6.6.3欧拉方程3
6.6 二阶常系数线性微分方程、欧拉方程
是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通 解为
y C1 y1 C 2 y2 C1e
1 x
C 2e
2 x
。
二阶常系数齐线性微分方程
y p y q y 0
的特征方程为
(1)
2 p q 0 。
2) 特征方程有实重根 1 2 ，则
1 2 (实重根)
y e 1 x (C1 C 2 x )
1, 2 i (共轭复根) y e x (C1 cos x C 2 sin x )
例
求方程 y 2 y 3 y 0 的通解。
解
特征方程
特征根
2 2 3 0 ，
1 ，2 。
单根
你认为方程应该 有什么样子的特解？
二重根
一对共轭复根
假设方程 x y p y q y e Pn ( x ) 有下列形式的特解：y e x u( x ) ，则
( 2)
y e x u e x u ，
2 x x x y e u 2 e u e u ，
一对共轭k 重复根
1, 2 i
2k项 e x [(C1 C 2 x C k x k 1 ) cos x
( D1 D2 x Dk x k 1 ) sin x ]
例 解
d3 y d2 y dy 求方程 3 3 y 0 的通解。 3 2 dx dx dx
解
取 x 轴如如图所示。
由力学的虎克定理，有
f k x 。 （ 恢复力与运动方向相反 ）
O
x0
由牛顿第二定律，得
d2 x m 2 k x 。 dt
牛顿—欧拉方程(可编辑修改word版)
M Ω b bb 牛顿-欧拉方程欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于 1750 年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：Ωb = I ‒ 1[M ‒ Ω × ( I Ω )]该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时 '刚体所受外力矩 与角加速度 的关系式，大多时候可简写成:Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/Ix x yy zz y x xx Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/I y y zz xx x z yy Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/Ixzzzyyx yzz其中，M x ,M y ,M z 分别为刚体坐标系S b 下三个轴的所受的外力矩， I xx ,I yy ,I zz 分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下S b )。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)：F (t ) = ma (t )M b = Ωb × ( I b Ωb ) + I b Ωb这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。
1. 单质点角动量定理 质点旋转时，有动量定理：F =d (mv ) dtr × F = r × d (mv )对两边叉乘质点位置矢量r ：dt b b观察：d (r × mv ) = r × d (mv ) + dr × mv因为：dt dt dt故有：dr× mv = v × mv = 0 dtd (r × mv ) = r × d (mv )dt dtr × F =d (r × mv )dt定义角动量L = r × mv ，可以看出r × F 为外力矩M故有单质点的角动量定理：2. 刚体的角动量定理M =dL dt定义刚体的角动量为：L G =∫L idm其中：L G 下标 G 表示该向量为大地坐标系S G 下的，L i 的下标 i 表示该向量为大地坐标S G 下各个质量元的向量。
欧拉运动方程及其积分详解
R'Q'P' P'Q'R'
得：
PQRP'Q'R'
这就是说沿涡管任何地方计算它的环量（涡强）其值都是相同的。 这条定理称为海姆霍兹第一定理，或简称第一涡定理。
由于环量等于涡通量，因此沿同一涡管，涡管细处转速必然快反之涡管粗处转速必然慢。
§2.5.3 理想流中的涡定理
定理2：一根涡管在流体里不可能中断，可以伸展到无限 远去，可以自相连接成一个涡环（不一定是圆环），也 可以止于边界，固体的边界或自由边界（如自由液面）。
旋转轴线都按右手定则确定。
2.5.2 涡线与涡管
像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲线，该
线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条曲线叫涡线。
涡线的微分方程是（给定时刻，t为参量）：
dx dy dz
涡线
x y z
给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）
的所有涡线构成的曲面称为涡面。
涡面
由封闭涡面组成的管状涡面称为涡管。
2.5.1 环量与涡的概念
V ds Vco dss
L
L
如果把一个速度向量分成三个坐标
轴方向的三个分量vx ,vy,vz ,把个方向：
(a) 沿曲线AB作速度的线积分 (b) 沿闭曲线速度的线积分
V d s v x d v x y d v y zd z
于是环量表达式为：
fy
1
p y
2vy
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
fz
1
p z
2vz
向量形式
f1p2V D D V t
2.4.1 欧拉运动方程
eular方程
eular方程欧拉方程是数学中的一种常见方程，也被称为常微分方程。
欧拉方程是一种特殊的二阶线性非齐次微分方程，它是由欧拉提出的，严格的说，这个方程叫做Cauchy-Euler方程。
欧拉方程是一个十分经典的方程，它用于描述物理学中很多自然现象。
如弹簧振动、电路分析、声学等等领域中的问题都可以归纳为欧拉方程的求解。
下面我们将根据欧拉方程的定义和求解方法，来一步步解析欧拉方程。
欧拉方程的标准格式为：$ax^2y''+bxy'+cy=f(x)$。
首先，我们需要知道的是欧拉方程中的各个参数含义是什么，分别是：$a，b，c$和$f(x)$。
其中，$a，b，c$都是常数，$f(x)$是欧拉方程的非齐次项。
接下来，我们来解释一下欧拉方程的求解方法。
Step 1：将欧拉方程的非齐次项$f(x)$化为初等函数。
这是欧拉方程求解的第一步。
由于欧拉方程中的非齐次项是一个函数，所以我们可以将它化为初等函数。
比较常见的情况有三类：常数项，正弦项和余弦项。
Step 2：求出欧拉方程的通解。
欧拉方程的通解有两个部分组成：一个是通解的齐次解，另一个是欧拉方程的非齐次解。
齐次解的求解过程比较简单，我们可以先假设欧拉方程的解是$y=x^r$，然后将这个解代入到欧拉方程中进行求解，得到的解为$r_1$和$r_2$。
我们可以对欧拉方程的非齐次解使用特殊方法，一般采用变易法。
变易法求解欧拉方程的非齐次解的具体步骤如下：Step 3：变易法求非齐次解的特解。
我们可以先设欧拉方程的非齐次解是一个特殊的函数，比如说$y_p=u(x)x^p$。
其中，$u(x)$是一个待求的函数。
Step 4：将$y_p=u(x)x^p$代入到欧拉方程中，求出$u(x)$和$p$的值。
Step 5：将欧拉方程的通解的齐次解和非齐次解合并，得到欧拉方程的最终解。
综上所述，欧拉方程是一种二阶线性非齐次微分方程，其标准格式为$ax^2y''+bxy'+cy=f(x)$。
欧拉方程的基本原理
欧拉方程的基本原理欧拉方程是一种微分方程，由瑞士数学家欧拉提出。
它是描述物理现象中最常见的方程之一，并在工程、自然科学以及经济学等领域中得到广泛应用。
欧拉方程具有一些特殊的性质，使得它成为求解一些重要问题的有力工具。
在本文中，我将详细介绍欧拉方程的基本原理。
欧拉方程是以欧拉(Euler)命名的，他是18世纪最杰出的数学家之一、欧拉曾经系统地研究了二阶常系数线性微分方程，并提出并解决了一类特殊的微分方程，还研究了更高阶的欧拉方程（即阶数高于二的微分方程）。
\(a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+⋯+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x)\)其中，\(a_n(x),a_{n-1}(x),…,a_1(x),a_0(x)\)是已知的连续函数，称为方程的系数函数；\(y\)是未知函数，代表方程的解；\(g(x)\)是已知的连续函数，称为非齐次项。
基本原理：1.齐次方程齐次方程是指当非齐次项\(g(x)\)为零时的方程，即该时刻纯粹由齐次项的线性组合构成：\(a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+⋯+a_1(x)y'+a_0(x)y=0\)为了求解齐次方程，我们需要找到一个形如\(y=e^{rx}\)的解。
将这个解代入方程，并化简，我们可以得到一个对\(r\)的代数方程。
该代数方程的根决定了齐次方程的解的形式。
根的个数通常等于方程的阶数。
2.非齐次方程非齐次方程是指当非齐次项\(g(x)\)不为零时的方程，即方程的左边与右边都有贡献。
为了求解非齐次方程，我们需要首先找到一个特解，使得方程的左边等于右边。
这个特解可以通过猜测和尝试的方法求解。
特解的形式通常与非齐次项的形式有关。
如果非齐次项是一个多项式函数，我们可以猜测一个多项式解；如果是三角函数或指数函数，我们可以猜测一个相应的解。
特解的形式可以根据经验和观察来确定。
将这个特解代入方程后进行化简，我们可以得到适当的常数值。
欧拉方程
欧拉方程 (刚体运动)莱昂哈德·欧拉用欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。
对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。
所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。
换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。
静态的定义三个欧拉角：() 。
蓝色的轴是xyz-轴，红色的轴是XYZ-坐标轴。
绿色的线是交点线(N) 。
对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。
参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。
而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。
参阅右图。
设定 xyz-轴为参考系的参考轴。
称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（Ｎ）代表。
zxz 顺规的欧拉角可以静态地这样定义:∙α是x-轴与交点线的夹角，∙β是z-轴与Z-轴的夹角，∙γ是交点线与X-轴的夹角。
很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。
科学家对此从未达成共识。
每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。
实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。
欧拉角方法只是其中的一种。
此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。
因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。
[编辑]角值范围∙值从0 至2π弧度。
∙β值从0 至π弧度。
对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外：∙两组欧拉角的α，一个是0 ，一个是2π，而β与γ分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。
∙两组欧拉角的γ，一个是0 ，一个是2π，而α与β分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。
[编辑]旋转矩阵前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵合成的：单独分开作用，每个矩阵各自代表绕着其转动轴的旋转；但是，当它们照次序相乘，∙最里面的(最右的) 矩阵代表绕着z 轴的旋转。
[整理版]欧拉方程
泛函的欧拉方程(by zhengpin1390)0(二)、泛函的欧拉方程欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题。
（1）最简单的欧拉方程：设函数F(x,y,y') 是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B内，则对形如0的变分，若其满足以下条件：0c) 在有界闭区域B内存在某条特定曲线y。
(x) ，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。
则函数y。
(x) 满足微分方程：上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。
（2）含有自变函数高阶倒数的泛函的欧拉方程一般来说，对于下述泛函：在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为：（3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程对于下述泛函：其欧拉方程组为：（4）多元函数的泛函及其欧拉方程此处仅考虑二元函数的情况，对如下所示多元函数的泛函：其欧拉方程为：泛函分析0泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
它是20世纪30年代形成的。
从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。
0泛函分析的产生0十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。
这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。
这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
0本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。
随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。
到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。
0由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。
比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。
第七章欧拉方程
I1x ( I 2 I 3 ) y z M x I 2 y ( I 3 I1 )z x M y I ( I I ) M 3 z 1 2 y x z
欧拉动力学方程
I1x I 2 I3 yz M x I3z I1 I 2 xy M z
I 2y I3 I1 zx M y
机械能守恒
1 2 2 2 I1 x I 2 y I 3 z V E 2
(四) 由拉格朗日方程推导欧拉方程
M
R
P
r
O
2.加速度
dv d a r r dt dt
转动加 速度 向轴加 速度
d a r r 2 r dt d a aA r r 2 r dt
例 7-1 B当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水 平圆形轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心A的联 线和沿垂线成θ角时，点的速度及加速度。已知螺旋桨 的长度AB ＝l，螺旋桨自身旋转的角速度为ω1。 解：这个是一般运动问题
当取惯量主轴为本体坐标系的坐标轴时,全部惯量 积便均为0,于是可以使问题的求解大为简化.
(三).欧拉方程
基本方程
dJ M dt
将坐标系固联于刚体，则
J J xi J y j J z k
但
dJ J xi J y j J z k J dt
为什么？
取惯量主轴为坐标轴，有
这就是由拉格朗日方程推导出的刚体定点运动时的欧拉动力 学方程。
欧拉方程公式
欧拉方程公式欧拉方程公式，这是一个让人们在数学领域中感到震撼和敬畏的名词。
欧拉方程公式是数学家欧拉在数学领域中提出的一种方程，它具有非常重要的意义和应用价值。
在数学领域中，欧拉方程公式被广泛应用于微积分、数论、物理学等各个领域，可以说是数学中的一颗璀璨明珠。
欧拉方程公式的形式简洁而优美，展现出了数学的神奇之处。
它将自然界中的一些基本常数e、π、i，以及自然对数等数学概念融合在一起，构成了一条具有深刻内涵的等式。
这个等式的美妙之处在于，它将三个看似毫不相关的数学概念融合在一起，展现出了数学的奇妙和神秘。
欧拉方程公式的形式为e^πi + 1 = 0，这个等式看似简单，却蕴含着丰富的数学内涵。
其中，e是自然常数，π是圆周率，i是虚数单位。
这三个数学常数在数学的不同领域有着重要的应用，它们的融合在欧拉方程公式中展现出了数学的统一性和美感。
欧拉方程公式的形式简洁明了，却蕴含着深刻的数学内涵。
这个等式的意义是多方面的，它不仅仅是一条数学公式，更是一种数学思想的体现。
欧拉方程公式将自然界中的一些基本常数融合在一起，展现出了数学的神奇和奥妙。
欧拉方程公式的形式虽简单，却有着无限的魅力。
它的美妙之处在于，它将看似不相关的数学概念融合在一起，展现出了数学的统一性和内在联系。
欧拉方程公式的提出，极大地推动了数学领域的发展，拓展了人们对数学的认识和理解。
欧拉方程公式的形式虽简单，却蕴含着深刻的数学内涵。
它将自然界中的一些基本常数融合在一起，展现出了数学的奥秘和神奇。
欧拉方程公式的提出，不仅仅是一次数学上的突破，更是一种数学思想的体现，它启示了人们对数学的认识和理解。
欧拉方程公式的提出，标志着数学领域的一次伟大的突破。
这个等式的形式虽简单，却蕴含着丰富的数学内涵。
欧拉方程公式的美妙之处在于，它将看似不相关的数学概念融合在一起，展现出了数学的统一性和内在联系。
欧拉方程公式的提出，对数学领域的发展起到了重要的推动作用。
欧拉方程公式的形式简洁而优美，展现出了数学的神奇之处。
欧拉方程解法课件
一阶线性欧拉方程的解
举例
(y' = 2xy) 的解为 (y = x^2)，通过分离变量法得到。
举例
(y' = frac{1}{x}) 的解为 (y = ln x)，通过变量代换法得到。
二阶常系数线性欧拉方程的解
举例
(y'' + 4xy = 0) 的解为 (y = c_1x^2 + c_2x^2)，通过特征值法得到。
应用示例
对于形如 (frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} = f(x,y)) 的偏微分方程，可以 使用有限差分法、有限元法等数值解 法进行求解。
03
欧拉方程的解的性质
解的存在性和唯一性
存在性
对于给定的初值条件和边界条件，欧 拉方程存在一个解。
应用示例
对于形如 (u(x,y) = v(x)w(y)) 的函数，如果满足一定的条件，可以将方程分解为两个独立的常微分方程， 分别求解后再组合得到原方程的解。
积分因子法
01
总结词
通过引入一个积分因子，将偏微分方程转化为全微分方程 ，从而简化求解过程。
02 03
详细描述
积分因子法是一种通过引入一个积分因子来简化偏微分方 程的方法。这种方法适用于具有特定对称性的偏微分方程 ，通过引入积分因子可以将偏微分方程转化为全微分方程 ，从而简化求解过程。
并行计算
将计算任务分解成多个子 任务，利用多核处理器或 分布式计算资源并行处理， 加快计算速度。
THANKS
感谢观看
VS
举例
(y'' - 2y' + y = 0) 的解为 (y = c_1e^x + c_2e^{-x})，通过常数变易法得到。
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一般地， x k y ( k ) D( D 1)( D k 1) y. 将上式代入欧拉方程，则化为以 t为自变量
的常系数 线性微分方程. 求出这个方程的解 ，
把 t 换为 ln x， 即得到原方程的解.
例 求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 3 x 2 的通解．
3 2
3
2
(1)
方程(1)所对应的齐次方程为
其特征方程
r 3 2r 2 3r 0,
特征方程的根为 r1 0, r2 1, r3 3.
所以齐次方程的通解为
C2 3 Y C1 C2e C3e C1 C3 x . x
t 3t
设特解为 y be 2 t bx 2 ,
2
作变量变换
x e t 或 t ln x ,
将自变量换为 t ,
dy dy dt 1 dy , dx dt dx x dt
d 2 y 1 d 2 y dy 2 2 , 2 dx x dt dt d3y 1 d3y d2y dy 3 3 3 2 2 , 3 dx x dt dt dt
练 习 题
求下列欧拉方程的通解 ： 1．x 2 y xy y 0; 2．x 2 y 2 xy 2 y ln 2 x 2 ln x; 3．x 2 y 3 xy 4 y x x 2 ln x .
练习题答案
C2 1．y C1 . x 1 2 1 2．y C1 x C 2 x (ln x ln x ) . 2 4 1 2 3 2 2 3．y C1 x C 2 x ln x x x ln x . 6
解 作变量变换 x e t 或 t ln x ,
原方程化为
D( D 1)( D 2) y D( D 1) y 4 Dy 3e 2t ,
即 或
D 3 y 2 D 2 y 3 Dy 3e 2 t ,
d y d y dy 2 2 3 3e 2 t . dt 3 dt dt d y d y dy 2 2 3 0, 3 dt dt dt
一、欧拉方程
形如
x n y ( n ) p1 x n1 y ( n1 ) pn1 xy pn y f ( x )
的方程(其中 p1 , p2 pn 为常数) 叫欧拉方程.
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同． 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
d 用 D 表示对自变量 t 求导的运算 , dt 上述结果可以写为
xy Dy,
d 2 y dy x 2 y 2 ( D 2 D ) y D( D 1) y , dt dt
d3y d2y dy 3 x y 3 3 2 2 dt dt dt ( D 3 3 D 2 2 D ) y D( D 1)( D 2) y ,
x2 即 y , 2 C2 1 2 3 所给欧拉方程的通解为 y C1 C 3 x x .ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx 2
1 代入原方程，得 b . 2
二、小结
欧拉方程解法思路 变系数的线 性微分方程
变量代换
x e t 或 t ln x
常系数的线 性微分方程
注意：欧拉方程的形式．