高等数学教案七

AM .求分点 M 的坐标. MB 解: AM与MB 在一直线上,有 AM MB .
使它们的值的比等于某数 1 ,即 而 AM x x1 , y y1 , z z1 , MB x2 x, y2 y, z2 z ,
定理 1:设向量 a 0 ,那么向量 b // a 的充分必要条件是:存在唯一的实数 使 b a .






1 b 3a 例 1.化简 a b 5 b . 4 3 1 b 3a 15 5 5 11 17 解: a b 5 b 1 a 1 b a b . 4 4 4 2 3 4 3








1.向量 M1M 2 在 x, y, z 轴上的分向量为: PP , Q1Q2 , R1R2 .则 M1M2 PP QQ2 R1R2 . 1 2 1 2 1 2.向量的坐标 (1) i, j , k 分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量,称为坐标系的基本单位向量. (2)向量 OP与i平行 OP xi . 轴 x上的点P OP xi 实数x ,




定理 1:向量 AB在轴u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦: Pr ju AB AB cos . 定理 2:两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和,即 Pr j a1 a2 Pr ja1 Pr ja2 . 二. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
昆 明 学 院
教 案
课 课 总 专 任
程 名 称 程 性 质 学 时 数 业、班级 课 教 师
高等数学(二) 公共必修课 72 学时 电子商务 08 级 姚丽
2009 年 3 月
教
教学题目： （章、节）第七章
§ § 1, 2
案
学时数
4
教学目的和要求：使学生直观地建立起空间直角坐标的概念,理解有关向量的定义;会做向量的线性运算.


x x1 , y y1 , z z1 x2 x, y 2 y, z2 z ,即 x x1 x2 x , y y1 y2 y , z z1 z2 z .


x1 x2 y y2 z z2 ,y 1 ,z 1 ,点 M 叫做有向线段 AB 的定比分点. 1 1 1 x x2 y y2 z z ,y 1 ,z 1 2 . 当 1 时, M 为中点, x 1 2 2 2
空间的点 M a xi y j zk x, y, z . 注: a x, y, z 叫向量的坐标式,即向量在坐标轴上的投影.一般地,设起点 M1 x1, y1, z1 , M2 x2 , y2 , z2 ,则





M1M 2 x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 .
例 2.在平行四边形 ABCD 中,设 AB a, AD b ,试用 a和b 表示向量 MA, MB, MC和MD ,这里 M 是平行四边形对 角线的交点.





3 ．课程小结：
教学方式及教学方法： （讲授、实验、多媒体辅助教学、教具、板书、师生互动）
作业及课外训练：
教案小结：
教
教学题目： （章、节）第七章
§ § 3, 4
案
学时数
4
教学目的和要求：使学生掌握两向量的夹角及两向量平行及垂直的充分必要条件.理解向量的坐标表示.
教学基本内容：向量的坐标表示法,向量在坐标上的投影,向量的方向余弦;向量的数量积,向量积.两向量的夹角,
两向量平行及垂直的充分必要条件.







0 .
特殊地,当向量 a与b 中有一个是零向量时,规定它们的夹角可在 0与 之间任意取值. 2.空间一点在轴上的投影 过点 A作轴u 的垂直平面 , 交点A 即为 A在轴u 上的投影. 3.向量在轴上的投影 已知向量的起点 A和终点B 在轴 u 上的投影为 A, B , 那么轴 u 上的有向线段 AB 的值,称为向量 AB在轴u 上的投影,记为 Pr ju AB AB . 4.向量的投影定理
3.利用坐标作向量的线性运算 设 a ax i a y j az k ax , a y , az , b bx i by j bz k bx , by , bz , 则 a b ax bx , a y by , az bz , a ax , a y , az . 例 1.设 A x1, y1, z1 , B x2 , y2 , z2 为两已知点,而在 AB 直线上的点 M 分有向线段 AB 为两个有向线段 AM 与MB ,
所以 x 三.向量的模与方向余弦的坐标表达式 1.方向角:向量 a 与三坐标轴正向的夹角称为 a 的方向角. 2.方向余弦: ax M1M 2 cos a cos , a y M1M 2 cos a cos , az M 1M 2 cos a cos , 上式中的 cos , cos , cos 叫做 a 的方向余弦.方向余弦通常用来表示向量的方向. 3.向量的模的坐标表达式: a M1M 2
z 轴,当右手的四个手指从正向 x 轴以
角度 2
转向正向 y 轴时,大拇指的指向就是 z 轴的方向. 3.坐标面及卦限 (1)三条坐标轴中任意两条可确定一个平面,定出的三个平面统称为坐标面:
xoy面, yoz面, zox面 .
(2)三个坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫卦限. 4.空间的点 1-1 对应有序数组 x, y, z , 点M x,y,z . 5.特殊点的表示:坐标轴上的点 P, Q, R . 坐标面上的点 A, B, C .原点 O 0,0,0 .




5.零向量:模等于零的向量,记作 0 (它的方向是任意的). 7.平行向量:两个向量的方向相同或相反,记作 a // b .





9.负向量:大小相等但方向相反的向量, b a .


10.向径:空间直角坐标系中任一点 M 与原点构成的向量 OM . 二.向量的加减法 1.加法: a b c (平行四边形法则)
教学基本内容：向量的概念,向量的模,向量的线性运算.
教学重点与难点：重点是向量的线性运算.
教学过程： 1 ．课前复习： 2 ．讲授新课：
§ 空间直角坐标系 1 一. 空间点的直角坐标 1.在空间取定一点 O,作三条互相垂直的数轴(它们以 O 为原点且具有相同的长度单位) x 轴, y 轴, z 轴(竖轴),它们构成 了一个空间直角坐标系. 2.三个坐标系的正向符合右手系:以右手握住
d M1P PN NM 2
2 2 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
.
特殊地,点 M x, y, z 与坐标原点 O 0,0,0 的距离为 d OM
x2 y 2 z 2 .
例 1.求证以 M1 4,3,1 , M2 7,1,2 , M3 5,2,3 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 例 2.在 z 轴上求与两点 A 4,1,7 和B 3,5, 2 等距离的点.
教学重点与难点：重点是向量的数量积,向量积;两向量平行及垂直的充分必要条件.
难点是向量的向量积.
教学过程： 1 ．课前复习： 2 ．讲授新课：
§ 向量的坐标 3 一. 向量在轴上的投影与向量定理 1.空间两向量的夹角
设 a 0, b 0 ,向量 a与b 的夹角是 a, b b, a











(2) 0 时, a 0 . (4) 1时, 有1a a, 1 a a .

















a b a b .





a 0 0 0 注:设 a 表示与非零向量 a 同方向的单位向量,则 a a a a . a



特殊地:若 a // b 分为同向和反向. (1) 同向: c a b . (2) 反向: c a b .








向量的加法符合:(1)交换律 a b c ; 2.减法: a b a b .


(2)结合律 a b c (a b) c a b c .
, cos
az
2 a a y az2 2 x
二. 空间两点间距离 设 M1 x1, y1, z1 , M2 x2 , y2 , z2 为空间两点, d M1M 2 ? 在直角 M1 NM 2 及直角 M1PN 中,使用勾NM .
2 2 2
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM2 z2 z1 ,











2 2 2 M1P M1Q M1R ax a y az . 2 2 2