2014年高考数学真题天津【文】试题及答案

页眉内容ED CBA 2014高考数学【天津文】一、选择题： 1．i 是虚数单位，复数7i34i++=( ) A ．1-iB ．-1+iC ．1731i 2525+ D ．1725i 77-+ 2．设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数z =x +2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知命题p ：∀x ＞0，总有(x +1)e x ＞1，则⌝p ( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0+1)0e x ≤1B ．∃x 0＞0，使得(x 0+1)0e x ≤1C ．∀x ＞0，总有(x +1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x +1)e x ≤14．设a =log 2π，12log b π=，c =π -2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a5．设{a n }是首项为a 1，公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列， 则a 1=( )A ．2B ．-2C ．12D ．12-6. 已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y =2x +10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=7．如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ， 过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结 论：①BD 平分∠CBF ； ②FB 2=FD ·F A ； ③AE ·CE =BE ·DE ； ④AF ·BD =AB ·BF ． 则所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④8. 已知函数f (xωx +cos ωx (ω＞0)，x ∈R ，在曲线y =f (x )与直线y =1的交点中，若相 邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( ) A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π二、填空题9. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查． 已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．10．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 _______m 3．11．阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________． 12．函数f (x )=lg x 2的单调递减区间是________．13．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上， BC =3BE ，DC =λDF ．若1AE AF ⋅=，则λ的值为_______．14. 已知函数()20,54,22,0.x x x f x x x ⎧++⎪=⎨->≤⎪⎩若函数y =f (x )-a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题15．某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)． (I)用表中字母列举出所有可能的结果； 俯视图侧视图正视图PFEDCBA(II)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知a c -=，sin B C ． (I)求cos A 的值； (II)求πcos 26A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，BA =BD，AD =2，P A =PD，E ， F 分别是棱AD ，PC 的中点．(I)证明：EF ∥平面P AB ； (II)若二面角P -AD -B 为60°，(i)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；(ii)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．18. 设椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ．已知12AB F =． (I)求椭圆的离心率；(II)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直 线l 与该圆相切于点M，2MF =19．已知函数232()3f x x ax =-(a ＞0)，x ∈R ．(I)求f (x )的单调区间和极值；(II)若对于任意的x 1∈(2，+∞)，都存在x 2∈(1，+∞)，使得f (x 1)·f (x 2)=1．求a 的取值范 围．20. 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ={0，1，2，…，q -1}，集合A ={x | x =x 1+x 2q +…+x n q n -1，x i ∈M ，i =1，2，…，n }(I)当q =2，n =3时，用列举法表示集合A ；(II)设s ，t ∈A ，s =a 1+a 2q +…+a n q n -1，t =b 1+b 2q +…+b n q n -1，其中a i ，b i ∈M ，i =1，2，…， n ．证明：若a n ＜b n ，则s ＜t ．2014高考数学天津【文】参考答案一．选择题1．A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．A 7．D 8．C二．填空题9．60 10．20π311．－4 12．(－∞，0)13．214．(1，2)三．解答题15．(I)解：从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为：{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(II)解：选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为 {A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种． 因此，事件M 发生的概率62()155P M ==．16．(I)解：在△ABC 中，由sin sin b cB C=，及sin B C ，可得b =．又由a c -=，有a =2c ．所以222222cos 2bc a A bc +-==(II)解：在△ABC中，由cos A =sin A =，于是，21cos22cos 14A A =-=-，sin 22sin cos A A A =⋅=，所以πππcos 2cos2cos sin 2sin 666A A A ⎛⎫-=⋅+⋅= ⎪⎝⎭17．(I)证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM ，因为F 为PC 中点，故MF ∥BC ，且12M F B C =．由已知有BC ∥AD ，BC =AD ．又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE ，且MF =AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM ．又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB ． (II)(i)证明：连接PE ，BE ．因为P A =PD ，BA =BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ．所以∠PEB 为二面角P －D －B 的平面角．在△P AD 中，由P A =PDAD =2，可解得PE =2．在△ABD 中，由BA =BDAD =2，可解得BE =1．在△PEB 中，PE =2，BE =1，∠PEB =60°，由余弦定理，可解得PBPBE =90°，即BE ⊥PB ．又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ．又BE ⊂平面ABCD ，所以，平面PBC ⊥平面ABCD ．(ii)解：连接BF ．由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角，由PB ，得∠ABP为直角．而12MB PB ==AM =，故EF =．又BE =1，故在直角三角形EBF中，sin BE EFB EF ∠== 所以，直线EF 与平面PBC18．(I)解：设椭圆右焦点F 2(c ，0)．由12AB F =，可得a 2＋b 2=3c 2， 又b 2=a 2－c 2，则2212c a =．所以椭圆的离心率e =．(II)解：由(I)知a 2=2c 2，b 2=c 2，故椭圆方程为222212x y c c+=．C设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )，有1F P =(x 0＋c ，y 0)，1F B =(c ，c )． 由已知有，110F P F B ⋅=，即(x 0＋c )c ＋y 0c =0，又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c =0 ①因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c+=②由①和②可得3x 02＋4cx 0=0．而点P 不是椭圆的顶点，故043x c =-，代入①得03cy =，即点P 的坐标为4,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则1402323c x c -+==-，12323c cy c +==，进而圆的半径为r =． 由已知，有|TF 2|2=|MF 2|2＋r 2，又2||MF =，故有22222508339c c c c ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得c 2=3．所以，所求椭圆的方程为22163x y +=．19．(I)解：由已知，有f ′(x )=2x －2ax 2(a ＞0)．令f ′(x )=0，解得x =0或1x a=． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；单调递减区间是(－∞，0)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．当x =0时，f (x )有极小值，且极小值为f (0)=0； 当1x a =时，f (x )有极大值，且极大值为2113f a a⎛⎫= ⎪⎝⎭． (II)解：由f (0)=32f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0及(I)知，当30,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f (x )＞0；当3,2xa⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，f(x)＜0．设集合A={f(x)｜x∈(2，＋∞)}，集合B=1(1,),()0 ()x f xf x⎧⎫⎪⎪∈+∞≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭．则“对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)=1”等价于A⊆B，显然0∉B．下面分三种情况讨论：(1)当322a>，即34a<<时，由32fa⎛⎫=⎪⎝⎭可知，0∈A，而0∉B，所以A不是B的子集．(2)当3122a≤≤，即3342a≤≤时，有(2)0f≤，且此时f(x)在(2，＋∞)上单调递减，故A=(－∞，f(2))，因而A⊆(－∞，0)；由f(1)≥0，有f(x)在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B．所以，A⊆B．(3)当312a<，即32a>时，有f(1)＜0，且此时f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故1,0(1)Bf⎛⎫= ⎪⎝⎭，A=(－∞，f(2))，所以A不是B的子集．综上，a的取值范围是33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．20．(I)解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x｜x=x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i=1，2，3}．可得，A={0，1，2，3，4，5，6，7}．(II)证明：由s，t∈A，s=a1＋a2q＋…＋a n q n-1，t=b1＋b2q＋…＋b n q n-1，a i，b i∈M，i=1，2，…，n及a n＜b n，可得s－t=(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n-1－b n-1)q n-2＋(a n－b n)q n-1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n-2－q n-1=11 (1)(1)1nn q qqq------=－1＜0．所以，s＜t．。