部分 选择题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}02M x x =∈≤≤R ，{}11N x x =∈-<<R ，则MN =（**）A ．{}01x x ≤≤B ．{}01x x ≤<C ．{}12x x <≤D ．{}12x x -<≤2．复数2021i 3iz =+在复平面内对应的点位于（**）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3．已知直线l ，m 和平面α，且l α⊥，则l m ⊥是mα的（**）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 4．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据(单位：千克)全部介于45至70之间．将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从[)55,60， [)60,65， []65,70这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间[)55,60的概率是（**）A ．815B ．920 C ．35D ．910第4题图5．已知,a b 是两个夹角为π3的单位向量，则kb a -的最小值为（**） A ．14 B ．12 C ．34D ．326．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离()()222212L R h R R h R =+-++-22112222Rh h Rh h =+++（如图），其中1h 为雷达天线架设高度，2h 为探测目标高度，R 为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R 等效取8490km ，故R 远大于12,h h ．假设某探测目标高度为25m ，为保护航母的安全，须在直视距离390km 外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为．．（**） （参考数据：28.49 4.12⨯≈） A ．6400mB ．7200mC ．8100mD ． 10000m7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点P 是抛物线C 上位于第一象限内的一点，M 为线段PF 的中点，MQ 垂直y 轴于点Q ，若直线QF 的倾斜角为α，π(,π)2α∈，则直线PF 的倾斜角为（**）A ．αB ．2αC ．πα-D ． 2πα-8．已知点,,A B C 是函数π2sin(),03y x ωω=+>的图象和函数π2sin(),06y x ωω=->图象的连续三个交点，若ABC ∆是锐角三角形，则ω的取值范围为（**） A ．π(,)2+∞ B ．π(,)4+∞C ．π(0,)2D ． π(0,)4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对得5分，对而不全得2分，只要有一项选错，即得0分．9．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 满足()()2f x f x +=，()()2f x f x -=，且[]0,1x ∈时，()21f x x =+，则下列说法中，正确的是（**）A ．2是()f x 的周期B ．1x =-不是()f x 图象的对称轴C ．()2021=2fD ．方程()12=f x x 只有4个实根第6题图10．已知实数0,0, 1a b a b >>+=，则下列说法中，正确的是（**）A ．114a b+≤ B ． 22a b +≥C ．22log log 1a b ⋅≤ D ．存在,a b ，使得直线1ax by +=与圆224x y +=相切 11．点C ，D 是平面α内的两个定点，=2CD ，点A B ，在平面α的同一侧，且2=4AC BC =．若,AC BC 与平面α所成的角分别为5ππ,124，则下列关于四面体ABCD 的说法中，正确的是（**）A ．点A 在空间中的运动轨迹是一个圆B ．ABC ∆面积的最小值为2C ．四面体ABCD 体积的最大值为D ．当四面体ABCD 的体积达最大时，其外接球的表面积为20π 12．已知函数sin cos ()ee xx f x =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（**）A. ()f x 在π(0,)2是增函数 B. π()4f x +是奇函数 C. ()f x 在(0,π)上有两个极值点 D. 设()()f x g x x =，则满足1(π)(π)44n n g g +>的正整数n 的最小值是2 第二部分 非选择题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+ ，根据最小二乘法计算可得ˆ=7b ，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为__**___万元． 14．2421(2)x x+-的展开式中，2x 的系数是__**___． 15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，P 为双曲线上一点，1PF 与双曲线C 的渐近线平行，且1PO F O =，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的离心率=e __**___．16．已知数列{}n a 的前n 项和2433=n n S a n +-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__**__， 则1n na a +的最大值为__**___．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知正项数列{}n a 满足11a =，11,(2)n n n n a a a a n ---=≥，等比数列{}n b 满足：2123,a b b b =-=8a ．（1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）设1211nn n n b b b T a a a -=+++，求n T ．18．（本小题满分12分）已知函数()πsin(),(,0)6f x A x A ωω=+>只能同时满足以下三个条件中的两个．① 函数()f x 的最大值是2；② 函数()f x 的图象可由函数()22cos 2sin cos sin 2222x x x xf x =+-左右平移得到； ③ 函数()f x 的对称中心与()f x 的对称轴之间的最短距离是π4； （1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数()y f x =的单调递增区间； （2）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足()1f B =， 点D 为BC 的中点，且AD b ，求sin sin BACC∠的值．19．（本小题满分12分） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分别为AC 、11A C 的中点，1122PA PC ==，1111A B B C =123PB ==，114A C =. （1）求证：PO ⊥平面111A B C ； （2）求二面角111B PA C --的余弦值．第19题图20．（本小题满分12分）某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料． 现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收．方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验．若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收．假设拟购进的这批原料，合格率为p （01p <<），并用p 作为原料中每件产品是合格品的概率．若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担． （1）若2=3p ，记方案二中所需的检验费用为随机变量X ，求X 的分布列； （2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率．如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？ 并说明理由． 21．（本小题满分12分）已知离心率为1222:2 (0)C y px p =>有相同的焦点F ，且抛物线经过点(1,2)P ，O 是坐标原点． （1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）已知直线l ：x ty m =+与抛物线交于A,B 两点，与椭圆交于C,D 两点，若ΔABP 的内切圆圆心始终在直线PF 上，求ΔOCD 面积的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数2()(1)(1)ln , 22x f x a x a x a =--+->．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()(1)f m f =且1m ≠，证明：(1,)x m ∀∈，(1)ln 1a x x ->-；（3）记方程243ln 42x x x -+=-的三个实根为123,,x x x ，若1x <2x <3x ，证明：32x x -<． 华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数 学 参 考 答 案一、单项选择题：1-4：BABB 5-8: DCDA第8题提示：将π)3y x ω=+变形为π)6y x ω=-，然后研究图象即可.二、多项选择题：9、AC 10、BC 11、ABD 12、ABD 第10题C 选项解析：2222log log log log (1)a b a a ⋅=⋅- 令222ln ln(1)()log log (1),01(ln 2)=x x f x x x x ⋅-=⋅-<<， 因为()(1)f x f x =-，故()f x 关于12x =对称，故只需研究10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的情况即可. 2(1)ln(1)ln ()(ln 2)(1)x x x xf x x x ---'=-. 令()(1)ln(1)ln g x x x x x =---， 则2()ln()2g x x x '=---. 易知()g x '在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减.因为221()ln(1)20g e e '=--+>，1()2ln 2202g '=-<，所以存在0211,2x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()0g x '=，且()00,x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，012x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x '<，()g x 单调递减.因为0x →时，()0g x →，且1()02g =，故102x ⎛⎤∀∈ ⎥⎝⎦，，()0g x ≥.所以当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '≥，()f x 单调递增， 所以1()()12f x f ≤=.第12题提示：sin cos ()e cos esin x xf x x x '=+，显然π2x =不是极值点.当ππ(0,)(,π)22x ∈时，π)cos 4()ecos tan )x xf x x x -'=+.绘制函数π)4y=tan x x --与的草图可知，此时()0f x '=仅有一个根0x ，且0ππ2x <<. 故C 选项错误. 由上述分析可知0(0,)x x ∈时，函数()f x 单调递增，0(,π)x x ∈时，函数()f x 单调递减. 当1n =时，ππ()0, ()e 142f f ==-，显然ππ() ()42g g <.当2n =时，π3π()e 1, ()e24f f =-=- ()()f x g x x=的几何意义为点(,())x f x与坐标原点连线的斜率. 因为33ππ=422⨯，故只需比较3π3π() ()224f f 与的大小即可.3π3π31() ()=(e 1)e1.5 1.7(e )02242ef f ---->⨯-->. 故D 正确.三、填空题： 13、85 14、56- 1516、(2)1n-+； 75-17．解：（1）∵{}n a 各项为正，且11,(2)n n n n a a a a n ---=≥，∴1111,(2)n n n a a --=≥. ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差1d =，首项11=1a 的等差数列. ………………2分 ∴1n n a =，则1n a n=. ………………3分 设等比数列{}n b 的公比为q ，则2123111, ()28b b b b q q =-=-=. 故21=4q q -，解得1=2q . 故1112n n n b b q -==. ………………5分 （2）122311121= (2222)n n n n n b b b n n n T a a a ---=+++++++. ① 211212= (222)n n n n T n ---++++. ② ………………6分 ②—①：23111111 (2)2222n n nT n -=-+++++（）. ………………8分 11(1)12211212n n n n -=-=-+-. ………………10分 18．解：（1）函数()f x 只能同时满足①③ . ………………2分 由①知=2A ，由③知12ππ444T ω=⨯=,则2ω=. 故()π2sin(2)6f x x =+. ………………4分由πππ2π22π+262k x k -≤+≤,Z k ∈解得ππππ+36k x k -≤≤，Z k ∈.所以()y f x =的单调递增区间为ππππ+36k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈. ………………6分（2）()π11sin(2)62f B B =⇒+=.∵ππ13π(0,π)2(,)666B B ∈⇒+∈. ∴π5ππ2= =.663B B +， ………………8分（此处若未结合角B 的范围，直接写出B 的值，扣1分.） 法一：作线段CD 的中点E ,因为ADAC ，故AE CD ．因为πcos =3BEAB， 即312==423a a c c ⇒. ………………10分由正弦定理知sin 2==.sin 3BAC a C c ∠ ………………12分法二：分别在,ABD ABC ∆∆中对角B 运用余弦定理，可得边长a,c 的关系，略. 19．（1）证明：连接1OB .∵11PA PC =, O 为11A C 的中点, ∴11.PO AC ⊥ ∵1114,22AC PA ==, ∴22112PO PA OA =-=. ………2分∵1111A B B C =, O 为11A C 的中点, ∴111.OB A C ⊥ ∵11123,2A B AO ==, ∴22111122OB A B OA =-=. ………4分22211123,=PB PB OB OP =+故, 1PO OB ∴⊥.∵11111,.PO AC AC OB O ⊥= ∴PO ⊥平面111A B C . ………6分（2）以O 为坐标原点，11OB OC OP ，，所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则1(22,0,0)B , 1(0,2,0)A -, (0,0,2)P .则11(22,2,0)A B =, 1(0,2,2)A P =. ………7分 设平面11PA B 的法向量1(,,)n x y z =，则11111022202200n A B x y y z n A P ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩. 令12, 2.x y z ==-=，则则1(1,2,2)n =-. ………9分易证1OB ⊥平面11PA C ,故取平面11PA C 的法向量2(1,0,0)n =. ………10分zyx1212125cos ,5n n n n n n ⋅<>==⋅ 因为二面角111B PA C --的平面角θ为锐角，所以cos θ=………12分20．解：（1）X 可能的取值为50,100． ………………1分4151280(X 100)33243P C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭,(X 50)P ==801631243243-=, ………………3分 故X 的分布列为:………………4分（2）方案一通过检验的概率为10199110(1)(109)P pC p p p p =+-=-. ………………6分 方案二通过检验的概率为51455425(1)15(1)P p C p p p p p p ⎡⎤=+-⋅=+-⎣⎦………………8分54412(109)15(1)P P p p p p p ⎡⎤-=----⎣⎦，其中01p <<.令4454()(109)15(1)45p 1f p p p p p p =----=-+-，则433()202020(1)0f p p p p p '=-+=->. ………………10分 故()f p 在(0,1)p ∈上单调递增，()(1)0f p f <=.故12.P P <原料供应商更希望该工厂的质检部门采取方案二，因为原料通过检验的概率更高．………………12分 21．解：（1）由题：422p p =⇒=，故抛物线2C 的方程为24y x =．………………1分 抛物线2C 的焦点为(1,0)F ，故221a b -=. 又因为椭圆离心率为12，即112a =.解得=2, a b∴椭圆1C 的方程为 ………………3分 （2）因为ΔABP 的内切圆圆心始终在直线PF 上，即PF 平分APB ∠.设直线, PA PB 的斜率分别为12,k k ．因为PF 垂直于x 轴，故12=0.k k + ………………4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121222=011y y x x --+--.∵221122=4=4y x y x ，， ∴1244=022y y +++，即12=4y y +-. ………………5分 ∴12121241AB y y k x x y y -===--+，即=1t -. ………………6分将直线x y m =-+与24y x =联立，可得2440y m y +-=，由题16(1=)0m ∆+>，故 1.m >- ………………7分将直线x y m =-+联立，可得22637120y my m -+-=， 由题248(7)0=m ->∆，故………………8分设3344(,),(,)C x y D x y ，则234346312, .77m m y y y y -+==则CD =………………9分 坐标原点O 到直线l的距离为d =，故ΔOCD的面积12S CD d =⋅==.………………10分∵1m -<<，∴207m ≤<．故当27=2m时，max 72S = ………………12分22．解：（1）1(1)(1)()a x x a f x x a x x---+'=-+=，0x > ……………1分 ∵ 2a > ∴11a ->∴()0f x '>⇒ 1x a >-或01x <<，()0f x '<⇒ 11x a <<-.∴()f x 的单调递增区间为(0,1),(1,)a -+∞，单调递减区间为(1,1)a -. ……………3分 （2）令()ln 1h x x x =-+，则1()xh x x-'=. ()001h x x '>⇒<<. 故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减.故()(1)0h x h ≤=，即ln 1x x ≤-. ……………4分欲证：(1,)x m ∀∈，(1)ln 1a x x ->-，即证：(1,)x m ∀∈，11ln x a x -->. 令1(), 1ln x g x x m x -=<<，则21ln 1()(ln )x x g x x -+'=.因为ln 1x x ≤-，故1ln 10x x-+≥.所以()0g x '>，()g x 在(1,)m 上单调递增. ∴1()()ln m g x g m m -<=. 故欲证(1,)x m ∀∈，11ln x a x -->，只需证11ln m a m -->. ……………6分∵()(1)f m f =， ∴21(1)(1)ln 22m a m a m --+-=，即2(1)(1)(1ln )2m a m m -=--- 因为ln 1m m <-，故1ln 0m m -->. 故等价于证明：1ln 21m m m ->+. ……………7分 令2(1)()ln ,11x H x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x H x x x -'=>+，()H x 在(1,)+∞上单调递增. 故()(1)=0H x H >．即2(1)ln 1x x x ->+. 从而结论得证. ……………8分 （3）法一：令4a =，则2()4(1)3ln .2x f x x x =--+ 由（1）可知，()f x 在(0,1),(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减.由题易知.242114()20e 2e e f =--<，17(1)0(3)3ln3022f f =>=-<，， 故101x <<<23x <<3x .因为21(e )2f >，故存在1m '>，使得1()(1)=2f m f '=，由（2）可知(1,)x m '∀∈，3ln 1x x >-，故(1,)x m '∀∈，22()4(1)1=3 3.22x x f x x x x >--+--+ ……………10分 令2()=332x F x x -+，则(1,)x m '∀∈，()().f x F x > 易知()F x 在(,3)-∞上单调递减，在(3,)+∞上单调递增.记()F x 的两个零点为,p q ，易知13p q m '<<<<.故2()()()f p F p f x >=，3()()()f q F q f x >=因为()f x 在(1,3)上单调递减，在(3,)+∞上单调递增.所以2p x <，3q x >，所以32x x q p -<- ……………12分 法二：（切线放缩）略解.令4a =，则2()4(1)3ln .2x f x x x =--+研究函数()f x 在点(2,(2))A f 处的切线11:3ln 212xl y =-+-以及在点(4,(4))B f 处的切线223:6ln 274x l y =+-,然后证明当1x >时，()3ln 212x f x ≥-+-以及3()6ln 274x f x ≥+-. 切线1l 与x 轴的交点为(6ln 22, 0)-；切线2l 与x 轴的交点为28(8ln 2, 0)3-，故3228348ln 2(6ln 22)14ln 2 1.633x x -<---=-≈<。