湖南省邵阳市洞口县2019-2020学年高三第一次联考(11月摸底考试)数学文理试题(教师版)

2019年高三11月摸底考试数学（文、理科）试题一、选择题：（一）单项选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{1,}A a =，2{|540,}B x x x x Z =-+<∈，若A B ≠∅I ，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．2或3 D ．2或4 解：∵2540(4)(1)014x x x x x -+<⇒--<⇒<<，又x Z ∈，∴{2,3}B =，由A B ≠∅I ，得a =2或3，故选C ． 2．已知11abi i=-+ ，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D ．5 通解：∵(1)11(1)(1)22a a i a a i bi i i i -==-=-++-，∴2,1ab ==，则|||2|5a bi i -=-=，故选D ． 另解：∵1(1)(1)(1)(1)1abi a i bi b b i i=-⇒=+-=++-+， ∴1b =，2a =，则|||2|5a bi i -=-=，故选D ．3．已知函数22,0(,)0x x x x f x ⎧-≤>⎪=⎨⎪⎩，若()(1)0f a f +=，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-解：∵1(1)22f =-=-，∴0a <，由220a -=，得2a =-(舍正)，故选B ．4．若偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，且(3)0f -=，则不等式(2)()0x f x -<的解集为（ ） A ．(,3)(2,3)-∞-U B ．(3,2)(3,)--+∞U C ．(3,3)- D ．(2,3)-解：当2x >时，需()0f x <；当2x <时，需()0f x >，画图，知解集是(,3)(2,3)-∞-U ，故选A ．5．函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：函数2ln x x y x=为偶函数，则图像关于y 轴对称，排除B ；当0x >时，2ln ln x x y x x x ==，求导得ln 1y x '=+，由10y x e>⇒>'， 100y x e '<⇒<<，则ln y x x =在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，故选D ．6．已知向量(cos ,sin )a θθ=r ，向量3,1)b =r，且a b ⊥r r ，则tan θ的值是（ ）A 3．33．3- 解：∵3sin 0a b θθ⊥⇒+=r r，∴sin 3θθ=，则tan 3θ=，故选D ．7．将函数sin(2)6y x π=-图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是（ ）A ．3x π=B ．6x π=C ．12x π=D ．12x π=-解：∵sin(2)sin[2()]sin(2)6463y x y x x ππππ=-→=+-=+，∴将12x π=代入可得最大值，故选C ．8．中国古代数学名著《算法统宗》，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识 起到了重大意义，是东方古代数学名著．在这部著作中，许多问题都是以歌诀形式呈现，“九儿 问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．请问长儿多少岁？（ ） A ．11B ．32C ．35D ．38解：∵构成一个等差数列：3d =-，9207S =，求1a ，∴911989(3)91082072a a S ⨯=+⨯-=-=，解得135a =，故选C ． 9．（理）已知函数321()3f x x x x =++的图象C 上存在一点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，且恒有12y y +为定值0y ，则0y 的值为（ ） A ．13- B ．23-C ．43- D ．2-解：∵三次函数的拐点就是其对称中心，∴2212201y x x y x x '''=++⇒=+=⇒=-，则13y =-，则1(1,)3P --，∴0122(13)23y y y =+=⨯-=-，故选B ．（文）已知可导函数()f x ，如图，直线2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，()g x '是()g x 的导函数，则(3)g '=（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．4解：∵11323k k =+⇒=-，∴由()()()g x f x xf x ''=+， 得1(3)(3)3(3)13()03g f f ''=+=+⨯-=，故选B ．10．已知函数247()1x x f x x ++=-+，3()log 3(1)xg x x x =+≤，实数,a b 满足1a b <<-，若1[,]x a b ∀∈，2(0,1]x ∃∈，使得12()()f x g x =成立，则b a -的最大值为（ ） A ．4 B ．23 C ．22 D ．3 解：∵133()log 3(1)(1)log 133xg x x x g =+≤⇒=+=Z，4()2[(1)]1f x x x =--+++，令1x t +=， 则4()2()f t t t=--+，如图，由()3f t =，解得1t =-或4t =-，∴b a -的最大值为3，故选D ．（二）多项选择题：（本题共2个小题，每小题5分，10分．在每个小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．） 11.下列命题正确的是（ ）A.“32,10x R x x ∀∈-+<” 的否定为“32000,10x R x x ∃∈-+>”；B. 命题“若2340x x +-=，则4x =-”的逆否命题是假命题；C. 在△ABC 中，“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件；D. 函数()tan 2f x x =的对称中心是(,0)()2k k Z π∈． 解：A 错：应改为32000,10x R x x ∃∈-+≥；B 、C 显然对； D 错：应改为(,0)()4k k Z π∈，故选B 、C ． 12．定义在R 上函数()f x 对任意两个不相等的实数12,x x 都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“Z 函数”，以下函数中“Z 函数”的是（ ）A ．21y x =-+ B ．32sin 2cos y x x x =--C ．ln ||,00,0x x y x ≠⎧=⎨=⎩D ．224,0,0x x x y x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩解：∵11221221112221()()()()[()()][()()]0x f x x f x x f x x f x x f x f x x f x f x +>+⇒-+->，即2121()[()()]0x x f x f x -->，故Z 函数单调递增，画图，可知A 、C 不符合， ∴由多选特征知B 、D 正确(注：B 可用求导来验证)，故选B 、D ．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数y =的定义域为 ．解：∵0.50.50.5log 10log log 0.5x x ->⇒>，∴00.5x <<，故其定义域为1(0,)2． 注：许多学生误理解为0.5log (1)x -．14．记123k k k kk n S =++++L ，当1,2,3,k =L 时，观察下列等式：211122n n S =+，322111326n n S n =++，4323111424n n S n =++， 5434111523n n A S n n =++-，…，由此可以推测A = ．（文）54341112330S An n n n =++-解：可归纳出各项系数和为1，则1111523A ++-=，解得130A =．（文）15A =．15．设0,1a b >>，且2a b +=，则211a b +-的最小值为 ． 通解：∵(1)1a b +-=，∴2121()[(1)]11a b a b a b +=++---2(1)3331b a a b -=++≥+=+-当且仅当2(1)1b a a b -=-时取等号，故211a b +-的最小值为3+妙解：由权方和不等式可得：2222111)3111a b a b a b +=+≥=+--+-16．已知等差数列{}n a 满足：当(1)(1)(,](,)22k k k k n n k N *-+∈∈时，1(1)k n a k +=-⋅， n S 是数列{}n a 的前n 项和，则1a = ，12S = ．（文）10S = ．解：当1k =时，(0,1]n ∈，则1n =，有11a =；当2k =时，(1,3]n ∈，则2,3n =，有232a a ==-； 当3k =时，(3,6]n ∈，则4,5,6n =，有4563a a a ===；当4k =时，(6,10]n ∈，则7,8,9,10n =，有789104a a a a ====-；当5k =时，(10,15]n ∈，则11,12,13,14,15n =，有11121314155a a a a a =====， 则（理）11a =，120S =．（文）11a =，1010S =-．三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题共10分）已知函数()f x 与()g x 的定义域是R ，()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数，且()()2xf xg x e +=． （1）求函数()f x ；（2）若关于x 的不等式()3mf x m ≥+在R 上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1) ∵()()2xf xg x e +=，① ∴()()2xf xg x e --+-=，……2分又∵()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数，∴()()2xf xg x e --=，②……4分 由①②得：()xxf x e e -=+；……5分(2) ∵0x e >，∴1()2x xx xf x e ee e -=+=+≥， ∴min [()1]1f x -=，……7分 由已知得：3()1m f x ≥-，故3m ≥，……9分则实数m 的取值范围是[3,)+∞．……10分18. （本小题共12分）已知函数21()2cos 22f x x x =--()x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间．解：(1) ∵1cos 21()sin 2sin(2)12226x f x x x π+=--=--，……4分 ∴()f x 的最小值是2-，最小正周期是22T ππ==；……6分 (2) 由222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，……8分得63k x k ππππ-≤≤+，……10分故函数()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈．……12分19. （本小题共12分）已知{}n a 是等差数列，各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ， 且满足111a b ==， 21a q =+，331a b =+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1100n n S a n+->的最小正整数n ． 解：(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则211121d q d q +=+⎧⎨+=+⎩，……2分 解得22d q =⎧⎨=⎩，……4分故21n a n =-，12n n b -=；……6分(2) ∵1(1)211n n n a q qS -==--，……8分 ∴12112123100n n n n a n n nS +-+-=--=->，……10分 即2103n>，n Z *∈，故最小正整数n 是7．……12分20. （本小题共12分）在ABC ∆中，若(2)cos cos 0b c A a C --=． （1）求角A 的大小；（2）若a ABC ∆，试判断ABC ∆的形状，并说明理由． 解：(1) ∵(2sin sin )cos sin cos 0B C A A C --=，……2分∴2sin cos sin()sin B A A C B =+=， 又∵sin 0B ≠，∴1cos 2A =，……4分 ∵0A π<<，∴3A π=；……6分(2)∵1sin 2S bc A ∆==，∴3bc =，……8分又∵22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，∴b c +=10分由韦达定理解得b c ==3A π=，故ABC ∆是等边三角形．……12分21. （本小题共12分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元． (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人 将邮件送达指定落袋口完成分拣．经实验知，每台机器人的日平均分拣量8(60),130()15470,30m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩ (单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？ 解：(1)由总成本21()150600p x x x =++万元，可得每台机器人的平均成本 ()p x y x=＝1600x 2＋x ＋150x＝1600x ＋150x＋1≥21600x ·150x＋1＝2. ……4分 当且仅当1600x ＝150x ，即x ＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．……6分 (2)引进300台机器人后，①当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m (60－m )＝－160m 2＋9 600m ， ∴当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．……8分 ②当m ＞30时，日平均分拣量为470×300＝141 000(件)． ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．……10分 若传统人工分拣144 000件，则需要人数为144 0001 200＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前 的用人数量最多可减少120－30120×100%＝75%.……12分22. （本小题共12分）设函数()ln (0)f x x x x =>．（1）（理）设2()()()F x ax f x a R '=+∈，试讨论()F x 的单调性；（文）求函数()f x 的最小值；(2) 斜率为k 直线与曲线()y f x '=交于1122(,),(,)A x y B x y 12()x x <两点， 求证：121x x k<<． 解：(1) （文） ∵()ln 1(0)f x x x '=+>，令()0f x '=，得1x e=．……2分 当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，∴当1x e =时，min 111()ln f x e e e==-；……4分（理）2()ln 1(0)F x ax x x =++>，则2121()2(0)ax F x ax x x x+'=+=>，……2分 ①当0a ≥时，恒有()0F x '>，()F x 在(0,)+∞上是增函数；……3分②当0a <时，令()0F x '>，得2210ax +>，解得0x << 令()0F x '<，得2210ax +<，解得x >． 综上，当0a ≥时，()F x 在(0,)+∞上是增函数；当0a <时，()F x在单调递增，在)+∞单调递减；……5分 (2) ∵212121212121()()ln ln y y f x f x x x k x x x x x x ''---===---，要证明121x x k <<，只需证明211221ln ln x x x x x x -<<-．……6分 法一：只要证21221111ln x x x x x x -<<，令21x t x =，只要证11ln t t t -<<，由1t >知ln 0t >， 只要证ln 1ln (1)t t t t t <-<>．（*）……8分①设()1ln (1)g t t t t =--≥，则1()10(1)g t t t'=-≥≥，故()g t 在[1,)+∞是增函数， ∴当1t >时，()1ln (1)0g t t t g =-->=，即1ln (1)t t t ->>；……10分 ②设()ln (1)(1)h t t t t t =--≥，则()ln 0(1)h t t t '=≥≥，故()h t 在[1,)+∞是增函数， ∴当1t >时，()ln (1)(1)0h t t t t h =-->=，即1ln (1)t t t t -<>．由①②知（*）式成立，故得证．……12分21121221(0)ln ln 2x x x xx x x x -+<<<-，得21121ln ln x x x x x ->>-，且2112221ln ln 2x x x xx x x -+<<-，故原式得证．。