高中数学人教A版必修阅读与思考中外历史上的方程求解课件
人教A版高中数学必修1《三章 函数的应用 3.1 函数与方程 阅读与思考 中外历史上的方程求解》赛课导学案_11
《方程的根与函数的零点》素材4.1计：（一）创设情境，感知概念 1、实例引入 解方程：（1）2-x =4；（2）2-x =x ．意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情． 2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系． 填空：问题1：从该表你可以得出什么结论？ 归纳：约10分钟约15分钟约12分钟 约3分钟3、一般函数的图象与方程根的关系．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在几何画板下展示类似如下函数的图象：y ＝2x －4，y ＝2x －8，y ＝ln(x －2)，y ＝(x －1)(x ＋2)(x －3)．比较函数图象与x 轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：方程f (x )＝0有几个根，y ＝f (x )的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．（二）辨析讨论，深化概念． 4、函数零点．概念：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． 即兴练习：函数f (x )=x (x 2－16)的零点为 （ D ） A ．(0，0)，(4，0) B ．0，4 C ．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D ．–4，0，4 练习：求下列函数的零点： 22(1)()34(2)()lg(44)=-++=+-f x x x f x x x 设计意图：使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）．（三）实例探究，归纳定理． 6、零点存在性定理的探索．问题5：在怎样的条件下，函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]探究：（1）观察二次函数f (x )＝x 2－2x －3的图象：在区间[-2，1]上有零点______； f (-2)=_______，f (1)=_______，f (-2)·f (1)_____0（“＜”或“＞”）．在区间(2，4)上有零点______；f (2)·f (4)____0（“＜”或“＞”）．（2）观察函数的图象：①在区间(a ，b )上___(有/无)零点；f (a )·f (b ) ___ 0（“＜”或“＞”②在区间(b ，c )上___(有/无)零点；f (b )·f (c ) ___ 0（“＜”或“＞”）③在区间(c ，d )上___(有/无)零点；f (c )·f (d ) ___ 0（“＜”或“＞”）． 意图：通过归纳得出零点存在性定理． 7、零点存在性定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点．即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？ （1）f (x )=log 2x ，x ∈[12，2]； （2）f (x )=e x -1+4x -4，x ∈[0，1]．（四）正反例证，熟悉定理． 8．定理辨析与灵活运用例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内有且仅有一个零点． （ × ）（2）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )≥0，则f (x )在区间(a ，b )内没有零点． （ × ）（3）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]满足f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内存在零点． （ × ） 请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：归纳：定理不能确零点的个数；定理中的“连续不断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点． 意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解． 9、练习：（1）已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：（C ） A ．5个 B．4个 C ．3个 D ．2个 （2）方程– x 3 – 3x + 5=0的零点所在的大致区间为 （ ）A ．(– 2，0)B ．(0，1)C ．(0，1)D ．(1，2) 意图：一方面促进对定理的活用，另一方面为突破后面的例题铺设台阶．（五）综合应用，拓展思维． 10、例题讲解例2：求函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n ，n +1](n ∈Z )． 解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x 、f (x )的对应值表和图象．由表或图象可知，f (2)<0，f (3)>0,则f (2) f (3)<0，这说明函数f (x )在区间(2，3)内有零点．问题6：如何说明零点的唯一性？又由于函数f (x )在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．解法2（估算）：估计f (x )结合函数的单调性，f (x )在区间解法3（函数交点法）：将方程ln x ＋2x －6=0化为ln x =6-2x ，分别画出g(x )=ln x 与h(x )=6-2x 的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间．由图可知f (x )在区间(2，3)内有唯一的零点．（七）布置作业，独立探究．1．函数f(x)＝(x＋4)(x－4)(x＋2)在区间[-5，6]上是否存在零点？若存在，有几个？2．利用函数图象判断下列方程有几个根：（1）2x(x－2)＝－3；（2）e x－1＋4＝4x．3．结合上课给出的图象，写出并证明下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=2x ln(x-2)-3；（2）f(x)＝3(x＋2)(x－3)(x＋4)＋x．思考题：方程2-x =x在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节．设计意图：为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备．5.4。
《阅读与思考 中外历史上的方程求解》PPT课件(湖南省县级优课)
稍后，柏林大学聘请他为数学教授，但聘书寄到 之日，他已因贫病交迫郁郁去世，这年他27岁。
他自幼受到良好的教育，中学时代已显露出数学上的巨大天 赋，17岁那年就在法国《数学年鉴》上发表了一片论文。然 而，他的一生短暂而又坎坷:在他18岁那年，他身为镇长且 具有自由主义倾向的父亲因不堪忍受旧势力的诬陷而自杀； 他两次投考当时最著名的学府——多柯工艺学校都未成功； 1829年虽然进入高等师范学校读书，但因与校长政见不合， 一年后即被开除。
《九章算术》的第八章“方程”，给 出了联立一次方程组的普遍解法（早 于欧洲1500年），并且使用了负数 （早于印度500年）。这在数学史上具 有非常重要的意义。
《九章算术》是哪九章呢？你 知道吗？
《九章算术》共收有246个数学问题，分为 九章。它们的主要内容分别是:
第一章"方田": 主要讲述了平面几何图形 面积的计算方法。包括长方形、等腰三角 形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、 弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。 另外还系统地讲述了分数的四则运算法则， 以及求分子分母最大公约数等方法。
什么叫做方程？你会求解哪些 方程？
求解下面方程：
（1）3x 2 0 (2)x2 2x 3 0 (3)x2 4x 5 0 (4) ln x 2x 6 0
（5）x3 1 0 (6)x3 2x 3 0
在人类用智慧架设的无数座从未知通向 已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一 座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式 各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫 长的岁月。
第九章"勾股":利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝 大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾 股数问题的通解公式。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得 等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番 图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪 了。勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到19世纪 末才由美国的数论学家迪克森得出。
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第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点学习目标①明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系,学会结合函数图象性质判断方程根的个数及多种方法求方程的根和函数的零点;②通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律,在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界;③通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律,还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性,“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:求下列方程的根.(1)6x-1=0;(2)3x2+6x-1=0;(3)3x5+6x-1=0.(如何解,会解吗?)问题2:求下面方程的实数根.ln x+2x-6=0.问题3:怎么解一般方程f(x)=0?问题4:方程f(x)=0的根与函数y=f(x)之间有什么样的关系呢?二、学生探索,尝试解决活动1:请同学们先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数①方程x2-2x-3=0的解为,函数y=x2-2x-3的图象与x轴有个交点,坐标为.②方程x2-2x+1=0的解为,函数y=x2-2x+1的图象与x轴有个交点,坐标为.③方程x2-2x+3=0的解为,函数y=x2-2x+3的图象与x轴有个交点,坐标为.根据以上观察结果,可以得到:结论:一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的.若一元二次方程无实数根,则相应的二次函数图象与x轴无交点.反思:函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,三者有什么关系?活动2:所有函数都存在零点吗?什么条件下才能确定零点的存在呢?画出函数f(x)=x2-2x-3的图象,1.在区间[-2,1]上有零点,计算f(-2)=,f(1)=,发现f(-2)·f(1)(选填“<”或“>”)0.2.在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢?三、信息交流,揭示规律零点存在定理:活动:出示这几个问题让学生思考,小组讨论:(1)这个定理前提有几个条件?(2)“有零点”是指有几个零点呢?只有一个吗?(3)再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢?(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗?(5)这个定理有什么作用?四、运用规律,解决问题1.在下列哪个区间内,函数f(x)=x3+3x-5一定有零点()A(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)2.已知函数f(x):那么该函数在区间[1,6]上的零点有()A.只有3个B.至少有3个C.至多有3个D.无法确定五、变式演练,深化提高1.函数f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)的零点个数为()A.1B.2C.3D.42.若函数f(x)在[a,b]上连续,且有f(a)·f(b)>0.则函数f(x)在[a,b]上()A.一定没有零点B.至少有一个零点C.只有一个零点D.零点情况不确定3.函数f(x)=e x-1+4x-4的零点所在区间为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)4.若函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上有一个零点.则f(x)的零点个数为.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:(1)x=(2)x=-(3)不会解问题2:不会解.问题3:将方程的解转化为函数y=f(x)的零点.问题4:方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标.二、学生探索,尝试解决活动1:①-1,3;2;(-1,0),(3,0);②1;1;(1,0);③0;0;不存在.活动2:1.5-42.具有同样特点三、信息交流,揭示规律如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.活动:(1)条件有两个(2)零点不一定只有一个(3)加上函数是单调函数(4)不能(5)定理可以确定零点四、运用规律,解决问题1.C2.B五、变式演练,深化提高1.D2.D3.B4.3。
部编人教高中数学必修1《函数与方程阅读与思考 中外历史上》李娜教案PPT课件 一等奖新名师优质课比赛教学
阅读与思考中外历史上的方程求解萝北县高级中学李娜一、设计理念按照新课程教学理念，“数学教学是数学活动的教学；在这个活动中，使学生掌握一定的数学知识和技能，同时身心获得一定的发展，形成良好的思想品质。
”数学课已不仅仅是一些数学知识的学习，更要体现知识的认识和发展过程，同时要根据教学需要，关注学生已有的知识基础和学习经验，精心设计问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生积极探索，在探索过程中获得对数学的积极体验和应用。
学生学习和使用“阅读与思考”，了解数学史，学习用数学的观点观察现实，构建数学模型，培养数学阅读能力和独立思考的能力，二、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一91页的阅读与思考，主要内容是介绍中外历史上方程的发展及一些数学家的主要成就，是数学史的一部分。
引导学生通过阅读，自己发现问题，提出问题，通过数学实践，主动思维，独立思考，掌握科学的思维方法，了解数学文化的背景，加深学生对数学基础知识的理解和掌握，提高数学思维能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力。
三、学情分析本节课的授课对象是普通高中高一学生，学生已经学习了一元二次方程，对方程有了初步的了解，通过本节内容对以后的教学起到了很好的铺垫作用，但针对高一学生，学生的动手，动脑能力，以及观察、归纳能力都还没有很全面的基础，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论最求的愿望，将学生置于主动参与的地位。
|四、教学目标1、了解中外历史上的方程求解的那些人，那些事，那些方法。
2、了解历史上方程及方程求解历程。
|3、了解中国人在方程以及方程求解上的巨大贡献五、教学重难点：培养学生对数学的兴趣和情感激发学生的学习欲望，探究了解方程的产生和发展，了解数学史，从而进一步调动学生学习数学的积极性。
|六、教学手段 |PPT，黑板，粉笔七、教法学法在教法上，本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问—探索—归纳”层层递进的方式来突出。
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一元二次方程根的分布教学设计一、教学内容分析本节课在初高中教材中均未以明确的课题形式予以展现，但一元二次方程根的分布是非常常见的问题，既可以单独出现，也可以由其他问题转化而来．这类问题与不等式、导数以及新课标新增的函数零点、根的存在性定理和二分法联系密切，因此在高考中经常出现函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。
在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程思想还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位.就本节而言，本节通过对二次函数的图象的研究来判断一元二次方程根的分布情况，它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。
总之，本节课渗透着重要的数学思想“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为高中数学学习打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。
学生在初中已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解一元二次方程根的分布提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程根的关系，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍根的分布，从认知规律上讲，应该是容易理解的。
再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。
这也为我们归纳二次函数零点的位置与方程根的分布之间的联系提供了知识基础。
但是由于学生对一元二次方程根的非零分布及充分必要条件理解不深，因此非零分布应该是学生学习的难点。
在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手作图分析的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的根的分布和二次函数图像让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系，归纳出充要条件。
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利用图象变换作出带绝对值符号的函数图象一、教材与学生数学现实的分析：函数图象形象地显示了函数性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，而从函数概念到作出图象，是从抽象思维过渡到形象思维的过程，一个看来很抽象、很复杂的函数问题，一旦作出图象，问题就豁然开朗，不仅有了解题思路，甚至给出了明确的答案．因此作函数的图象是解决有关函数问题的重要工具和途径．本节课是在学生已掌握了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象、图象的平移变换规律、函数的奇偶性等内容的基础上，对带有绝对值符号的函数图象进行的探究，并为以后充分研究三角函数的图象打下基础，起到承上启下的作用．重点：以指数函数、对数函数的图象为基本函数图象，如何利用图象变换作出带有绝对值符号的函数的图象．难点：分析相关函数图象之间的内在联系，归纳出通性通法及规律．二、教学目标：1．知识目标：通过学习，使学生掌握含有绝对值符号的函数简图的作法，明了相应函数之间的联系．2．能力目标：通过学生的作图过程，培养学生观察、分析、解决问题的能力，抽象思维与形象思维交互过渡的能力，概括和语言表达能力，从中体现了类比联想、分类讨论、数形结合等数学思想．3．情感目标：使学生在图象变换过程中，充分感受数学图象外在的对称美及内在的和谐美，从而体验到数学的美学魅力，并进一步激发学生的求知热情，其间对学生进行辩证唯物主义教育．三、教法设计、学法指导：1．教法设计：本节课我将按照“创设问题情境——自主探究——辨析研讨——反思评价”这种四环节课堂模式来实施教学．其中“自主探究——辨析研讨”两环节滚动循环进行，其间利用多媒体演示，肯定学生的猜想，揭示图象之间的内在联系．通过每一次的循环归纳出一类图象的作法，并将问题逐步引向深入．2．学法指导：学生活动体现在自主探究、合作交流两方面，这既能提高学生形成独立思考的能力，又为学生形成积极、主动的、多样的学习方式创造了有利的条件．四、教学用具：多媒体设备、印有平面直角坐标系的练习纸．五、教学过程：想一想：我们是借助于什么得到指数函数、对数函数性质的？的简图．情况1 情况2 情况1 情况2 情况3 情况4将正确图象仍与y y x ,2=图象进行对比,找异同之情况1 情况2 情况3 情况4情况1 情况2情况32．函数x y 31log = ( ) (A) 是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递增; (B)是奇函数,在区间(－∞,0)上单调递增; 4．作函数)1(log 2+=x y 的图象，指出其单调区间这节课，你学到了哪些知识和方法？六、开放性作业1. 判定122--=x x y 的奇偶性,并作出简图,指出其单调区间．2. 作出322--=x x y 的简图,指出其单调区间,求值域．3. 已知函数1log )(-=x x f a 在)1,0(上为增函数，则)(x f 在),1(+∞上是（ ） A. 递增且无最大值； B. 递减且无最小值； C. 递增且有最大值； D. 递减且有最小值. 七、板书设计。
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《九章算术》
《九章算术》上承先秦数学发展之源流，入汉之后又经许 多学者的整理、删补和修订，大约于东汉初年（公元一世纪） 成书，它汇总了战国和西汉时期的数学成果，是几代人共同劳 动的结晶。书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分 为九章。“方程”是其中的第八章，主要研究线性方程组的解 法，其基本思想是消元。
宋元之际的战乱ห้องสมุดไป่ตู้代
《洞渊九容》 《测圆海镜》
李冶
“天元术”
“中土数学之宝书”
具体程序 ： “立天元一为某某”
根据已知条件，列出两个相等的多项式
把这两个多项式相减，便得到了一个一端为零的方程
元代 朱世杰 “四元术”
四元表示法 四元消元法
具体程序 ： 列出含有四个未知数的方程组 消去三个元，使它变成一个一元高次方程 解出这个一元高次方程的数值
程，课程也。群务总杂， 各列有数，总言其实，令每行 为率.二物者二程，三物者三程， 皆如物数程之，并列为行，故 谓之“方程”。
刘徽
本章中方程的解法主要有“方程术”和“正负 术”等。“方程术”的解题方法与现代利用线性方 程组的系数增广矩阵通过初等变换求解十分接近。 这是中国古算一项了不起的成就，超前世界其他国 家上千年。有些问题不能用“方程术”求解，进一 步的探究探索导致了正、负数概念的产生及正负数 运算法则的建立，形成了新的求解方法“正负术”。
这一解法相当于将方程 x2pxq的系数代入公式求解
x 2 p2q2 p
时间：公元3世纪前后
地点：古希腊
墓志铭上的方程
《算术》共13卷，尚存6卷，是一部问题集，其中收集 了许多实际问题，大约有290个题目，此外还有十几个 引理和推论，合起来共有三百多个问题。
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• ∴a6－72＝35，∴a6＝107，故选B．
• 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x的值是 ___15___.
[解析] ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4， ∴x2－1－10x＝＝56，∴x＝15.
5．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋3n－1，其中n∈N*.
(1)写出a10，an＋1；
(B )
[解析] ∵3 5＝ 45，∴令2n－1＝45，得n＝23.
• 3．(度吉林汪清六中高二月考)在数列 2,9,23,44,72，…中，第6项是( B )
• A．82 • C．100
B．107 D．83
• [解析] 设这个数列为{an}，∵9－2＝7,23 －9＝14,44－23＝21,72－44＝28，
(3){an}与an是不同概念：{an}表示数列a1， a2，a3，…，an，…；而an表示数列{an}中 的第n项． (4)数列的简记符号{an}，不能理解为集合 {an}，其区别如下表：
数列
集合
示例
数列中的项是有序
的，两组相同的数
如数列1,3,4与1,4,3是
集 合 中 的 元 素 不同的数列，而集合
2.1 数列的概念与简单表示法
第1课时 数列的概念与简单表示法
• 1．数列的概念
• 按照一定顺序排列的一列数叫做__数_列_____. 数列中的每一个数都叫做这个数列的 __项____.数列中的每一项都和它的序号有关， 排在第一位的数为这个数列的第一项，也 叫做________首.排项在第n位的数称作这个数 列的第n项，记作an.数列的一般形式为a1， a2，a3，…，an…，简记为{an}．
• 3．数列的分类：
• (1)按项数分类：项数有限的数列叫做 ___有__穷_数__列____，项数无限的数列叫做 ___无__穷_数__列____.
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于是 x2 + (2x 4)2 =16，
解得 x2 = (16)2 = 256 ， (2x 4)2 = (12)2 = 144 .
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高中数学人教A版必修1数学人教A版必修1阅读与思考中 外历史 上的方 程求解 课件
时间：公元9世纪-12世纪 地点：印度 ax2bxc ()
《九章算术》
《九章算术》上承先秦数学发展之源流，入汉之后又经许 多学者的整理、删补和修订，大约于东汉初年（公元一世纪） 成书，它汇总了战国和西汉时期的数学成果，是几代人共同劳 动的结晶。书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分 为九章。“方程”是其中的第八章，主要研究线性方程组的解 法，其基本思想是消元。
对于一般方程 x2＋px＝q
x 2 p2q2 p
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时间：公元1世纪东汉初年-19世纪初清朝
地点：中国
《九章算术·方程》 介绍了一次方程组的解法
公元3世纪 赵爽 《勾股圆方图说》 给出了形如的二次方程的求解步骤
2x1x1xx3 3 x33421428
327
97 97
“试位法”
如xx24 7
778， 2483， x7321 7
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时间：公元前2000年前后 地点：古巴比伦
泥版书上的方程
一元二次方程 的出现
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程，课程也。群务总杂， 各列有数，总言其实，令每行 为率.二物者二程，三物者三程， 皆如物数程之，并列为行，故 谓之“方程”。
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刘徽
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本章中方程的解法主要有“方程术”和“正负 术”等。“方程术”的解题方法与现代利用线性方 程组的系数增广矩阵通过初等变换求解十分接近。 这是中国古算一项了不起的成就，超前世界其他国 家上千年。有些问题不能用“方程术”求解，进一 步的探究探索导致了正、负数概念的产生及正负数 运算法则的建立，形成了新的求解方法“正负术”。
婆罗摩笈多 x 4acb2 b 2a
摩诃毗罗 4a2x24abxb24acb2
(2axb)24acb2
婆什迦罗
列举了各种二次方程的求解， 并认为二次方程有两根
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时间：公元820年 地点：阿拉伯 人物：花拉子米
中外历史上的方程求解
数学史是研究数学发展规律的科学
问题：因沙坪坝城市创卫发展需要，
某运输公司要把26吨垃圾全部运到某垃 圾处理站，决定调载重3吨和载重4吨的 两种汽车共7辆，问这两种汽车各调多 少辆刚好运完？
(1)请用小学的算术解法解出答案?
(2)请用列方程的解法解出答案？
阅读思考一、
阅读我们收集到的“方程的发展”材料
卷Ⅰ问题27：求两数使其和为20，其乘积为96.
设所求两数之差为 2x ，于是两数为10 x,10 x ，
卷Ⅱ问题8：把一给定平方数分成两个平方数.
故给有定1的0数0 取x12 6，9分6 ，成得的平x 方2数.所分求别两为数(15为6)12 2和和(1582.)2 . 方法是，设所求之一为 x2 ，则另一为 (2x 4)2 ，
公元7世纪 王孝通 《缉古算经》 解决了不少三次方程求解的实际问题
公元11~13世纪 在古代开平方、开立方、开带从平方、开带从立方等算
法的基础上，创立了一种具有中国古代数学独特风格的新算 法，即高次方程的数值解法.
……
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《代数学》系统地论述了六种类型的一次和二次 方程的解法。这些方程由下列三种量构成：根、平方、 数。根相当于现在的未知数x，平方就是x2，数是常数 项。
1．平方等于根 ax2=bx 2．平方等于数 ax2＝c 3．根等于数 ax=c 4．平方和根等于数 ax2＋bx=c 5．平方和数等于根 ax2＋c＝bx 6．根和数等于平方 bx＋c＝ax2
6 60
40 602
，并把它加到
35 60
上，
得 41 40 ，其平方根是 50 ，再从中减去 40 的一半，得 30 ，
60 602
60
60
60
于是 1 就是所求正方形的边长. 2
这一解法相当于将方程 x2pxq的系数代入公式求解
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x 2 p2q2 p
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时间：公元3世纪前后 地点：古希腊
墓志铭上的方程
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《算术》共13卷，尚存6卷，是一部问题集，其中收集 了许多实际问题，大约有290个题目，此外还有十几个 引理和推论，合起来共有三百多个问题。
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英国大不列颠博物馆13901号泥版记载了这样一个问
题：
我把我的正方形的面积加上正方形边长的 2 得 3 5 ，
求该正方形的边长.
3 60
这个问题相当于求解方程 x2 2x35 3 60
1
的
2 3
是
40 60
，其一半是
20 60
，将它自乘得
《代数学》
《ilm al-jabr wa’l-muqabala》 algebra
原意是“还原”，根据上下文的意 思，是指把负项移到方程另一端变
成正项，方程才能平衡．
《还原与对消的科学》
意即“化简”或 “对消”，是指方 程两端可以消去相 同的项或合并同类
项．
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回答下列问题： 一元一次 一元二次 一元三次 四次、五次
方程
方程
方程
方程
发现时间
地点
有哪些相关 著作 哪些有贡献 的人 有何进展
一元一次方程出现
时间：公元前2000年-公元前1800年 地点：古埃及
纸草书上的方程
兰德纸草书第31题
2
1
有一堆，它的 3 ，它的 2
，它的
1 7
，
它的全部，加起来总共是33