〔高中数学〕等比数列PPT课件
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高中数学等比数列优质课ppt课件
1 n－1 答案：an＝ . 3
1n－1 an＝3 .
4．若等比数列的通项公式为 列的第 5 项为________．
1 5－ 1 1 解析：a5＝2× ＝ . 8 2
1 n－1 an＝2× .则数 2
1 答案： 8
要点阐释
1．等比数列的定义 关于定义理解的几点注意： (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一 项均不为0，因此q也不能是0. an＋1 (2) 均为同一常数，即比值相等，由此体现了 an
a1＝27， a1＝－27， 解得 2 或 2 q＝3， q＝－3. 4 a1q －a1＝15， q2＋1 5 (2)由 3 得 q ＝ ， 2 a q － a q ＝ 6 ， 1 1
1 得 q＝ 或 q＝2. 2 1 当 q＝ ，a1＝－16，此时 a3＝a1q2＝－4； 2 当 q＝2 时，a1＝1，此时 a3＝a1q2＝4.
1n－1 － an＝－8· . 2
像等差数列的计算一样，等比数列中基本量的计算是最 重要、最基本的问题．
1．在等比数列 an 中．
(1)a2＝18，a4＝8，求a1与q； (2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
a1q＝ 18， 解：(1)由 3 a1q ＝ 8，
证明：设等差数列 an 的公差为 d，
∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1a4. 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d. ∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0. 当a1＝d≠0时，a4＝4d，a6＝6d，a9＝9d， ∴a62＝a4a9＝36d2， ∴a4，a6，a9成等比数列． 当a1≠0且d＝0时，是非零常数列，满足题意． 综上可知a4，a6，a9成等比数列．
1n－1 an＝3 .
4．若等比数列的通项公式为 列的第 5 项为________．
1 5－ 1 1 解析：a5＝2× ＝ . 8 2
1 n－1 an＝2× .则数 2
1 答案： 8
要点阐释
1．等比数列的定义 关于定义理解的几点注意： (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一 项均不为0，因此q也不能是0. an＋1 (2) 均为同一常数，即比值相等，由此体现了 an
a1＝27， a1＝－27， 解得 2 或 2 q＝3， q＝－3. 4 a1q －a1＝15， q2＋1 5 (2)由 3 得 q ＝ ， 2 a q － a q ＝ 6 ， 1 1
1 得 q＝ 或 q＝2. 2 1 当 q＝ ，a1＝－16，此时 a3＝a1q2＝－4； 2 当 q＝2 时，a1＝1，此时 a3＝a1q2＝4.
1n－1 － an＝－8· . 2
像等差数列的计算一样，等比数列中基本量的计算是最 重要、最基本的问题．
1．在等比数列 an 中．
(1)a2＝18，a4＝8，求a1与q； (2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
a1q＝ 18， 解：(1)由 3 a1q ＝ 8，
证明：设等差数列 an 的公差为 d，
∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1a4. 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d. ∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0. 当a1＝d≠0时，a4＝4d，a6＝6d，a9＝9d， ∴a62＝a4a9＝36d2， ∴a4，a6，a9成等比数列． 当a1≠0且d＝0时，是非零常数列，满足题意． 综上可知a4，a6，a9成等比数列．
《等比数列的概念》课件
03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型， 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如，在求解一些复杂数学问题时 ，可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石，能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示， 其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
《等比数列的概念》ppt课件
目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
等比数列公开课课件PPT
等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
等比数列课件
等比数列课件一、等比数列定义等比数列是一种特殊的数列，它的每一项（从第二项开始）都是前一项乘以一个常数。
这个常数被称为公比。
定义一个等比数列需要给出它的首项和公比，通常用符号表示为{an}，其中a1是首项，q是公比。
二、等比数列通项公式等比数列的通项公式是：an = a1 * q^(n-1)，其中n是项数，a1是首项，q是公比。
这个公式表明，等比数列的任意一项都是首项乘以公比的n-1次方。
三、等比数列的性质1. 等比数列的任意两项之积等于这两项之和，即a(n+2)/a(n+1) = a(n+1)/a(n)。
2. 等比数列的各项之和等于首项乘以公比减去1，即Σan = a1 * q - 1。
3. 等比数列的各项之积等于首项乘以公比的n次方减去1，即Πan = a1 * q^n - 1。
四、等比数列的图像表示等比数列的图像是一条递减或递增的曲线，它的图像可以用来直观地了解等比数列的性质和特点。
在图像中，公比q的大小决定了曲线的陡峭程度，而首项a1的大小决定了曲线在y轴上的位置。
五、等比数列的应用等比数列在实际生活中有着广泛的应用，例如在金融、经济、工程等领域都可以找到它的踪迹。
例如，在银行利率计算中，等比数列可以用来计算复利；在股票价格计算中，等比数列可以用来计算股息等等。
六、等比数列的例题讲解例题1：一个等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前5项之和。
解：根据等比数列的性质，该数列的前5项之和为Σan = a1 * q - 1 = 2 * 3^5 - 1 = 242。
例题2：一个等比数列的各项之和为10，前三项之积为91，求该数列的公比。
解：根据等比数列的性质，该数列的公比q满足方程：Σan = a1 * q - 1 = 10 和Πan = a1 * q^3 - 1 = 91。
解得q = 3或-3/2。
七、课后练习与答案1. 计算下列等比数列的前5项之和：a) 首项为4，公比为2；b) 首项为-3，公比为-4。
等比数列完整版课件PPT
通项 公式2
an
am
(n m)d
(n, m N *)
G是a、b的等比中项 中项 A是a、b的等差中项
G2 ab (ab 0)
2A a b
布置作业
1.求数列an 的通项公式.
a1 =5，且2an1 3an.
2.已知数列an 为等比数列，
且a2Leabharlann 4, a51 2, 求an.
q3 27
q3
a1 1 a4 a1q3 27 an 3n1(n N*)
能力提升
2014理科全国卷Ⅱ
已知数列an满足a1 1, an1 3an 1.
证明an
1 2
是等比数列，并求
an
的通项公式。
证明：设an
1 2
bn
an1 3an 1
an1
1 2
3(an
1) 2
an 1
an1 q (q为常数，且q≠0 ；n∈N*) an
[或
an an1
q
(q为常数，且q≠0 ；n≥2且n∈N*)
]
练习
判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪
些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如
果不是，说明理由。
(1) 1，3，9，27，… 是 a1=1, q=3
(2)
1 , 1 , 1 , 1 , 2 4 8 16
①
1, 1 , 1 , 1;
②
248
共同特点：从第二项起，每一项与前一项 的比都等于同一个常数．
二、新课探究
1. 等比数列的定义:
一般地，若一个数列从第二项起，每一 项与它的前一项的比等于同一个常数，这个 数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的 公比，用字母q(q≠0) 表示.
人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件
的 公比 ，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
4.3.1等比数列的概念 课件(共26张PPT)-高中数学人教版(2019)选择性必修二
a1 a2 a3 an1
化简得到 an a1qn1(n ≥ 2) ．
累乘法
又 a1 a1q0 a1q11 ，这就是说，当 n 1 时上式也成立．因此，
首项为 a1，公比为 q 的等比数列 {an}的通项公式为an a1qn1 ．
二、探究新知
探究： 类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪
(1) 3，9，15，21，27，33；
(2) 4，-8，16，-32，-128. q 2
(3)
1 3
，1，
6
1 9
，112
，1
15
，1
18
；
(4) 1，1.1，1.21，1.331，1.4641； q 1.1
课堂练习
思考 第(2)组与第(4)组数列，相邻三项有什么规律？ (2) 4，-8，16，-32，64，-128；
成等比数列．
同理由于 成等比数列．
a9 a5
q4 ，a5 a1
q4
，所以
a5 a1
a9 ．于是 a5
a1 ，a5 ，a9
1. 已知数列{an}是等比数列，a3 ，a5 ，a7 ，是否成 等比数列？为什么？ a1 ，a5 ，a9 呢？
解：设{an}的公比为 q ，则 a3 a1q2 ，a5 a1q4 ，a7 a1q6 ， 由于 a52 (a1q4 )2 a12q8 ，a3 a7 a1q2 a1q6 a12q8 ， 所以 a52 a3 a7 .于是 a3 ，a5 ，a7 成等比数列．
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数
列的公比，公比通常用字母 q 表示(显然 q 0)．
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(则3)在a等m+差a数n=列{aapn+}中a，q 若m+n=p+q（m，n，p，q是正整数），
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
A ab 2
观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64.
(2) 1，3，9，27，81
3 1, 1, 1, 1 ,
2 4 8 16
公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列
(6) 1 ,x ,x 2 ,x 3 ,x 4 , (x 0 )公比 d= x
考考你
由常数 a ,a , ,a 所组成的数列
一定为等比数列吗?
不一定是等比数列。
若此常数列为{0}，则此数列从第二项起， 第二项与它前一项的比将没有意义，故非 零常数列才是等比数列。
当 q = 2 时 , a = 6 , 四 个 数 为 3 ， 6 ， 1 2 ， 1 8
当 q =3时 , a =4 5, 四 个 数 为 7 5， 4 5， 2 7， 9
54
4444
方法二设后三个数分别为a-d,a,ad
则第一个数为ad2
(a
d)2 a d
a
a a d 18
a
21
解: 用a n 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
a31,2a41,8
即a1q a1q
2 3
12 18
解得
a1
16 3
,
q
3 2
an a1•qn1
因此，
a2
a1q136328
答：这个数列的第1项与第2项分别是 16 与 8 .
3
世界杂交水稻之父—袁隆平
从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交 水稻35亿多亩，增产稻谷3500亿公斤。年增 稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的 杂交稻是“东方魔稻” ，并认为是解决下 个世纪世界性饥饿问题的法宝。
(4) 5，5，5，5，5，5，…
(5) 1，-1，1，-1，1，…
(6) 1 ,x ,x 2 ,x 3 ,x 4 , (x 0 )
观察这些数列有哪些特点?
这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。
复习等差数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等
例 ： 在 等 比 数 列 a n 中 ， a 2 2 , a 6 1 6 2 , 求 a 1 0
解法一：
2， 6，10成等差数列， a 2,a 6,a 1 0成 等 比 数 列
a62 a2 • a10
a10
a62 a2
13122
解法二
a2 •a10 a6 •a6 a62
a62 a2 • a10
3、q 1时，{an }为常数列
观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64. 公比 q=2 递增数列
(2) 1，3，9，27，81，243，…公比 q=3 递增数列
(3)
1 , 1 , 1, 1 , 2 4 8 16
公比 q=
1 2
递减数列
(4) 因5定，为，5x，所的5以正，该负5，数性5列不，的确5，… (5) 1增，减-1性，等定1，尚。-不1，能1确，…
G 2 a b 是 等 比 数 列 的 必 要 条 件 。
例 ： 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 a n 中 , a 2 , a 3 , a 6
依 次 成 等 比 数 列 ， 则 公 比 是 多 少 ？
解 ： a 3 2 = a 2 • a 6 设 公 差 为 d
a2d2a2a24d
d2 2a2d d0
●
●
等比数列的通项公式
a2 a1q a3 a2q a1q2 a4 a3q a1q3
an an1q a1qn1
a2 q a3 q … an q
a1
a2
a n1
a2a3 an q n 1
a1 a2
an1
ana1qn1
不完全归纳法
连乘法
等比数列通项公式为：
ana1qn1 amqnm
a q3
，a，aq，aq3 q
例: 有四个数，其中前三个数成等 比数列，后三个数成等差数列，并 且第一个数与第四个数的和是21， 第二个数与第三个数的和是18，求 这四个数。
解：方法一设前三个数分别为aq,a,aq
则第四个数为2aqa
a
q
2qa
a
21
q 2或q 3
a aq 18
5
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
例:求下列等比数列的第4，5a项n ：a1•qn1
（1） 5，-15，45，…
a45(3)4113 , a 555(3)5140. 5
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8
7 6
an 4
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 9 数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，… 8
7
6 5
an 1n1
4
3
2
1●
●
●
●
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
●
●
a d
12 6
或
a
d
27 4 9 2
这 四 个 数 为 3 ， 6 ， 1 2 ， 1 8
或75，45，27，9 4 4 44
方 法 三 设 前 一 个 数 为 a,则 第 四 个 为 21-a 第 二 个 数 为 b,则 第 三 个 为 18-b
ba2118ab2(1b82 b)
a
b
那么每次降价后的单价应是降价前的(1-x)倍.
将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个依
(1-x)为的公比等比数列 a n
由已知条件，有
，
若原价格
a 1 1,a 7 4 5 4 ,n 8 4 ,q 为1 ax ，则降
因此5，8174(1x)41. 价x后的价 整理后，得（ 1x） 31，1x格 3应1 为0.693 x 1 0 .69 33 % 13 a-ax=3a(1-x)
a3 a5 6
数 列 等差数列
等比数列
关系式
an=am +(n-m) d
an=amqn-m
性 质 m+n=s+t an+am=as+at m+n=s+t anam=asat
中项 构造三数 构造四数
2b=a+c
b2=ac
a，a+d，a+2d
a-d，a，a+d
或
a,
aq,
aq2
或
a q
，a，
aq
a-3d，a-d，a+d， a+3d
3或 6
a
b
75 4 45 4
这 四 个 数 为 3 ， 6 ， 1 2 ， 1 8
或75，45，27，9 4 4 44
判断或证明数列 a n 是否为等比
数列,一般是先求出通项公式,再判 断或证明,判断证明的方法主要有 以下四种:
1 2 、 、 aana n 1n 2 qa n n 1 • N a * n , q 1n 0, a1 2 ,a 0n 0
因a此 5121 02510 2.51010
答：到第5代大约可以得到
an a1•qn1
这种新品种的种子 2.51010粒.
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降
价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平
均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x，
an a1•qn1
等比数列
复习：
(1)什么叫等差数列?
如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列.其表示为:
anan1d(d为常 ,n2 数 )
(2)a等n=差a数1+列(n的-1通)d项公a n 式 是a 什m 么( ?n m ) d(其 中 n ,m N )
1、q=1为常数列，q<0为摆动数列 2、那么q>1或0<q<1数列为什么数列呢?
q>1, a1>0,数列为递增； a1<0,数列为递减；
0<q<1, a1>0,数列为递减； a1<0,数列为递增；
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
等差数列 a n 的前n项和
A ab 2
Sn
n（a1 an) 2
Sn n1 an（ n 21)d
当公差d=0时，Sn na1 ， 当d≠0时，Snd2n2(a1d2)n , 是关于n的二次函数且常数项
Sn na nn（ n 21)d
为0.
变形虫分裂问题
假设每经过一个单位时间每个变形虫 都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变 形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形 虫，经过两个单位时间就有了四个变形 虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时 间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具 有前面的几个数列的共同特性，这是我们将 要研究的另一类数列——等比数列.
于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
A ab 2
观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64.
(2) 1，3，9，27，81
3 1, 1, 1, 1 ,
2 4 8 16
公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列
(6) 1 ,x ,x 2 ,x 3 ,x 4 , (x 0 )公比 d= x
考考你
由常数 a ,a , ,a 所组成的数列
一定为等比数列吗?
不一定是等比数列。
若此常数列为{0}，则此数列从第二项起， 第二项与它前一项的比将没有意义，故非 零常数列才是等比数列。
当 q = 2 时 , a = 6 , 四 个 数 为 3 ， 6 ， 1 2 ， 1 8
当 q =3时 , a =4 5, 四 个 数 为 7 5， 4 5， 2 7， 9
54
4444
方法二设后三个数分别为a-d,a,ad
则第一个数为ad2
(a
d)2 a d
a
a a d 18
a
21
解: 用a n 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
a31,2a41,8
即a1q a1q
2 3
12 18
解得
a1
16 3
,
q
3 2
an a1•qn1
因此，
a2
a1q136328
答：这个数列的第1项与第2项分别是 16 与 8 .
3
世界杂交水稻之父—袁隆平
从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交 水稻35亿多亩，增产稻谷3500亿公斤。年增 稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的 杂交稻是“东方魔稻” ，并认为是解决下 个世纪世界性饥饿问题的法宝。
(4) 5，5，5，5，5，5，…
(5) 1，-1，1，-1，1，…
(6) 1 ,x ,x 2 ,x 3 ,x 4 , (x 0 )
观察这些数列有哪些特点?
这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。
复习等差数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等
例 ： 在 等 比 数 列 a n 中 ， a 2 2 , a 6 1 6 2 , 求 a 1 0
解法一：
2， 6，10成等差数列， a 2,a 6,a 1 0成 等 比 数 列
a62 a2 • a10
a10
a62 a2
13122
解法二
a2 •a10 a6 •a6 a62
a62 a2 • a10
3、q 1时，{an }为常数列
观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64. 公比 q=2 递增数列
(2) 1，3，9，27，81，243，…公比 q=3 递增数列
(3)
1 , 1 , 1, 1 , 2 4 8 16
公比 q=
1 2
递减数列
(4) 因5定，为，5x，所的5以正，该负5，数性5列不，的确5，… (5) 1增，减-1性，等定1，尚。-不1，能1确，…
G 2 a b 是 等 比 数 列 的 必 要 条 件 。
例 ： 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 a n 中 , a 2 , a 3 , a 6
依 次 成 等 比 数 列 ， 则 公 比 是 多 少 ？
解 ： a 3 2 = a 2 • a 6 设 公 差 为 d
a2d2a2a24d
d2 2a2d d0
●
●
等比数列的通项公式
a2 a1q a3 a2q a1q2 a4 a3q a1q3
an an1q a1qn1
a2 q a3 q … an q
a1
a2
a n1
a2a3 an q n 1
a1 a2
an1
ana1qn1
不完全归纳法
连乘法
等比数列通项公式为：
ana1qn1 amqnm
a q3
，a，aq，aq3 q
例: 有四个数，其中前三个数成等 比数列，后三个数成等差数列，并 且第一个数与第四个数的和是21， 第二个数与第三个数的和是18，求 这四个数。
解：方法一设前三个数分别为aq,a,aq
则第四个数为2aqa
a
q
2qa
a
21
q 2或q 3
a aq 18
5
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
例:求下列等比数列的第4，5a项n ：a1•qn1
（1） 5，-15，45，…
a45(3)4113 , a 555(3)5140. 5
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8
7 6
an 4
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 9 数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，… 8
7
6 5
an 1n1
4
3
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1●
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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a d
12 6
或
a
d
27 4 9 2
这 四 个 数 为 3 ， 6 ， 1 2 ， 1 8
或75，45，27，9 4 4 44
方 法 三 设 前 一 个 数 为 a,则 第 四 个 为 21-a 第 二 个 数 为 b,则 第 三 个 为 18-b
ba2118ab2(1b82 b)
a
b
那么每次降价后的单价应是降价前的(1-x)倍.
将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个依
(1-x)为的公比等比数列 a n
由已知条件，有
，
若原价格
a 1 1,a 7 4 5 4 ,n 8 4 ,q 为1 ax ，则降
因此5，8174(1x)41. 价x后的价 整理后，得（ 1x） 31，1x格 3应1 为0.693 x 1 0 .69 33 % 13 a-ax=3a(1-x)
a3 a5 6
数 列 等差数列
等比数列
关系式
an=am +(n-m) d
an=amqn-m
性 质 m+n=s+t an+am=as+at m+n=s+t anam=asat
中项 构造三数 构造四数
2b=a+c
b2=ac
a，a+d，a+2d
a-d，a，a+d
或
a,
aq,
aq2
或
a q
，a，
aq
a-3d，a-d，a+d， a+3d
3或 6
a
b
75 4 45 4
这 四 个 数 为 3 ， 6 ， 1 2 ， 1 8
或75，45，27，9 4 4 44
判断或证明数列 a n 是否为等比
数列,一般是先求出通项公式,再判 断或证明,判断证明的方法主要有 以下四种:
1 2 、 、 aana n 1n 2 qa n n 1 • N a * n , q 1n 0, a1 2 ,a 0n 0
因a此 5121 02510 2.51010
答：到第5代大约可以得到
an a1•qn1
这种新品种的种子 2.51010粒.
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降
价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平
均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x，
an a1•qn1
等比数列
复习：
(1)什么叫等差数列?
如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列.其表示为:
anan1d(d为常 ,n2 数 )
(2)a等n=差a数1+列(n的-1通)d项公a n 式 是a 什m 么( ?n m ) d(其 中 n ,m N )
1、q=1为常数列，q<0为摆动数列 2、那么q>1或0<q<1数列为什么数列呢?
q>1, a1>0,数列为递增； a1<0,数列为递减；
0<q<1, a1>0,数列为递减； a1<0,数列为递增；
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
等差数列 a n 的前n项和
A ab 2
Sn
n（a1 an) 2
Sn n1 an（ n 21)d
当公差d=0时，Sn na1 ， 当d≠0时，Snd2n2(a1d2)n , 是关于n的二次函数且常数项
Sn na nn（ n 21)d
为0.
变形虫分裂问题
假设每经过一个单位时间每个变形虫 都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变 形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形 虫，经过两个单位时间就有了四个变形 虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时 间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具 有前面的几个数列的共同特性，这是我们将 要研究的另一类数列——等比数列.
于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，