高三数学 2.2.1综合法与分析法学案 人教A版选修2-2

2．2 直接证明与间接证明
2．2.1 综合法与分析法
1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．
2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．
基础梳理
1．分析法和综合法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式． 2．综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后得到待证结论．
3．分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件，或已被证明的事实．
想一想：(1)综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
(2)分析法就是从结论推向已知，这句话对吗？
(3)已知x ∈R，a ＝x 2
＋1，b ＝x ，则a ，b 的大小关系是________．
(4)要证明A >B ，若用作差比较法，只要证明________．
(1)解析：综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的．
(2)解析：不对．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程． (3)解析：因为a －b ＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋34≥34>0，所以a >b . 答案：a >b
(4)解析：要证A >B ，只要证A －B >0.
答案：A －B >0
自测自评
1．用分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的(A)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既非充分条件又非必要条件
2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是(B)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m⊂β，l ⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．
3．要证3
a－
3
b<
3
a－b成立，a，b应满足的条件是(D)
A．ab<0且a>b
B．ab>0且a>b
C．ab<0且a<b
D．ab>0且a>b或ab<0且a<b
解析：要证3
a－
3
b<
3
a－b，只需证(
3
a－
3
b)3<(
3
a－b)3，即a－b－3
3
a2b＋3
3
ab2
<a－b，
即证3
ab2<
3
a2b，
只需证ab2<a2b，
即ab(b－a)<0.
只需ab>0且b－a<0或ab<0，b－a>0.
基础巩固
1．下列表述：
①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．
其中正确的语句有(C)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac ＜3a”索的因应是(C)
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
解析：要证明b2－ac＜3a，
只需证b2－ac＜3a2，
只需证(a＋c)2－ac＜3a2，
只需证－2a2＋ac＋c2＜0，
即证2a2－ac－c2＞0，
即证(a－c)(2a＋c)＞0，
即证(a－c)(a－b)＞0.
3．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是(D) A．m⊥l，m∥α，l∥β B．m⊥l，α∩β＝m，l⊂α
C．m∥l，m⊥α，l⊥β D．m∥l，l⊥β，m⊂α
解析：A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；C，这两个平面有可能平行或重合；D，是成立的，故选D.
4．已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是________．
解析：令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2，则由题意知f(1)＜0，即12＋(k－3)×1＋k2＜0，解得－2＜k＜1.
答案：(－2，1)
能力提升
5．(·重庆卷)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间(A )
A ．(a ，b )和(b ，c )内
B ．(－∞，a )和(a ，b )内
C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内
D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内
解析：因为a <b <c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A.
6．下面的四个不等式：
①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b
≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.
其中恒成立的有(C )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：∵(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ac )＝12
[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －122≤0，(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2，
∴①②④正确．故选C.
7．命题“若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋ cos β＋cos γ＝0”，则cos(α－β)＝________．
解析：条件变为sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋ cos β＝－cos γ，两式平方
相加可推得结论cos(α－β)＝－12
. 答案：－12
8．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，则P 、Q 的大小关系是________________________________________________________________________．
解析：用分析法，要证P <Q ，需证P 2<Q 2即可．
答案：P <Q
9．已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：
a 2＋
b 2＋
c 23≥a ＋b ＋c 3. 证明：要证a 2＋b 2＋c 23
≥a ＋b ＋c
3，
只需证：a 2＋b 2＋c 23
≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 32
， 只需证：3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ，
只需证：2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，
只需证：(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的， 所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c
3成立．
10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列，求证：△ABC 为等边三角形．
证明：由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3
，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac . 又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝
a ＋c 2，代入上式得（a ＋c ）4
2＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C .
而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3
， 从而△ABC 为等边三角形．。