高一数学期末复习5(函数与方程)
陕西省城固县第一中学2022年高一上数学期末复习检测试题含解析
图1中，因为 ，不符合条件①，因此排除选项A；
图4中，由 ，不符合条件①，并且 的距离不是对称变化的，因此排除选项D；
另外，在图2中，当点 在线段 上运动时，此时 ，其图象是一条线段，不符合条件②，因此排除选项B.
故选：C
8、C
【解析】运用向量的减法运算，表示向量，再运用向量的数量积运算，可得选项.
故答案为： ； .
【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于理解函数的定义，分段求值，建立不等式求解.
15、
【解析】根据最大值得 ，再由图像得周期 ，从而得 ，根据 时，取得最大值 ，利用整体法代入列式求解，再结合 的取值范围可得 .
【详解】根据图像的最大值可知， ，由 ，可得 ，所以 ，再由 得， ，所以 ，因为 ，所以 ，故函数 的解析式为 .
【详解】∵对任意实数 ，都有 成立，
∴函数 在R上为增函数，
∴ ，解得 ，∴实数 的取值范围是
故选：D
5、D
【解析】由函数解析式知当 时无论参数 取何值时 ，图象必过定点 即知正确选项.
【详解】由函数解析式，知：当 时， ，即函数必过 ，
故选：D.
【点睛】本题考查了指数型函数过定点，根据解析式分析自变量取何值时函数值不随参数变化而变化，此时所得即为函数的定点.
A. B.
C. D.
5．函数 （ 且 ）的图象一定经过的点是（）
A. B.
C. D.
6．已知 是定义在 上的减函数，若对于任意 ，均有 ， ，则不等式 的解集为（）
A. B.
C. D.
7．点P从O点出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点的距离y与点P所走路程x的函数关系如图所示，那么点P所走的图形是（）
2023北京高一(上)期末数学汇编：二次函数与一元二次方程、不等式
2023北京高一（上）期末数学汇编二次函数与一元二次方程、不等式一、单选题1．（2023秋·北京东城·高一统考期末）不等式220x x -->的解集是（）A ．{2xx <-∣或1}x >-B ．{1x x <-∣或2}x >C ．{12}x x -<<∣D ．{21}xx -<<∣2．（2023秋·北京怀柔·高一统考期末）已知R a ∈，p ：方程210x ax ++=有实数解，q ：23a <<，则p 是q 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分不必要条件3．（2023秋·北京门头沟·高一校考期末）不等式2311x x +≥-的解集为（）A ．312x x x ⎧⎫<≥⎨⎬⎩⎭或B ．{}4x x ≥C ．{}4x x ≤-D ．{14}x x x >≤-或二、填空题4．（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）已知12,x x 是关于x 的方程2260x mx m -+-=的两个实根，且12111x x +=-，则m =__________.5．（2023秋·北京顺义·高一统考期末）不等式223x x -+≤-的解集是__________.三、解答题6．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知函数()()221R f x x mx m m =+-+∈(1)若函数()f x 在区间()1,3-上单调，求实数m 的取值范围；(2)解不等式()21f x x <+．7．（2023秋·北京东城·高一统考期末）已知关于x 的不等式2(1)(2)288a x x x x -->-+的解集为A .(1)当1a =时，求集合A ；(2)若集合(,1)(2,)A =-∞-+∞ ，求a 的值；(3)若3A ∉，直接写出a 的取值范围.参考答案1．B【分析】直接解出不等式即可.【详解】220x x -->，解得2x >或1x <-，故解集为{1xx <-∣或2}x >，故选：B.2．B【分析】求出命题p 为真的a 的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】因为方程210x ax ++=有实数解，则有2Δ40a =-≥，解得2a ≤-或2a ≥，因此p ：2a ≤-或2a ≥，显然(2,3) [)2,∞+，即有命题q 成立，命题p 必成立，而命题p 成立，命题q 未必成立，所以p 是q 的必要而不充分条件.故选：B3．D【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解.【详解】2311x x +≥-，即23410,011x x x x ++-≥≥--，等价于()()41010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得1x >或4x ≤-；故选：D.4．2【分析】根据根与系数的关系结合条件即得.【详解】因为12,x x 是关于x 的方程2260x mx m -+-=的两个实根，则()12212226Δ460x x m x x m m m ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=--≥⎪⎩，又12111x x +=-，所以12122121161x x m x x x x m +-+===-，解得3m =-或2m =，经判别式检验知2m =.故答案为：2.5．3{|2x x ≥或1}x ≤-【分析】将不等式变形为()()2310x x -+≥，即可求出不等式的解集.【详解】解：不等式223x x -+≤-，即2230x x --≥，即()()2310x x -+≥，解得32x ≥或1x ≤-，所以不等式的解集为3{|2x x ≥或1}x ≤-.故答案为：3{|2x x ≥或1}x ≤-6．(1)(][),62,∞-∞-⋃+(2)当2m =-时，不等式()21f x x <+的解集为∅，当2m >-时，不等式()21f x x <+的解集为(),2m -，当2m <-时，不等式()21f x x <+的解集为()2,m -，【分析】（1）根据二次函数的性质确定参数m 的取值区间；（2）由题化简不等式()21f x x <+，求出对应方程的根，讨论两根的大小关系得出不等式()21f x x <+的解集.【详解】（1）函数()221f x x mx m =+-+的对称轴2mx =-，函数()f x 在区间()1,3-上单调依题意得12m-≤-或32m-≥，解得2m ≥或6m ≤-，所以实数m 的取值范围为(][),62,∞-∞-⋃+.（2）由()21f x x <+，即22121x mx m x +-+<+，即()2220x m x m +--<，令()()()222020x m x m x x m +--=⇒-+=得方程的两根分别为2,m -，当2m =-，即2m =-时，不等式()21f x x <+的解集为∅，当2m >-，即2m >-时，不等式()21f x x <+的解集为(),2m -，当2m <-，即2m <-时，不等式()21f x x <+的解集为()2,m -，综上，当2m =-时，不等式()21f x x <+的解集为∅，当2m >-时，不等式()21f x x <+的解集为(),2m -，当2m <-时，不等式()21f x x <+的解集为()2,m -，7．(1)(2,3)A =；(2)3a =；(3)1a ≤．【分析】（1）直接解不等式可得；（2）由题意得1,2-是方程2(1)(2)288a x x x x --=-+的根，代入后可得a 值；（3）3x =代入后不等式不成立可得．【详解】（1）1a =时，不等式为2(1)(2)288x x x x -->-+，即2560x x -+<，23x <<，∴(2,3)A =；（2）原不等式化为2(2)(38)280a x a x a ---+->，由题意(2)(38)2804(2)2(38)280a a a a a a -+-+-=⎧⎨---+-=⎩，解得3a =，3a =时原不等式化为220x x -->，1x <-或2x >，满足题意．所以3a =；（3）3A ∉，则218248a ≤-+，解得1a ≤．。
2020年(江苏)高考数学(理)大一轮复习检测：专题五 函数与方程
专题五函数与方程一、填空题考向一零点个数问题1.(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈[0,+∞),满足f(x+2)=f(x).若当x∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在[-2,4]上的零点个数为.2.(2017·全国卷Ⅲ改编)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则实数a=.3.(2018·南通模拟)已知定义在R上的函数f(x)=则方程f(x)+1=log6(|x|+1)的实数解的个数为.考向二根据零点情况确定参数范围问题4.(2017·扬州上学期期中)已知函数f(x)=-kx无零点,则实数k的取值范围是.5.(2018·南通模拟)若函数f(x)=在其定义域上恰有两个零点,则正实数a的值为.6.(2017·苏北四市一模)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象与直线y=x有3个不同的公共点,则实数a的取值集合为.7.(2016·镇江期末)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=kx-k至少有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为.8.(2018·南通模拟)已知函数f(x)=若函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是.9.(2017·浙江二模改编)已知函数f(x)=若函数y=f(f(x)-a)有6个零点,则实数a的取值范围是.考向三有关零点的综合问题10.(2018·启东中学月考)若方程2sin2x+sin x-m=0在[0,2π)上有且只有两解,则实数m的取值范围为.11.(2017·如皋一模)已知函数f(x)=(x-1)e x-ax2,若y=f(cos x)在x∈[0,π]上有且仅有两个不同的零点,则实数a的取值范围为.12.(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f(x)=x2+ax(a∈R),g(x)=(f'(x)为f(x)的导函数).若方程g(f(x))=0有四个不相等的实数根,则a的取值范围是.13.(2016·苏州期末)已知函数f(x)=|sin x|-kx(x≥0,k∈R)有且只有三个零点,若这三个零点中的最大值为x0,则=.14.(2017·江苏押题卷)对于实数a,b,定义运算“□”:a□b=设f(x)=(x-4)□,若关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R)恰有4个互不相等的实数根,则实数m的取值范围是.二、解答题15.(2016·苏州中学)已知函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(1-x)=f(1+x),且函数g(x)=f(x)-x只有一个零点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求实数m,n(m<n),使得f(x)的定义域为[m,n]时,f(x)的取值范围是[3m,3n].16.(2016·北京卷改编)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围.17.(2018·启东中学月考改编)已知函数f(x)=a(2-x)e x,g(x)=(x-1)2.(1)若曲线y=g(x)的一条切线经过点M(0,-3),求这条切线的方程.(2)若关于x的方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根x1,x2,求实数a的取值范围.18.(2018·苏州调研改编)已知函数f(x)=(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若方程f(-x)+f(x)=e x-3在区间(0,+∞)上有实数解,求实数a的取值范围.19.(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)已知函数f(x)=(x+k+1)·,g(x)=,其中k是实数.(1)若k=0,求不等式·f(x)≥·g(x)的解集;(2)若k≥0,求关于x的方程f(x)=x·g(x)的实数根的个数.20.(2017·海门中学第二学期调研)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知函数f(x)=ax3+3x ln x-a(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的极值;(2)若f(x)在x∈上有且只有一个极值点,求实数a的取值范围.专题五函数与方程1. 7【解析】作出函数f(x)在[-2,4]上的图象如图所示,则函数y=f(x)-1在[-2,4]上的零点个数即为f(x)的图象与直线y=1在[-2,4]上的交点的个数.由图象知,交点个数为7,即函数y=f(x)-1在[-2,4]上有7个零点.(第1题)2.【解析】因为f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1),所以f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+e x-1)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1),所以f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)的图象的对称轴.由题意知f(x)有唯一零点,所以f(x)的零点只能为x=1,所以f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=.3. 7【解析】根据题意,作出函数y=f(x)+1与y=log6(|x|+1)的部分图象如图所示,由图象知,函数y=f(x)+1与y=log6(|x|+1)的图象有7个不同的交点,所以原方程有7个不同的解.(第3题)(第4题)4.[-2,0)【解析】因为函数f(x)=-kx无零点,所以y=与y=kx没有交点,在同一平面直角坐标系中画出函数y=与y=kx的图象如图所示,由图象可知k∈[-2,0).5.【解析】易知函数f(x)在(-∞,0]上有一个零点,所以由题意得方程ax-ln x=0在(0,+∞)上恰有一解,即a=在(0,+∞)上恰有一解.令g(x)=,由g'(x)==0得x=e,当x∈(0,e)时,g(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,g(x)单调递减,所以a=g(e)=.6.{-20,-16}【解析】直线y=x与正弦曲线y=sin x恰有一个公共点,即原点O.依题意,只要y=x 与y=f(x)(x≥1)的图象有两个不同的公共点.令g(x)=f(x)-x=x3-9x2+24x+a,由g'(x)=3x2-18x+24=0,得x=2或4,所以易知g(x)在区间[1,2]上单调递增,在区间[2,4]上单调递减,在区间[4,+∞)上单调递增,依题意,当g(2)=0时,a=-20,此时两个公共点是(2,0)和(5,0);当g(4)=0时,a=-16,此时两个公共点是(1,0)和(4,0).其余情况均不符合题意.所以实数a的取值集合是{-20,-16}.7.∪(1,+∞)【解析】作出函数f(x)和直线y=kx-k的图象如图所示,且直线y=kx-k过定点(1,0),当直线y=kx-k过点时,直线的斜率最小,即k=-.当直线y=kx-k与函数f(x)=x2-x(x>0)的图象相切时有且仅有一个交点,交点即为切点(1,0),k=y'=1,故函数f(x)与直线y=kx-k至少有两个不同的交点时,k的取值范围为∪(1,+∞),即关于x的方程f(x)=kx-k至少有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围为∪(1,+∞).(第7题)8.(1,2]【解析】由题设知f(f(x))=作出函数f(f(x))的图象可知,当1<k≤2时,函数y=f(f(x))-k 有3个不同的零点.9.[-4,-1]【解析】由题可知,函数f(x)的图象如图所示,令f(x)-a=t,若要使y=f(f(x)-a)有6个零点,则由f(t)=0,解得t=0,1,5,所以有f(x)=a或f(x)=a+1或f(x)=a+5(a<a+1<a+5).对于上述方程,要满足条件,则其零点个数的可能性为2,2,2或1,2,3或3,3,0三种可能.若零点个数分别为2,2,2,则有-5<a<a+1<a+5<0或-5<a<a+1<0,1≤a+5<4,解得-4≤a<-1;若零点个数分别为1,2,3,由图知,若a+5=4,则a=-1,所以a+1=0,满足条件,所以a=-1;若a<-5,-5<a+1<0,0≤a+5<1,无解;若零点个数分别为3,3,0,则有0≤a<a+1<1,a+5>4,无解.综上可知,满足条件的实数a的取值范围是[-4,-1].(第9题)10.(1,3)∪【解析】根据题意,令m=2t2+t=2-,t=sin x∈[-1,1],作出函数m=2-的图象如图所示.所以当m=-或m∈(1,3]时,直线y=m与曲线y=2t2+t只有一个交点.当m=3时,t=1,方程2sin2x+sin x-m=0只有一解,所以要使方程2sin2x+sin-m=0在[0,2π)上有且只有两解,实数m的取值范围(1,3)∪.(第10题)11.【解析】已知函数f(x)=(x-1)e x-ax2,可得f'(x)=x(e x-2a),令x(e x-2a)=0,可得x=0或e x=2a,当a≤0时,函数f'(x)只有一个零点,并且x=0是函数f(x)的一个极小值点,并且f(0)=-1<0.若y=f(cos x)在x∈[0,π]上有且仅有两个不同的零点,也就是y=f(x)在x∈[-1,1]上有且仅有两个不同的零点,所以即可得a≤-.当a>0时,函数f(x)的两个极值点为x=0,x=ln2a,如果ln2a<0,因为f(0)<0,可知不满足题意;如果ln2a>0,则即解得a≤-,与a>0矛盾.综上,a≤-.12.(-∞,0)∪(2,+∞)【解析】由题意知g(x)=①若a=0,则g(x)=方程g(t)=0只有唯一的根t=0,令f(x)=0,得x=0,此时不满足有四个根的条件;②若a<0,方程g(t)=0存在两个根t1=0和t2=-a.分别令f(x)=0和f(x)=-a,解得x1=0,x2=-a和x3=,x4=,且x1≠x2≠x3≠x4,满足题意;③若a>0,方程g(t)=0存在两个根t1=0和t2=-.对于方程f(x)=t1=0,可解得存在两个根x1=0和x2=-a.欲使g(f(x))=0有四个根,则需方程f(x)=-有两个根,所以Δ=a2-4×=a2-2a>0,解得a>2,且此时x3≠x4≠x1≠x2,满足题意.综上可知,a的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).13.【解析】令f(x)=0,得|sin x|=kx.当x≥0时,如图,作出函数y1=|sin x|和y2=kx的图象.若函数f(x)有且只有三个零点,则当x∈(π,2π)时,y2=kx与y1=-sin x相切,且x0为切点的横坐标,即(-sin x)'=,所以tan x0=x0,所以===.(第13题)(第14题)14.(-1,1)∪(2,4)【解析】由题意得f(x)=(x-4)□=画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R),即f(x)=m±1(m∈R)恰有4个互不相等的实数根,所以两直线y=m±1(m∈R)与曲线y=f(x)共有4个不同的交点,则或或得2<m<4或-1<m<1.15.(1)因为二次函数f(x)=ax2+bx满足条件f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象的对称轴方程是x=1,所以-=1,即b=-2a.因为函数g(x)=f(x)-x只有一个零点,即ax2-(2a+1)x=0有两个相等的实数根,所以Δ=(2a+1)2=0,即a=-,b=1,所以f(x)=-+x.(2)①当m<n<1时,f(x)在[m,n]上单调递增,f(m)=3m,f(n)=3n,所以m,n是-+x=3x的两根,解得m=-4,n=0.②当m≤1≤n时,3n=,解得n=,不符合题意.③当1<m<n时,f(x)在[m,n]上单调递减,所以f(m)=3n,f(n)=3m,即-m2+m=3n,-n2+n=3m,两式相减得-(m2-n2)+(m-n)=3(n-m).因为m≠n,所以-(m+n)+1=-3,所以m+n=8.将n=8-m代入-m2+m=3n,得-m2+m=3(8-m),此方程无解.所以m=-4,n=0时,f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n].16.(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b.因为f(0)=c,f'(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx+c.(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f'(x)=3x2+8x+4.令f'(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-.当x变化时,f(x)与所以当c>0且c-<0时,存在x1∈(-4,-2),x2∈,x3∈,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.由f(x)的单调性知,当且仅当c∈时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.17.(1)方法一:设经过点M(0,-3)的切线与曲线y=g(x)相切于点Q(t,(t-1)2),由g(x)=(x-1)2得g'(x)=2(x-1),所以该切线方程为y-(t-1)2=2(t-1)(x-t).因为该切线经过M(0,-3),所以-3-(t-1)2=2(t-1)(-t),解得t=±2,所以切线方程为2x-y-3=0或6x+y+3=0.方法二:由题意得曲线y=g(x)的切线的斜率一定存在,设所求的切线方程为y=kx-3,由得x2-(2+k)x+4=0,因为切线与抛物线相切,所以Δ=(2+k)2-16=0,解得k=2或k=-6,所以所求的切线方程为2x-y-3=0或6x+y+3=0. (2)由f(x)=g(x)得g(x)-f(x)=0.设h(x)=g(x)-f(x)=a(x-2)e x+(x-1)2,则h'(x)=a(x-1)e x+2(x-1)=(x-1)(a e x+2),由题意得函数h(x)恰好有两个零点.①当a=0,则h(x)=(x-1)2,h(x)只有一个零点1.②当a>0时,由h'(x)<0得x<1,由h'(x)>0得x>1,即h(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,而h(1)=-a e<0,h(2)=1,所以h(x)在(1,+∞)上有唯一零点,且该零点在(1,2)上.取b<0,且b<ln,则h(b)>(b-2)+(b-1)2=b>0,所以h(x)在(-∞,1)上有唯一零点,且该零点在(b,1)上,所以a>0时,h(x)恰好有两个零点.③当a<0时,由h'(x)=0得x=1或x=ln,若a=-,h'(x)=-(x-1)(e x-e)≤0,所以h(x)在R上至多有一个零点,且在(1,+∞)上.若a<-,则ln<1,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,即h(x)在(1,+∞)上单调递减.又h(1)=-a e>0,所以h(x)在(1,+∞)上至多有一个零点.当x∈(-∞,1)时,h(x)在上单调递增,在上单调递减,又h=-2+=+1>0,所以h(x)在上无零点.若a>-,则ln>1,又当x≤1时,h(x)≥h(1)=-a e>0,所以h(x)在(-∞,1)上无零点.当x∈时,h'(x)>0;当x∈时,h'(x)<0.所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.又h=-2+=+1>0.所以h(x)在上无零点,在上至多有一个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).18.(1)当a=2时,f(x)=当x<0时,f(x)=-x3+x2,则f'(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f'(x)=0,解得x=0或x=(舍去),所以x<0时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.当x≥0时,f(x)=e x-2x,f'(x)=e x-2,令f'(x)=0,解得x=ln2,当0<x<ln2时,f'(x)<0;当x>ln2时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,且f(0)=1>0.综上,函数f(x)的减区间为(-∞,0)和(0,ln2),增区间为(ln2,+∞).(2)设x>0,则-x<0,所以f(-x)+f(x)=x3+x2+e x-ax,由题意知x3+x2+e x-ax=e x-3在(0,+∞)上有解,等价于a=x2+x+在(0,+∞)上有解.记g(x)=x2+x+(x>0),则g'(x)=2x+1-==.令g'(x)=0,因为x>0,所以2x2+3x+3>0,故解得x=1.当x∈(0,1)时,g'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数g(x)在x=1处取得极小值也是最小值g(1)=5.要使方程a=g(x)在(0,+∞)上有解,当且仅当a≥g(x)min=g(1)=5.综上,满足题意的实数a的取值范围为[5,+∞).19.(1)当k=0时,f(x)=(x+1),g(x)=.由得x≥0.此时,原不等式为(x+1)x≥(x+3),即2x2+x-3≥0,解得x≤-或x≥1,所以原不等式的解集为[1,+∞).(2)由方程f(x)=x·g(x),得(x+k+1)=x.①由得x≥k,所以x≥0,x-k+1>0.方程①两边平方,整理得(2k-1)x2-(k2-1)x-k(k+1)2=0(x≥k).②当k=时,由②得x=,所以原方程有唯一解.当k≠时,由②得判别式Δ=(k+1)2(3k-1)2,(i)当k=时,Δ=0,方程②有两个相等的实数根x=>,所以原方程有唯一的解.(ii)当0≤k<且k≠时,方程②整理为[(2k-1)x+k(k+1)]·(x-k-1)=0,解得x1=,x2=k+1.由于Δ>0,所以x1≠x2,其中x2=k+1>k,x1-k=≥0,即x1≥k.故原方程有两个解.(iii)当k>时,由(ii)知x1-k=<0,即x1<k,故x1不是原方程的解.又x2=k+1>k,故原方程有唯一解.综上所述,当k≥或k=时,原方程有唯一解;当0≤k<且k≠时,原方程有两个解.注:(ii)中,另解:故方程②的两个实数根均大于k,所以原方程有两个解.20.(1)当a=0时,f(x)=3x ln x,所以f'(x)=3(ln x+1).令f'(x)=0,得x=,当x∈时,f'(x)<0;当x∈时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以当x=时,f(x)有极小值f=-.(2)方法一:设g(x)=f'(x)=3(ax2+1+ln x),D=.由题意,g(x)在D上有且只有一个零点x0,且x0两侧g(x)异号.①当a≥0时,g(x)在D上单调递增,且g(x)>g≥0,所以g(x)在D上无零点.②当a<0时,在(0,+∞)上考察g(x).g'(x)=,令g'(x)=0,得x1=.所以g(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,+∞)上单调递减.(i)当g(e)·g<0,即(a e2+2)·<0,即-<a<0时,g(x)在D上有且只有一个零点x0,且在x0两侧异号.(ii)令g=0,得=0,不成立.(iii)令g(e)=0,得a=-,所以=∈D,g=g=3=3>0,又因为g=<0,所以g(x)在D上有且只有一个零点x0,且x0两侧g(x)异号.综上所述,实数a的取值范围是.方法二:令f'(x)=3(ax2+1+ln x)=0,得-a=.设h(x)=,由h'(x)=-,令h'(x)=0,得x0=∈,当x∈(x0,e)时,h'(x)<0,所以h(x)在(x0,e)上为减函数;当x∈时,h'(x)>0,所以h(x)在上为增函数,所以x0为h(x)的极大值点.又h=0,h(e)=,h(x0)=e,所以0<-a≤或-a=e,即-≤a<0或a=-e.当a=-e时,f'(x)=3.设m(x)=-e x2+1+ln x,则m'(x)=-e x+==,令m'(x)=0,得x=.当x∈时,m'(x)>0,所以m(x)在上为增函数;当x∈(,e)时,m'(x)<0,所以m(x)在(,e)上为减函数.所以m(x)≤m()=0,即f'(x)≤0在上恒成立,所以f(x)在上单调递减.所以当a=-e时,f(x)在上不存在极值点.所以实数a的取值范围是.。
高一数学第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试(提升)(解析版)
第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试（提升）第I 卷（选择题）一、单选题(每题5分，8题共40分)1．（2022·全国·专题练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ． 1m【答案】A【解析】∵不等式20x x m -+>在R 上恒成立， ∵24(10)m ∆--<＝ ，解得14m >， 又∵14m >，∵140m ∆=-<，则不等式20x x m -+>在R 上恒成立， ∵“14m >”是“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件,故选:A. 2．（2022·四川成都）下列函数中，最小值为2的函数是（ ） A ．()10y x x x=+≠ B ．222y x x -=+C ．()230y x x x =+≥D ．2211y x x =++【答案】D【解析】A.当0x <时，()()1122⎛⎫=--+≤--⋅=- ⎪--⎝⎭y x x x x ，当且仅当1x x-=-，即1x =-时，等号成立；当0x >时，112y x x x x=+≥⋅=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立；故错误；B. ()2222111y x x x =-+=-+≥，故错误； C. ())223023123=+≥=+=+≥y x x x xx x ，故错误；D. 22221121211y x x x x +≥+⋅=++2211x x ++0x =时，等号成立，故正确故选：D3．（2022·安徽·合肥已知正数x ，y 满足21133x y x y+=++，则x y +的最小值（ ）A 322+B ．324C 322+D ．328+【答案】A【解析】令3x y m +=，3x y n +=，则211m n+=， 即()()()334m n x y x y x y +=+++=+，∵211212324442444444m n m n m n m n x y m n n m n m +⎛⎫⎛⎫+==++=+++≥⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 322324422==， 当且仅当244m n n m=，即22m =21n =时，等号成立， 故选：A.4．（2021·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（ ） A ．若2x >，则函数11y x x =+-的最小值为3 B ．若0x >，0y >，315x y +=，则54x y +的最小值为5C ．若0x >，0y >，3x y xy ++=，则xy 的最小值为1D ．若1x >，0y >，2x y +=，则12y+的最小值为322+【答案】D【解析】选项A ：1111121?13111y x x x x x x =+=-++-=---，当且仅当()211x -=时可以取等号， 但题设条件中2x >，故函数最小值取不到3，故A 错误；选项B ：若0x >，0y >，315x y+=，则()1311512151219415545419192?555x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫++=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝512x y y x =时不等式可取等号，故B 错误；选项C ：32230xy x y xy xy xy -=+⇒+-当且仅当x y =时取等号，()0xy t t =，2230t t +-，解得31t -，即01xy ，故xy 的最大值为1，故C 错误； 选项D ：2x y +=，()11x y -+=，()()()21211212·11232?3221111x x y y x y x y x y x y x y --⎛⎫⎡⎤+=+-+=++++=+ ⎪⎣⎦----⎝⎭ 当且仅当22y x =又因为2x y +=，故222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即121x y+-最小值可取到322+， 故D 正确． 故选：D ．5．（2022·北京·101）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（ ） A ．30 B ．60C ．900D ．1800【答案】B【解析】23300010()Q C f Q Q Q+==，3300010Q Q =+ ，3300022306010Q Q ≥⋅⨯=，当且仅当3300010Q Q =，即当100Q =时等号成立.所以f （Q ）的最小值是60.故选：B.6．（2022·山西现代双语学校南校）已知关于x 的不等式()()()2233100,0a m x b m x a b +--->>>的解集为1(,1)(,)2-∞-+∞，则下列结论错误的是（ ）A ．21a b +=B ．ab 的最大值为18C ．12a b+的最小值为4D ．11a b+的最小值为322+【答案】C【解析】由题意，不等式()()223310a m x b m x +--->的解集为(]1,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，可得230a m +>，且方程()()223310a m x b m x +---=的两根为1-和12，所以131223111223b m a m a m -⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-⨯=-⎪+⎩，所以232a m +=，31b m -=-，所以21a b +=，所以A 正确；因为0a >，0b >，所以2122a b ab +=≥18ab ≤，当且仅当122a b ==时取等号，所以ab 的最大值为18，所以B 正确； 由121244()(2)44448b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅+=， 当且仅当4b a a b =时，即122a b ==时取等号，所以12a b+的最小值为8，所以C 错误； 由()111122233232b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭ 当且仅当2b aa b=时，即2b a 时，等号成立， 所以11a b+的最小值为322+D 正确． 故选：C ．7．（2022·广东深圳·高一期末）设a ，b ∈R ，0a b <<，则（ ） A ．22a b < B ．b aa b> C ．11a b a>- D ．2ab b >【答案】D【解析】因为0a b <<，则0a b ->->，所以()()22a b ->-，即22a b >，故A 错误； 因为0a b <<，所以0ab >，则10ab>， 所以11a b ab ab⋅<⋅，即11b a <，∵1a a b a >=，1b b b a =>，即b aa b<，故B 错误； ∵由()()()11a a b b a b a a b a a b a---==---，因为0,0a b a -<<，所以()0a b a ->，又因为0b <，所以110a b a -<-，即11a b a<-，故C 错误； 由0a b <<可得，2ab b >，故D 正确. 故选：D.8．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，则下列说法正确的是（ ） A ．0a > B ．不等式20ax cx b ++>的解集为{|2727}x x < C ．0a b c ++< D ．不等式0ax b +>的解集为{}|3x x >【答案】B【解析】因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，所以0a <，所以选项A 错误；由题得014,3,414a b b a c a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-∴=-=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，所以20ax cx b ++>为2430,2727x x x --<∴<+所以选项B正确；设2()f x ax bx c =++，则(1)0f a b c =++>，所以选项C 错误； 不等式0ax b +>为30,3ax a x ->∴<，所以选项D 错误. 故选：B二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。
高考数学一轮复习：函数与方程(Word版,含解析)
函数与方程基础练一、选择题1．[2021·河南濮阳模拟]函数f (x )＝ln2x －1的零点所在区间为( )A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(0,1)D ．(1,2)2．函数f (x )＝x 2＋ln x －2021的零点个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．03．根据表中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) B ．C ．(1,2) D ．(2,3)4．[2021·四川绵阳模拟]函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)5．[2021·大同调研]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >03x ，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]二、填空题6．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 7．[2021·新疆适应性检测]设a ∈Z ，函数f (x )＝e x ＋x －a ，若x ∈(－1,1)时，函数有零点，则a 的取值个数为________．8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，求m 的取值范围．能力练11．[2021·天津部分区质量调查]已知函数f (x )＝若关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个不同的实数根a ，b ，c ，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，1B.⎝⎛⎭⎫34，1C.⎝⎛⎭⎫34，2D.⎝⎛⎭⎫32，212．[2021·长沙市四校高三年级模拟考试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤01x ，x >0，若方程f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4－23)B ．(4－23，4＋23)C ．(0,4－23]D ．(0,4－23)13．[2021·山西省六校高三阶段性测试]函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5(－15≤x ≤10)的图象与函数y＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2图象的所有交点的横坐标之和为______．参考答案：1．解析：由f (x )＝ln2x －1，得函数是增函数，并且是连续函数，f (1)＝ln2－1<0，f (2)＝ln4－1>0，根据函数零点存在性定理可得，函数f (x )的零点位于区间(1,2)上，故选D.答案：D2．解析：由题意知x >0，由f (x )＝0得ln x ＝2021－x 2，画出函数y ＝ln x 与函数y ＝2021－x 2的图象(图略)，即可知它们只有一个交点．故选C.答案：C3．解析：设f (x )＝e x －(x ＋2)，则f (1)＝－0.28<0，f (2)＝3.39>0，故方程e x －x －2＝0的一个根在区间(1,2)内．故选C.答案：C4．解析：由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C 项． 答案：C5．解析：h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，即方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．在同一坐标系中作出函数f (x )的图象和直线y ＝－x ＋a ，如图所示，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点，则有a >1，故选B.答案：B 6．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－127．解析：根据函数解析式得到函数f (x )是单调递增的．由零点存在性定理知若x ∈(－1,1)时，函数有零点，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)<0，f (1)>0⇒1e －1<a <e ＋1，因为a 是整数，故可得a 的可能取值为0,1,2,3.答案：48．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点．令f (x )＝0，得a ＝2x .因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是(0,1]．答案：(0,1]9．解析：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同的实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0,1)．10．解析：(1)由f (0)＝2得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋2. (2)g (x )＝x 2－(2＋m )x ＋2，若g (x )的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，则满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)>0，g (2)<0，g (4)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋m >0，2－2m <0，10－4m >0，解得1<m <52.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，52. 11．解析：假设a <b <c ，通过作图可得a ∈⎝⎛⎭⎫－12，0，b ＋c ＝2，所以a ＋b ＋c ∈⎝⎛⎭⎫32，2，故选D 项．答案：D12．解析：方程f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根可化为函数y ＝f (x )与y ＝a (x ＋3)的图象有四个不同的交点，易知直线y ＝a (x ＋3)恒过点(－3,0)，作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合函数图象，可知a >0且直线y ＝a (x ＋3)与曲线y ＝－x 2－2x ，x ∈[－2,0]有两个不同的公共点，所以方程x 2＋(2＋a )x ＋3a ＝0在[－2,0]上有两个不等的实数根，令g (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋3a ，则实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(2＋a )2－12a >0－2<－2＋a 2<0g (0)＝3a ≥0g (－2)＝a ≥0，解得0≤a <4－23，又a >0，所以实数a 的取值范围是(0,4－23)，故选D.答案：D 13．解析：函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5(x ∈R )的图象关于点(－1,0)对称．对于函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2，当x ＝－1时，y ＝0，当x ≠－1时，易知函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2＝5x ＋1＋1x ＋1在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，且当x ∈(－1，＋∞)时，y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2的最大值为52，函数图象关于点(－1,0)对称．对于函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5，当x ＝0时，y ＝5sin π5>5sin π6＝52，所以在(－1,0)内两函数图象有一个交点．根据两函数图象均关于点(－1,0)对称．可知两函数图象的交点关于点(－1,0)对称，画出两函数在[－15,10]上的大致图象，如图，得到所有交点的横坐标之和为－1＋(－2)×3＝－7.答案：－7。
高一数学期末复习资料(1-5)总复习题(共5套)
期末复习资料之一 必修1 复习题一、选择题1、 下列函数中，在区间()0,+∞不是增函数的是（ ） A.xy 2= B. x y lg = C. 3x y = D. 1y x=2、函数y ＝log 2x ＋3（x≥1）的值域是（ ）A.[)+∞,2B.（3，＋∞）C.[)+∞,3D.（－∞，＋∞）3、若{|2},{|xM y y P y y ====，则M∩P （ ）A.{|1}y y >B. {|1}y y ≥C. {|0}y y >D. {|0}y y ≥ 4、对数式2log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A.a>5,或a<2B.2<a<5C.2<a<3,或3<a<5D.3<a<45、 已知xax f -=)( )10(≠>a a 且，且)3()2(->-f f ，则a 的取值范围是（ ）A. 0>aB. 1>aC. 1<aD. 10<<a6、函数y ＝(a 2-1)x在(-∞，+∞)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A.｜a ｜>1 B.｜a ｜>2C.a>2D.1<｜a ｜<26、函数)1(log 221-=x y 的定义域为（ ）A 、[)(]2,11,2 -- B 、)2,1()1,2( -- C 、[)(]2,11,2 -- D 、)2,1()1,2( --8、值域是（0，＋∞）的函数是（ ）A 、125xy -=B 、113xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭C、yD9、函数|log |)(21x x f =的单调递增区间是A 、]21,0( B 、]1,0( C 、（0，+∞） D 、),1[+∞10、图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =，l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ）A 、0<a<b<1<d<cB 、0<b<a<1<c<dC 、0<d<c<1<a<bD 、0<c<d<1<a<b11、函数f(x)=log 31(5-4x-x 2)的单调减区间为( )A.(-∞，-2)B.［-2，+∞］C.(-5，-2)D.［-2，1］12、a=log 0.50.6，b=log 20.5，c=log 35，则( )A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.a ＜c ＜bD.c ＜a ＜b13、已知)2(log ax y a -=在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )A.(0，1)B.(1，2)C.(0，2)D.［2，+∞］14、设函数1lg )1()(+=x x f x f ，则f(10)值为（ ）A ．1 B.-1 C.10 D.101 二、填空题 15、函数)1(log 21-=x y 的定义域为 16、．函数y ＝2||1x -的值域为________ 17、将(61)0，2，log 221,log 0.523由小到大排顺序：x18. 设函数()()()()4242xx f x x f x ⎧≥⎪=⎨<+⎪⎩，则()2log 3f =19、计算机的成本不断降低，如果每隔5年计算机的价格降低31，现在价格为8100元的计算机，15年后的价格可降为20、函数),2[log +∞=在x y a 上恒有|y|>1，则a 的取值范围是 。
2024年高一数学复习知识点总结
2024年高一数学复习知识点总结____年高一数学复习知识点总结 (____字)一、函数与方程1. 函数的概念与表示2. 线性函数3. 平方函数4. 指数函数5. 对数函数6. 三角函数7. 反函数8. 复合函数9. 方程的概念与解法10. 一元二次方程11. 一元高次方程12. 一次不等式13. 一元二次不等式14. 绝对值方程与不等式二、空间几何1. 点、线、面的概念2. 平面几何基本定理3. 空间中的位置关系4. 直线与平面的位置关系5. 平行线与垂直线的性质6. 圆与球的性质7. 空间几何推理与证明三、数与式1. 实数与有理数2. 实数运算法则3. 数列与数列的通项公式4. 等差数列与等差数列的前n项和5. 等比数列与等比数列的前n项和6. 等差数列与等比数列的各项性质7. 分式与分式的运算8. 等式与恒等式9. 方程与等式的解法10. 分式方程与分式不等式四、平面解析几何1. 点、线、面的坐标表示2. 直线的方程与性质3. 圆的方程与性质4. 曲线的参数方程表示与性质5. 解析几何证明方法五、概率统计1. 随机事件与概率的概念2. 概率的定义与性质3. 事件的运算与性质4. 条件概率与乘法定理5. 独立事件与加法定理6. 排列与组合的概念与性质7. 随机变量的概念与性质8. 离散型随机变量的分布律与性质9. 连续型随机变量的概率密度函数与性质10. 数理统计基本概念与方法六、立体几何1. 立体的表面积与体积2. 球的表面积与体积3. 圆锥的表面积与体积4. 圆柱的表面积与体积5. 直方体与正方体的表面积与体积6. 多面体的表面积与体积七、三角函数1. 角的概念与计算2. 三角函数的定义3. 三角函数的图像与性质4. 三角函数的运算与性质5. 三角函数方程与不等式的解法6. 三角函数在实际问题中的应用八、数学证明1. 数学证明的基本方法与步骤2. 数学归纳法的应用3. 几何证明的基本方法与步骤4. 代数证明的基本方法与步骤九、数学建模1. 数学建模的基本概念与步骤2. 建模问题的数学描述与解法3. 建模问题的实际应用与分析以上为____年高一数学复习知识点总结的主要内容，其中包括了函数与方程、空间几何、数与式、平面解析几何、概率统计、立体几何、三角函数、数学证明和数学建模等方面的知识点。
天津市滨海新区大港油田实验中学2022年高一上数学期末复习检测试题含解析
①由题意可知，
设圆心为
则圆 为： ，
∵圆 过点 和点 ，
∴ ，
则
即圆 的方程为
② 设直线 的方程为 即 ，
∵过点 的直线 截图所得弦长为 ，
∴ ，则
当直线 的斜率不存在时，直线 为 ，
此时弦长为 符合题意，
即直线 的方程为 或
20、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）欲证： 平面 ，根据直线与平面平行的判定定理可知，只需证 与平面 内一条直线平行，连接 ，可知 ，则 ，又 平面 ， 平面 ，满足定理所需条件；
19．已知圆 的圆心在直线 上，半径为 ，且圆 经过点 和点
①求圆 的方程
②过点 的直线 截图所得弦长为 ，求直线 的方程
20．如图，在正方体 中， 为棱 、 的三等分点（靠近A点）.
求证：（1） 平面 ；
（2）求证：平面 平面 .
21．如图，边长为 的正方形 所在平面与正三角形 所在平面互相垂直， 分别为 的中点.
任取 ， 且 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，
则 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增；
（3）由（2）知，函数 在 上单调递增，
当 时， ，
又 ，从而 ，
又 ，
而当 时， ， ，所以 ，
综上，当 时， .
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的步骤：①取值，②作差、变形（变形主要指通分、因式分解、合并同类项等），③定号，④判断.
【详解】（1） 为 中点， 为正三角形， .
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 .
, , .
（2）证明：连结 交 于点 ，连结 .
由四边形 为正方形知点 为 的中点，又 为 的中点， ，
高一数学复习考点知识与题型专题讲解1---方程有解类问题
高一数学复习考点知识与题型专题讲解专题01 方程有解类问题【方法精讲】1. 求参数的取值范围问题是高中数学常见的基本问题,一般来说遇含参问题应“能分则分”，目的是避免参数参与运算，从而避免分类讨论.而分离参数，又可以进行“全分”、“半分”，即将参数完全分离和不完全分离，两种方法的选择应视具体题目而定，不好说那种方法更优. 2. 方程有解类应熟知的方法（分离函数）：函数()()()F x f x g x =-的零点就是函数()y f x =与函数()y g x =交点的横坐标，故常将方程有解、解的个数、根的分布问题，通过分离函数的方法，转化为两函数图象交点有交点、交点的个数、交点横坐标所在区间问题.3. 方程有解类应熟知的基本知识、方法：（1）若f (x )的值域为A ，则方程f (x )=a 有解⇔a A ∈. （2）若f (x )，g (x )的值域分别为A ，B ，则有：①∀x 1∈D ， ∃x 2∈E ② ∃x 1∈D ，∃x 2∈E .【典型例题】例1 （多选题）（2020x 的一元二次方程根12x x 、，且满足10x <的值是（ A ．－2； B ．－3【答案】BC【分析】分离参数得(m -B ≠∅()(+1)g x m =-有两个交点，其横坐标为12x x 、，且满足12013x x <<<<. 【解析】将方程21+(+1)02x m x +=分离参数得：1(+1)+2m x x-= 设1()+2f x x x =，如图，则319(+1)26m <-<，所以25562m -<<- 选BC.例2 关于x 的方程2213xm ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有负根，则实数m 的取值范围是______________．【答案】()1,+∞【解析】如下图，方程2213xm ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有负根，即23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与21y m =-两个函数图象交点的横坐标为负值，即交点在y 轴的左侧，此时必需且只需211m ->，解之得1m > 故实数m 的取值范围是()1,+∞．例3 讨论a 取不同值时，关于x 的方程2|log |1|2|x a -+=的解的个数.【答案】当0a <时，方程无解；当0a =时，方程有2个解；当0a >时，方程有4个解. 【解析】令2()|log |1|2|f x x =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，所求问题可转化为函数()f x 与直线y a =交点的个数问题. 当0a <时，()y f x =与y a =无交点，所以原方程无解； 当0a =时，()y f x =与y a =有两个交点，原方程有2个解；22468510f x () =23()xx 0<0当0a >时，()y f x =与y a =有四个交点，原方程有4个解.例4 已知f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m ，且如果对于任意的x 1∈[－2，2]，都存在x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________． 【答案】 [－5，－2]【分析】易得()[]3,3f x ∈-，()[]1,8g x m m ∈-+，若对于[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()21g x f x =，只需()f x 的值域包含于()g x 的值域即可，即m －1≤－3且m ＋8≥3，解得52m -≤≤-． 【解析】x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1为增函数，值域为(0，3]，因为f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f (x )在[－2，2]上的值域为[－3，3]， 函数g (x )＝x 2－2x ＋m 在x ∈[－2，2]上的值域为[m －1，m ＋8]． 因为对任意的x 1∈[－2，2]，都存在x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，所以f (x )在[－2，2]上的值域是g (x )＝x 2－2x ＋m 在x ∈[－2，2]上的值域的子集，所以8313m m +≥⎧⎨-≤-⎩，解得52m -≤≤-即实数m 的取值范围是[－5，－2]． 点评：考查函数的单调性、奇偶性、最值、值域，以及恒成立，存在性问题，关键是理解题意，转化为值域之间的关系.【巩固训练】1. 若关于x 的方程220x mx -+=在区间()1,4内有两个解，则实数m 的取值范围是_________.2.已知函数f (x )＝2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，函数g (x )＝kx －2k ＋2(k >0)，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，若存在x 1∈⎣⎡⎦⎤0，12及x 2∈⎣⎡⎦⎤0，12，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数k 的取值范围．3.已知函数f (x )＝12x 2＋x ，g (x )＝ln(x ＋1)－a ，若存在x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝g (x 2) ，求实数a 的取值范围.4.已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a ＞1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为__________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为__________． 5.已知函数()372x f x x --=+，()22g x x x =-，若存在实数(),2a ∈-∞-，使得()()0f a g b += 成立，则实数b 的取值范围是 。
2024年高一数学必考知识点总结（2篇）
2024年高一数学必考知识点总结____年高一数学必考知识点总结（____字）第一章：数与代数1. 自然数、整数、有理数、无理数、实数、复数的概念和性质。
2. 数轴及其应用。
3. 绝对值的概念与性质。
4. 常数与未知数的概念。
5. 代数式的概念与性质。
6. 一元多项式的概念与性质。
7. 指数与幂的概念与性质。
8. 特殊乘法公式与分式的概念与性质。
第二章：函数与方程1. 函数的概念与性质，函数的表示与表示法。
2. 一次函数的概念与性质，一次函数的图象及其性质。
3. 二次函数的概念与性质，二次函数的图象及其性质。
4. 指数函数与对数函数的概念与性质。
5. 幂函数与反比例函数的概念与性质。
6. 函数的运算与复合函数的概念与性质。
7. 函数方程的概念与性质，函数方程的解与解法。
8. 一元二次方程的概念与性质，一元二次方程的求解与解的判别准则。
9. 分式方程与绝对值方程的概念与性质，分式方程与绝对值方程的求解与解的判别准则。
第三章：平面解析几何1. 平面直角坐标系的建立与性质。
2. 二维向量的概念与性质，二维向量的表示与运算。
3. 二维向量的数量积的概念与性质。
4. 直线方程的概念与性质，直线方程的求解与判定标准。
5. 圆的概念与性质，圆的方程与位置关系。
第四章：立体几何1. 空间坐标系的建立与性质。
2. 三维向量的概念与性质，三维向量的表示与运算。
3. 三维向量的数量积与向量积的概念与性质。
4. 点、线、面的概念与性质。
5. 空间直线与面的位置关系与求解。
6. 空间几何体的计算。
第五章：数列与数项1. 数列的概念与性质，数列的公式与通项公式。
2. 等差数列的概念与性质，等差数列的通项公式与求和公式。
3. 等比数列的概念与性质，等比数列的通项公式与求和公式。
4. 递推数列的概念与性质，递推数列的通项公式与求和公式。
5. 数列极限的概念与性质，数列极限的计算与应用。
第六章：函数的导数1. 导数的概念与性质，导数的计算与应用。
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高一数学期末复习5――――（函数与方程）
命题人：韩元彬 审题人：钱江
一、选择题
( C )1、函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
( C )2x
A.(－1,0) ( C )3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0
的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
( C )4、函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．无法确定
( B )5、若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是
A ．a ＜1
B ．a ＞1
C ．a ≤1
D ．a ≥1
( B )6、设函数y ＝x 3与y ＝(12
)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是 A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)
( B )7、设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中
得f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，则方程的根落在区间
A ．(1,1.25)
B ．(1.25,1.5)
C ．(1.5,2) D. 不能确定
( C )8、用二分法求如图所示函数f (x )的零点时，不可能求出的零点是
A ．x 1
B ．x 2
C ．x 3
D ．x 4
(B )9、某工厂在2004年年底制订生产计划，要使2014年年底总产值在原有基础上翻两番，则总产值的年平均增长率为 A ．5110－1 B ．4110－1 C ．5111－1 D ．41
11－1
( C )10
( )
A ．指数函数
B ．反比例函数
C ．一次函数
D ．二次函数
二、填空题
11、已知函数f (x )＝x 2－1，则函数f (x －1)的零点是__0和2______．
12、若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是_ a ≥1
5
或a ≤－1_．
13．下列说法正确的有__③④______：
①对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间(a ，b )内一定没有零点．
②函数f (x )＝2x －x 2有两个零点．
③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.
④当a ＝1时，函数f (x )＝|x 2－2x |－a 有三个零点．
14、若方程x 3－x ＋1＝0在区间(a ，b )(a ，b 是整数，且b －a ＝1)上有一根，则a ＋b ＝________.
解析：设f (x )＝x 3－x ＋1，则f (－2)＝－5<0，f (－1)＝1>0可得a ＝－2，b ＝－1，∴a ＋b ＝－3.
答案：－3
15、长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x 2
时面积最大，此时x ＝________，面积S ＝________. S ＝(4＋x )(3－x 2)＝－12x 2＋x ＋12＝－12(x －1)2＋1212
，∴当x ＝1时，S max ＝1212.答案：1 1212
16、如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km 的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．
其中正确信息的序号是(A )
A ．①②③
B ．①③
C ．②③
D ．①②
三、解答题
17、关于x 的方程0349x =-⨯-a x 有实根，求a 的取值范围
4a -≥
18、已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，探究a 为何值时，
(1)方程有一正一负两根；
(2)方程的两根都大于1；
(3)方程的一根大于1，一根小于1.
解：(1)因为方程有一正一负两根，
所以由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧
a －1a ＜0Δ＝12a ＋4＞0， 解得0＜a ＜1.即当0＜a ＜1时，方程有一正一负两根．
(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图(1)(2)
所示，
所以必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0Δ＞0
a ＋1a ＞1f (1)＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0Δ＞0a ＋1a ＞1f (1)＜0，不等式组无解．
所以不存在实数a ，使方程的两根都大于1.
法二：设方程的两根分别为x 1，x 2，由方程的两根都大于1，得x 1－1＞0，x 2－1＞0， 即⎩
⎪⎨⎪⎧ (x 1－1)(x 2－1)＞0(x 1－1)＋(x 2－1)＞0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＞0x 1＋x 2＞2. 所以⎩⎨⎧
a －1a －2(a ＋1)a ＋1＞02(a ＋1)a ＞2⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜0a ＞0，不等式组无解． 即不论a 为何值，方程的两根不可能都大于1.
(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图
(3)(4)所示，
所以必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0f (1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0f (1)＞0，解得a ＞0. ∴即当a ＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.。