高三数学 2.2.1综合法与分析法学案 人教A版选修2-2

2．2 直接证明与间接证明

2．2.1 综合法与分析法

1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．

2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．

基础梳理

1．分析法和综合法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式． 2．综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后得到待证结论．

3．分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件，或已被证明的事实．

想一想：(1)综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

(2)分析法就是从结论推向已知，这句话对吗？

(3)已知x ∈R，a ＝x 2

＋1，b ＝x ，则a ，b 的大小关系是________．

(4)要证明A >B ，若用作差比较法，只要证明________．

(1)解析：综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的．

(2)解析：不对．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程． (3)解析：因为a －b ＝x 2－x ＋1＝? ????x －122

＋34≥34>0，所以a >b . 答案：a >b

(4)解析：要证A >B ，只要证A －B >0.

答案：A －B >0

自测自评

1．用分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的(A)

A．充分条件

B．必要条件

C．充要条件

D．既非充分条件又非必要条件

2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.

其中正确命题的个数是(B)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：若l⊥α，m?β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m?β，l ⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，m?β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；若l⊥α，m?β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．

3．要证3

a－

3

b<

3

a－b成立，a，b应满足的条件是(D)

A．ab<0且a>b

B．ab>0且a>b

C．ab<0且a

D．ab>0且a>b或ab<0且a

解析：要证3

a－

3

b<

3

a－b，只需证(

3

a－

3

b)3<(

3

a－b)3，即a－b－3

3

a2b＋3

3

ab2

即证3

ab2<

3

a2b，

只需证ab2

即ab(b－a)<0.

只需ab>0且b－a<0或ab<0，b－a>0.

基础巩固

1．下列表述：

①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．

其中正确的语句有(C)

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac ＜3a”索的因应是(C)

A．a－b＞0 B．a－c＞0

C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0

解析：要证明b2－ac＜3a，

只需证b2－ac＜3a2，

只需证(a＋c)2－ac＜3a2，

只需证－2a2＋ac＋c2＜0，

即证2a2－ac－c2＞0，

即证(a－c)(2a＋c)＞0，

即证(a－c)(a－b)＞0.

3．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是(D) A．m⊥l，m∥α，l∥β B．m⊥l，α∩β＝m，l?α

C．m∥l，m⊥α，l⊥β D．m∥l，l⊥β，m?α

解析：A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；C，这两个平面有可能平行或重合；D，是成立的，故选D.

4．已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是________．

解析：令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2，则由题意知f(1)＜0，即12＋(k－3)×1＋k2＜0，解得－2＜k＜1.

答案：(－2，1)

能力提升

5．(·重庆卷)若a

A ．(a ，b )和(b ，c )内

B ．(－∞，a )和(a ，b )内

C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内

D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内

解析：因为a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A.

6．下面的四个不等式：

①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b

≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.

其中恒成立的有(C )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

解析：∵(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ac )＝12

[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－? ??

??a －122≤0，(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2，

∴①②④正确．故选C.

7．命题“若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋ cos β＋cos γ＝0”，则cos(α－β)＝________．

解析：条件变为sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋ cos β＝－cos γ，两式平方

相加可推得结论cos(α－β)＝－12

. 答案：－12

8．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，则P 、Q 的大小关系是________________________________________________________________________．

解析：用分析法，要证P

答案：P

9．已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：

a 2＋

b 2＋

c 23≥a ＋b ＋c 3. 证明：要证a 2＋b 2＋c 23

≥a ＋b ＋c

3，

只需证：a 2＋b 2＋c 23

≥? ????a ＋b ＋c 32

， 只需证：3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ，

只需证：2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，

只需证：(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的， 所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c

3成立．

10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列，求证：△ABC 为等边三角形．

证明：由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3

，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac . 又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝

a ＋c 2，代入上式得（a ＋c ）4

2＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C .

而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3

， 从而△ABC 为等边三角形．