不等式的证明及著名不等式知识梳理及典型练习题

不等式的证明及着名不等式

一、知识梳理

1．三个正数的算术—几何平均不等式

(1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3____3abc ，当且仅当________时，

等号成立．

即三个正数的算术平均________它们的几何平均．

(2)基本不等式的推广

对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均________它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ____n a 1a 2…a n ，当且仅当______________时，等号成立． 2．柯西不等式

一、二维形式的柯西不等式

二维形式的柯西不等式的变式:

.,,,,, )( 1等号成立时当且仅当则都是实数若二维形式的柯西不等式定理bc ad d c b a =22222)

())((bd ac d c b a +≥++bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1(bd

ac d c b a +≥+⋅+2222)2

( .,,,,,

)( 2等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当是两个向量设柯西不等式的向量形式定理βαββαk k =≤.,:1221等号成立时当且仅当式得二维形式的柯西不等平面向量坐标代入b a b a ，=2

221122212221)()()(b a b a b b a a +≥++式：

得三维形式的柯西不等将空间向量的坐标代入，2

332211232221232221)()()(b a b a b a b b b a a a ++≥++++.)3,2,1(,,,,等号成立时使得或存在一个数即共线时当且仅当

，i kb a k i i ===221221222221212211)()(R,y ,x ,y , )( 3y y x x y x y x x -+-≥+++∈那么设二维形式的三角不等式定理

二、一般形式的柯西不等式

三、排序不等式

3.贝努利不等式

若x ∈R ，且x >－1，x ≠0，n >1，n ∈N ，则(1＋x )n >1＋ .

4．证明不等式的方法

(1)比较法

①作差：知道a >b ⇔a －b >0，a b ，只要证明______即

可，这种方法称为求差比较法．

②作商：由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明

______即可，这种方法称为求商比较法．

(2)综合法与分析法；

(3)反证法、放缩法；

(4)数学归纳法．

对于一个与自然数相关的命题集合，如果：

①证明起始命题0n n =成立；

②假设k n =时命题成立，证明1+=k n 也成立；

那么可以断定该命题对一切自然数成立．

二、练习

1． (2013·陕西)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则

(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．

答案 2

解析 由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，

得(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.

2

21221221222222212121)()()( z z y y x x z y x z y x -+-+-≥+++++三维形式的三角不等式.,),,2,1(,),,2,1(0,,,,,,,,,,)

(321321等号成立时使得或存在一个数当且仅当则是实数设一般形式的柯西不等式定理n i kb a k n i b b b b b a a a a i

i i n n ΛΛΛΛ====222112222122221)())((b n n n b a b a b a b b b a a a ΛΛΛ++≥+++++.

,,,,,,,,,c ,,)

( 212122112211112121212121反序和等于顺序和时或当且仅当顺序和，乱序和即反序和那么的任一排列是为两组实数设理排序不等式或称排序原定理n n n

n n n n n n n

n n n b b b a a a b a b a b a c a c a c a b a b a b a b b b c c b b b a a a ======≤≤+++≤+++≤+++≤≤≤≤≤≤-ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ

2． [2014·陕西卷] 设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．

[解析]由柯西不等式可知(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2，即5(m 2＋n 2)≥25，当且仅当an ＝bm 时，等号成立，所以m 2＋n 2 ≥ 5.

3． 若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为________． 答案 3

解析 (a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3.

当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．

4.(2012·福建)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．

(1)求m 的值；

(2)若a ，b ，c ∈R ＋

，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 审题破题 (1)从解不等式f (x ＋2)≥0出发，将解集和[－1,1]对照求m ；(2)利用柯西不等式证明．

(1)解 因为f (x ＋2)＝m －|x |，

f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .

由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．

又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.

(2)证明 由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，

又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得

a ＋2

b ＋3

c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝

⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.