正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的妙用
用正余弦定理巧解难题
用“正弦、余弦定理”巧解难题正弦、余弦定理是高中数学中一个非常重要的知识点，它沟通了三角形中边与角的关系，用这两个定理可以实现边角互化，从而明确解题方向。
怎样才能做到灵活运用“正弦、余弦定理”解题呢？下面举例说明：一、将三角形面积公式与正弦、余弦定理联合运用例1 0,60,2,ABC A B C a b c A a ABC ∆∠==∆中、、的对边分别为、、，且求面积的最大值.分析：我们要充分利用三角形面积公式与正弦、余弦定理这几个公式之间的内在联系，才能真正达到解决问题的目的．解 02,60a A ==Q222222cos 4a b c bc A b c bc =+-=+-=由余弦定理得 （1）222b c bc +≥Q （2）由（1）、（2）知4bc ≤∴13sin 424ABC S bc A ∆==≤⨯= ∴ABC ∆例2 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，S 为ABC ∆的面积，且06012A b S ===，，则=++++CB A cb a sin sin sin ．解160,12,s i n 1832A b S b c A ====Q ∴6=c又2222cos a b c bc A =+-Q ∴36=a 根据正弦定理，得122336sin sin sin sin ===++++A a C B A c b a二、边角互化时，宜统一化为一种元素（边或角）例3 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，证明：C B A cb a sin )sin(222-=-． 证明：要证C B A c b a sin )sin(222-=-，由正弦定理，得只需证 ,s i n )s i n (s i n s i n s i n 222C B A CB A -=- 只需证),sin(sin sin sin 22B A CBA -=- 只需证 ,s i n s i n)s i n ()s i n (22B A B A B A -=-+ 而222222sin()sin()sin cos cos sin sin sin .A B A B A B A B A B +-=-=-成立222sin().sin a b A B c C--=所以三、灵活运用正弦、余弦定理的变形形式例4 已知ABC ∆中，2:3:4sin :sin :sin =C B A ，求B cos 的值． 分析：由Cc B b A a sin sin sin ==得C B A c b a sin sin sin ：：：：=，再利用余弦定理很快解决问题．解 令角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，sin :sin :sin 4:3:2,A B C =Q根据正弦定理，得2:3:4::=c b a ．不妨令),0(,2,3,4>===t t c t b t a∴16111694162cos 2222222=-+=-+=t t t t ac b c a B四、应用正弦定理求角时应注意检验例5 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，,60,35,50===C c b 则B = ．解 ,b c <Q∴C B <又05,60,b c C ===Q∴由正弦定理，得==c C b B sin sin 213560sin 50= 即)150(3000舍去==B B例6 在ABC ∆中，已知,45,2,30===B b a ，求边c ． 解法一：sin sin a bA B=Q∴23sin sin ==b B a A 又,b a <Q ∴A B <∴0012060或=A ．当，时，07560==C A 22645sin 75sin 2sin sin 0+===BC b c 当，时，015120==C A 22645sin 15sin 2sin sin 00-===B C b c 解法二：2222cos ,b a c ac B =+-Q∴223cos ,c B =+-即0162=+-c c ，解得226±=c 说明：在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，若有b a >，则有B A B A b a sin sin >⇔>⇔>．。
正、余弦定理及三角函数的综合应用
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求得其他边、角；
(3)已知三边，求三个角；
(4)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
考点一：利用正、余弦定理解三角形
8．(2010?宝鸡质检一)如右图，为了计算渭河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参数数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236)．
针对性练习：
已知△ABC中，sinC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，试判断△ABC的形状．考点三：三角形面积公式的应用
典型例题
已知△ABC中，cosA＝63，a，b，c分别是角A、B、C的对边．
(1)求tan2A； (2)若sin(π2＋B)＝223，c＝22，求△ABC的面积．知识概括、方法总结与易错点分析
(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用．
(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理．
针对性练习：
1、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB→?AC→＝3.
(1)求△ABC的面积； (2)若b＋c＝6，求a的值．
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△BC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式三角形是平面几何中的一个基本图形，研究三角形的性质与定理在数学中具有重要地位。
本文将介绍三角形中的三个重要定理，正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式。
一、正弦定理：正弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，正弦定理可以表述为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中，sin(A)表示A角的正弦值，a表示边a的长度。
正弦定理可以从三角形的面积公式推导得出。
二、余弦定理：余弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的另一个重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，余弦定理可以表述为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，cos(C)表示C角的余弦值，c表示边c的长度。
余弦定理可以用来求解三角形的边长或角度，进而计算三角形的面积。
三、三角形的面积公式：给定一个三角形，设其底边长度为b，对应的高为h。
那么，三角形的面积可以通过以下公式来计算：S=1/2*b*h其中，S表示三角形的面积。
在计算三角形的面积时，还可以使用海伦公式。
海伦公式可以通过三角形的三边长来计算三角形的面积，其公式如下：S=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))其中，p表示三角形的半周长，计算公式为：p=(a+b+c)/2在使用海伦公式计算三角形面积时，需确保三条边长满足三角不等式，即任意两边之和大于第三边的长度。
总结：通过正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，可以解决三角形相关的问题。
正弦定理和余弦定理给出了通过角度和边长计算三角形的方法，而三角形的面积公式提供了计算三角形面积的途径。
这些定理在三角形等应用中具有重要的价值，对于解题和扩展应用都非常有帮助。
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形问题中常用的数学定理。
它们可以帮助我们求解三角形的边长、角度和面积等。
本文将分别介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的具体使用方法。
一、余弦定理的应用余弦定理是一个用来描述三角形边长和夹角之间关系的定理。
在任意三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，而对应的夹角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab·cosC1. 求解三角形边长假设我们已知一个三角形的两个边长a和b，以及它们夹角C的大小。
我们可以通过余弦定理来求解第三个边长c。
例如，已知三角形ABC中，边AB的长度为5，边AC的长度为8，而夹角B的大小为60度。
按照余弦定理，我们可以用下式来计算边BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cosB代入具体数值，即可求得：BC² = 5² + 8² - 2·5·8·cos60°BC² = 25 + 64 - 80·0.5BC² = 89 - 40BC² = 49BC = √49 = 7因此，边BC的长度为7。
2. 求解三角形夹角在某些情况下，我们已知三角形的三个边长，但需要求解其中一个夹角的大小。
余弦定理同样可以解决这个问题。
例如，已知三角形ABC的边长分别为a=4、b=7、c=9。
我们想要求解夹角C的大小。
根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC代入具体数值，我们可以得到：9² = 4² + 7² - 2·4·7·cosC81 = 16 + 49 - 56·cosC16 + 49 - 81 = 56·cosC-16 = 56·cosCcosC = -16 / 56 = -0.2857由于余弦函数的定义域为[-1, 1]，该结果无解，即无法构成三角形。
余弦定理及正弦定理的应用
余弦定理及正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。
它们被广泛应用于测量、导航、工程等领域。
下面将分别介绍余弦定理和正弦定理，并说明它们在实际应用中的具体运用。
一、余弦定理余弦定理描述了一个三角形的边与夹角之间的关系。
对于任意一个三角形 ABC，其边长分别为 a、b、c，对应的夹角分别为 A、B、C。
根据余弦定理，可以得到以下等式：a² = b² + c² - 2bc * cosAb² = a² + c² - 2ac * cosBc² = a² + b² - 2ab * cosC余弦定理可以用于解决以下问题：1. 测量三角形边长：如果已知三角形的两个边长和它们之间的夹角，可以利用余弦定理计算出第三条边的长度。
2. 计算三角形的夹角：如果已知三角形的三条边长，可以利用余弦定理的逆运算求解三个夹角的大小。
3. 解决航海导航问题：根据已知的方位角和航程，可以利用余弦定理计算船只的坐标位置。
二、正弦定理正弦定理描述了三角形边与其对应角的正弦值之间的关系。
对于任意一个三角形 ABC，其边长分别为 a、b、c，对应的夹角分别为 A、B、C。
根据正弦定理，可以得到以下等式：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理可以用于解决以下问题：1. 求解三角形的面积：如果已知三角形的两边和它们之间的夹角，可以利用正弦定理求解三角形的面积。
2. 判定三角形类型：根据三边的长度和正弦定理，可以判断三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
3. 解决建筑工程问题：在建筑测量中，需利用正弦定理计算高度、距离等未知量。
综上所述，余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。
通过运用这些定理，我们可以计算三角形的边长、夹角，求解三角形的面积，判断三角形的类型等。
在测量、导航、工程等领域，都离不开这两个定理的应用。
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用正弦定理和余弦定理是解三角形中非常常用的定理。
它们可以帮助我们在已知一些边长或角度的情况下，求解出其他未知边长或角度。
在本文中，我们将详细介绍正弦定理和余弦定理的概念，并阐述它们在解三角形中的运用。
一、正弦定理正弦定理是解三角形中最为基础和常用的定理之一、它可以用来求解三角形的任意一个角度或边长。
正弦定理的表达形式如下：a / sinA =b / sinB =c / sinC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。
在应用正弦定理求解问题时，需要注意以下几个方面：1.已知两边和它们对应的夹角，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 a = b * sinA / sinB 或 a = c * sinA / sinC。
2.已知两边和它们对应的夹角，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinA = a * sinC / c 或 sinA = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 A 的值。
3.已知两个角度和一个对边，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 b = a * sinB / sinA 或 b = c * sinB / sinC。
4.已知两个角度和一个对边，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinB = b * sinA / a 或 sinB = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 B 的值。
由于正弦定理可以用来求解任意一个角度或边长，因此它非常灵活和实用。
二、余弦定理余弦定理是解三角形中另一个重要的定理。
它可以用来求解三角形的边长或角度。
余弦定理的表达形式如下：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosAb^2 = c^2 + a^2 - 2ac * cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。
正弦定理和余弦定理三角形面积公式
正弦定理和余弦定理三角形面积公式好的，以下是为您生成的文章：在我们学习数学的漫漫长路中，有两个家伙就像数学王国里的“哼哈二将”，那就是正弦定理和余弦定理。
这俩定理不仅是解决三角形问题的神器，还和三角形面积公式有着千丝万缕的联系。
先来说说正弦定理。
它就像是一个神奇的魔法咒语，“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”。
这听起来是不是有点绕？其实说白了，就是如果一个三角形的三条边分别是 a、b、c，它们所对应的角分别是 A、B、C，那么就有a/sinA = b/sinB = c/sinC。
我记得有一次，我在课堂上讲正弦定理的时候，有个调皮的学生突然举手说：“老师，这定理有啥用啊，感觉好复杂！”我笑了笑，给他出了一道题：“一个三角形，其中两条边分别是 3 和 4，它们夹角是 60 度，能算出第三条边吗？”这学生一下子懵了，然后我就引导他用正弦定理来思考。
先通过正弦定理求出角 A 和角 B 的正弦值，再根据三角形内角和 180 度求出角 C 的大小，最后就能轻松算出第三条边的长度啦。
那孩子眼睛一下子亮了，直说：“原来这么神奇！”接下来再聊聊余弦定理。
它就像是一个侦探，能通过已知的边和角的信息，把未知的边或者角给揪出来。
余弦定理说的是“对于任意三角形，任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍”。
用公式表示就是 a² = b² + c² - 2bc·cosA ，b² = a² +c² - 2ac·cosB ，c² = a² + b² - 2ab·cosC 。
有一次我带学生们去操场上做实地测量。
我们想知道操场边上那个三角形花坛的面积。
同学们有的拿尺子量边，有的测角度。
然后我就引导他们用刚学的余弦定理先求出未知的边，再用正弦定理求出某个角的正弦值，最后算出面积。
余弦定理正弦定理三角形面积公式
余弦定理正弦定理三角形面积公式在咱们学习数学的旅程中，三角形可是个超级重要的“小伙伴”。
今天咱们就来好好聊聊和三角形有关的几个重要知识：余弦定理、正弦定理还有三角形面积公式。
先来说说余弦定理。
这余弦定理啊，就像是三角形的“密码解码器”。
它能帮助咱们通过三角形的边和角的关系，算出那些隐藏的信息。
比如说，在一个三角形 ABC 中，如果咱们知道了三条边 a、b、c 的长度，那就能通过余弦定理算出角 A、B、C 的大小。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学一脸懵地问我：“老师，这余弦定理到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想看，假如你是个建筑师，要设计一个三角形的屋顶，你得知道每个角的大小和每条边的长度，才能保证这个屋顶既稳固又美观，这时候余弦定理不就派上用场了嘛！”再讲讲正弦定理。
正弦定理就像是三角形中的“公平秤”，不管三角形的形状怎么变，它都能保持平衡。
它说的是三角形的三条边和它们所对应的角的正弦值之间存在着固定的比例关系。
有一回在课堂上做练习题，有一道题是这样的：在三角形ABC 中，角 A 是 30 度，角 B 是 60 度，边 a 的长度是 2，让求边 b 的长度。
很多同学一开始有点不知所措，但当我引导他们运用正弦定理的时候，大家很快就找到了解题的思路。
最后咱们聊聊三角形面积公式。
这可是解决三角形面积问题的“神器”。
最常见的就是底乘以高除以 2 这个公式。
但还有一个用两边及其夹角来计算面积的公式，就是 S = 1/2 * ab * sinC。
我曾经带着学生们到操场上，让他们自己动手画出各种形状的三角形，然后测量边和角，用不同的面积公式去计算，看看结果是不是一样。
大家兴致勃勃，通过这样的实践，对三角形面积公式的理解也更加深刻了。
总之，余弦定理、正弦定理和三角形面积公式就像是三角形世界里的三把“金钥匙”，能帮助咱们打开三角形的各种秘密之门。
只要咱们熟练掌握并灵活运用，不管遇到什么样的三角形问题，都能迎刃而解。
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【例1】(11北京)
曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1，0)和F 2(1，0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹.给出下列三个结论：
①曲线C 过坐标原点；
②曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于21
2a 。
其中，所有正确结论的序号是_____。
【例2】
已知AD 是△ABC 的角平分线，且AC ＝2，AB ＝3，∠A ＝60°.求AD 的长。
【例3】(11北约)
已知平行四边形的两条邻边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。
【例4】(09北大)
一个圆的内接四边形边长依次为1，2，3，4，求这个圆的半径。
【例5】(10上海)
某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为1
1
1
,,13115，则此人将( )
A ．不能作出满足要求的三角形
B ．作出一个锐角三角形
C ．作出一个直角三角形
D ．作出一个钝角三角形
正弦定理、余弦定理、
三角形面积公式的妙用
【例6】(11北大保送)
L为△ABC内一点，满足ACL BCL CBL BAL
∠=∠=∠=∠。
求证：△ABC的三边长成等比。
【例7】(11全国课标)
△ABC中，∠B＝60°，3
AC AB＋2BC的最大值为_______。
【例8】(11北约)
在△ABC中，a＋b≥2c，求证：∠C≤60°。